当前位置:首页 >> 数学 >>

新课标三年高考数学试题分类解析 数列


新课标三年高考数学试题分类解析 数 列
一、选择题 1.(2007·宁夏、海南理 4)已知 ?an ? 是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项和 S10 ? 70 , 则其公差 d ? ( )

2 A. ? 3
答案:D 解析: S10 ?

B. ?

1 3

C.



1 3

D.

2 3

(a1 ? a10 ) ?10 a ?a 2 ? 5(a1 ? 10) ? 70 ? a1 ? 4. ? d ? 10 1 ? . 选 D 2 9 3 2.(2007·宁夏、海南理 7)已知 x ? 0 , y ? 0 , x,a,b,y 成等差数列, x,c,d,y 成

( a ? b) 2 等比数列,则 的最小值是( cd A. 0 B. 1 C. 2
答案:D 解析:? a ? b ? x ? y, cd ? xy, ?

) D. 4

(a ? b)2 ( x ? y)2 (2 xy )2 ? ? ? 4. 选 D。 cd xy xy

3.(2007·广东理 5) 已知数列{ a n }的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 9n ,第 k 项满足5< a k <8,则

k=
A.9 B.8 C.7 D.6 答案:B 解析:a1=S1= -8,而当 n≥2 时,由 an=Sn-Sn-1 求得 an=2n-10,此式对于 n=1 也成立。

15 <k<9,而 k 为自然数。因而只能取 k=8。 2 1 4.(2008 · 广 东 卷 理 2) 记 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 a1 ? , S4 ? 20 , 则 2 ) S6 ? (
要满足 5<ak<8,只须 5<2k-10<8,从而有 A.16 B.24 C.36 D.48 答案:D 解析: S 4 ? 2 ? 6d ? 20 ,? d ? 3 ,故 S 6 ? 3 ? 15d ? 48 5.(2008·广东卷文 4)记等差数列的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 4, S4 ? 20 ,则该数列的公差 ) A、2 B、3 C、6 解析: S4 ? S2 ? S2 ? 4d ? 12 ? d ? 3,选 B.

d ?(

D、7

6. (2008· 海南宁夏理 4 文 8)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 , 前 n 项和为 Sn , 则

S4 ?( a2

)

分析:本题考查等比数列的前 n 项和公式、通项公式的简单应用,是一道容易题,只要熟悉 等比数列的两个基本公式,解答本题困难不大,但也要注意运算的准确性。 A. 2 答案:C B. 4 C.

15 2

D.

17 2

a1 ?1 ? 24 ? 1? 2 a1 ? 2 ? 15 。 2

解析:

S4 ? a2

点评:记错公式,运算马虎,或是试图求出该数列的首项,是本题出错的主因。本题是求一 个比值,因此不不要把数列的首项求出来,从整体上把它约掉即可,这也是解决“比值”类 题目的重要思路之一。 7.(2008· 广东理 2)记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若 a1 ? A.16 答案:D 。 解析: S 4 ? 4a1 ? B.24 C.36 D.48

1 ,S4 ? 20 , 则 S6 ? ( 2

)

4 ? (4 ? 1) ? 2 ? 6d ? 20 , ? d ? 3 ,故 S 6 ? 3 ? 15d ? 48。 2

点评:本小题主要考查等差数列前 n 项和公式。 8.(2009·福建理 3)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于 A.1 答案:C B

5 3

C 2

D 3

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d a1 =4 ? d=2 .故选 C 2 9.(2009·广东理4)已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,? ,且 a5 ? a2 n?5 ? 22n (n ? 3) , 则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ?
解析:∵ S3 ? 6 ? A. n(2n ? 1) 答案:C B. (n ? 1) 2 C. n
2

D. (n ? 1) 2

2 解析: 由 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an ? 2 2n ,an ? 0 ,则 an ? 2n , log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ?

10. (2009· 海南理 7)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n , 且 4 a1 , 2 a2 ,a3 成等差数列。 若 a1 =1, 则 s4 = A.7 B.8 答案:C C.15 D.16

log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.

解析: 2 a2 , a3 成等差数列, ?4a1 ? a3 ? 4a2 ,即4a1 ? a1q2 ? 4a1q, ? q2 ? 4q ? 4 ? 0, ? 4 a1 ,

?q ? 2,S4 ? 15 ,选 C.
11.(2009·辽宁理 6)设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn A. 2 B. ,若

S6 =3 ,则 S3

S9 = S6

7 8 C. D.3 3 3 S6 q 6 ? 1 S9 q9 ? 1 8 ? 1 7 3 3 ? ? 。 答案: B 解析: ? ? q ?1 ? 3 , q ? 2 , ? 6 s6 q ? 1 4 ? 1 3 s3 q3 ? 1
12.( 2009·广东,文 5)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.
2

1 2

B.

2 2

C.

2
2

D.2

答案:B
8

解析:设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q 为正数,所以 q ?

?

4 2

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数列 {an } 的公比

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2

13.(2009·安徽,文 5)已知 为等差数列, ,则 等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 解 析 : ∵ a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同 理 可 得 a4 ? 33 ∴ 公 差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。 答案:B 14.(2009·辽宁,文 3)已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= A.-2 B.-

1 2

C.

1 2

D.2

解析:a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=- 答案:B

1 2

2 15.(2009·宁夏海南,文 8)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0,

S2m?1 ? 38 ,则 m ?
A.38 答案:C B.20 C.10 D.9
.

