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第一讲 函数概念及其性质


第一讲
一、 知识扫描:

函数概念及其性质

1、设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f,对 A 中的任意一个元素 x,在 B 中 有一个且仅有一个元素 y 与 x 对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射.记作 f:A→B,其中 x 叫原象,y 叫象. 2、设集合 A 是一个非空的数集,对 A 中的任意数

x,按照确定的法则 f,都有唯一确定 的数 y 与它对应,则这种映射叫做集合 A 上的一个函数.记作 y=f(x),x∈A. 其中 x 叫做自变量,自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域.所有函数值构 成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全确 定. 3、函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集,值域中的每一个元素都 有原象.构成函数的三要素:定义域,值域和对应法则.其中定义域和对应法则是核心. 4、设函数 y=f(x)的定义域为 D,如果对于 D 内的任意一个 x,都有-x∈D,且 f(-x) =-f(x),则这个函数叫做奇函数. 设函数 y=g(x)的定义域为 D, 如果对于 D 内任意一个 x, 都有-x∈D, 且 g(-x)=g(x), 则这个函数叫做偶函数. 奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形; 偶函数的图象是以 y 轴为对称 轴的轴对称图形. 5、一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 M ? A.如果取区间 M 中的任意两个值 x1,x2,改变量 ? x=x2-x1>0,则 当 ? y=f(x2)-f(x1)>0 时,就称函数 y=f(x)在区间 M 上是增函数; 当 ? y=f(x2)-f(x1)<0 时,就称函数 y=f(x)在区间 M 上是减函数. 如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间 M 上具 有单调性,区间 M 称为单调区间. 在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的. 6、一般的,对于函数 f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域中的每一 个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数 y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做这 个函数的周期.

二、例题分析:
例 1 下列四个图象中,不是函数图象的是(
).

y

y

y

y

O
A.

x

O
B.

x
O
C.

x

O
D.

x

例 2 设函数 f ( x ) ? ? 可能值为______.

? x ? 1, x ? 0,
2 ?? x ? 2 x ? 2, x ? 0,

则 f(1)=______; 若 f(0)+f(a)=-2, 则 a 的所有

? x ? 3, x ? ?1, ? 练习:1、已知 f ( x) ? ? x 2 ,?1 ? x ? 2, 若 f(x)=3,则 x 的值是( ?3 x, x ? 2 ?
(A)0 (B)0 或

)

3 2

(C) ? 3

(D) 3

2、已知 f(x)=2x+x-1, g ( x) ? ?

? x 2 ( x ? 0), ? x ? 1( x ? 0),

求 g(-1),g[f(1)]的值.

例 3 下列四组函数中,表示同一函数的是( (A) y ? (C) y ?

) (B) y ?| x |, y ? (D) y ? x, y ? x

x 2 , y ? ( t )2
x2 ? 1 , y ? x ?1 x ?1

t2

x2

练习:下列哪组中的两个函数是同一函数 (A) y ? ( x )2 与 y ? x (C) y ? (B) y ? ( 3 x )3 与 y ? x (D) y ?
3

x 2 与 y ? ( x )2

x3 与 y ?

x2 x

例 4 求下列函数的定义域 (1) y ?

x ? 1;
lg(3 ? x) ? ( x ? 1)0 ; x

(2) y ?

1 x ? 2x ? 3
2

;

(3) y ?

(4) y ?

1 ? x2 ; |2? x|?2
)

练习: 已知函数 f ( x) ? (A){x|x>1}

1 的定义域为 M, g(x)=ln(1+x)的定义域为 N, 则 M∩N=( 1? x
(B){x|x<1} (C){x|-1<x<1} (D) ?

例 5 (1)已知 f ( ) ?

x ,求 f(x)的解析式; 1 ? x2 1 1 2 (2)已知 f ( x ? ) ? x ? 2 ,求 f(3)的值; x x
(3)如果 f(x)为二次函数,f(0)=2,并且当 x=1 时,f(x)取得最小值-1,求 f(x)的解析式;

1 x

练习:已知 f(x-1)=x2+2x,则 f ( ) ? (

1 x

)

1 2 (A) 2 ? x x

1 (B) 2 ? 1 x

3x 2 ? 4 x ? 1 (C) x2 2x ? 1 ? 2x ? 1

(D)

2x ? 1 x2

例 6 判断下列函数的奇偶性. (1) f ( x) ?

x ; x ?1

(2)f(x)=x3-3x;

(3) y ?

练习:判断下列函数的奇偶性. (1) f ( x) ?

1 ? 1; x

(2) y ? lg

1? x ; 1? x

例 7 已知 f(x)为奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x, (1)求 f(-1)的值; (2)当 x<0 时,求 f(x)的解析式.

练习:已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则 当 x∈(0,+∞)时,f(x)=______.

1 ? x2 . 1 ? x2 (1)求它的定义域; (2)判断它的奇偶性; 1 (3)求证: f ( ) ? ? f ( x) ; x (4)求证: f ( x) 在 [1, ??) 上递增.
例 8 设函数 f ( x) ?

练习: 1、若函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞)是增函数,则 m 的取值范围是______;f(1) 的取值范围是______. 2、已知函数 f(x)是定义域为 R 的单调增函数. (1)比较 f(a2+2)与 f(2a)的大小; (2)若 f(a2)>f(a+6),求实数 a 的取值范围.

家庭作业: 1.图中的图象所表示的函数的解析式为(

)

3 | x ? 1 | (0 ? x ? 2) 2 3 (C) y ? ? | x ? 1 | (0 ? x ? 2) 2
(A) y ? 2.函数 f ( x) ?

(B) y ?

3 3 ? | x ? 1 | ( 0 ? x ? 2) 2 2

(D)y=1-|x-1|(0≤x≤2)

3? x 的定义域是______. | x|?2
x f(x) 1 1 2 3 3 1 x g(x) 1 3 2 2 3 1

3.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出

则 f[g(1)]的值为______;满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 的值是______. 4.下列函数中,在(1,+∞)上为增函数的是( ) (A)y=x2-4x (B)y=|x| (C) y ?

1 x

(D)y=-x2+2x )

5. 已知函数 f(x)是 R 上的奇函数, 并且是周期为 3 的周期函数, 又知 f(1)=2. 则 f(2)=( (A)-2 (B)2 (C)1 (D)-1 6.设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) (A)f(x)f(-x)是奇函数 (B)f(x)|f(-x)|是奇函数 (C)f(x)-f(-x)是偶函数 (D)f(x)+f(-x)是偶函数 7.设函数 f ( x) ?

( x ? 1)( x ? a ) 为奇函数,则实数 a=______. x 3 ) 与 f(3)的大小; a

8.已知函数 f(x)是单调减函数. (1)若 a>0,比较 f (a ?

(2)若 f(|a-1|)>f(3),求实数 a 的取值范围.

2 9.已知函数 f ( x) ? x ?

a (x ? ? 0, a ? R ). x

(1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)当 a=1 时,证明函数 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数.

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