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高中数学必修四精讲精练






第一节

三角函数 .........................................................................................................2

第一课时:任意角的概念................

................................................................................................................................................ 2 第二课时:任意角的三角函数....................................................................................................................................................... 6 第三课时:同角三角函数关系..................................................................................................................................................... 10 第四课时:诱导公式....................................................................................................................................................................... 12 第五课时:三角函数的图象.......................................................................................................................................................... 16 第六课时:正余弦函数的性质及值域........................................................................................................................................ 18 第七课时:正切函数的性质.......................................................................................................................................................... 22 第八课时:函数 y

? A sin( ?x ? ? ) 的图象与性质 ...................................................................................................24

第二节

三角恒等变换.............................................................................................. 29

第九课时:两角和与差的正余弦公式........................................................................................................................................ 29 第十课时:简单的三角恒等变换................................................................................................................................................. 32

第三节

平面向量 ...................................................................................................... 34

第十一课时:平面向量的基本概念 ............................................................................................................................................ 34 第十二课时:平面向量的基本定理 ............................................................................................................................................ 39

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第一节

三角函数

第一课时:任意角的概念
一、课本知识梳理及理解
1.在初中我们是如何定义一个角的?角的范围是什么? 2.任意角的定义(通过类比数的正负,定义角的正负和零角的概念) 3.象限角的定义(轴线角) 3.1.能以同一条射线为始边作出下列角吗? 210? -150? -660?

3.2.上述三个角分别是第几象限角,其中哪些角的终边相同. 3.3.具有相同终边的角彼此之间有什么关系? 3.3.1.你能写出与 60?角的终边相同的角的集合吗?

4.什么叫角度制? 4.1.角度制下扇形弧长公式是什么?扇形面积公式是什么?

4.2.什么是 1 弧度的角?弧度制的定义是什么?

4.3.弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的?

4.4.角的集合与实数集 R 之间建立了 一一对应 对应关系。 4.5.用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.

4.6.在弧度制下的弧长公式,扇形面积公式。 (理解推导过程)

二、典型例题精讲精练
例 1:在 0?到 360?的范围内,找出与下列各角终边相同的角,并分别判断它们是第几象限角: (1)650? (2)-150? (3)-990?15?

2

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练 1.终边落在 x 轴正半轴上的角的集合如何表示?终边落在 x 轴上呢?终边落在坐标轴上的角的集合如何表示?

例 2:若α 与 240?角的终边相同 (1)写出终边与? 的终边关于直线 y=x 对称的角 ? 的集合. (2)判断 ? 是第几象限角.
2

练 2.若? 是第三象限角,则- ? ,

? ,2 ? 分别是第几象限角. 2

例 3.如图,写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界). y y
120? 45?

O

x
210?

O

x

练 3.(1)第一象限角的范围 。 (2)第二、四象限角的范围是 。 例 4.把下列各角进行弧度与度之间的转化(用两种不同的方法) (1)

3? 5

(2)3.5

(3)252?

(4)11?15?

练 4. ①填表 角度制 弧度制 0?
? 6

45?

60?

90?
2? 3 5? 4

150?

180?
3? 2

315?
2?

②若 ? ? ?6 ,则 ? 为第几象限角? ③用弧度制表示终边在 y 轴上的角的集合 ④用弧度制表示终边在第四象限的角的集合 例 5. ①已知扇形半径为 10cm,圆心角为 60?,求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为 8cm , 圆心角为 2rad,求扇形的面积
3 博源教育课外学习班 授课地址:兰州市西固区福利路十二街区兰炼一中后面天憬缘小区 联系电话:15379046622

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练 5.1.一扇形的周长为 20cm,当扇形的圆心角? 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大,并求此扇形的最大面积.

练 5.2.A= ? x x ? k? ? ?? 1? ?
k

? ?

?

? ? ? ? , k ? Z ? ,B= ? x x ? 2k? ? , k ? Z ? 则 A、B 之间的关系为 2 2 ? ? ?

.

三、课堂练习题组

A组
1.已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90°的角},那么 A、B、C 关系是( ) A.B=A∩C B.B∪C=C C.A ? C D.A=B=C 2.下列结论正确的是( ) A.三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角 C.不相等的角终边一定不同 D.

?? | ? ? k ? 360 ? 90 , k ? Z?= ?? | ? ? k ?180 ? 90 , k ? Z?
? ? ? ?

3.若角α 的终边为第二象限的角平分线,则α 的集合 为______________________. 4.在 0°到 360°范围内,终边与角-60°的终边在同 一条直线上的角为 . 5.下列说法中,正确的是( ) A.第一象限的角是锐角 B.锐角是第一象限的角 C.小于 90°的角是锐角 D.0°到 90°的角是第一象限的角 6.(1)终边相同的角一定相等; (2)相等的角的终边一定相同; (3)终边相同的角有无限多个; (4)终边相同的角 有有限多个。上面 4 个命题,其中真命题的个数是 ( ) A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 7.终边在第二象限的角的集合可以表示为: ( ) A. {α ∣90°<α <180°} B. {α ∣90°+k· 180°<α <180°+k· 180°,k∈Z} C. {α ∣-270°+k· 180°<α <-180°+k· 180°,k∈Z} D. {α ∣-270°+k· 360°<α <-180°+k· 360°,k∈Z} 8.与 1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________. 9.若角? 的终边为第一、三象限的角平分线,则角? 集合是 . 10.将下列落在图示部分的角(阴影部分) ,用集合表示出来(包括边界).
135?

y
30
?

y
135
?

60?

O

x

O

x

11.角? , ? 的终边关于 x ? y ? 0 对称,且? =-60°,求角 ? .

4

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B组
1.将下列弧度转化为角度: (1)

? = 12

°; (2)-

7? = 8

°

′; (3)

13? = 6

°;

2.将下列角度转化为弧度: (1)36°= rad; (2)-105°= 3.已知集合 M ={x∣x = k ?

rad; (3)37°30′=

rad;

? ? , k ∈Z} ,N ={x∣x = k ? ? ? , k∈Z} ,则 ( ) 2 2

A.集合 M 是集合 N 的真子集 B.集合 N 是集合 M 的真子集 C.M = N D.集合 M 与集合 N 之间没有包含关系 4.圆的半径变为原来的 2 倍,而弧长也增加到原来的 2 倍,则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的 2 倍 D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍

11? 表示成? ? 2k? (k ? z ) 的形式,使| ? | 最小的? 为( 4 3? ? 3? ? A、 ? B、 C、 D、 ? 4 4 4 4
5、把 ? 5 6.角α 的终边落在区间(-3π ,- π )内,则角α 所在象限是 2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
2



( )

D.第四象限 )

7.已知扇形的周长是 6cm ,面积为 2cm ,则扇形弧度数是( A、1 B、4 C、1 或 4 D、2 或 4 8.将下列各角的弧度数化为角度数: (1) ?

7? ? 6

度; (2) ?
?

8? ? ______度; (3)1.4 = 3

度; (4) .

2 ? 3

度.

9.若圆的半径是 6cm ,则15 的圆心角所对的弧长是

;所对扇形的面积是__

? ? ? ? 10.已知集合 A= ? x k? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? ,B= x 4 ? x 2 ? 0 ,求 A ? B . 3 2 ? ?

?

?

11.已知一个扇形周长为 C (C ? 0) ,当扇形的中心角为多大时,它有最大面积? 12.如图, 已知一长为 3dm , 宽为1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚, 翻滚到第三面时被一小木板挡住, 使木块底面与桌面成 30 的角,问点 A 走过的路程及走过的弧度所在扇形的总面积?
?

A
3
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B 1

A1 C A2

A3

D

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第二课时:任意角的三角函数
一、课本知识梳理及理解
1.1.用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数。 1.2.改变终边上的点的位置这三个比值会改变吗?为什么? 1.3.怎样将锐角三角函数推广到任意角?

1. 4.锐角三角函数的大小仅与角 A 的大小有关, 与直角三角形的大小无关, 任意角的三角函数大小只与终边所在位 置有关。 1.5.随着角? 的确定,三个比值唯一确定,依据函数定义,三个比值和角? 可以构成函数。 1.5.1.对于任意角的三角函数思考下列问题: ①定义域;②函数值的符号规律 ③三个函数在坐标轴上的取值情况怎样? ④终边相同的角相差 2? 的整数倍,那么这些角的同一三角函数值有何关系?

