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浙江省省台州中学2011届高三第四次统练试题数学文


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学年第一学期第四次统练 统练试题 台州中学 2010—2011 学年第一学期第四次统练试题 — 高三 数学(文科) 数学(文科)

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 选择题: 是符合题目要求的. 是符合题目要求的. 1、若将复数 A、-2

2+i b 表示为 a + bi ( a.b ∈ R.i是虚数单位) 的形式,则 的值为( i a 1 1 C、2 D、 B、 ? 2 2
an



2、若数列 {an } 是公差为 2 的等差数列,则数列 {2 A、公比为 2 的等比数列 C、公比为

} 是(



B、公比为 4 的等比数列 D、公比为

1 的等比数列 2

1 的等比数列 4

3、甲盒子中装有 2 个编号分别为 1,2 的小球,乙盒子中装有 3 个编号分别为 1,2,3 的小球,从 甲、乙两个盒子中各随机取一个小球,则取出两小球编号之和为奇数的概率为( )

2 3 1 C、 3
A、

1 2 1 D、 6
B、 ( )

4、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则这些函数为“互为生成”函数,给出下列函数,其 中与 f ( x ) = sin x + cos x 构成“互为生成”函数的为 A. f1 ( x) = C. f 3 ( x) =
2

2 sin x + 2 2(sin x + cos x)


B. f 2 ( x ) = sin x D. f 4 ( x ) =

x x x 2 cos (sin + cos ) 2 2 2

5、下列说法正确的是(
2

A、“ x = 1 ”是“ x = 1 ”的充分不必要条件 B、“ x = ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 = 0 ”的必要不充分条件. C、命题“ ?x ∈ R , 使得 x + x + 1 < 0 ”的否定是:“ ?x ∈ R ,均有 x + x + 1 < 0 ”.
2 2

D、命题“若 α = β ,则 sin α = sin β ”的逆否命题为真命题.

6、如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 为 BD1 的中点,则△PAC 在该正方体各个面上 的射影可能是 ( )
D1 A1 C1

P D

B1
C

① A.①④
x

② B.②③
?x

③ C.②④



A

B

D.①②

7、若函数 f(x)= ka ? a

(a>0 且 a≠1)在 (? ∞,+∞ ) 上既是奇函数又是增函数,则 ( )

g(x)= log a ( x + k ) 的图象是

?

8、右图是一个算法的程序框图,该算法所输出的结果是(



1 2 3 C、 4
A、

2 3 4 D、 5
B、

9、过双曲线

x2 y2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 右焦点 F 作圆 x 2 + y 2 = a 2 的 2 a b ,交 y 轴于点 P .若 M 为线段 FP 的中点, 切线 FM (切点为 M )
则双曲线的离心率是 ( A. 5 B. 3 ) C. 2 D. 2

10、已知函数 f ( x ) 的定义域为 [ ?2, +∞ ) ,部分对应值如下表. f ' ( x ) 为 f ( x ) 的导函数,函数

y = f ' ( x ) 的图象如下图所示. 若两正数 a , b 满足 f (2a + b ) < 1 ,则
y

2b + 6 的取值范围是 ( a+3



x

-2

0 -1
12 8 , ) 7 3

4 1

-2 o y

f(x) 1
6 14 A.( , ) 5 3 B .(

4 12 C .( , ) 3 5

2 D.( ? , 6) 3

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分. 填空题: 小题, 11、某单位有 27 名老年人,54 名中年人,81 名青年人. 为了调查他们 的身体情况,用分层抽样的方法从他们中抽取了 n 个人进行体检,其 中有 6 名老年人,那么 n=_________ 3 12、若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示, 正视图 则此多面体的体积是 . 13 、 已 知 向 量 a = (x,1), b = (2,3x), 则 是 .

2 2

侧视图
2

a?b 的取值范围 | a | + | b |2
2

俯视图 (第 12 题)

?

14、若圆 C : x + y ? 2ax ? 2 y + a = 0 (a 为常数)被 y 轴截得弦所对圆心角为
2 2 2

π
2



则实数 a = 15、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若

a2 ? (b + c ) bc

2

= ?1 ,且 AC ? AB = ?4 ,则

?ABC 的面积等于

?T 16、在等比数列 {a n } 中,若前 n 项之积为 Tn ,则有 T3n = ? 2 n ?T ? n
项之和为 S n ,用类比的方法得到的结论是_______.

? ? ,则在等差数列 {bn } 中,若前 n ? ?

