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【金版学案】2015-2016高中数学 3.2.2直线的两点式方程课件 新人教A版必修2


3.2.2 直线的两点式方程

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1.掌握直线一般式方程的形式及几何意义. 2.掌握直线方程的两点式、截距式以及它们之间 的联系和转化,并能根据条件熟练地求出满足已 知条件的直线方程.

典 例 精 析

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题型一

求直

线的两点式方程

例 1 三角形的顶点 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求这个三 角形三边所在直线的方程. 解析:利用两点式求解,但要注意隐含条件. ∵直线 AB 过点 A(-5,0),B(3,-3), y- 0 x-(-5) ∴由两点式得 = . -3-0 3-(-5) 化简整理得 3x+8y+15=0,这就是直线 AB 的方程. 同理可得直线 BC 的方程 5x+3y-6=0,直线 AC 的方程为 2x-5y +10=0.
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点评:(1)已知不垂直两轴的直线上的两点,便 可以利用直线的两点式方程求其方程,也可以先 求斜率,再用点斜式求其方程.
(2)当直线斜率不存在或斜率为0时,都不能用两 点式来求它的方程(易错点). (3)两点式方程完全可以不记,可转化为两点定 斜率、点斜式写方程;当斜率不存在时,直线方 程为x=x1.
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?跟踪训练 1.△ABC 的顶点坐标分别是 A(-3,0),B(9,5),C(3,9), 求△ABC 的中线 AD 所在直线的方程. 解析:线段 BC 的中点 D 的坐标是(6,7),由两点式方程得直线 y- 0 x+3 AD 的方程 = , 7-0 6+3 即 7x-9y+21=0.
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题型二

求直线的截距式方程

例 2 直线 l 过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12, 求直线 l 的方程. 解析:由于直线在两坐标轴上的截距之和为 12,因此直线 l 在两 轴上的截距都存在且不过原点,故可设为截距式直线方程. x y 设直线 l 的方程为 + =1,则 a+b=12.① a b 又直线 l 过点(-3,4), -3 4 ∴ + =1.② a b
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? ?a= 9, ? ?a=-4, 由①②解得? 或? ? ? ?b=3 ?b=16.

x y x y 故所求的直线方程为 + =1 或 + =1, 9 3 -4 16 即 x+3y-9=0 或 4x-y+16=0. 点评:(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截 距式直线方程,用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式直线方程时,首先必须考虑直线能否过原点以及 能否与两坐标轴垂直. x y (3)要注意截距式直线方程的逆向运用, 如由方程 + =1 可知 3 -2 该直线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 3 和-2.
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2.一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形 的面积为 1,求此直线方程. x y 解析:设所求直线方程为 + =1, a b 2 2 ∵点 A(-2,2)在直线上,故有- + =1.① a b 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为 1, 1 ∴ |a||b|=1.② 2
? ?a- b=1, ? ?a- b=-1, 由①,②可得? 或? ? ? ?ab= 2 ?ab=-2. ? ?a= 2, ? ?a=-1, 解得? 或? ? ? ?b=1 ?b=-2.
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x y x y 所求的直线方程为 + =1 或 + =1. 2 1 -1 -2 即 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 为所求. 3.求过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 解析:对于该题,容易产生如下的错误解法: 错解一 由于直线 l 的截距相等,故直线 l 的斜率为 ± 1. 若 k=1,则直线方程为 y+2=x-3,即为 x- y-5=0; 若 k=-1,则直线方程为 y+2=-(x-3),即为 x+ y-1=0. 错解二 由题意直线在两坐标轴上的截距相等, 可设直线的方程 x y 3 -2 为 + =1,由于直线过点(3,-2),则有 + =1,所以 a=1,即 a a a a 所求的直线方程为 x+y-1=0.
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在上述两种错解中,错解一忽视了截距的意义,截距不是距离, 它可正可负, 也可以为 0.当 k=1 时, 直线 x- y-5=0 在两轴上的截 距分别为 5 和-5,它们是不相等的.另外,这种解法还漏掉了直线 在两轴上的截距均为 0 的特殊情形.错解二中,没有注意到截距式方 程的适用范围,同样也产生了漏解. 正解 设直线 l 在两坐标轴上的截距均为 a, (1)若 a=0,则直线 l 过原点,满足题设条件.此时 l 的方程为 2x+3y=0;
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x y (2)若 a≠0,则 l 的方程可设为 + =1. a a 因为 l 过点(3,-2), 3 -2 所以 + =1,即 a=1. a a 所以直线 l 的方程为 x+y=1,即 x+y-1=0. 综上所述:直线 l 的方程为 2x+3y=0,或 x+y-1=0.
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