1.5.2.三角函数线

二、典型例题精讲精练
例 1.已知角? 的终边经过点 P(2,-3) ,求 2 sin ? ? cos ? ? tan ?

练 1.1.已知角? 的终边经过点 P(2a,-3a) (a ? 0),求 2 sin ? ? cos ? ? tan ? 的值.

练 1.2.角 ? 的终边经过点 P(-x,-6)且cos ? ? ? 5 ,求 x 的值. 13

例 2.确定下列三角函数值的符号 (1)cos
7? 12

(2)sin(-465?)

11? (3)tan 3

6

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练 2.1.若 cos ? >0 且 tan ? <0,试问角? 为第几象限角

练 2.2.使 sin ? cos ? <0 成立的角? 的集合为( )

? ? A. ? ?? k? ? ? ? ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ? 3 ? ? C. ? ? ? ? 2k? ? 2? , k ? Z ? ?? 2k? ? 2 ? ? 例 3.作出下列各角的三角函数线 2? 11? (1) (2) ? 3 6

? ? B. ? ?? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? D. ?? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ,k ? Z? 2 2 ? ?

例 4.比较下列各组数的大小 (1)sin1 和 sin

? 3

(2)cos

4? 5? 和 cos 7 7

(3)tan

9? 9? 和 tan 7 8

(4)sin

?
5

和 tan

?
5

练 4.1.若? 是锐角(单位为弧度) ,试利用单位圆及三角函数线,比较? , sin ? , tan ? 之间的大小关系。

练 4.2.根据单位圆中的正弦线,你能发现正弦函数值有怎样的变化规律。

例 5.利用单位圆分别写出符合下列条件的角? 的集合 (1) sin ? ? ?

1 , 2

(2) sin ? ? ?

1 , 2

(3) tan? ?

3 。

练 5.1.已知角? 的正弦线和余弦线分别是方向一正一反,长度相等的有向线段,则? 的终边在 ( ) A 第一象限角平分线上 B 第二象限角平分线上 C 第三象限角平分线上 D 第四象限角平分线上 练 5.2.当角? , ? 满足什么条件时有 sin ? ? sin ? . 练 5.3.sin ? >cos? ,则? 的取值范围是_________。 练 5.4.已知集合 E={ ? |cos ? <sin ? ,0 ? ? ? 2? },F={ ? tan ? <sin ? }。 求集合 E ? F
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三、课堂练习题组

A组
1、函数 y ? sin x ? ? cos x 的定义域是( A. (2k? , (2k ? 1)? ) , k ? Z C.[ k? ? ) B.[2k? ?

?
2

, (2k ? 1)? ] , k ? Z

?
2

, ( k ? 1)? ] , k ? Z

D.[2k? , (2k ? 1)? ] , k ? Z

2、若θ 是第三象限角,且 cos

?

? ? 0 ,则 是( ) 2 2
D.第四象限角 D.第四象限 .

A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 3、已知点 P( tan ? , cos ? )在第三象限,则角? 在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 4、已知 sin ? tan ? ≥0,则? 的取值集合为 5、若角α 终边上有一点 P(a, | a |)( a ? R且a ? 0) ,则 sin
2 2 2 B、- C、± 2 2 2 6、下列各式中不成立的一个是 ( )

?

的值为

( )

A、

D、以上都不对

? A、 cos 260 ? 0

B、 tan(?1032 ) ? 0

?

C、 sin? ?

? 6? ? ??0 ? 5 ?

D、 tan

17? ?0 3

7、已知α 终边经过 P(?5,12) ,则 sin 8、若α 是第二象限角,则点 A(sin 9、已知角θ 的终边在直线 y =

??

. 象限的点. .

? , cos ? ) 是第 几

3 x 上,则 sinθ = ; tan ? = 3 sin x cos x tan x 10、设角 x 的终边不在坐标轴上,求函数 y ? 的值域. ? ? | sin x | | cos x | | tan x |

11、(1) 已知角? 的终边经过点P(4,-3),求2sin ? +cos? 的值; (2)已知角? 的终边经过点 P(4a,-3a)(a≠0),求 2sin? +cos ? 的值; (3) 已知角? 终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴的距离之比为 3∶4(且均不为零) , 求 2sin? +cos? 的值.

8

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B组
π π 1、若 <θ < ,则下列不等式中成立的是( ) 4 2 A.sinθ >cosθ >tanθ B.cosθ >tanθ >sinθ C. tanθ >sinθ >cosθ D.sinθ >tanθ >cosθ 2、角? (0< ? <2π )的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异.那么? 的值为( ) π A. 4 3π B. 4 7π C. 4 3π 7π D. 或 4 4

3、若 0< ? <2π ,且 sin ? <

3 2

, cos? >

1 .利用三角函数线,得到? 的取值范围是( ) 2

π π π 5π π 5π A. (- , ) B. (0, ) C. ( ,2π ) D. (0, )∪( ,2π ) 3 3 3 3 3 3 4、依据三角函数线,作出如下四个判断: ①sin π 7π π π π 3π =sin ;②cos(- )=cos ; ③tan >tan 6 6 4 4 8 8 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ) 3π ;④sin 5 >sin 4π .其中判断正确的有 ( ) 5

A.1 个

5、若角? (0 ? ?

? 2? ) 的正弦与余弦线的长度相等且符号相同,那么角α 的值为(
C.

A.

? 4

B.

5? 4

? 5? 或 4 4

D.以上都不对 ) D、| sin? | ? | cos? | <1

6、用三角函数线判断 1 与| sin? | ? | cos? | 的大小关系是( A、 | sin? | ? | cos? | >1 B、| sin? | ? | cos? | ≥1

C、| sin? | ? | cos? | =1

7、利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的集合。
3 1 1 ; ⑵ cos x ? : ; ⑶| cos x |? : : 2 2 2 8、已知角α 的终边是 OP,角β 的终边是 OQ,试在图中作出 α ,β 的三角函数线,然后用不等号填空: P sin ? ; ⑴ sin ? y

⑴ cos x ?



⑵ cos? ⑶ tan?

cos ? ; tan ? 。

P

?
O

?

Q

x

2π π 9、若- ≤θ ≤ ,利用三角函数线,可得 sinθ 的取值范围是 6 3 10、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: ⑴
5? 7? ; ⑵ ; 4 6



⑶?

?
3



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11、已知α 是第三象限角,问点 P(cos

?
2

, sin

?
2

) 在第几象限?请说明理由。

第三课时:同角三角函数关系
一、课本知识梳理及理解
1.1.在三角求值时,应注意:①角所在象限;②一般涉及到开方运算时要分类讨论。 1.2.在化简时应注意化简结果:①涉及的三角函数名称较少;②表达形式较简单。 1.3.证明恒等式时常用以下方法:①从一边开始,证明它等于另一边;②证明左右两边等于同一个式子;③分析法, 寻找等式成立的条件。证明的指向一般是“由繁到简” 。

二、典型例题精讲精练
例 1.已知 sin ? ?

4 ,且? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? 5

练 1.已知 tan ? ? ?

1 1 ,求 的值. 2 2 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ?

例 2:.化简 (1) tan?

1 ? cos? 1 ? cos? 1 + ,其中? 是第四象限角 ? 1 ,其中? 是第二象限角, (2) 2 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

(3)

1 ? 2 sin 10? cos10? cos10? ? 1 ? cos2 170?

例 3:求证:

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?

10

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三、课堂练习题组
1、已知 tan ? ? 2, 求

sin ? ? cos ? 的值。 sin ? ? cos ?

2、已知sin ? ? cos ? ? ?

1 ,? ? ?0, ? ? ,求 tan ? 的值. 5

3、化简:

2 cos 2 ? ? 1 1 ? 2 sin 2 ?

4、证明 2 cos ? ? sin ? ? cos ? ? 1
2 4 4

5、已知 sin ? ? 3 cos ? ? 0 ,则α 所在的象限是( ) A、第一象限 B、第二象限 ) C、第一、三象限 D、第二、四象限

6、 1 ? 2 sin ? ? cos? 的值为 ( A、 sin ? ? cos ?

B、 sin ? ? cos ?
2

C、 cos ? ? sin ?

D、| sin ? ? cos ? |

7、若 sin ? , cos? 是方程 4 x ? 2mx? m ? 0 的两根,则 m 的值为 A.1 ? 5 B.1 ? 5 C.1 ? 5 D. ? 1 ? 5

8、⑴已知 sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,则

1 ? sin ? cos ?




