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(必修1)复合函数初步


复合函数的单调性
及最值问题

? 函数单调性是函数的核心内容之一,也是 高考中重点考查的知识,函数的单调性又 多以考查复合函数的单调性居多。

复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y=f(u) 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数

则 增函数 增函数 y=f[g(x)]
规律:

当两个函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;
当两个函数的单调性不相同时,其复合函数是减函数

“同增异减”

例1:y ? log (? x 2 ? 4 x ? 5)
3

(1) 求函数的单调区间; (2)当x ?[0,3]时,求该函数的最大值和最小值.

注意:求单调区间时,一定要先 看定义域.

变式1:y ? log 1 (? x2 ? 4 x ? 5)
3

(1) 求函数的单调区间; (2)当x ?[0,3]时,求该函数的最大值和最小值.

变式2:y ? loga (?x2 ? 4x ? 5)
(1) 求函数的单调区间; (2)当x ?[0,3]时,求该函数的最大值和最小值.

例2:求函数y ? ? x ? 4 x ? 5的单调区间。
2

?1? 变式1:求函数y ? ? ? ?2?

? x2 ? 4 x ?5

的单调区间。

变式2:求函数y ? a

? x 2 ? 4 x ?5

的单调区间。

思考:函数y ? loga (2 ? ax)在 ? 1? x的减函数, ? 0,上是 ? 求a的范围.

练习:
1:求函数y ? ? x2 ? 5x ? 6的单调区间。

2:求函数y ? 3

x2 ? x?6

的单调区间。

3:求函数y ? log 2 ? ? x 2 ? x ? 6 ?的单调区间。
4:已知函数y ? log 2 ? x 2 ? ax ? a ? 在区间(-?,1- 3) 内的单调递增,求实数a的取值范围。

?复合函数的单调性小结
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断:
(1) 将复合函数分解成两个简单函数:y=f(u)与u=g(x)。 其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;

(2) 确定函数的定义域;
(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性; (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增 函数,或都是减函数),则复合后的函数y=f[g(x)]为增函 数; (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个 是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数 y=f[g(x)]为减函数。 复合函数的单调性可概括为一句话:“同增异减”。


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