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正弦定理、余弦定理及解三角形


正弦定理、余弦定理及解三角形
适用学科 适用区域 知识点
高中数学 通用 正弦定理 余弦定理

适用年级

高三

课时时长(分钟) 60

教学目标

1.掌握正弦定理的基本定义和用法 2.掌握余弦定理的基本定理和用法. 3.在实际的使用中正确的选择正弦定理和余弦定理.

教学重点 教学难点

正弦定理和余弦定理的正确使用 正弦定理和余弦定理的应用

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教学过程
一、课堂导入

问题:什么是正弦定理和余弦定理?解三角形的应用有哪些?

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二、复习预习
1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角,进而求出其 他的边和角时,有时可能出现一解、两解,所以要进行分类讨论. 2.利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.

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三、知识讲解
考点 1 正弦定理和余弦定理
在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos_A; 内容 a b c sin A=sin B=sin C=2R b2=c2+a2-2cacos_B; c2=a2+b2-2abcos_C (1)a=2Rsin A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; a b c (2)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R; (3)a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C; (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A b2+c2-a2 cos A= 2bc ; c2+a2-b2 cos B= 2ac ; a2+b2-c2 cos C= 2ab

变形

4

考点 2 三角形中的解
在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 或直角 图形 关系式 解的 个数 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b A 为钝角

一解

两解

一解

一解

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考点 3 实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线 下方叫俯角(如图①).

(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° ,北偏西 45° 等. (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.

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四、例题精析
考点一正、余弦定理的简单应用 例 1 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B,则 A 等于 ( A.30° B.60° C.120° D.150° )

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【规范解答】∵sin C=2 3sin B,由正弦定理得 c=2 3b, b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3bc+2 3bc 3 ∴cos A= = = = 2bc 2bc 2bc 2, 又 A 为三角形的内角,∴A=30° . 【总结与反思】(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能 够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中 含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.

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考点二正弦定理、余弦定理的综合应用 例2 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

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【规范解答】(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为 B=π-A-C,所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. π? 1 ? 由于 sin C≠0,所以 sin?A-6?=2. ? ? π 又 0<A<π,故 A=3. 1 (2)△ABC 的面积 S=2bcsin A= 3,故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8.解得 b=c=2. 【总结与反思】有关三角形面积问题的求解方法: (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化. (2)合理运用三角函数公式,如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等.

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考点三解三角形的实际应用 例3 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为 45° ,距离为

10 n mile 的 C 处, 并测得渔轮正沿方位角为 105° 的方向, 以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢, 我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.

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【规范解答】 如图所示, 根据题意可知 AC=10, ∠ACB=120° , 设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h, 并在 B 处与渔轮相遇, 则 AB=21t,BC=9t,在△ABC 中,根据余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos 120° , 1 2 5 2 所以 212t2=102+92t2+2× 10× 9t× , 即 360 t - 90 t - 100 = 0 ,解得 t = 或 t =- 2 3 12(舍去).所 2 以舰艇靠近渔轮所需的时间为3 h.此时 AB=14,BC=6. BC AB 3 3 在△ABC 中,根据正弦定理得 =sin 120° ,所以 sin∠CAB= 14 = 14 , sin∠CAB 即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去). 即舰艇航行的方位角为 45° +21.8° =66.8° . 2 所以舰艇以 66.8° 的方位角航行,需3 h 才能靠近渔轮. 【总结与反思】求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,三角形可解,则至少要知道这个三角 形的一条边长. 解题中注意各个角的含义, 根据这些角把需要的三角形的内角表示出来, 注意不要把角的含义弄错, 不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.
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3 6× 2

五、课堂运用
【基础】 1、在△ABC,已知∠A=45° ,AB= 2,BC=2,则∠C 等于( A.30° B.60° C.120° D.30° 或 150° )

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AB BC 2 2 【规范解答】在△ABC 中,sin C=sin A,∴sin C=sin 45° , 1 ∴sin C=2,又 AB<BC,∴∠C<∠A,故∠C=30° .故选 A

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c 2、△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若b<cos A,则△ABC 为( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形

)

D.等边三角形

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sin C 【规范解答】依题意得sin B<cos A,sin C<sin Bcos A,所以 sin(A+B)<sin Bcos A, 即 sin Bcos A+cos Bsin A-sin Bcos A<0,所以 cos Bsin A<0. 又 sin A>0,于是有 cos B<0,B 为钝角,△ABC 是钝角三角形.故选 A

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【巩固】 π 1、在△ABC 中,若 b=5,∠B=4,tan A=2,则 a=________.

