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双曲线(学案)


高三数学第一轮复习讲义(51)
双曲线

2004.11.5

一.复习目标:熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质. 二.知识要点:
1.双曲线的定义(1)第一定义: (2)第二定义: 2. 标准方程: 3.性质: 4.共轭双曲线方程: . ; 与
x a
2 2


? y b
2 2

? 1 共渐进线的双曲线方程

. .

三.课前预习:
1.平面内有两个定点 F1 , F 2 和一动点 M ,设命题甲, || M F1 | ? | M F 2 || 是定值,命题乙: 点 M 的轨迹是双曲线,则命题甲是命题乙的 ( A ) 充分但不必要条件 ( B ) 必要不充分条件
( C ) 充要条件 ( D ) 既不充分也不必要条件





2.双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为 e1 , e 2 ,则 e1 , e 2 应满足的关系是 (
( A ) e1 ? e 2 ? 1
2 2


1
2

( B ) e1 ? e 2 ? 1

2

2

(C )

1 e1
2

?

1 e2
2

?1

(D )

1 e1
2

?

?1

e2

3.直线 y ? ax 与双曲线 ( x ? 1)( y ? 1) ? 2 ( x ? 0 ) 有公共点时, a 的取值范围是(
( A ) ?3 ? 2 2 ? a ? 0 ( B ) a ? ?3 ? 2 2



(C ) ? 3 ? 2 2 ? a ? ? 3 ? 2 2

( D ) 以上都不正确
2 2 | P F | 取最

2 2 4.已知 A ( 2,1), F ( 2 , 0 ) , P 是曲线 x ? y ? 1( x ? 0 ) 上一点,当 | P A | ?

小值时, P 的坐标是 5. 如果 F1 , F 2 分别是双曲线
x
2

,| P A | ?
? y
2

2 2

| P F | 最小值是



16

9

? 1 的左、 右焦点,A B 是双曲线左支上过点 F1 的弦,

且 | A B |? 6 ,则 ? A B F 2 的周长是



四.例题分析:
例 1.已知双曲线
x
2

?

y

2

25

144

? 1 的左右焦点分别为 F1 , F 2 ,左准线为 l ,能否在双曲线的左

支上求一点 P ,使 | P F1 | 是 P 到 l 的距离 d 与 | P F 2 | 的等比中项?若能,求出 P 的坐标, 若不能,说明理由. 例 2.过双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的右焦点 F 作双曲线在第一、第三象限的渐近线

的垂线 l ,垂足为 P , l 与双曲线的左、右支的交点分别为 A , B . (1)求证: P 在双曲线的右准线上; (2)求双曲线离心率的取值范围.

例 3.是否同时存在满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程,若不存在,说明理由. (1)渐近线方程为 x ? 2 y ? 0, x ? 2 y ? 0 ; (2)点 A (5, 0 ) 到双曲线上动点 P 的距离最小值为 6 .

五.课后作业:
1.双曲线的渐进线方程为 y ? ?
( A)
1 2

班级

学号

姓名

x ,且焦距为 10,则双曲线方程为


? y
2



x

2

?
2

y

2

?1
2

(B)

x

2

? x
2

y

2

?1或 y
2

x

2

?1

20
(C )

5 ? y ?1
2

5
(D ) |
2

20 ? |? 1

20

5

x

5

20 x ? y k
( B ) ( ? 3, 0 )

20

5

2.双曲线

? 1 的离心率 e ? (1, 2 ) ,则 k 的取值范围是
( C ) ( ? 1 2, 0 )
?


, ( D ) ( ? 6 0? 1 2 )



4 ( A ) (?? , 0)

3.双曲线 面积为

x

2

?

y

2

25
2

16
2

? 1 上一点 P 的两条焦半径夹角为 6 0 , F1 , F 2 为焦点,则 ? P F1 F 2 的


2 2

4.与圆 ( x ? 3) ? y ? 1 及圆 ( x ? 3) ? y ? 9 都外切的圆的圆心轨迹方程为 5.过点 ( 0 , 3 ) 作直线 l ,如果它与双曲线 数是____________________. 6. 双曲线
x a
2 2



x

2

?

y

2

? 1 有且只有一个公共点,则直线 l 的条

4 y b
2 2

3

?

? 1 的一条准线被它的两条渐进线所截得的线段长度恰好等于它的一个

焦点到一条渐进线的距离,则该双曲线的离心率为 . 7 . 过 双 曲 线 的 一 个 焦 点 F 1 且 垂 直 于 实 轴 的 弦 PQ , 若 F 2 为 另 一 个 焦 点 , 且 有
? PF 2 Q ? 90 ,则此双曲线的离心率为
?



8.一椭圆其中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为 2 13 ,一双曲线和这椭圆有公共 焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小 4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为 7:3,求椭圆和双曲线的方程. 9.设双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 两焦点 F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) ,点 P 为双曲线右支上除顶点外的任

一点, ? P F1 F 2 ? ? , ? P F 2 F1 ? ? ,求证: ta n

?
2

? cot

?
2

?

c?a c?a



10. 已知双曲线 C 的两个焦点为 F1 , F 2 , 实半轴长与虚半轴长的乘积为 3 , 直线 l 过点 F 2 , 且与线段 F1 F 2 的夹角为 ? , ta n ? ?
????

21 2

,直线 l 与线段 F1 F 2 的垂直平分线的交点为 P ,
???? ?

线段 P F 2 与双曲线的交点为 Q ,且 P Q ? 2 Q F 2 ,求双曲线方程.


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