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高考数学椭圆与双曲线的经典性质结论


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椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)

1. 2. 3. 4. 5. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 0



xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 上,则过 P 的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 0 2 a b a b 2 2 xx y y x y 6. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . 0 a b a b 2 2 ? x y 2 7. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b tan . 1 2 a b 2 2 x y 8. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 即 K AB

x2 y 2 b2 ? 2 ? 1 的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 kOM ? k AB ? ? 2 , a2 b a 2 b x ?? 2 0 。 a y0

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 12. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 2 ? 2 ? 2 ? 2 . 0 a b a b a b x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y 13. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 2 ? 2 . 0 a b a b a b

双曲线
1. 2. 3. 4. 5. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P 的双曲线的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 0 2 a b a b

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6. 7. 8.

若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0 双曲线

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b

? x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 ?F1PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 co t . 2 2 a b 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a . 1
当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

9.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

b 2 x0 b 2 x0 x2 y 2 11. AB 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 K OM ? K AB ? 2 ,即 K AB ? 2 。 a b a y0 a y0
x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 12. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 2 ? 2 ? 2 ? 2 . 0 a b a b a b 2 2 2 2 xx y y x y x y 13. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 02 ? 02 . 0 a b a b a b

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
陈华伟


1. 2.



x2 y 2 x2 y 2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b a b 2 2 2 x y bx 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? 2 0 (常数). a b a y0
a?c ? ? x2 y 2 ? tan co t . 若 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则 a?c 2 2 a b
设椭圆

3.

4.

x2 y 2 sin ? c ? 2 ? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有 ? ? e. 2 a b sin ? ? sin ? a x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. a 2 b2

5.

若椭圆

6.

x2 y 2 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,则 2a? | AF2 |?| PA | ? | PF |? 2a? | AF | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立. 1 1 a b ( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 . 椭圆 2 2 a b

7.

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8. 9.

已知椭圆 过椭圆

x2 y 2 4a 2b2 a 2b 2 1 1 1 1 ? 2 ? 1 (a>b>0) 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ .(1) ,O ? ? 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为 2 2 ;(3) S?OPQ 的最小值是 2 2 . a2 b a ?b a ?b | OP |2 | OQ |2 a b

x2 y 2 | PF | e ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 ? . 2 a b | MN | 2

x2 y 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 10. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 ? . a b a a

? x2 y 2 2b2 2 11. 设 P 点是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? .(2) S ?PF1F2 ? b tan . 2 a b 1 ? cos ?
x2 y 2 2ab2 | cos ? | 12. 设 A、B 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1) | PA |? 2 .(2) tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) 2 2 a b a ? c co s ? S?PAB ? 2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2 x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. a 2 b2

13. 已知椭圆

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
陈华伟

双曲线
1. 2.

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a2 b a b 2 2 2 x y bx 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 0 (常数). a b a y0
双曲线

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3.

若 P 为双曲线

c?a ? ? c?a ? ? x2 y 2 ? tan co t (或 ? tan co t ). ? 2 ? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则 2 c?a 2 2 c?a 2 2 a b

4.

设双曲线

x2 y 2 sin ? c ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有 ? ?e. 2 a b ?(sin ? ? sin ? ) a x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定点,则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立. a 2 b2

5.

若双曲线

6.

P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 . a 2 b2 x2 y 2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 OP ? OQ . ,O a b 4a 2b 2 a 2b 2 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ;(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为 2 (1) ;(3) S?OPQ 的最小值是 2 . b ? a2 b ? a2 | OP |2 | OQ |2 a b
7. 双曲线 9. 过双曲线

x2 y 2 | PF | e ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 ? . 2 a b | MN | 2

x2 y 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a2 b a a ? x2 y 2 2b2 2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? .(2) S ?PF1F2 ? b cot . 2 a b 1 ? cos ? 2 2 x y 2ab2 | cos ? | ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) | PA |? 2 2 12. 设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, . a b | a ? c co s2 ? |
10. 已知双曲线
2 (2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S?PAB ?

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

13. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. a 2 b2

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.

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18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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