2 解析: 因为 ?an ? 是等差数列, 所以,am?1 ? am?1 ? 2am , 由 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,得:2 a m

- a m =0,所以, a m =2,又 S2m?1 ? 38 ,即

2

(2m ? 1)(a1 ? a 2 m?1 ) =38,即(2m-1)×2= 2

38,解得 m=10,故选.C。 二、填空题 1.(2008·江苏 10)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 答案:



( n ? 1) n 个数,因此第 n 行 (n ? 3) 从左向右 2 n2 ? n ? 6 (n ? 1)n ? 3 个,即为 的第 3 个数是全体正整数中的第 . 2 2
解析:前 n ? 1 行共用了 1 ? 2 ? 3 ? ?(n ? 1) ? 点评:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式. 2.(2008·海南宁夏卷文 13)已知{an}为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则 a5 = ____________ 答案:15 解析:由于 ?an ? 为等差数列,故 a3 ? a8 ? a5 ? a6 ∴ a5 ? a3 ? a8 ? a6 ? 22 ? 7 ? 15 27. (海南 16)等差数列{ an }前 n 项和为 Sn 。 已知 am?1 + am?1 - a 2 m =0, S2 m?1 =38,则 m=_______ 答案:10 3.(2009·辽宁理 14)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ? 答案:

n ?n?6 2
2

1 3

解析: 6 S5 ? 5S3 ? 5( a4 ? a5 ) ?

5(a1 ? a5 ) ? 5, 2a4 ? 3a5 ? a1 ? 2 , 2

1 2a4 ? 3(a4 ? d ) ? a4 ? 3d ? 2,6a4 ? 2, a4 = 。 3
4.(2009·福建理 15)五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数 为 1,第二位同学首次报出的数也为 1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的 数之和;②若报出的数为 3 的倍数,则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数,当 五位同学依序循环报到第 100 个数时,甲同学拍手的总次数为________. 答案:5 解析:由题意可设第 n 次报数,第 n ? 1 次报数,第 n ? 2 次报数分别为 an , an ?1 , an?2 , 所以有 an ? an?1 ? an?2 ,又 a1 ? 1, a2 ? 1, 由此可得在报到第 100 个数时,甲同学拍手 5 次。 5.(2009·浙江理 11)设等比数列 {an } 的公比 q ?
W

S 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? ___________. a4 2

答案:15 解析:对于 s4 ?

a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)

6.(2009·浙江理 15)观察下列等式: 1 5 C5 ? C5 ? 23 ? 2 ,
1 5 9 C9 ? C9 ? C9 ? 27 ? 23 , 1 5 9 13 C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25 , 1 5 9 13 17 C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? 215 ? 27 ,

?? 由以上等式推测到一个一般的结论: 1 5 9 4 n?1 对于 n∈ N * , C4 n?1 ? C4 n?1 ? C4 n?1 ? …? C4 n?1 ? _________.

w.w.

解析:这是一种需类比推理方法破解的问题,结论由二项构成,第二项前有 ? ? 1? ,二项指
n









24n?1 , 22n?1


n









n? N*



1 5 9 4 n?1 24 n ?1 ? ? ?1? 22 n ?1 C4 n?1 ? C4 n?1 ? C4 n?1 ? ? ? C4 n?1 ?

7.(2009·宁夏海南,文 15)等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an?2 ? an?1 ? 6an ,则 { an }的前 4 项和 S4 = 答案:

15 2
n?1

? q n ? 6q n?1 ,即 q 2 ? q ? 6 ? 0 , q ? 0 ,解得:q 1 (1 ? 2 4 ) 1 15 =2,又 a2 =1,所以, a1 ? , S 4 ? 2 = 。 2 2 1? 2 1 S 8.(2009· 浙江, 文 11)设等比数列 {an } 的公比 q ? , 前 n 项和为 Sn , 则 4 ? . 2 a4 答案: 15 a (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 解析:对于 s4 ? 1 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q) 9.(2009· 浙江, 文 16)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 则 S4 , S16 ? S12 S8 ? S4 , S12 ? S8 , 成等差数列.类比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , , ,
解析:由 an?2 ? an?1 ? 6an 得: q
.

T16 成等比数列. T12 T T 答案: 8 , 12 T4 T8
解析:对于等比数列,通过类比,有等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 ,

T8 T12 T16 , 成 , T4 T8 T12

等比数列. 10.( 2009· 山东, 文 13)在等差数列 {an } 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? __________ __ . 解析::设等差数列 {an } 的公差为 d ,则由已知得 ?

?

a1 ? 2d ? 7

?a1 ? 4d ? a1 ? d ? 6

解得 ?

? a1 ? 3 ,所以 ?d ? 2

a6 ? a1 ? 5d ? 13 .
答案:13. (三)解答题 1.(2007·山东理 17)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3
2 n ?1

an ?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?

n * ,a?N . 3

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an n n ?1 2 n ?1 2 n?2 (n ? 2), 解:(I) a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ...3 an ? , a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ...3 an ?1 ? 3 3 n n ?1 1 1 3n ?1 an ? ? ? (n ? 2). an ? n (n ? 2). 3 3 3 3 1 * 验证 n ? 1 时也满足上式, an ? n (n ? N ). 3 n (II) bn ? n ? 3 , Sn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ...n ? 3n

3Sn ?? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ...n ? 3n?1

?2Sn ? 3 ? 32 ? 33 ? 3n ? n ? 3n?1
3 ? 3n ?1 ?2Sn ? ? n ? 3n ?1 , 1? 3 n 1 3 S n ? ? 3n ?1 ? ? 3n ?1 ? ? 2 4 4
2.(2007·山东理 18) 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 , 且 a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列. (1)求数列 {an } 的等差数列. (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . , 2, ?,

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 解:(1)由已知得 : ? (a ? 3) ? (a ? 4) 1 3 ? 3a2 . ? ? 2 解得 a2 ? 2 .

设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ?

