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基本初等函数测试题及答案


基本初等函数测试题
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.有下列各式:
4 6 3 n ① an=a; ②若 a∈R,则(a2-a+1)0=1;③ 3 x4 ? y3 ? x 3 ? y ; ④ ?-2?2= -2.

其中正确的个数是( A.0 B.1

) C.2 ) D.3

2.函数 y=a|x|(a>1)的图象是(

3.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( A.y=3
-x

)

B.y=-2x

1 C.y=log0.1x D.y=x 2 ) 1 - D.20.1<log2 <2 1 5 )

1 - 4.三个数 log2 ,20.1,2 1 的大小关系是( 5

1 1 - 1 - - A.log2 <20.1<2 1 B.log2 <2 1<20.1 C.20.1<2 1<log2 5 5 5

5.已知集合 A={y|y=2x,x<0},B={y|y=log2x},则 A∩B=( A.{y|y>0} B.{y|y>1} C.{y|0<y<1} D. ?

6.设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P-Q={x|x∈P 且 x?Q},如果 P={x|log2x<1},Q ={x|1<x<3},那么 P-Q 等于( )

A.{x|0<x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3} 1 7.已知 0<a<1,x=loga 2+loga 3,y= loga5,z=loga 21-loga 3,则( 2 A.x>y>z B.x>y>x C.y>x>z D.z>x>y 8.函数 y=2x-x2 的图象大致是( ) )

9.已知四个函数①y=f1(x);②y=f2(x);③y=f3(x);④y=f4(x)的图象如下图:

-1-

则下列不等式中可能成立的是( A.f1(x1+x2)=f1(x1)+f1(x2) C.f3(x1+x2)=f3(x1)+f3(x2)
1

) B.f2(x1+x2)=f2(x1)+f2(x2) D.f4(x1+x2)=f4(x1)+f4(x2) )

- 10.设函数 f1 ( x ) ? x 2 ,f2(x)=x 1,f3(x)=x2,则 f1(f2(f3(2010)))等于(

1 1 A.2010 B.20102 C. D. 2010 2012 11.函数 f(x)= 1 A.?-∞,-3? ? ? 1 C.?-3,1? ? ?


3x2 +lg(3x+1)的定义域是( 1-x

)

1 1 B.?-3,3? ? ? 1 D.?-3,+∞? ? ? 则 f[f(2)]的值为( )

? x 1 ?2e , x<2, 12.(2010· 石家庄期末测试)设 f(x)=? 2 ? ?log3?x -1?, x≥2.

A.0 B.1

C.2 D.3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.给出下列四个命题: (1)奇函数的图象一定经过原点;(2)偶函数的图象一定经过原点;
1

(3)函数 y=lnex 是奇函数;(4)函数 y ? x 3 的图象关于原点成中心对称. 其中正确命题序号为________.(将你认为正确的都填上) 14. 函数 y ? log 1 ( x ? 4) 的定义域是
2

.

15.已知函数 y=loga(x+b)的图象如下图所示,则 a=________,b=________.

16. (2008· 上海高考)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 若当 x∈(0, +∞)时, f(x)=lgx, 则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________.

-2-

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=log2(ax+b),若 f(2)=1,f(3)=2,求 f(5).

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ?2 x 2 . (1)求 f(x)的定义域;(2)证明 f(x)在定义域内是减函数.

1

2x-1 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= x . 2 +1 (1)判断函数的奇偶性;(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

-3-

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? (m2 ? m ? 1) x m 时,f(x)是增函数,求 f(x)的解析式.

2

? m ?3

是幂函数, 且 x∈(0,+∞)

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lg(ax-bx),(a>1>b>0). (1)求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在(1,+∞)上递增且恒取正值,求 a,b 满足的关系式.

1 1 22.(本小题满分 12 分)已知 f(x)=?2x-1+2?· x.

?

?

(1)求函数的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)求证:f(x)>0.