2 2 ⑵ 4 sin ? ? 3 sin? ? cos? ? 5 cos ? ?

9、已知α 是第三象限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?



1 ? sin6 ? ? cos6 ?
10、化简:

sin 2 ? ? sin 4 ?
⑵ sin
4

11、证明下列恒等式: ⑴ 2 cos
2

? ? sin4 ? ? cos4 ? ? 1 ;

? ? sin2 ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 。

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第四课时:诱导公式
一、课本知识梳理及理解
1.如何把任一角的三角函数的求值问题转化为 0?—360?间三角函数的求值问题?

2.已知任意角? 的终边与单位圆相交于 P(x,y) ,求 P 关于 x 轴,y 轴,原点对称的三个点的坐标. 2.1.如果角? 的终边与角 ? 的终边关于原点对称,那么? 与 ? 的三角函数值之间有什么关系? 2.2.如果角? 的终边与角 ? 的终边关于 x 轴对称,那么? 与 ? 的三角函数值之间有什么关系? 2.3.如果角? 的终边与角 ? 的终边关于 y 轴对称,那么? 与 ? 的三角函数值之间有什么关系? 3.三角函数诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)

? [0 ? ,90? ) ? ? ? ? [90 ,180 ) 180? ? ? 4.将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的算法流程为:任意角 ? [0 ? ,360? ) ? ? ? ? ? ? ?[180 ,270 ) 180 ? ? 二、典型例题精讲精练 ? ? ? ? ?[270 ,360 ) 360 ? ?

例 1.求值(1) sin

7? ; 6

(2) cos

11? ; 4

(3)tan(-1560?)

练 1.求值(1) sin(?1200 ) ;
?

(2) tan945 ;

?

(3) cos

47 ? 6

例 2.已知 cos ?

3 ? 5? ? ?? ? ,求 cos? ? ? ? 的值. ?? ? ? ? 6 ? ?6 ? 3

练 2.已知 cos ?

?? 3 ? 5? ? ? ?? ? ,求 cos? ? ? ? ? sin 2 ?? ? ? 的值。 ?? ? ? 6? ? 6 ? ? ?6 ? 3

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3? ) cos( 4? ? ? ) 2 例 3.1.化简 ? 5? tan(? ? 5? ) cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2 sin( 3? ? ? ) cos( ? ?

例 3.2.已知 cos( 75? ? ? ) ?

1 ,且 ? 180 ? ? ? ? ?90? ,求 cos(15? ? ? ) 3

1 练 3.1.已知 cos( 75? ? ? ) ? ,且? 180 ? ? ? ? ?90? ,求 cos( 105? ? ? ) ? sin( ? ? 105?) 的值. 3

练 3.2.设 f ( x) ? 2 sin(? ? ? ) cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) 3? ? 1 ? sin 2 ? ? cos( ? ? ) ? sin 2 ( ? ? ) 2 2

(1 ? 2 sin ? ? 0 ),求 f ( ?

23? ) 6

三、课堂练习题组

A组
1、对于诱导公式中的角? ,下列说法正确的是( ) A.? 一定是锐角 B.0≤? <2π C.? 一定是正角 2、若 cos ?? ? ? ? ? A. D.? 是使公式有意义的任意角

3 5

3 , ? ? ? ? 2? , 则sin?? ? ? 2? ? 的值是( ) 5 3 4 4 B. ? C. D. ? 5 5 5

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3、已知

3 sin ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? 2 ,则 tan ? = 4 sin ?? ? ? ? cos ?9? ? ? ?

. 。

4、求 cos(-2640°)+sin1665°的值 5、 cos 225 ? tan 240 ? sin(?60 ) ? tan( ?420 ) 的值是
? ? ? ?

( )

A、 ?

2 3 ? 2 2

B、 ?

2 3 ? 2 2

C、 ?

2 3 ? 2 6


D、 ?

2 3 ? 2 6

6、已知 cos31? ? a, 则sin 239 ? tan 149 ? = (

A、

1? a2 a

B、 1 ? a 2

C、

a2 ? a a

D、 ? 1 ? a 2

7、 1 ? 2 sin(? ? 2) cos(? ? 2) 等于( A.sin2-cos2 B.cos2-sin2

) C.±(sin2-cos2) D.sin2+cos2 ____. ___.

8、若 tan ? ? a ,则 sin ?? 5? ? ? ?cos ?3? ? ? ? = ____ 9、化简:

cos( ? ? 4? ) cos 2 (? ? ? ) sin 2 (? ? 3? ) =______ sin( ? ? 4? ) sin( 5? ? ? ) cos 2 (?? ? ? )

10、已知 sin ? x ?

? ?

??

1 ? 7? ? ? 5? ? ? x ? ? cos 2 ? ? x ? 的值. ? ? ,求sin ? 6? 3 ? 6 ? ? 6 ?

? 11、已知 cos 75 ? ? ?

?

?

1 ? ? ,? 为第三象限角,求 cos ? 255 ? ? ? sin 435 ? ? 的值. 3

?

?

?

?

12、化简:

sin ?? ? n? ? ? tan ?n? ? ? ?, n ? Z . cos ?? ? ? n? ?

B组
1、已知 sin(π +α )=
4

3 3 π ,则 sin( -α )值为( ) 4 2
1 2
C.

A.

1 2

B. —

3 3 D. — 2 2

14

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2、如果| cos x |? cos(? x ? ? ).则 x 的取值范围是()

[?
A.

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ]( k ? Z )

3 ? 2k? , ? ? 2k? )( k ? Z ) 2 B. 2 (
D. (?? ? 2k? , ? ? 2k? )(k ? Z ) ( )

?

3 ? 2k? , ? ? 2k? ]( k ? Z ) 2 C. 2 [

?

3、设角? ? ? 35 ? , 则 2 sin( ? ? ? ) cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) 的值等于 6 1 ? sin 2 ? ? sin( ? ? ? ) ? cos 2 (? ? ? ) A.

3 3 B.- 3 3

C. 3

D.- 3

4、若 f (cosx) ? cos3x, 那么 f (sin 30?) 的值为()

A.0

B.1

C.-1 D.

3 2
) C、 f ( x) ? tan?x D、 f ( x) ? cot ?x

5、满足条件 f ( ? x) ? f ( ? x) 的函数为( A、 f ( x) ? sin ?x B、 f ( x) ? cos?x

1 2

1 2

sin(180? ? 405? ) sin(270? ? 765? ) 6、 = sin(90? ? 45? ) tan(270? ? 45? )

.

7、将下列三角函数转化为锐角三角函数,填在题中横线上:

sin 263? 42? ?

__ ; cos(?104? 26?) ?

? ;sin? ?? ? ? ? 5 ? 3 ?

; tan

17? ? 6
的值.

.

8、若 cos α = ,α 是第四象限角,求
3

2

sin( ? ? 2? ) ? sin( ?? 3 ? )cos( ?

? 3 ?) ?

cos( ? ??) ? cos( ?? ? ? )cos( ?4 ? )?

2 2 9、已知 tan ? 、 cot ? 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两实根,且3? ? ? ?

7 ?, 2

求 cos(3? ? ? ) ? sin(? ? ? ) 的值.(注: cot ? =1/ tan ? )

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) ? 5 ,求 10、记 f ( x) ? a sin( ? x ? ? ) ? b cos( ? x ? ? ) ? 4 , ( a 、b 、? 、 ? 均为非零实数) ,若 f (1999 f (2000) 的值.

11、化简:

? 11? sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) cos( ? ? ) cos( ??) 2 2 9? cos( ? ? ? ) sin( 3? ? ? ) sin( ?? ? ? ) sin( ??) 2

12、已知 tan ? ? 2 ,且α 是第三象限角. ⑴求 sin( k? ? ? ) ? cos( k? ? ? ) 的值; ⑵已知α 是第四象限角,化简:sin( k? ? ? ) ?

1 ? cos( k? ? ? ) (k ? Z ) . 1 ? cos( k? ? ? )

第五课时:三角函数的图象
一、课本知识梳理及理解
在区间[0,2? ] 上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点(平衡点).函数 的图象可通过描述、平移、伸缩、对称等手段得到.

二、典型例题精讲精练
例 1:用“五点法”画下列函数的简图 (1) y=cosx x∈R (2) y=sinx x∈R

16

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练 1.1.函数 y=2cosx 与 y=cosx 的图象之间有何联系?能推广 y=Acosx(A>0)与 y=cosx 图象间关系吗?