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【规范解答】由 tan A=2 得 sin A=2cos A. 2 5 π 又 sin2A+cos2A=1 得 sin A= 5 .∵b=5,∠B=4, a b bsin A 2 5 根据正弦定理,有sin A=sin B,∴a= sin B = =2 10. 2 2

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1 2、在△ABC 中,∠C=90° ,M 是 BC 的中点.若 sin∠BAM=3,则 sin∠BAC=________.

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1 2 2 BM AM 【规范解答】因为 sin∠BAM=3,所以 cos∠BAM= 3 .如图,在△ABM 中,利用正弦定理,得 =sin B,所 sin∠BAM BM sin∠BAM 1 以AM= sin B =3sin B= 1 . 3cos∠BAC

CM 在 Rt△ACM 中,有AM=sin∠CAM=sin(∠BAC-∠BAM).由题意知 BM=CM, 所以 1 =sin(∠BAC-∠BAM). 3cos∠BAC

化简,得 2 2sin∠BACcos∠BAC-cos2∠BAC=1. 所以 2 2tan∠BAC-1 tan2∠BAC+1 =1,解得 tan∠BAC= 2.

6 再结合 sin2∠BAC+cos2∠BAC=1,∠BAC 为锐角可解得 sin∠BAC= 3 .

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【拔高】 π ?π ? ?π ? 1、在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 A=4,bsin?4+C?-csin?4+B?=a. ? ? ? ? π (1)求证:B-C=2; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

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【规范解答】(1)证明

?π ? ?π ? ?π ? ?π ? 由 bsin?4+C?-csin?4+B?=a,应用正弦定理,得 sin Bsin?4+C?-sin Csin?4+B?=sin A, ? ? ? ? ? ? ? ?

2 ? 2 ? ? 2 ? 2 2 sin B? sin C+ cos C?-sin C? sin B+ cos B?= 2 , 2 2 ?2 ? ?2 ? 整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1, 即 sin(B-C)=1. 3 π 由于 0<B,C<4π,从而 B-C=2. (2)解 3π 5π π B+C=π-A= 4 ,因此 B= 8 ,C=8.

π asin B 5π asin C π 由 a= 2,A=4,得 b= sin A =2sin 8 ,c= sin A =2sin 8, 1 5π π 所以△ABC 的面积 S=2bcsin A= 2sin 8 sin 8 π π 1 = 2cos 8sin 8=2.

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2、已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,角 B 所对的边 b= 3,且函数 f(x)=2 3sin2x+2sin xcos x- 3在 x=A 处取得最大值. (1)求 f(x)的值域及周期; (2)求△ABC 的面积.

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【规范解答】解

(1)因为 A,B,C 成等差数列,

π 2π 所以 2B=A+C,又 A+B+C=π,所以 B=3,即 A+C= 3 . π? ? 因为 f(x)=2 3sin2x+2sin xcos x- 3= 3(2sin2x-1)+sin 2x=sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x-3?, ? ? π? 2π ? 所以 T= 2 =π.又因为 sin?2x-3?∈[-1,1],所以 f(x)的值域为[-2,2]. ? ? π? ? (2)因为 f(x)在 x=A 处取得最大值,所以 sin?2A-3?=1. ? ? 2 π π π π 因为 0<A<3π,所以-3<2A-3<π,故当 2A-3=2时,f(x)取到最大值, 5 π 所以 A=12π,所以 C=4.由正弦定理,知 3 c π= π?c= 2. sin 3 sin 4

2+ 6 3+ 3 1 ?π π? 又因为 sin A=sin?4+6?= ,所以 S△ABC= bcsin A= . 4 2 4 ? ?

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课程小结
A B C π 1.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=π, 2 + 2 + 2 =2中互补和互余的情况,结合诱导公式可以减少角的种数. 2.正、余弦定理的公式应注意灵活运用,如由正、余弦定理结合得 sin2A=sin2B+sin2C-2sin B· sin C· cos A,可以进行 化简或证明. 3.合理利用换元法、代入法解决实际问题.

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