-4-

参考答案
答案速查:1-5 BCDBC 6-10 BCACC 11-12 CC 1.解析:仅有②正确.答案:B
?ax,?x≥0?, ? 2.解析:y=a =? -x 且 a>1,应选 C.答案:C ? ?a ,?x<0?,
|x|

3.答案:D

4.答案:B

5.解析: A={y|y=2x, x<0}={y|0<y<1}, B={y|y=log2x}={y|y∈R}, ∴A∩B={y|0<y<1}. 答案:C 6.解析:P={x|log2x<1}={x|0<x<2},Q={x|1<x<3},∴P-Q={x|0<x≤1},故选 B. 答案:B 1 7.解析:x=loga 2+loga 3=loga 6= loga6, 2 1 z=loga 21-loga 3=loga 7= loga7. 2 1 1 1 ∵0<a<1,∴ loga5> loga6> loga7. 2 2 2 即 y>x>z. 答案:C 8.解析:作出函数 y=2x 与 y=x2 的图象知,它们有 3 个交点,所以 y=2x-x2 的图象与 x 轴有 3 个交点,排除 B、C,又当 x<-1 时,y<0,图象在 x 轴下方,排除 D.故选 A. 答案:A 9.解析:结合图象知,A、B、D 不成立,C 成立.答案:C 10.解析:依题意可得 f3(2010)=20102,f2(f3(2010)) =f2(20102)=(20102) 1=2010 2, 1 - - 1 - ∴f1(f2(f3(2010)))=f1(2010 2)=(2010 2) =2010 1= . 2 2010 答案:C
- -

? ?1-x>0 ? ? 11.解析:由? ?? 1 ? ?3x+1>0 ? ?x>-3
x<1

1 ?- <x<1. 答案: C 3

12.解析:f(2)=log3(22-1)=log33=1,∴f[f(2)]=f(1)=2e0=2. 答案:C 1 - 13.解析:(1)、(2)不正确,可举出反例,如 y= ,y=x 2,它们的图象都不过原点.(3) x 1 中函数 y=lnex=x,显然是奇函数.对于(4),y=x 是奇函数,而奇函数的图象关于原点对 3 称,所以(4)正确. 答案:(3)(4)
-5-

14.

答案:(4,5]

15.解析:由图象过点(-2,0),(0,2)知,loga(-2+b)=0,logab=2,∴-2+b=1,∴b =3,a2=3,由 a>0 知 a= 3.∴a= 3,b=3. 答案: 3 3 16.解析:根据题意画出 f(x)的草图,由图象可知,f(x)>0 的 x 的取值范围是-1<x<0 或 x>1.

答案:(-1,0)∪(1,+∞)
? ? ? ?log2?2a+b?=1 ?2a+b=2 ?a=2, 17.解: f(2)=1, 由 f(3)=2, ? 得 ?? ?? ∴f(x)=log2(2x ? ? ? ?log2?3a+b?=2 ?3a+b=4 ?b=-2.

-2), ∴f(5)=log28=3. 18.

∵x2>x1≥0,∴x2-x1>0, x2+ x1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x2)<f(x1). 于是 f(x)在定义域内是减函数. 19.解:(1)函数定义域为 R. 2 x-1 1-2x 2x-1 f(-x)= -x = =- x =-f(x), 2 +1 1+2x 2 +1 所以函数为奇函数. (2)证明:不妨设-∞<x1<x2<+∞, ∴2x2>2x1. 又因为 f(x2)-f(x1)= 2x2-1 2x1-1 2?2x2-2x1? - = >0, 2x2+1 2x1+1 ?2x1+1??2x2+1?
-6-

∴f(x2)>f(x1). 所以 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 20.解:∵f(x)是幂函数, ∴m2-m-1=1, ∴m=-1 或 m=2, ∴f(x)=x
-3

或 f(x)=x3,
-3

而易知 f(x)=x

在(0,+∞)上为减函数,

f(x)=x3 在(0,+∞)上为增函数. ∴f(x)=x3. a 21.解:(1)由 ax-bx>0,得?b?x>1. ? ? a ∵a>1>b>0,∴ >1, b ∴x>0. 即 f(x)的定义域为(0,+∞). (2)∵f(x)在(1,+∞)上递增且恒为正值, ∴f(x)>f(1),只要 f(1)≥0, 即 lg(a-b)≥0,∴a-b≥1. ∴a≥b+1 为所求 22.解:(1)由 2x-1≠0 得 x≠0,∴函数的定义域为{x|x≠0,x∈R}. (2)在定义域内任取 x,则-x 一定在定义域内. 1 1 f(-x)=?2-x-1+2?(-x) ? ? 2x 1 1+2x 2x+1 =?1-2x+2?(-x)=- x= x · x. x · ? ? 2?1-2 ? 2?2 -1? 1 1 2x+1 而 f(x)=?2x-1+2?x= x x, ? ? 2?2 -1?· ∴f(-x)=f(x). ∴f(x)为偶函数. (3)证明:当 x>0 时,2x>1, 1 1 ∴?2x-1+2?· x>0.

?

?

又 f(x)为偶函数, ∴当 x<0 时,f(x)>0. 故当 x∈R 且 x≠0 时,f(x)>0.

-7-


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