2 ,a3 ? 2q . q

2 ? 2 ? 2q ? 7 , q 即 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 , 1 解得 q1 ? 2,q2 ? . 2 由题意得 q ? 1 , ?q ? 2 . ?a1 ? 1 .
又 S3 ? 7 ,可知 故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 . (2)由于 bn ? ln a3n?1,n ? 1 , 2, ?, 由(1)得 a3n?1 ? 23n

?bn ? ln 23n ? 3n ln 2 又 bn?1 ? bn ? 3ln 2 ?{bn } 是等差数列. ?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn n(b1 ? bn ) n(3ln 2 ? 3n ln 2) 3n( n ? 1) ? ? ? ln 2. 2 2 2 3n(n ? 1) ln 2 . 故 Tn ? 2 3.(2008·海南宁夏卷理 17)已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (1)求 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值。
解:(Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 .

? a1 ? d ? 1 ,解出 a1 ? 3 , d ? ?2 . ? a1 ? 4d ? ?5

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2 所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 .
(Ⅱ) S n ? na1 ? 4.(2008·山东理 19 文 20)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如 下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
??

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,?构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn 为数列{bn}的前 n 项 和,且满足=

2bn 1=(n≥2). bn S N ? S 2 n 1 (Ⅰ)证明数列{ }成等差数列,并求数列{bn}的通项公式; Sn
(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比

为同一个正数.当 a81 ? ?

4 时,求上表中第 k(k≥3)行所有项和的和. 91
知 ,

(Ⅰ) 证 明 : 由 已 2bn ( 2 Sn ? Sn?1) ? 1, 又 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 所以   ? 1, bn Sn ? Sn 2 ( Sn ? Sn?1 )Sn ? S 2n

( 2 S ? Sn?1) 1 1 1 即    n ? 1, 所以  ? ? , 又S1 ? b1 ? a1 ? 1. ?Sn?1Sn Sn Sn?1 2

?1? 1 所以数列 ? ? 是首项为1,公差为 的等差数列. 2 ? Sn ? 1 1 n ?1 2 由上可知  = 1+ (n ? 1 ) ? ,即  Sn ? . Sn 2 2 n ?1
?1, n ? 1 2 2 2 ,b ? ? ? ?? 2 ? n n ?1 h n(n ? 1). ?? n(n ? 1) , n ? 2 ? (Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q,且 q>0.

所以  当n ? 2时,bn ? ? Sn ?1 ?

因为

1 ? 2 ? ??? ? 12 ?

12 ?13 ? 78, 2
2

所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列{an}的前 78 项, 故 a82 在表中第 13 行第三列, 因此 a82 ? b13 ?q ? ? 又

4 . 91

b13 ? ?

2 , 13 ?14

所以 q=2.

记表中第 k(k≥3)行所有项的和为 S,

bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 2k ) 2 则S ? ? ? ? (1 ? 2k ) (k≥3). 1? q k (k ? 1) 1 ? 2 k (k ? 1)
点评:本题考查等差数列、等比数列的基本知识,考查数列求和及推理运算能力。 5.(2008·江苏卷 19).(Ⅰ)设 a1 , a2 ,??, an 是各项均不为零的等差数列( n ? 4 ),且公差

d ? 0 ,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: a ①当 n =4 时,求 1 的数值;②求 n 的所有可能值; d
(Ⅱ) 求证:对于一个给定的正整数 n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列 b1 , b2 ,??, bn ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列. 解析:本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用. (Ⅰ)①当 n=4 时, a1 , a2 , a3 , a4 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等 比数列,则推出 d=0. 若删去 a2 ,则有 a32 ? a1 ? a4 , 即 ? a1 ? 2d ? ? a1 ?? a1 ? 3d ?
2

化简得 a1d ? 4d 2 =0,因为 d ≠0,所以

a1 =4 ; d
2

若删去 a3 ,则有 a2 ? a1 ? a4 ,即 ? a1 ? d ? ? a1 ?? a1 ? 3d ? ,故得 综上

a1 =1. d

a1 =1 或-4. d ②当 n=5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中同样不可能删去首项或末项.

若删去 a2 ,则有 a1 ? a5 = a3 ?a4 ,即 a1 ? ? a1 ? 4d ? ? ? a1 ? 2d ??? a1 ? 3d ? .故得 若删去 a3 ,则 a1 ? a5 = a2 ?a4 ,即 a1 ? ? a1 ? 4d ? ? ? a1 ? d ??? a1 ? 3d ? . 化简得 3 d =0,因为 d≠0,所以也不能删去 a3 ;
2

a1 =6 ; d

a1 = 2 . d 当 n≥6 时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列 a1 , a2 , a3 ,?, an?2 , an ?1 , an
若删去 a4 ,则有 a1 ? a5 = a2 ga3 ,即 a1 g (a1 + 4d ) = (a1 + d )g (a1 + 2d ) .故得 中,由于不能删去首项或末项,若删去 a2 ,则必有 a1 ? an = a3 ?an?2 ,这与 d≠0 矛盾;同样 若删去 an?2 也有 a1 ? an = a3 ?an?2 ,这与 d≠0 矛盾;若删去 a3 ,?, an?2 中任意一个,则 必有 a1 ? an = a2 ?an?1 ,这与 d≠0 矛盾.综上所述,n∈{4,5}. 点评:等差等比数列这部分内容主要考查公式的灵活应用,这是高考的热点。
2 6.(2008·广东卷 21)设 p, q 为实数,?,? 是方程 x ? px ? q ? 0 的两个实根,数列 {xn }

4, ? ?? ? p, ?? ? q ; 满足 x1 ? p ,x2 ? p2 ? q ,xn ? pxn?1 ? qxn?2 ( n ? 3, ?). (1)证明:
(2)求数列 {xn } 的通项公式; (3)若 p ? 1 , q ?