3

17、 过抛物线 y = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A, 与抛物线准线的
2

交点为 B,点 A 在抛物线准线上的射影为 C,若 AF = FB, BA ? BC = 48 ,则抛物线的方程为
_________. 解答题: 小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

18(本题满分 14 分) 已知函数 f(x)=Asin(x+ ? )(A>0,0< ? < π ),x ∈ R 的最大值是 1,其图像经过点
M?

?π 1? ,?. ? 3 2?

(1) 求 f(x)的解析式; (2) 已知α,β ∈ ? 0, ? , f (α ) =

? π? ? 2?

3 12 , f ( β ) = 求 f (α ? β ) 的值。 5 13

19 ( 本 题 满 分 14 分 ). 在 等 比 数 列 {a n } 中 , a n > 0( n ∈ N *) , 公 比 q ∈ (0,1) , 且

a1 a5 + 2a 3 a 5 + a 2 a8 = 25 ,又 2 是 a3 与 a5 的等比中项。设 bn = 5 ? log 2 a n .
(1) 求数列 {bn } 的通项公式; (2) 已知数列 {bn } 的前 n 项和为 S n , Tn =

1 1 1 + +?+ ,求 Tn . S1 S 2 Sn

?

20(本题满分 14 分). 如图,在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,SA⊥平面 ABCD,二面 角 S—CD—A 的平面角为 45° ,M 为 AB 中点,N 为 SC 中点. (1)证明:MN//平面 SAD; (2)证明:平面 SMC⊥平面 SCD; (3)若

CD = λ ,求实数 λ 的值,使得直线 SM 与平面 SCD 所成角为 30°. AD

21(本题满分 15 分) 设函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 ? 3a 2 x + 1(a,b ∈ R ) 在 x = x1 , x = x2 处取得极值, 且 x1 ? x2 = 2 . (Ⅰ)若 a = 1 ,求 b 的值,并求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 a > 0 ,求 b 的取值范围.

22 ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 : 点 F 是 抛 物 线 : x 2 = 2 py ( p > 0) 的 焦 点 , 过 F 点 作 圆: ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 5 的两条切线互相垂直。 (Ι)求抛物线的方程; (Ⅱ)直线 l : y = kx + b( k > 0) 交抛物线于 A,B 两点。 ①若抛物线在 A,B 两点的切线交于 P,求证: k ? k PF > 1 ; ②若 B 点纵坐标是 A 点纵坐标的 4 倍,A,B 在 y 轴两侧,且 S ?OAB =

3 ,求 l 的方程。 4

班级__________________

姓名___________________

号次__________

考试号________________

·······················································装·························································订·························································线·····························
11. 答案 题号 15. 18.( 18 (14 分) 1 2 16. 12. 13. 14. 8 9 17. 3 一、选择题(每小题5分,共50分) 选择题(每小题5 50分 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) 填空题(

高三

学年第一学期第四次统练 统练答题卷 台州中学 2010—2011 学年第一学期第四次统练答题卷 —

4 5 6 7

数学(文科) 数学(文科)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 : 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 10

19.( 19 (14 分)

20.( 20 (14 分)

21.( 21 (15 分)

22.( 22 (15 分)

学年第一学期第四次统练 统练试题 台州中学 2010—2011 学年第一学期第四次统练试题 — 高三
一、ABBAD;ACCDA; 二、11、36 12、2 13. [ ?

数学(文科) 数学(文科)答案

2 2 2 , ] 14、 ± 4 4 2

15、 2 3

16、 S 3n = 3( S 2 n ? S n )

17、 y 2 = 4 x

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。 18.本小题满分 14 分 解:(1)依题意知 A=1

?π ? ?π ? 1 f ? ? = sin ? + φ ? = , ?3? ?3 ? 2




π
3

<

π
3

+φ <

4π 3



π
3

+φ =

5π 6



φ=

π
2

因此 f ( x ) = sin ? x + (2)∵

? ?

π?

? = cos x ; 2?
3 12 , f ( β ) = cos β = 5 13

f (α ) = cos α =
且 α , β ∈ ? 0,

? π? ? ? 2?



sin α =

4 5 , sin β = 5 13

3 12 4 5 56 f (α ? β ) = cos (α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β = × + × = 5 13 5 13 65
(19)。 。 .解: (1)∵ a1 a 5 + 2a 3 a 5 + a 2 a8 = 25 ,∴ a 3 + 2a 3 a 5 + a 5 = 25 ,
2 2

又 a n > 0,∴ a3 + a 5 = 5 又 2 为 a3 与 a5 的等比中项,∴ a 3 a 5 = 4 而 q ∈ (0,1) ,∴ a 3 > a 5 ,∴ a3 = 4, a 5 = 1

