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用二分法求方程的近似解


3.1.2.用二分法求方程的近似解

学习目标

1、理解求方程近似解的二分法的基本思想,能够借助科学计
算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解.

2、体验求方程近似解的二分法的探究过程,感受方程与函数
之间的联系,初步认识算法化的形式表达.

2015/9/19<

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研修班

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学习导图

解方程: ln x ? 2 x ? 6 ? 0

6 探究函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 零点的近似解
归纳求函数零点的一般步骤 求方程
2 x ? 3 x ? 7的近似解

巩固练习

作 业
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六、求函数f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6的零点个数
解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(表3-1) 和图象(图3.1—3)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

由表3-1和图3.1—3可知 y f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)· f(3)<0,14 12 10 说明
函数在区间(2,3)内有零点 由于函数f(x)在定义域 (0,+∞)内是增函数,所以 它仅有一个零点。
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8 6 4 2 0 -2 -4 1 2

. .3 ..
4

.

.

.

.
5 6 7 8 9 10

x

.
4

-6

研修班

学习过程

一、解方程:ln x ? 2 x ? 6 ? 0
如何找出在区间 (2,3) 内的这个零点?

问题

1.对于简单方程,可以通过变形、换元或套用公式求解. 2.实际问题中,一般只需要求出符合一定精确度的近似解. 3.将求方程近似解的问题转化为求相应函数零点的近似值问题.

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问题

方程近似解(或函数零点的近似值)的精确 度与函数零点所在范围的大小有何关系?

1.若知道零点在(2.50,2.53)内,我们就可以得到方程的一 个精确到0.1的近似解2.50; 2.若知道零点在(2.515,2.516)内,我们就可以得到方程的 一个更为精确近似解,等等... 求方程近似解的问题 (或函数零点的近似值) 不断缩小零点所在范 围(或区间)的问题

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问题

如何缩小零点所在的范围,得到一个越来 越小的区间,以使零点仍在此区间内?

从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现在某接点 发生故障,需及时修理,为了尽快断定故障发生点,一般 至少需要检查接点的个数为 个.
上海A B C D E F G H I J K L M N O旧金山

为了缩小零点所在的范围,一般可以先将区间分为两个子区 间,如果分点不是零点,则零点必在两个中的一个内,从而 达到缩小零点所在区间的目的.
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问题

将一个区间分为两个区间,该找怎样的分点?

取中点
a?b 对于一个已知的零点所在区间(a,b),取中点 , 2 a?b 计算 f ( 2 ),根据零点所在范围的判断方法,如果这 个函数值为0,那么中点就是函数的零点;如果不为0, 通过比较中点与两个端点函数值的正负,即可判知零点 a?b a?b ) 内,还是在( 是在 (a, , b ) 内,从而将零点所在 2 2 范围缩小了一半.

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问题

解方程 : ? ?ln x ? 2 x ? 6 ? 0
找函数?f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6的零点
(2,3)

逐渐缩小函数f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6的零点所在范围

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(a,b) 中点x1 f(a) f(x1 ) (2 , 3) 2.5 负 -0.084 (2.5,3) 2.75 负 0.512 (2.5,2.75) 2.625 负 0.215 (2.5,2.625) 2.5625 负 0.066 (2.5,2.5625) 2.53125 负 -0.009 (2.53125,2.5625) 2.546875 负 0.029 (2.53125,2.546875) 2.5390625 负 0.010 (2.53125,2.5390625) 2.5351562 负 0.001 5 | 2.5390625 -2.53125|=0.0078125<0 .01
精确度已达到0.01
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f(b) 正 正 正 正 正 正 正 正

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结论 1.通过这样的方法,我们可以得到任意精确度的零点近似值. 2.给定一个精确度,即要求误差不超过某个数如0.01时,可 以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤, 而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点,与零点的误 差都不超过给定的精确度,即都可以作为零点的近似值. 3.本题中,如在精确度为0.01的要求下,我们可以将区间 (2.53125,2.5390625)内的任意点及端点作为此函数在区间(2, 3)内的零点近似值. 4.若再将近似值保留两位小数,那么2.53,2.54都可以作 为在精确度为0.01的要求下的函数在(2,3)内的零点的近似 值.一般地,为便于计算机操作,常取区间端点作为零点的 近似值,即2.53125
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象这种运用缩小零点所在范围的方法在数学和计算机科学上被 称为二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 f (a ) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x ) 通过不断地把函数 f ( x )的零点所在的区间一分为二,使区间 的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二 分法. 二分法的实质就是将函数零点所在的区间不断地一分为二, 使新得到的区间不断变小,两个端点逐步逼近零点.

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概括利用二分法求函数 f ( x )零点的近似值的步骤 1.确定区间[a,b],验证 f (a ) ? f (b) ? 0 ,给定精确度 ?

2.求区间(a,b)的中点c
3.计算f(c) (1)若f(c)=0,则c 就是函数的零点 (2)若 f (a ) ? f (b) ? 0 ,则令b=0(此零点 x0 ? ( a , c ) ) (3)若 f (c ) ? f (b) ? 0 ,则令a=0(此时零点 x0 ? ( c , b )) 4.判断是否达到精确度 ? :即若 a ? b ? ? ,则得到零点近似值

a(或b);否则重复步骤2-4.

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求方程 2 x ? 3 x ? 7 的近似解(精确到0.1)
解 令f ( x ) ? 2 x ? 3 x ? 7, 零点为x0 , 精确度为? 易知:f(1)<0,f(2)>0 取x=1.5,计算f(1.5)≈0.33>0 ? x0 ? (1,1.5) 取x=1.25,计算f(1.25)≈-0.87<0 ? x0 ? (1.25, ? 1.5) 取x=1.375,计算f(1.375)≈-0.28<0 ? x0 ? (1.375, ? 1.5) 取x=1.4375,计算f(1.4375)≈0.02>0 ? x0 ? (1.375, ? 1.4375) 此时 ? ?| 1.4375 ? 1.375 |? 0.0625 ? 0.1 ∴ 原方程的近似解取为1.4375
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P102)习题A组第4题
借助计算器或计算机,用二分法求方程 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? 1 在区间(-1,0)内的近似解(精确度0.1) 解 令f ( x ) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? 1, 零点为x0 , 精确度为? 易知:f(-1)<0,f(0)>0 取x=-0.5,计算f(-0.5)≈3.375>0 ? x0 ? ( ?1,?0.5) ? 0.75) 取x=-0.75,计算f(-0.75)≈1.58>0 ? x0 ? ( ?1, ? ? 0.875) 取x=-0.875,计算f(-0.875)≈0.39>0 ? x0 ? ( ?1, ? 取x=-0.9375,计算f(-0.9375)≈-0.28<0 ? x0 ? ( ?0.9375,?0.875) 此时 ? ?| ( ?0.9375) ? ( ?0.875) |? 0.0625 ? 0.1 ∴ 原方程的近似解取为-0.9375
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