1 ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 4

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q 解析:(1)由求根公式,不妨设 ? ? ? ,得 ? ? ,? ? 2 2 p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ?? ? ? ? ? ?p 2 2


p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ?? ? ? ?q 2 2 (2) 设 xn ? sxn?1 ? t ( xn?1 ? sxn?2 ) , 则 xn ? (s ? t ) xn?1 ? stxn?2 , 由 xn ? pxn?1 ? qxn?2 得 ?s ? t ? p , ? ? st ? q
消去 t , 得 s ?p s ? q ?
2

由题意可知, s1 ? ? , s2 ? ? 0, ? s 是方程 x2 ? px ? q ? 0 的根,

①当 ? ? ? 时,此时方程组 ?

? s1 ? ? ? s2 ? ? ?s ? t ? p 或? 的解记为 ? ? t1 ? ? ? t2 ? ? ? st ? q

? xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ), xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ),
由等比数列性质可得 xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? 两式相减,得 (? ? ? ) xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )?
n ?2
n ?2

即 ?xn ? t1xn?1? 、 ?xn ? t2 xn?1? 分别是公比为 s1 ? ? 、 s2 ? ? 的等比数列, , xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )?
n ?2

,

? ( x2 ? ? x1 )? n?2

? x2 ? p2 ? q, x1 ? p ,? x2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? , x1 ? ? ? ? ?( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? ? n?2 ? ? n , ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? ? n ?2 ? ? n ?(? ? ? ) xn?1 ? ? n ? ? n ,即? xn?1 ?
2 2

? n ?? n ? n?1 ? ? n?1 ,? xn ? ? ?? ? ??

2 2 ②当 ? ? ? 时,即方程 x ? px ? q ? 0 有重根,? p ? 4q ? 0 ,

即 (s ? t ) ? 4st ? 0 ,得 (s ? t ) ? 0,? s ? t ,不妨设 s ? t ? ? ,由①可知

xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ,?? ? ? ,? xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? n

即? xn ? ? xn?1 ? ? n ,等式两边同时除以 ? ,得
n

?

xn
n

?

?

xn ?1
n ?1

? 1 ,即


?

xn
n

?

? n ?1


xn ?1

?1
列 ,

?
?





{

?n

xn

}





1











? ? ? ? ? n?1 , (? ? ? ) ? 综上所述, xn ? ? ? ? ? ? n? n ? ? n , (? ? ? ) ?
n

?

xn

?

?

x1

? (n ? 1) ? 1 ?

2?

? n ? 1 ? n ? 1 ,? xn ? n? n ? ? n

n ?1

1 1 1 2 代入 x2 ? px ? q ? 0 ,得 x ? x ? ? 0 ,解得 ? ? ? ? 4 2 4 1 1 ? xn ? n?( ) n ? ( ) n 2 2 1 1 1 ? ? 1 1 1 1 ? ? 1 Sn ? ? ( ) ? ( )2 ? ( )3 ? ... ? ( ) n ? ? ? ( ) ? 2? ( ) 2 ? 3? ( )3 ? ... ? n? ( )n ? 2 2 2 ? ? 2 2 2 2 ? ? 2 1 1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? ( )n ? ? ( ) ? 2? ( ) 2 ? 3? ( )3 ? ... ? n? ( )n ? 2 2 2 2 ? ? 2 1 1 1 1 ? 1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 3 ? ( n ? 3)( ) n 2 2 2 2
(3)把 p ? 1 , q ? 点评:本题考查一元二次方程、数列的通项公式、数列前 n 项和等知识,考查函数与方程、 化归与转化、 分类与整合、 特殊与一般的数学思想方法, 以及抽象概括能力、 推理论证能力。 7.(2008 · 广 东 卷 文 21) 设 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 然数 k ,都有 ?1 ? bm ? bm?1 ? ? ? bm?k ? 1。 (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)记 cn ? nanbn (n ? 1, 2,?) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn 。 解析:(1)由 an ?

1 (an ?1 ? 2an ? 2 ) 3

(n ? 3, 4,?) 。数列 {bn } 满足 b1 ? 1, bn (n ? 2,3,?) 是非零整数,且对任意的正整数 m 和自

1 (an ?1 ? an ? 2 ) 得 3

2 an ? an ?1 ? ? (an ?1 ? an ? 2 ) 3

(n ? 3)

又 a2 ? a1 ? 1 ? 0 , ? 数 列 ?an?1 ? an ? 是 首 项 为 1 公 比 为 ?

2 的等比数列, 3

? 2? an?1 ? an ? ? ? ? ? 3? an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ?? (an ? an?1 )
? 2? 1? ? ? ? n ?1 2 n?2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 3 ? ? 8 ? 3?? 2 ? , ? 1?1? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 5 5? 3? ? 3? ? 3? ? 3? 1? 3 ? ?1 ? b1 ? b2 ? 1 ? ?1 ? b2 ? b3 ? 1 ? ? 由 ? ?1 ? b2 ? 1 得 b2 ? ?1 ,由 ? ?1 ? b3 ? 1 得 b3 ? 1 ,? ? b ? Z,b ? 0 ? b ? Z,b ? 0 2 3 ? 2 ? 3
n ?1

n ?1

同理可得当 n 为偶数时, bn ? ?1;当 n 为奇数时, bn ? 1;因此 bn ? ?
n ?1 ? 8 3 ?2? n ? n ? ? ? 5 ?3? (2) c ? na b ? ? 5 ? n n n n ?1 3 ?2? ? 8 ? ?? 5 n ? 5 n ? ?3? ? 当 n 为奇数时,

? 1 n为奇数 ??1 n为偶数

n为奇数 n为偶数

Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn

0 1 2 3 n ?1 8 8 8 8 8 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ? Sn ? ( ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? n) ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5 5 5 5 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?3? ?