∴q =

1 1 , a1 = 16 ,∴ a n = 16 × ( ) n ?1 = 2 5? n 2 2

bn = 5 ? log 2 an = 5 ? (5 ? n) = n

∴ Sn =

n( n + 1) , 2

………………9 分

2 (2) 1 = = 2( 1 ? 1 ) S n n(n + 1) n n +1

∴ Tn =
= 2(1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 + +? + = 2[(1 ? ) + ( ? ) + ? + ( ? )] S1 S 2 Sn 2 2 3 n n +1
…………………14 分

1 2n )= n +1 n +1

(20) (I)证明:取 SD 中点 E,连接 AE,NE, 则 NE =

∴ 四边形 AMNE 为平行四边形, ∴ MN / / AE 又∵ MN ? 平面 SAD (2)∵ SA ⊥ 平面 ABCD, ∴ SA ⊥ CD ,

1 CD = AM , NE / / CD / / AM , 2
…………1 分 …………3 分

∵ 底面 ABCD 为矩形,∴ AD ⊥ CD,
又∵ SA ∩ AD = A,

∴ CD ⊥ 平面 SAD, ∴ CD ⊥ SD ∴∠SDA 即为二面角 S—CD—A 的平面角, 即 ∠SDA = 45° …………5 分 ∴?SAD 为等腰直角三角形,∴ AE ⊥ SD ∵ CD ⊥ 平面 SAD,∴ CD ⊥ AE ,
又 SD ∩ CD = D,∴ AE ⊥ 平面 SCD

∵ MN / / AE ,∴ MN ⊥ 平面 SCD, ∵ MN ? 平面 SMC, ∴ 平面 SMC ⊥ 平面 SCD CD (3)∵ = λ ,设 AD=SA=a,则 CD = λ a AD 由(2)可得 MN ⊥ 平面 SCD, ∴ SN 即为 SM 在平面 SCD 内的射影 ∴∠MSN 即为直线 SM 与平面 SCD 所成角, 即 ∠MSN = 30°
而 MN=AE= …………8 分

…………9 分

2 a, 2

∴ Rt ?SAM 中, SM = a 2 + (λ a ) 2 , 而 MN = AE =

2 a, 2

∴ Rt ?SAM 中,由 sin ∠MSN =

MN 得 SN

2 a 1 2 = , 解得 λ = 2 2 a 2 + (λ a ) 2
当 λ = 2 时,直线 SM 与平面 SCD 所成角为 30° (21) 解: f ′( x) = 3ax + 2bx ? 3a .
2 2

14 分

(Ⅰ)当 a = 1 时,

f ′( x) = 3 x 2 + 2bx ? 3 ;
由题意知 x1,x2 为方程 3 x + 2bx ? 3 = 0 的两根,所以
2

x1 ? x2 =

4b2 + 36 . 3

由 x1 ? x2 = 2 ,得 b = 0 . 从而 f ( x ) = x 2 ? 3 x + 1 , f ′( x ) = 3 x 2 ? 3 = 3( x + 1)( x ? 1) . 当 x ∈ ( ?11) 时, f ′( x ) < 0 ;当 x ∈ (?∞, 1) ∪ (1, ∞) 时, f ′( x ) > 0 . , ? + 故 f ( x ) 在 ( ?11) 单调递减,在 ( ?∞, 1) , (1 + ∞) 单调递增. , ? , (Ⅱ)由①式及题意知 x1,x2 为方程 3 x + 2bx ? 3a = 0 的两根,
2 2

4b2 + 36a 3 . 所以 x1 ? x2 = 3a
从而 x1 ? x2 = 2 ? b = 9a (1 ? a ) ,
2 2

由上式及题设知 0 < a ≤ 1 . 考虑 g ( a ) = 9a 2 ? 9a 3 ,

2? ? g ′(a ) = 18a ? 27 a 2 = ?27 a ? a ? ? . 3? ?
故 g ( a ) 在 ? 0, ? 单调递增,在 ? , 单调递减,从而 g ( a ) 在 ( 0, 的极大值为 g ? 1] 1?

? ?

2? 3?

?2 ? ?3 ?

?2? 4 ?= . ?3? 3

又 g ( a ) 在 ( 0, 上只有一个极值,所以 g ? 1]

?2? 4 1] ? = 为 g (a ) 在 ( 0, 上的最大值,且最小值为 ?3? 3

g (1) = 0 .
所以 b ∈ ? 0, ? ,即 b 的取值范围为 ? ? , ? 3 ? ? 3? ? 3
2

? 4?

? 2 3 2 3?

2 (22) 解: (1) x = 4 y

(2) l : y =

1 1 x+ 4 2


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