练 1.2 函数 y=sin2x 与 y=sinx 的图象之间有何联系?你能推广 y=sinω x(ω >0)与 y=sinx 图象间关系吗?

例 2: 用“五点法”画 y=sin( 2 x ?

? ) 的简图 2

三、课堂练习题组
1、函数 y ? sin A.R

x (a ? 0)的定义域为( a
C. ? ? , ? 3 3

) D.[-3,3]

B. ??1,1?

? 1 1? ? ?

2、在[0,2 ? ]上,满足 sin x ? A. ?0, ? 6

1 的 x 取值范围是( ). 2
C. ?

? ?? ? ?

B?

? ? 5? ? , ?6 6 ? ?

? ? 2? ? , ?6 3 ? ?

D. ?

? 5? ? ,? ? ? 6 ?

,x [0,2 ? ] ? 的图象. 3、 用五点法作 y ? sinx+1
4 结合图象,判断方程 sinx ? x 的实数解的个数.
5、观察正弦函数的图象,以下 4 个命题: (1)关于原点对称 (4)有无数条对称轴,其中正确的是 ( ) (2)关于 x 轴对称 (3)关于 y 轴对称

A、 (1) 、 (2)
6、对于下列判断:

B、 (1) 、 (3)

C、 (1) 、 (4)

D、 (2) 、 (3)

(1)正弦函数曲线与函数 y ? cos(

(2)向左、右平移 2? 个单位后,图象都不变的函数一定是正弦函数; (3)直线 x ? ?

3? ? x ) 的图象是同一曲线; 2

(4)点 (?

?
2

3? 是正弦函数图象的一条对称轴; 2

,0) 是余弦函数的一个对称中心.其中不正确的是
B、 (2) C、 (3) D、 (4)





A、 (1)

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7、 (1) y ? sin x 的图象与 y ? ? sin x 的图象关于________对称; (2) y ? cos x 的图象与 y ? ? cos x 的图象关于________对称. 8、 (1)把余弦曲线向______平移______个单位就可以得到正弦曲线; (2)把正弦曲线向______平移______个单位就可以得到余弦曲线. 9、由函数 y ? sinx 如何得到 y ? cosx 的图象?

10、画出 y ? 3 cos x ? 1 的简图,并说明它与余弦曲线的区别与联系.

11、画出 y ? sin( x ?

?
6

) 的简图,并说明它与正弦曲线的区别与联系.

12、.结合图象,判断方程 - sinx ? x 的实数解的个数.

第六课时:正余弦函数的性质及值域
一、课本知识梳理及理解
1.1.自然界存在许多周而复始的现象,如地球自转和公转,物理学中的单摆运动和弹簧振动,圆周运动等.数学中从 正弦函数,余弦函数的定义知,角? 的终边每转一周又会与原来的终边重合,也具有周而复始的变化规律,为定量 描述这种变化规律,引入一个新的数学概念——函数周期性. 1.2.对周期函数概念的理解注意以下几个方面: (1) f ( x ? T ) ? f ( x) 是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个 x 值, x ? T 仍在定义域内且使等式成立. (2)周期T 是常数,且使函数值重复出现的自变量 x 的增加值. (3)周期函数并不仅仅局限于三角函数,一般的周期是指它的最小正周期. 2.1 在同一直角坐标系中作 y=sinx,y=cosx (x∈R)的图象, 观察它们的图象, 你能得到一些什么性质?分别列出 y=sinx, y=cosx x∈R 的图象与性质

18

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2.2.观察 y=sinx, y=cosx x∈R 图象,探求 y=sinx, y=cosx 的对称中心及对称轴.

2.3.正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分地反映出来,所以 正、余弦函数的图象十分重要. 2.4.结合图象解题是数学中常用的方法.

二、典型例题精讲精练
例 1: 求下列函数的周期: (1) f ( x) ? cos2 x ; (2) g ( x) ? 2 sin(

x ? ? ) 2 6

练 1.⑴求 f ( x) ? cos(?2 x)

⑵ g ( x ) ? 2 sin( ?

x ? ? ) 的周期 2 6

例 2.:求下列函数的最大值及取得最大值时 x 的集合 (1) y ? cos

x 3

(2) y ? 2 ? sin 2 x

(3)若 y ? cos( ? )

x 3

(4)若 y ? 2? | sin 2 x |

例 3.判断下列函数奇偶性 (1)f(x)=1-cosx (2)g(x)=x-sinx

练 3、判断下列函数的奇偶性: ⑴ f ( x) ?| sin x | ? cos x : 例 4 .求 y ? sin( 2 x ? ; ⑵ f ( x) ? tan x ? x :
3

⑶ f ( x) ? x ? cos x :

?
3

) 的单调增区间

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练 4(1)求 y ? cos( 2 x ?

?
3

) 的单调增区间

(2)求 y ? sin( ?2 x ?

?
3

) 的单调增区间

(3)求 y ? sin( 2 x ? 例 5.求下列函数的值域 (1) y ? 3 ? 2 sin 2 x

?
3

) ? cos( 2 x ?

?
6

) 的单调增区间

(2) y ?| sin x | ? sin x (5) y ? 2 sin(2 x ?

(3) y ? cos2 x ? 2 sin x ? 2

2 sin x cos2 x (4) y ? 1 ? sin x

?

? ? ?? ), x ? ?? , ? 3 ? 6 6?

练 5.1.已知 f ( x) ? 2a sin( 2 x ?

?
3

) ? b 的定义域为[0,

?
2

],函数的最大值为 1,最小值为-5,求 a,b 的值.

练 5.2.已知 f ( x ) ? cos

kx ,其中 k ? 0 ,当自变量 x 在任何两个整数间(包括整数本身)变化时,至少含有一个 10

周期,求最小正整数 k 的值.

三、课堂练习题组

A组
1、求下列函数的周期: (1)正弦函数 y ? 3sinx 的周期是_________.(2)正弦函数 y ? 3 ? sinx 的周期是________. (3)余弦函数 y ? cos2x 的周期是_________(4)余弦函数 y ? y ? 2cos( 1 x - ? ) 的周期是______.
2 6

20

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2.函数 f ?x ? ? sin ? ?x ?

? ?

??

2? ,则? =____________. ??? ? 0? 的周期是 3 4?

3.若函数 f(x) 是以

? ?? ? ? 17? ? 为周期的函数,且 f ? ? ? 1 ,则 f ? ? ? __________. 2 ? 6 ? ?3?

(x) ? sin x 是不是周期函数?若是,则它的周期是多少? 4.函数 f
5、 y ? sinx ? cosx 是周期函数吗?如果是,则周期是多少?
6、函数 f(x) ? c (c 为常数)是周期函数吗?如果是,则周期是多少? 7、已知函数 y ? ?3 sin(

k ? x ? ) ? 1, (k ? 0) 3 6

(1)求最小正整数 k ,使函数周期不大于 2;

(2)当 k 取上述最小正整数时,求函数取得最大值时相应 x 的值.

B组
1 时自变量 x 的集合是___________ 2 4? 5? 32? 5? 2、将 a ? sin , b ? ? cos , c ? sin , d ? cos ,从小到大排列起来为:__________. 5 4 5 12
1、函数 y ? sin x , y ? 3、函数 y ? 2sin 2x 的奇偶数性为( A. 奇函数
4、函数 y ? ?

). C.既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数

B. 偶函数

2 cosx, x ? ?0,2? ? ,其单调性是( ). 3

A. 在?0, ?  ?上是增函数,在?? ,2? ? 上是减函数 B. 在 ? , ? 上是增函数,在 ?0, 2 ?, ? 2 ,2? ? 上分别是减函数 ?2 2 ? ? ?? ?

? ? 3? ?

? ? ? ? 3?

?

2? ? 上是增函数,在?0, ? ? 上是减函数 C. 在??,
D. 在 ?0, ?, ? ,2? ? 上分别是增函数,在 ? , ? 上是减函数 ? 2? ? 2 ? ?2 2 ? 6、设 k ? z ,则三角函数 y ? sin 2 x 的定义域是( A、2k? ? x ? 2k? ? ? B、k? ? x ? k? ? )

? ? ? ? 3?

?

? ? 3? ?

?
2

C、2k? ? x ? 2k? ?

?
2

D、k? ? x ? k? ? ?