?

0 1 2 3 n ?1 4 ? n ? 1? 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ? 2? ? 2? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ? 3? ? 3? ? ? ?3? ?

当 n 为偶数时
0 1 2 3 n ?1 8 8 8 8 8 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ? Sn ? ( ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? ? n) ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5 5 5 5 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?3? ?

0 1 2 3 n ?1 4n 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ?3? ?

?2? ?2? ?2? ?2? ?2? 令 Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? ??① ?3? ?3? ?3? ?3? ?3? 1 2 3 4 n 2 2 ? 2? ?2? ?2? ? 2? ?2? ①× 得: ??② Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? n ? ? 3 3 ? 3? ?3? ?3? ? 3? ?3?
①-②得:

0

1

2

3

n ?1

1 ?2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
?2? 1? ? ? n n 3 ?2? ?2? ? ? ? ? n ? ? ? 3 ? ?3 ? n? ? ? 2 ?3? ?3? 1? 3
n

1

2

3

4

n ?1

? 2? ? n? ? ? 3?

n

?

?2? Tn ? 9 ? ? 9 ? 3n ? ? ? ?3?

n

? 4n ? 23 9 ? n ? 3? ? 2 ?n ? ? ? ? 当 n 为奇数时 5 5 ? ?3? 因此 S n ? ? n ? 4n ? 27 9 ? n ? 3? ? 2 ? 当 n 为偶数时 ? ? ? ? ? 5 5 ?3? ? 8.(2009·山东理 20)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为,已知对任意的 n ? N , ,点 (n.Sn ) 均在
函数 y ? bx ? r (b ? 0且b ? 1, b, r均为常数 的图象上。 (Ⅰ)求 r 的值。 (Ⅱ)当 b=2 时,记 bn ? 2(log 2 an ? 1)(n ? n) 证明:对任意的 n ? N
?

,不等式
?

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? n ? 1 成立 b1 b2 bn
x

解::因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数的 图 像 上 . 所 以 得 Sn ? n b? 时, an ? Sn ? Sn?1 ? b ? r ? (b
n n?1

, r 当 n ? 1 时 , a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2

? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 ,又因为{ an }为等比数列,所

以 r ? ?1 ,公比为 b , an ? (b ?1)bn?1

(2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 ,

bn ? 2(log2 an ?1) ? 2(log2 2n?1 ?1) ? 2n b ? 1 2n ? 1 b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b ? 1 b2 ? 1 则 n ,所以 1 ? · · · · · · ·n ? ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6 2n bn 2n b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b ? 1 b2 ? 1 下面用数学归纳法证明不等式 1 · · · · · · ·n ? ? ? ? ? n ? 1 成立. b1 b2 bn 2 4 6 2n 3 3 ① 当 n ? 1 时,左边= ,右边= 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立. 2 2 b ? 1 3 5 7 2k ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 ② 假设当 n ? k 时不等式成立,即 · · · · · · ·k ? ? ? ? ? k ? 1 成立. b1 b2 bk 2 4 6 2k b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b ? 1 b2 ? 1 2k ? 1 2 k ? 3 则当 n ? k ? 1 时,左边= 1 · · · · · · ·k ? ? ? ? ?? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6 2k 2k ? 2
? k ?1 ? 2k ? 3 (2k ? 3) 2 4(k ? 1) 2 ? 4(k ? 1) ? 1 1 ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? ? (k ? 1) ? 1 2k ? 2 4(k ? 1) 4(k ? 1) 4(k ? 1)

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并 运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 9. (2009· 广东理 21)已知曲线 Cn : x2 ? 2nx ? y 2 ? 0(n ? 1, 2,?) . 从点 P(?1, 0) 向曲线 Cn 引斜率为 kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 P n ( xn , yn ) . (1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 ? x3 ? x5 ?? ? x2 n ?1 ? 解 : (1 ) 设 直 线

1 ? xn x ? 2 sin n 1 ? xn yn

ln : y ? k n ( x ? 1) , 联 立 x 2 ? 2nx ? y 2 ? 0 得

2 2 2 2 2 2 (1 ? k n ) x 2 ? (2k n ? 2n) x ? k n ? 0 , 则 ? ? (2k n ? 2n) 2 ? 4(1 ? k n )k n ?0 , ∴ n n kn ? (? 舍去) 2n ? 1 2n ? 1 k2 n2 n n 2n ? 1 2 , 即 xn ? , ∴ y n ? k n ( xn ? 1) ? xn ? n 2 ? 2 n ?1 n ?1 1 ? k n (n ? 1)

1 ? xn ? (2) 证 明 : ∵ 1 ? xn

n n ?1 ? n 1? n ?1 1?

1 2n ? 1

x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2n?1 ?
∴ x1 ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? x2 n ?1 由于

1 3 2n ? 1 1 3 2n ? 1 1 ? ????? ? ? ????? ? 2 4 2n 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 ? xn ? 1 ? xn

xn 1 ? xn 1 ,可令函数 f ( x) ? x ? 2 sin x ,则 f ' ( x) ? 1 ? 2 cos x , ? ? yn 2n ? 1 1 ? xn

令 f ' ( x) ? 0 , 得 cos x ?

? ? 2 , 给定区间 (0, ) , 则有 f ' ( x) ? 0 , 则函数 f ( x) 在 (0, ) 上 4 4 2

单 调 递 减 , ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 , 即 x ?

