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反函数


2.2.2
第三课时

对数函数及其性质
反函数

问题情境

设某物体以3m/s的速度作匀 速直线运动,分别以位移s和 时间t为自变量,得到哪两个 函数?它们相同吗?

知识探究(一):反函数的概念

我们把具有上述特征的两个函数 互称为反函数。

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x 试求函数y=a (a>0,且a≠1)

和函数y=2x+1 的反函数。

想一想

是不是所有的函数都有反函数? 试举例说明。

自主探究
x 试比较指数函数y=a

(a>1) 与 对数函数y=logax(a>1) 的图象 和性质。

y=ax

(a>1)

y=logax(a>1)
y 0 1 x

图 象
定义域

y 1
0 x

R

(0, ??)
R
当 x >1 时 y >0 ; 当0<x<1时y<0; 当x=1时y=0; 在R上是增函数.

值 域 性 质

(0, ??)
当 x >0 时 y >1 ; 当 x <0 时 0 <y <1 ; 当x=0时y=1; 在R上是增函数.

总结归纳

一般地,原函数与反函数的定义 域、值域有什么关系?函数图象 之间有什么关系?单调性有什么 关系?

学以至用

例1 求下列函数的反函数:

(1)y=3x-1 ;
(2)y= x +1 (x≥0); (3) y ? 3
x ?1

?2 ;

x

(4)y ? log 1 ( x ? 4).
2

已知函数 f ( x) ? log 2 (1 ? 2 ) . (1)求函数f(x)的定义域和值域; (2)求证函数y=f(x)的图象关于 直线y=x对称.
例2
x

例3 若点P(1,2)同时在函数y= ax ? b 及其反函数的图象上,求a、b 的值.

作业: P75 习题2.2B组:1,4,5.


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