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7、在[ ?? , ? ] 上是增函数,又是奇函数的是( )

A、 y ? sin

x 2

B、 y ? cos

1 x 2
.

C、 y ? ? sin

x 4

D、 y ? sin 2 x

8、已知函数 y ?

? sin

x ,其定义域是 3

9、已知函数 y ? 1 ? cos x ,则其单调增区间是

;单调减区间是



10、若 f ( x) ? ? sin 2 x ? a cos x ? 1 的最小值为-6,求 a 的值. 11、 求下列函数的单调增区间: (1) y ? 2 sin(

?
4

? 2 x) ;

(2) y ? cos2 x

? (0, 12、已知?、?、
13、求函数 y ? sin ?

?

)且 cosa 〉 sin? ,试比较? ? ? 与 的大小 2 2

?

?? ?? ? ? ? 4 x ? ? cos ? 4 x ? ? 的周期、单调区间和最值. 6? ?3 ? ?

第七课时:正切函数的性质
一、课本知识梳理及理解
1.作正切曲线简图的方法: “三点两线”法,即 (0,0), ( ? 性左右两边扩展. 2.正切函数的定义域是{x | x ? k? ?

?

,?1), ( ,1) 和直线 x ? ? 及 x ? ,然后根据周期 4 4 2 2
?
2 , k? ?

?

?

?

?
2

, k ? z} ,所以它的递增区间为(k? ?

?
2

), k ? z

二、典型例题精讲精练
例 1.求 y ? tan( 2 x ?

?
4

) 的定义域及周期

练 1.(1)求 y ?

1 tan( 2 x ?

?
4

的定义域

)
).

(2)、函数 y ? tan( ax ? )( a ?0) 的周期为(

?

6

A.

2? a

B.

2? a

C.

? a

D.

? a

例 2、根据正切函数图象,写出满足下列条件的 x 的范围:

22

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① tan x ? 0 ② tan x ? 0 ③ tan x ? 0 ④ tan x ? 3

| 的定义域与值域,并作图象. 练 2、求函数 y ? tan| x

例 3、求函数 y ? tan(

x ? ? ) 的单调区间。 2 6

三、课堂练习题组
1、 y ? tan x( x ? k? ?

?
2

, k ? Z ) 在定义域上的单调性为(

).

A.在整个定义域上为增函数 B.在整个定义域上为减函数 C.在每一个开区间 (? D.在每一个开区间 (?

?
?
2 2

? k? ,

?
2

? k?)( k ? Z ) 上为增函数 2 ?2 k? )( k ? Z ) 上为增函数

? 2 k?,
).

?

2、下列各式正确的是(

tan(?
A.

13 17 ? ) ? tan(? ? ) 4 5 13 17 ? ) ? tan(? ? ) 4 5

tan(?
B.

13 17 ? ) ? tan(? ? ) 4 5

tan(?
C.

D.大小关系不确定 ).

3、函数 y ? sin x ? tan x 的定义域为(

? ? ? ? x | 2k? ? x ? 2k? ? , k ? ? ? 2 ? A. ?
? ? ? C. ? x | 2k? ? x ? 2k? ? , k ? ? ? ? ?x | x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

? ? ? ? x | 2k? ? x ? 2k? ? , k ? ? ? 2 ? ? B.

? ? ? x | 2 k? ? x ? 2 k ? ? 2 且 x ? 2k? ? ? , k ? Z D. ?

?

( ? 为常数,且? ? 0) 相交的两相邻点间的距离为( ). 4、直线 y ? a (a 为常数)与正切曲线 y ? tan ? x
A.? B.

2? ?

C.

? ?

D.与 a 值有关

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5、函数 y ? tan 3?x 的最小正周期是( A、 )

1 3

B、

6、函数 y ? tan(

?

2 3

C、

6

?

D、

3

?


4

? x) 的定义域是(

A、{ x | x ? R 且 x ? ?

?
4

}

B、{ x | x ? R 且 x ?
4 ,k ? z}
).

C、{ x | x ? R 且 x ? k? ?

?

3? } 4

D、{ x | x ? R 且 x ? k? ?

3? ,k ? z } 4

7、下列函数不等式中正确的是(

4 3 ? ? tan ? 7 7 13 15 C. tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 7 8
A. tan

2 3 ? ? tan ? 5 5 13 12 D. tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 4 5
B. tan

第八课时:函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质
一、课本知识梳理及理解
1.1. 在同一坐标系中,画出 y ? sin x , y ? sin( x ?

?
4

) , y ? sin( x ?

?
4

) 的简图.

1.2. y ? sin( x ?

?
4

) 与 y ? sin x 的图象有什么关系?

1.3.结论:一般地,函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象可以看做将函数 y ? sin x 的图象上所有的点向左(当? ? 0 )或向右 (当? ? 0 )平移 ? 个单位长度而得到的. 2.1. y ? 3 sin x, y ?

1 sin x 与 y ? sin x 的图象有什么关系? 3

2. 2.结论: 一般地,函数 y ? A sin x( A ? 0, A ? 1) 的图象可以看做将函数 y ? sin x 的图象上所有的点的纵坐标 变为原来的 A 倍(横坐标不变) 而得到的. 3.1. y ? sin 2 x, y ? sin

1 x 与 y ? sin x 的图象有什么关系? 2

3.3.结论: 一般地,函数 y ? sin ?x(? ? 0, ? ? 1) 的图象可以看做将函数 y ? sin x 的图象上所有的点的横坐 标变为原来的

1

?

倍(纵坐标不变) 而得到的.

二、典型例题精讲精练
例 1.1.求函数 y ? sin( 2 x ?

?
6

) 的振幅,周期,频率,相位,初相,用五点法作出该函数的图象

24

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?
4

例 1.2 叙述 y ? sin x 到 y ? 2 sin( x ?

) 的变化过程.

例 1.3.叙述 y ? sin x 到 y ?

1 sin 2 x 的变化过程. 2

练 1. ① y ? sin( x ?

?
3

) 向_______平移_______个单位得到 y ? sin x

② y ? sin( x ?

?
3

) 向_______平移_______个单位得到 y ? sin( x ?

?
3

)

③ y ? f ( x) 向右平移

?
2

个单位得到 y ? sin( x ?

?
4

) ,求 f ( x)

例 2.用多种方法作函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) 的图象

练 2. (1)将函数 y ? cos x 的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的 3 倍,再将所得图象向左平移

?
3

个单位得到

y ? f ( x) 的图象,则 f ( x) ? __________ _ .
(2)把函数 y ? cos( 3 x ?

?
3

) 的图象向_____平移_______个单位可得到 y ? sin( ?3x) 的图象

例 3.已知函数 y ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0, 0 ? ? ? 2? ) 图象的一个最高点(2,3)与这个最高点相邻的最 低点为(8,-3) ,求该函数的解析式.

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练 3.若函数 y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0, 0 ? ? ? 2? ) 的最小值为-2,周期为 ,求此函数的表达式。 ? 2)

2? ,且它的图象过点(0, 3

三、课堂练习题组

A组
1.若将某正弦函数的图象向右平移 ( ).

? ?? ? 以后, 所得到的图象的函数式是 y ? sin ? x ? ? ,则原来的函数表达式为 2 4? ?

A. y ? sin(x ?

3? ) 4

B. y ? sin(x ?

?
2

)

C. y ? sin(x ?

?
4

)

D. y ? sin(x ? )-

?

?
4

4

2.已知函数 y ? Asin(?x ? ? ) 在同一周期内, 当x ? 解析式为( ).

?
12

时,y 最大=2, 当 x=

7? 时, y 最小=-2, 那么函数的 12
D. y ? 2sin( 2x ?

A. y ? 2sin( 2 x ?

?
3

)

B. y ? 2sin( 2x -

?
6

)

C. y ? 2sin( 2 x ?

?
6

)

?
3

)

3. 已知函数 y ? f(x),将f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把所得的图 形沿着 x 轴向左平移 为( ).

1 ? 个单位,这样得到的曲线与 y ? sinx 的图象相同,那么已知函数 y ? f(x)的解析式 2 2
f(x) ?
B.

f(x) ?
A.

1 x ? sin( - ) 2 2 2

1 ? sin( 2x ? ) 2 2

f(x) ?
C.

1 x ? sin( ? ) 2 2 2

f(x) ?
D.