? 2s i x n 在 (0, ) 恒 成 立 , 又 4

1 1 ? ? ? , 2n ? 1 3 4 1 ? xn x 1 1 则有 ,即 ? 2 sin ? 2 sin n . 2n ? 1 2n ? 1 1 ? xn yn 0?
10 . (2009 · 江 苏 17) 设

?an ? 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , S n 为 其 前 n 项 和 , 满 足

2 2 2 2 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,S7 ? 7 (1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; a a (2)试求所有的正整数 m ,使得 m m ?1 为数列 ?an ? 中的项. am ? 2

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满分 14 分。
2 2 2 ,由性质得 ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因为 ? a5 ? a4 ? a3 7?6 d ? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ,又由 S7 ? 7 得 7a1 ? d ? 7 ,解 2 得 a1 ? ?5 , d ? 2 ,所以 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 7 ,前 n 项的和 Sn ? n2 ? 6n

(1)设公差为 d ,则 a2

2

(2) (方法一) 则

am am ?1 (2m ? 7)(2m ? 5) = ,设 2m ? 3 ? t , 2m ? 3 am ? 2
所以 t 为 8 的约数

8 am am ?1 (t ? 4)(t ? 2) ? t ? ? 6, = t t am ? 2

, m ? 2 时,t ? 因为 t 是奇数,所以 t 可取的值为 ?1 ,当 t ? 1

8 ? 6 ? 3 , 2 ? 5 ? 7 ? 3 是数列 t

8 {an } 中的项;当 t ? ?1, m ? 1 时, t ? ? 6 ? ?15 ,数列中的最小项是 ?5 ,不符合。所以 t 满足条件的正整数 m ? 2 a a (a ? 4)(am ? 2 ? 2) 8 (方法二)因为 m m ?1 ? m ? 2 为数列 ?an ? 中的项, ? am? 2 ? 6 ? am? 2 am? 2 am? 2 8 故 为整数,又由(1)知: am?2 为奇数,所以 am?2 ? 2m ? 3 ? ?1,即m ? 1, 2 a m+2 经检验,符合题意的正整数只有 m ? 2 。
11.(2009·安徽理 21)

1 2 (a n ? 3), n ? N * . 4 (Ⅰ)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n ? 2 , an 都是奇数;
首项为正数的数列{ an }满足 a n ?1 ? (Ⅱ)若对一切 n ? N * ,都有 a n ?1 ? a n ,求 a1 的取值范围。 解:本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运 算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分 13 分。 解:(I)已知 a1 是奇数,假设 ak ? 2m ?1 是奇数,其中 m 为正整数,

ak 2 ? 3 ? m(m ? 1) ? 1 是奇数。 4 根据数学归纳法,对任何 n ? N ? , an 都是奇数。 1 (II)(方法一)由 an ?1 ? an ? (an ? 1)(an ? 3) 知, an?1 ? an 当且仅当 an ? 1 或 an ? 3 。 4 32 ? 3 1? 3 ? 1;若 ak ? 3 ,则 ak ?1 ? ? 3. 另一方面,若 0 ? ak ? 1, 则 0 ? ak ?1 ? 4 4 根据数学归纳法, 0 ? a1 ? 1, ? 0 ? an ? 1, ?n ? N? ; a1 ? 3 ? an ? 3, ?n ? N? .
则由递推关系得 ak ?1 ? 综合所述,对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。

a12 ? 3 ? a1 , 得 a12 ? 4a1 ? 3 ? 0, 于是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 4 an 2 ? 3 an ?12 ? 3 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) an?1 ? an ? ? ? , 4 4 4 an 2 ? 3 , 所以所有的 an 均大于 0,因此 an?1 ? an 与 an ? an?1 同号。 因为 a1 ? 0, an ?1 ? 4 根据数学归纳法, ?n ? N? , an?1 ? an 与 a2 ? a1 同号。
(方法二)由 a2 ? 因此,对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 12. (2009· 天津理 22)已知等差数列{ an }的公差为 d(d ? 0), 等比数列{ bn }的公比为 q(q>1)。
n ?1 anbn ,n ? N ? 设 s n = a1b1 + a2b2 ?..+ anbn , Tn = a1b1 - a2b2 +?..+(-1 )

(1)若 a1 = b1 = 1,d=2,q=3,求 S3 的值;

2dq(1 ? q 2 n ) ? ,n ? N ; 2 1? q (3) 若正数 n 满足 2 ? n ? q ,设 k1 , k2 ,...,kn和l1 ,l 2 ,..., ln是 , 12 ,, ... n 的两个不同的排列, c ? c2 。 c1 ? ak1 b1 ? ak2 b2 ? ... ? akn bn , c2 ? al1 b1 ? al2 b2 ? ... ? aln bn 证明 1
(2)若 b1 =1,证明(1-q) S 2 n -(1+q) T2 n = 本小题主要考查等差数列的通项公式、 等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识, 考 查运算能力,推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力,满分 14 分。 (Ⅰ)解:由题设,可得 an ? 2n ?1, bn ? 3n?1, n ? N * 所以, S3 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 1?1 ? 3? 3 ? 5 ? 9 ? 55 (Ⅱ)证明:由题设可得 bn ? qn?1 则

S2n ? a1 ? a2q ? a3q2 ? ..... ? a2nq2n?1,


2 n ?1

T2 n ? a1 ? a2 q ? a3q ? a4 q ? ..... ? a2 n q
2 3

,

S2 n ? T2 n ? 2(a2 q ? a4 q ? ... ? a2 n q
3

2 n ?1

)



① 式减去②式,得 ① 式加上②式,得

S2n ? T2n ? 2(a1 ? a3q2 ? .... ? a2n?1q2n?2 )
② 式两边同乘 q,得



q(S2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3q3 ? .... ? a2n?1q2n?1 )
所以,

(1 ? q)S2n ? (1 ? q)T2n ? (S2n ? T2n ) ? q(S2n ? T2n )