1 ? sin( 2 x - ) 2 2

4.函数 y ? 3sin( 2 x ? A.向右平移

?
3

) 的图象,可由函数 y ? sinx 的图象经过下述__变换而得到( ).

? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 2 3 ? 1 B.向左平移 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 2 3

26

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? 1 个单位,横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标缩小到原来的 3 6 ? 1 1 D.向左平移 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标缩小到原来的 2 3 6
C. 向右平移
5、把函数 f ( x ) ?

1 sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍,而横坐标不变,可得 g ( x) 的图象,则 3


g ( x) ?



1 sin x A. 9

1 x sin 3 B. 3

1 sin 3 x C. 3

D. sin x

6、将函数 y ? 2 sin 的解析式为 ( A、 y ? 4 sin

x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到新的函数图象,那么新函数 2
B、 y ? sin



x 2

7.把 y=sinx 的图象上各点向右平移 所得的图象的解析式是( ). A. y ? 4 sin ?

? 个单位,再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的 4 倍,则 3
? ?

x 2

C、 y ? 2 sin

x 4

D、 y ? sin 2 x

?? ?1 x? ? 3? ?2

B. y ? 4 sin ? 2 x ?

??
? 3?

C. y ? 4 sin ?

?? ?? ?1 ? x ? ? D. y ? 4 sin? 2 x ? ? 3? 3? ? ?2
7? 时取得最小值-2, 12

8.已知函数 y ? ?sin(?x+?) ,在一个周期内,当 x ? 那么( A. y ? ).

?
12

时,取得最大值 2,当 x ?

1 ? ?? sin ? x ? ? 2 ? 3?

B. y ? 2 sin? 2 x ?

? ?

??
? 3?

C. y ? 2 sin? 2 x ?

? ?

??
? 6?

D. y ? 2 sin ?

?x ?? ? ? ?2 6?

9. 将函数 y ? sin(?x) 的图象向右平移

y ? cos(?2x) 的图象向左平移
10、将函数 y ? 是 11、函数 y ?

? 个单位,所得到的函数图象的解析是________________. 6

? 个单位,所得到的函数图象的解析式是___________;将函数 3

3 4 1 sin x 的图象上所以点的纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,那么新图象对应的函数值域 4 3 2
,周期是 . ,值域是 ,周期 ,振幅 ,

1 ? sin( 3 x ? ) 的定义域是 5 3

频率 ,初相 . 12、用“五点法”列表作出下列函数的图象: (1) y ? cos( 2 x ?

?

2 ? ) ; (2) y ? 2 cos( x ? ) 分析它们与 y ? cos x 的关系. 4 3 3

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13、函数 y ? sinx 的图象可由 y ? cos( 2 x -

?
6

) 的图象经过怎样的变化而得到?

B组
1.函数 y ? 3sin( 2 x ? ( ).

?
3

) 的图象可看作是函数 y ? 3sin 2x 的图象,经过如下平移得到的,其中正确的是

A.向右平移

?
3

个单位

B.向左平移

? 个单位 3

C.向右平移

? 个单位 6

D.向左平移

? 个单位 6

2.函数 y ? sin( 2 x ?

5? ) 的图象的对称轴方程为____________________. 2

2 )和( 3.已知函数 y ? Asin( ?x ? ? ) (A>0,? >0,0< ? ? ? )的两个邻近的最值点为( ,
则这个函数的解析式为_________. 4.函数 f(x) ? 3sin(2x ? 5Q) 的图象关于 y 轴对称,则 Q 的最小值为________________.

? 6

2? , ?2) , 3

5、把函数 y ? sin x 的图象向下平移 1 个单位,再把所得图象上点的纵坐标扩大到原来的 3 倍,然后再把所得图象 上点的横坐标扩大到原来的 3 倍,最后再把所得的图象向左平移 ( )

? 个单位,则所得图象对应的函数是 3

x ? x ? ? ? ? ) ? 1 B. y ? 3 sin( ? ) ? 3 C. y ? 3 sin(3x ? ) ? 1 D. y ? 3 sin(3 x ? ) ? 3 3 9 3 9 3 9 1 1 ? 6、要得到 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? sin( x ? ) 的图象 ( ) 2 2 3
A. y ? 3 sin( A、向左平移
? 3

B、向右平移

? 3

C、向左平移

2? 3

D、向右平移

2? 3

7、函数 S ? A sin(?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 表示一个振动量,其中振幅是 数为 。初相 。

1 3 ? ,频率是 ,初相是 ,则这个函 2 2? 6

28

贾老师高中数学同步辅导班精讲精练教材——必修四
8、已知函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象最高点为 ?

?? ? ,3 ? ,由此最高点到相邻最低点的,图象与 x 轴 ?3 ?

的交点为 ?

?? ? ,0 ? .求此函数的一个表达式. ?2 ?
? 在同一周期内,当 x ? 5? 时,y 有最大值为 7 ;当 x ? 11? , ).
2

9、设函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b( A ? 0, | ? |?

3

3

3

2 y 有最小值 ? 。求此函数解析式. 3
10、函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 又图象过点(0,1) ,求这个函数的解析式.

?
2

) 的最小值为-2,其图象相邻的最高点和最低点横坐标差是3? ,

第二节

三角恒等变换

第九课时:两角和与差的正余弦公式
一、课本知识梳理及理解
Cos(α +β )= Cos(α -β )= sin(α +β )= sin(α -β )= tan(α +β )= tan(α -β )= sin2α = tan2α = cos2α =

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b 2 (sinα cosφ +cosα sinφ )=

a 2 ? b 2 sin(α +φ ),其中 tanφ = 。

b a

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二、典型例题精讲精练
例 1、利用差角余弦公式求 cos15 的值
0

练 1、已知 sin ? ?

15 ?? ? ,θ 是第二象限角,求 cos?? ? ? 的值。 17 3? ?

例 2、已知 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,求 sin ?

3 5

?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ,cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的值. 4? ?4 ? ?4 ? ?

练 2、利用和(差)角公式计算下列各式的值:

n 7 2 iso s c 4 2 o s c 7 2 n 4 i 2 s (1) 、

?

s c 2 0o s c 7 0n 2 i 0 s n 7 0 is ; (2) 、o

?

; (3) 、

1? n a 1 5 t 1? n a 1 5 t



例 3、化简 2cos x ? 6sin x

n is ? ? o c s ??_ _ _ _ _ (1) : 练 3、

;

(2) : sin ? ? cos? ? __________ _. (3) : 3 cos x ? sin x =____________ 例 4、已知 sin2 ? ?

5 ? ? , ? ? ? , 求sin 4? ,cos 4? , tan 4? 的值. 13 4 2

30

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练 4、 ①已知 tan2 ? ? , 求 tan ? 的值. ②已知 tan ? ?

1 3

1 1 , tan ? ? , 求 tan( ? ? 2? )的值 7 3

三、课堂练习题组
1、 sin 7? cos37? ? sin 83? sin 37?的值为 (
A. ?

)

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

1 ? tan2 75? 2、 的值为 ( tan75?
A. 2 3 B.

)

2 3 3

C. ? 2 3

D. ?

2 3 3

3、 若sin 2x sin 3x ? cos2x cos3x, 则x的值是 (
A.

)

?
10

B.

? 6

C.

? 5

D.

? 4

1 ?? ? 3? ? ? 4、 若 cos? ? ,? ? ? ,2? ?, 则 sin?? ? ? ? ________ . 5 3? ? 2 ? ?

3 ? tan15? 5、 ? _________ . 1 ? 3 tan15?
6. 已知 tan ?? ? ? ? ?

2 ?? 1 ?? ? ? , tan ? ? ? ? ? , 求 tan ? ? ? ? 的值. 5 4? 4 4? ? ?

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7、若 tan ? = 3,求 sin2? ? cos2? 的值。

8、已知 sin ? ?

5 ? , ? ? ( , ?) ,求 sin2?,cos2?,tan2?的值。 13 2

9、已知 sin(

?
4

? ? ) sin(

?
4

??) ?

1 ? , ? ? ( , ? ), 求 sin 4? 的值。 6 2

10、已知 tan( ? ?

?
2

)?

1 ? 1 , tan( ? ? ) ? ? ,求 tan(? ? ? ) 的值。 2 2 3

第十课时:简单的三角恒等变换
一、课本知识梳理及理解
例 1.已知 sin ? ?

5 ? ,且? 在第二象限,求 tan 的值。 13 2

例 2:已知0 ? ? ?

?

5? 4 sin 2 ? ? sin 2? , sin ? ? . (1)求 的值 ; (2)求 tan( ? ? )的值 . 2 2 5 4 cos ? ? cos2?

例 3. 如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为

?
3

的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=

?,求当角 ? 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.

Q D O A C

?

B

P

三、课堂练习题组

32

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1 1.已知 cos(α+β)cos(α-β)= ,则 cos2α-sin2β 的值为( ) 3
A.-

C 2.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 2 ,则△ABC 是
A.等边三角形 3.sinα+sinβ= A.- B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形

2 3

B.-

1 3

C.

1 3

D.

2 3

2π 3

3 (cosβ-cosα) ,且 α∈(0,π) ,β∈(0,π) ,则 α-β 等于( ) 3 2π π π B.- C. D. 3 3 3

4.已知 α-β=

2π 1 ,且 cosα+cosβ= ,则 cos(α+β)等于_________. 3 3

5. 求

tan20o ? tan40o ? tan120o 的 值. tan20o ? tan40o

5 sin x 1 2 ,x∈(0,π) 6.已知 f(x)=- + . (1)将 f(x)表示成 cosx 的多项式; (2)求 f(x)的最小值. 2 2 sin x 2

7、已知 cosa+cosβ =

1 1 ,sina+sinβ = ,求 cos(a-β )的值。 2 3

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7? sin 2 x ? 2 sin 2 x ?? ? 3 17? ?x? 8.已知 cos ? ? x ? ? , ,求 的值。 4 1 ? tan x ?4 ? 5 12

第三节

平面向量

第十一课时:平面向量的基本概念
一、课本知识梳理及理解
1.1.向量的概念:数学中,我们把这种既有 ,又有 的量叫做向量. 1.1.1.向量的模: 1.2.向量有几种表示方法? 1.2.1.人们常用 来表示向量, 线段按一定比例画出, 它的长短表示向量的大小, 箭头的指向表示向量的方向. 1.2.2.以 A 为起点,B 为终点的有向线段记作 要素: 1.2.3.有向线段也可用字母如 a , , 表示. 1.3.几个特殊的向量 1.3.1.零向量:长度为 的向量; 1.3.2.单位向量:长度等于 的向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 1.4.平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量. 若向量 a , b 平行,记作: a // b . 因为任一组平行向量 都可以移动到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线向量 1.5.如何理解零向量的方向? 1.6.相等向量:长度相等且 1.7.相反向量: 的向量叫做相等向量,用有向线段表示的向量 a 与 b 相等,记作: a ? b . ,线段 AB 的长度称为模,记作 AB .有向线段包含三个

2.1.向量加法的三角形法则 (首尾相接, 首尾连) : 已知非零向量a,b , 在平面内任取一点 A, 作 AB ? 则向量__________叫做a 与b 的和, 记作___________, 即a ? 三角形法则。 O b a b a A b

a,BC ? b ,

b =_______=________。这个法则就叫做向量求和的

34

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2.2.向量加法的平行四边形法则:以同起点 O 两个向量a ,b (OA ? a ,OB ? b )为邻边作四边形 OACB,则以 O 为起点对角线___________,就是a 与b 的和。这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。 2.3.对于零向量与任一向量a ,我们规定a +o =___________=_______. 2.4.向量加法的运算法则: 交换律是:_____________; 结合律是:_____________。 3.1.相反向量: 与a 的向量, 叫做 a 的相反向量, 记作 ? a .零向量的相反向量仍是 , b? ,a ? b ? . 那么a =b 是互为相反的向量, .如果 a 、

?

b 是互为相反的向量,那么 a ?

3.2.向量的减法: 我们定义, 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量, 即a ? ____________,b =____________, a ?

b =____________。

a,OB ? b ,则__________= a ? b ,即a ? b 可以表示为从 向量_______的终点指向向量______的终点的向量,如果从向量 a 的终点到b 的终点作向量,那么所得向量是
3.3.已知 a ,b ,在平面内任取一点 O,作OA ? ________。这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则,可以归纳为“起点相接,连接两向 量的终点,箭头指向被减数”. 4.1.一般地, 我们规定___________________是一个向量, 这种运算称做向量的数乘记作 ? a , 它的长度与方向规定 如下: (1)| ? a | =___________________________________; (2)当____时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当__时, ? a 的方向与 a 方向相反,当____时, ? a = O 。 4.2.向量数乘运算律,设 ? , ? 为实数。 (1) ? (? a) ? _______; (2) (? ? ? )a ? _________; (3) ? (a ? b) ? _________; (4) (?? )a ? ________=___________; (5) ? (a ? b) ? ______________; (6)对于任意向量 a , b ,任意实数 ?、?1、?2 恒有 ? =_______________。 (?1 a+?2 b ) 4.3.两个向量共线(平行)的充要条件:向量 b 与非零向量 a 平行的充要条件是有且仅有一个实数 λ ,使
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得 。

对此定理的证明,是两层来说明的: 其一,若存在实数 λ ,使 b = λ a ,则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知 λb 与 a 平行,即 b 与 a 平行. 其二,若 b 与 a 平行,且不妨令 a ? 0 ,设

|b| .接下来看 a 、b 方向如何:①a 、b = μ (这是实数概念) |a|

同向,则 b = μ a ,② 若 a 、 b 反向,则记 b = - μa ,总而言之,存在实数 λ ( λ = μ 或 λ = - μ )使 b = λ a .

二、典型例题精讲精练
OE , OF 例 1、 如右图, 设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心, (1) 分别写出图中与 OD ,
相等的向量. (2)与 AB 相等的向量有哪些?(3)OA 与 EF 相等吗? OB 与 AF 相等 吗? 例 2.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是( → → A. AB=DC → → → C. AB-AD=BD ⑴ CB ? CE ? BA ; ⑵ OE ? OA ? EA . → → → B. AD+AB=AC → → D. AD+CB= 0 )

例 3.在△ABC 中, O 是重心, D 、 E 、 F 分别是 BC 、 AC 、 AB 的中点,化简下列两式:

例 4、计算: ⑴ ? ?7 ? ? 6a ;

? ? ? ⑶ ? 5a ? 4b ? c ? ? 2 ? 3a ? 2b ? c ? .
⑵ 4 a ? b ? 3 a ? b ? 8a ; 例 5:如图,在 ΔABC 中,已知 M 、 N 分别是 AB 、 AC 的中点,用向量方法证明: MN // BC
A

?

1 2

N M

C B

题 2

例 6、已知两个向量 e1 和 e2 不共线, AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3e1 ? 3e2 ,求证: A 、 B 、 D 三点 共线.

36

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B ? a ,AD ? b , 例 7、 如图, 平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M , 且A 你能用 a 、b 表示 AM 、BM 、 CM 、 DM 吗?

三、课堂练习题组
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由 ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上; ②单位向量都相等; ③任一向量与它的相反向量不相等; ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB = DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0; ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 2.下列说法中错误 的是( ) .. A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为 0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆 4.已知非零向量 a // b ,若非零向量 c // a ,则 c 与 b 必定 . .

5.已知 a 、 b 是两非零向量,且 a 与 b 不共线,若非零向量 c 与 a 共线,则 c 与 b 必定 6.化简

MB ? BA ? AC ? ____________

MN ? NP ? PM ? ____________ OA ? OC ? BO ? CO ? ___________ AB ) ? AC ? BA ? _______________

MB ? BA ? AC ? ____________ MN ?C NP ? PMAB ?的中点,则 ____________ AC ? 7 、若 是线段
BC =( OA ? OC ? BO ? CO ? ___________ A、 AB B、 BA C、 O D、0 AB ? AC ? BA ? _______________

8、已知△ABC 中,D 是 BC 的中点,则3AB ? 2BC ? CA =(
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A、 AD B、3AB C、O D、 2AD

9、已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? A.0 B.3 C. 2

a,AC ? c, BC ? b ,则| a ? b ? c |为(



D. 2 2

10、在矩形 ABCD,| AB | ? 4, | BC | ? 2 ,则向量 AB ? A. 2 5 B. 4 5 C.12 D.6

AD ? AC 的长度等于(



→ → → 11、已知|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围? 12、若 E,F,M,N 分别是四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点,求证: → → EF=NM.