? 2d (q ? q3 ? K ? q 2 n?1 ) 2dq(1 ? q 2 n ) , n ? N* 2 1? q (Ⅲ)证明: c1 ? c2 ? (ak1 ? al1 )b1 ? (ak2 ? al2 )b2 ? K ? (akn ? aln )bn ?
? (k1 ? l1 )db1 ? (k2 ? l2 )db1q ? K ? (kn ? ln )db1qn?1
因为 d ? 0, b1 ? 0, 所以

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K ? (kn ? ln )q n ?1 db1 (1) 若 kn ? ln ,取 i=n
(2) 若 kn ? ln ,取 i 满足 ki ? li 且 k j ? l j , i ? 1 ? j ? n 由(1),(2)及题设知, 1 ? i ? n 且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K (ki ?1 ? li ?1 )qi ?2 ? (ki ? li )q i ?1 db1 ① 当 ki ? li 时,得 ki ? li ? ?1,由q ? n,得ki ? li ? q ? 1, i ? 1, 2,3.....i ? 1
即 k1 ? l1 ? q ? 1, (k2 ? l2 )q ? q(q ?1) ?, (ki ?1 ? li ?1 )qi ?2 ? qi ?2 (q ?1) 又 (ki ? li )qi ?1 ? ?qi ?1, 所以

c1 ? c2 1 ? qi ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? K (q ? 1)qi ?2 ? qi ?1 ? (q ? 1) db1 1? q 因此 c1 ? c2 ? 0,即c1 ? c2 c ? c2 ② 当 ki ? li 同理可得 1 ? ?1 ,因此 c1 ? c2 db1 综上, c1 ? c2
13.( 2009·广东,文 20)(本小题满分 14 分)

1 )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项和 3 为 f (n) ? c , 数 列 {bn } (bn ? 0) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 Sn 满 足 Sn -
已知点(1,

S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ).
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1
x

.

1 ?1? 解析:(1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3? 1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 .

4 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; 2 a3 ? 3 3 27 n ?1 n a2 1 2?1? ?1? 又公比 q ? n? N* ; ? ,所以 an ? ? ? ? ? ?2 ? ? a1 3 3? 3? 3 ? ?
2 2

Q Sn ? Sn?1 ?

?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列
n

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * ); 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? (2) Tn ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1 n 1000 1000 1000 ? 由 Tn ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009 14.(2009·浙江,文 20)(本题满分 14 分)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n ,
n ? N * ,其中 k 是常数. (I) 求 a1 及 an ;
(II)若对于任意的 m ? N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

解析:(Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1 ,

n ? 2, an ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1( ? ) 经验, n ? 1, ( ? )式成立, ? an ? 2kn ? k ? 1
(Ⅱ)? am , a2m , a4m 成等比数列,? a2m ? am .a4m , 即 (4km ? k ? 1) 2 ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: m k(k ? 1) ? 0 ,
2

? k ? 0或k ? 1 对任意的 m ? N ? 成立, 15.( 2009·山东,文 20)(本小题满分 12 分) ? 等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N

,点 (n , Sn ) ,均在函数

y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
x

(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

bn ?
?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) , 均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图 像上.所以得 Sn ? bn ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 ,

又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则 Tn ?

所以 an ? (b ?1)bn?1

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 23 n ?1 3 1 n ?1 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并 运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n 项和 Tn . 16.(2009·安徽,文 19)(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? 2n ,数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 2 ? bn (Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an 2 ? bn ,证明:当且仅当 n≥3 时, cn?1 ? cn
.

(n ? 1) ?a 【思路】由 a ? ? 1 可求出 an 和bn ,这是数列中求通项的常用方法之一,在 ? sn ? sn?1 ( n ? 2) 求出 an 和bn 后,进而得到 c n ,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法。

解析:(1)由于 a1 ? s1 ? 4 当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? (2n2 ? 2n) ? [2(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 4n ?am ? 4n(n ? N * ) 又当 x ? n 时 bn ? Tn ? Tn?1 ? (2 ? 6m ) ? (2 ? bm?1 ) ? 2bn ? bn?1

? 数列 ?bn ? 项与等比数列,其首项为 1,公比为
2 2 n ?1 (2)由(1)知 C1 ? a1 ? bn ? 16n ? ( ) ?

1 2

Cn ?1 Cn

1 1 ? bn ? ( ) n ?1 2 2 1 16(n ? 1)2 ? ( )( n ?1)?1 (n ? 1)2 2 ? ? 1 2n 2 16n 2 ? ( ) n ?1 2
.

Cn?1 (n ? 1)2 ? 1得 ? 1即 n2 ? 2n ? 1 ? 0 ? n ? 1 ? 2 即 n ? 3 Cn 2n (n ? 1)2 C ? 1 成立,即 n ?1 ? 1 由于 Cn ? 0 恒成立. 又n ? 3时 2 2n Cn 因此,当且仅当 n ? 3 时, Cn ?1 ? Cn

.