1、化简下列各式: ① AB ? AC ? DB ; ② AB ? BC ? AD ? DB . )

2、在平行四边形 ABCD 中, BC ?CD ?AD 等于( A. BA B. BD C. AC D. AB )

3、下列各式中结果为O 的有( ① AB ? A.①②

BC ? CA ②OA ? OC ? BO ? CO
B.①③ C.①③④ ) ③OA ?

③ AB ? D.①②③

AC ? BD ? CD ④ MN ? NQ ? MP ? QP

4、下列四式中可以化简为 AB 的是( ① AC ? A.①④

CB

② AC ? CB B.①② C.②③

OB

④OB ?

OA

D.③④

5、已知 ABCDEF 是一个正六边形,O 是它的中心,其中OA ? A.a ?

a,OB ? b,OC ? c 则EF =(



b

B.b ?

a

C.c ?

b

D.b ? c

BC ? CA 6、化简: AB ?DA ?BD ?

=_______________。 .

7、已知 a 、 b 是非零向量,则 a ? b ? a ? b 时,应满足条件 8、在△ABC 中,向量 BC 可表示为( ① AB ? )

AC

② AC ?

AB

③ BA ?

AC

④ BA ?

CA

A.①②③

B.①③④

C.②③④

D.①②④

9、8(a ? c) ? 7(a ? c) ? c =___________。

(a ? 9b ? 2c) ? (b ? 2c) =________ _。

38

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a ? ? 2a ? b ? a ? = ? ?

?

?



1 ?1 ? (2a) ? 8b ? (4a ? 2b) ? =______ ___。 ? 3 ?2 ?
) C.

10、在 ?ABC 中, E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点,若 AB ? a , AC ? b ,则 EF 等于( A.

1 a?b 2

?

?

B.

1 a ?b 2

?

?

1 b?a 2

?

?

D. ?

1 a?b 2

?

?
.

11、点 C 在线段 AB 上,且 AC ? AB ,则 AC ? ________ CB 。 12、设 e1 , e2 是两个不共线向量,若 b ? e1 ? ? e2 ,与 a ? 2e1 ? e2 共线,则实数 ? 的值为 13、设两非零向量 e1 , e2 不共线,且 k (e 1 ?e 2 )//( e 1 ? ke 2) ,则实数 k 的值为 14. ?ABC 中, AD ? AB , DE // BC ,且与边 AC 相交于点 E , ?ABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 N .设 .

3 5

1 3 AB ? a , AC ? b ,用 a 、 b 分别表示向量 AE ,CB ,DE CE , DN , NA ,

第十二课时:平面向量的基本定理
一、课本知识梳理及理解
1.平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内两个 一对实数 ?1 , ?2, 使 注意: (1) 我们把不共线向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 , e2 的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 2.1.两向量的夹角与垂直: :我们规定: 已知两个非零向量 a, b , 作 OA ? a, OB ? b , 则 的夹角。如果 ?AOB ? ? ,

? ?

的向量, a 是这一平面内的任一向量,那么有且只有

?

。其中,不共线的这两个向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的基底。

? ?

?

?

? ?

?

?

时,表示 a 与 b 反向;当 时,表示 a 与 b 垂直。记作: a ? b . 2.2.在不共线的两个向量中,? ? 90 ,即两向量垂直是一种重要的情形,把一个向量分解为_____________,叫做把 向量正交分解。 3、向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个_______作为基底。对于平面内的 任一个向量, 由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y 使得____________, 这样, 平面内的任一向量a 都 可由__________唯一确定,我们把有序数对________叫做向量的坐标,记作___________此式叫做向量的坐标表示, 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标。 几个特殊向量的坐标表示
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?

?

则? 的取值范围是

?

?

。当

时,表示 a 与 b 同向;当

?

叫做向量 a 与b

?

?

?

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i ? ___________,j ? _________,o ? ___________

4.1.已知: a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 为一实数

a ? b =__________________________ _。a ? b =___________
4.2.若已知 A(x 1,y 1) , B(x 2 ,y 2 ),则 AB =_______________=_____________ 4.3.若 a, b ( b ? 0 )共线,当且仅当存在实数 ? ,使 。

。 ?a =_______________

4.3.1.设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,其中 b ? 0 ,则 a // b 等价于______________________。 5.1.平面向量数量积的定义:已知两个______向量 a与b ,我们把______________叫 a与b 的数量积。 (或________) 记作_________即 a ? b =___________________其中? 是 a与b 的夹角。 __________叫做向量 a在b 方向上的______。 5.2.平面向量数量积的性质:设 a与b 均为非零向量: ① a ? b ? ___________

a ? a =______ a = ___________。 ②当 a与b 同向时, 特别地, a ? b =________ 当 a与b 反向时, a ? b =_______ _, ③ a ? b ? ___________ _
④ cos ? = _______ ____ ⑤. a ? b 的几何意义:_____________ ________。 5.3.向量的数量积满足下列运算律:已知向量 a , bc ,与实数 ? 。 ① a ? b =___________;

? ? ③ ? a+b ? ? c =___________。
② ? a ? b =___________; 5.4.⑴ a ? b

? ?? ⑵ ?a ? b?? ?a ? b? ?
2

; .

6.1.平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a= ?x 1 ,y 1 ,b= ,a? b= ? ? x? ,y 2 2 6.2.平面内两点间的距离公式 (1)设 a=(x,y), 则 a = ________________或 a ________________。 (2)若 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 AB =___________________(平面内两点间的距离公式) 。
2

(坐标形式) 。

40

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6.3.两向量夹角的余弦:设? 是 a 与 b 的夹角,则 cos ? =_________=_______________ 向量垂直的判定:设 a= ?x 1 ,y 1 ,b= , ? x? ,y 2 2

?

则 a ? b ? _________________

二、典型例题精讲精练
CD , E 、 F 分别是 DC 、 AB 的中点,设 AD ? a , AB ? b 。 例 1.已知梯形 ABCD 中, AB // DC ,且 AB ? 2

试用 a, b 为基底表示 DC 、 BC .

例 2.已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限, OA ? 4 3 , ?xOA ? 60 ,求向量 OA 的坐标.

例 3.已知 a ? b ? ? 2, ? 8 ? , a ? b ? ? ?8,16? ,求 a 和 b .

例 4.已知平行四边形 ABCD 的顶点 A? ?1 ,? 2 ? , B ? 3, ?1? , C ? 5,6 ? ,试求: (1)顶点 D 的坐标. (2)若 AC 与 BD 的交点为 O ,试求点 O 的坐标.

例 5.已知△ABC 中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N 是 AB、AC 的中点,D 是 BC 的中点,MN 与 AD 交于点 F,求 → DF.

例 6.已知 a ? ?4,?2?, b ? ? 6, y ? ,且 a // b ,求 y .

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练 6.判断下列向量 a 与 b 是否共线 ① a ? (2,3) b ? (3, 4) ② a ? (2,3) b ? ( , 4)

8 3

例 7.向量 OA ? ?k ,12 ? , OB ? ? 4,5? , OC ? ?10, k ? ,当 k 为何值时, A, B, C 三点共线.

练 7.证明下列各组点共线:

B(?3, ?4)、C (2, ) (1) A(1, 2),、

7 2

Q(1, ?3)、R(8, ) (2) P(9,1) 、

1 2

例 8.设点 P 是线段 P 1P 2 上的一点, P 1, P 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? . ⑴当点 P 是线段 P 1P 2 的中点时,求点 P 的坐标; ⑵当点 P 是线段 P 1P 2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标.

? 例 9.已知 a ? 6 , b ? 8 ,且 a 与 b 的夹角? ? 120 ,求 a ? b .

练 9.1.若 a ? 6 , b ? 8 ,且 a // b ,则 a ? b 是多少?

42

贾老师高中数学同步辅导班精讲精练教材——必修四
练 9.2.若 a ? 6 , b ? 8 ,且 a ? b ,则 a ? b 是多少?

? 练 9.3.若 a ? 6 , b ? 8 ,且 a 与 b 的夹角? ? 60 ,求 a ? 2b ? a ? 3b 。

?

??

?

练 9.4.若 a ? 6 , b ? 4 ,且 a ? 2b ? a ? 3b ? ?72 ,求 a 与 b 的夹角。

?

??

?

例 10.已知 A?2,1?, B?3,2?, C ?? 1,4?,

(1)试判断 ?ABC 的形状,并给出证明.
(2)若 ABDC 是矩形,求 D 点的坐标。

例 11.已知 a ? 1, 3 , b ?

? ? ? 3,1?,求 a 与b 的夹角? .

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