17.(2009·天津,文 20)(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0,设 S n ? a1 ? a2 q ? ? ? an q n?1

Tn ? a1 ? a2 q ? ? ? (?1) n?1 an q n?1 , q ? 0, n ? N * (Ⅰ)若 q ? 1, a1 ? 1, S 3 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)若 a1 ? d , 且S1 , S 2 , S3 成等比数列,求 q 的值。 (Ⅲ)若 q ? ?1, 证明( 1 ? q)S 2n ? (1 ? q)T2 n ? 答案:(1) an ? 4n ? 3 (2) q ? ?2 (3)略 解析: (1)解:由题设, S3 ? a1 ? (a1 ? d )q ? (a1 ? 2d )q 2 , 将q ? 1, a1 ? 1, S3 ? 15 代入解得 d ? 4 ,所以 an ? 4n ? 3 n ? N * (2)解:当 a1 ? d , S1 ? d , S 2 ? d ? 2dq, S3 ? d ? 2dq ? 3dq2 ,? S1 , S 2 , S3 成等比数列,所
2 以 S 2 ? S1 S 3 ,即 (d ? 2dq) ? d(d ? 2dq ? 3dq2 ) ,注意到 d ? 0 ,整理得 q ? ?2

2dq(1 ? q 2n ) ,n? N* 1? q2

2

(3)证明:由题设,可得 bn ? q n?1 ,则

S 2n ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 ? ?a2n q 2n?1 T2n ? a1 ? a2 q ? a3 q ? ? ? a2n q
2 2n?1

① ②

①-②得,

S 2n ? T2n ? 2(a2 q ? a4 q 3 ? ? ? a2n q 2n?1 )
①+②得,

S 2n ? T2n ? 2(a1q ? a3 q 2 ? ? ? a2n?1q 2n?2 )
3



③式两边同乘以 q,得 q(S 2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3 q 2 ? ? ? a2n?1q 2n?2 ) 所以 (1 ? q) S 2 n ? (1 ? q)T2 n ? 2d (q ? q ? ? ? q (3)证明: c1 ? c2 ? (ak1 ? al1 )b1 ? (ak2 因为 d ? 0, b1 ? 0 ,所以
1

2dq(1 ? q 2n ) 1? q2 ? al2 )b2 ? (akn ? aln )bn
2 n ?1

)?

n?1 = (k1 ? l1 )db 1 ? (k 2 ? l 2 )db 1q ? ? ? (k n ? l n )db 1q

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n?1 db1 若 k n ? l n ,取 i=n, 若 k n ? l n ,取 i 满足 ki ? li ,且 k j ? l j , i ? 1 ? j ? n 由(1)(2)及题设知, 1 ? i ? n ,且 c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n?1 db1 ① 当 ki ? li 时, ki ? li ? ?1 ,由 q ? n , ki ? li ? q ? 1, i ? 1,2?, i ? 1
.

即 k1 ? l1 ? q ? 1 , (k 2 ? l 2 )q ? q(q ? 1),? (ki ?1 ? li ?1 )q i ?2 ? q(q ? 1) i ?2 所 以
i ?1

c1 ? c2 1? q ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? ? ? (q ? 1)q i ?2 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? q i ?1 ? ?1 db1 1? q 因此 c1 ? c2 ? 0 c ? c2 ? ?1, 因此 c1 ? c2 ? 0 ② 当 ki ? li 时,同理可得 1 db1 综上, c1 ? c 2
.

【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式,等比数列通项公式与前 n 项和

等基本知识,考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。 18.(2009·辽宁,文 17)(本小题满分 10 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 s n 解:(Ⅰ)依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 ) 由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0
又 q ? 0 ,从而 q ? -

1 2

2 ( ) ?3 (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a 1 ?

1 2

故 a1 ? 4

1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? ( 1? (? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2
19.(2009·福建,文) 等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项 和 Sn 。 解:(I)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 ? 2q3 ,解得 q ? 2 (Ⅱ)由(I)得 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 解得 ? ? d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32
n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n 2

从而 bn ? ?16 ? 12(n ?1) ? 12n ? 28 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n ?


相关文章:
2014全国高考数学试题分类汇编 数列
2014全国高考数学试题分类汇编 数列_数学_高中教育_教育专区。2014全国高考数学...因此存在 λ=4,使得数列{an}为等差数列. 17. 、、[2014· 新课标全国卷Ⅱ...
2015高考数学试题分类汇编-数列
2015高考数学试题分类汇编-数列_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数列专题 1....___. 15.(15 年新课标 2 文科)设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和...
2014年全国高考理科数学试题分类数列(逐题详解)
2014年全国高考理科数学试题分类数列(逐题详解)_高三数学_数学_高中教育_教育专区...? 2n ? 1 11.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 17) 】(本小题满分 12 分)...
新课标三年高考数学试题分类解析 数列
新课标三年高考数学试题分类解析 数列一、选择题 1.(2007·宁夏、海南理 4)已知 {an } 是等差数列, a10 = 10 ,其前 10 项和 S10 = 70 , 则其公差 d...
数列新课标历届高考数学汇编及专题训练
数列新课标历届高考数学汇编及专题训练_高三数学_数学_高中教育_教育专区。新课标历届高考数学数列汇编及专题训练 1、 (2007 年文 6)已知 a,b,c,d 成等比数列...
2015年高考数学真题分类汇编6 -数列
2015 年高考数学真题分类汇编 6-数列 1.(15 北京理科)设 ?an ? 是等差数列...2 . 考点:1、等差数列通项公式;2、分组求和法. 14.(15 年新课标 2 理科...
2015年高考数学试题分类汇编数列专题_Word版含答案解析
2015年高考数学试题分类汇编数列专题_Word版含答案解析_高考_高中教育_教育专区。...(15 年新课标 2 理科) 等比数列 {an} 满足 a1=3, 则 a3 ? a5 ? a7 ...
新课标三年高考数学试题分类解析__选做题
新课标三年高考数学试题分类解析 13. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ? x ? t?3 ?y ? 3?t (参数 t∈R) ...
2015高考理科数学试题分类汇编-----数列
2015 高考理科数学试题分类汇编---数列 1.【2015 高考重庆,理 2】在等差数列...6.【2015 高考新课标 2,理 16】设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,...
更多相关标签:
新课标化学解析 | 2016新课标ii语文解析 | 数列的分类 | 数列分类 | 民国三年袁大头分类 | 数列题目加答案解析 | 高考语病题分类解析 | 司考真题分类解析 |