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5数学基础知识与典型例题复习--向量


数学基础知识与典型例题 第 5 章平面向量 平 面 向 量 相 关 知 识 关 系 表 向 量 的 概 念 及 运 算

其中向量的加减法运算结果仍是向量,两个向量数量积运算结果是数 量。 研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研 究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具 .特别是向量可以用坐标表示 ,且可 以用坐标来运算,向量运算问题

可以完全坐标化. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。主要 内容列表如下: 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 ??? ??? ??? ??? ??? 加法与 OA + OB = OC 记 OA =(x1,y1), OB =(x1,y2) 减法 ??? ??? ??? 则 OA ? OB =(x1+x2,y1+y2) OB ? OA = AB OB ? OA =(x2-x1,y2-y1)
OA + AB = OB
???

???

???

实数与 向量的 乘积

AB =λ a λ ∈R

???

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记 a =(x,y) 则λ a =(λ x,λ y)
?

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一、向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来 表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法: ⑴字母表示法:如 a, b, c, 等. ⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如 AB , CD 等. ⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量 OA 的起点 O 为在坐标原点,终点 A 坐标为 ? x, y ? ,则 ? x, y ? 称为 OA 的坐标,记为 OA = ? x, y ? . 向 量 的 概 念 及 运 算 注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具. 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量 .向量可以自由平移,平移前后的向量 相等.两向量 a 与 b 相等,记为 a ? b . 注:向量不能比较大小,因为方向没有大小. 4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的. 5.单位向量:长度等于 1 个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一 个单位向量. 6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以 移到同一直线上.规定: 0 与任一向量共线. 注:共线向量又称为平行向量. 7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 (一)运算定义 ①向量的加减法, ②实数与向量的乘积, ③两个向量的数量积,这些运算 的定义都是 “自然的”,它们都有明显的物理学的意义及几何意义.
第1页

两个向 a ? b ? a ? b cos a, b 记 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) 量的数 ? ? a b =x1x2+y1y2 则 · 量积 (二)运算律 加法:① a ? b ? b ? a (交换律); ② (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) (结合律) 实数与向量的乘积:① ?(a ? b) ? ? a ? ?b ; ② (? ? ?) a ? ? a ? ? a ;③ ? (? a) ? (?? )a 两个向量的数量积: ① a · b = b · a ; ②(λ a )· b = a ·(λ b )=λ ( a · b );
c +b ·c ③( a + b )· c = a · 注:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的 运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

例如( a ± b ) = a ? 2 a? b ? b (三)运算性质及重要结论 ⑴平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这 个平面内任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 , 称 ?1 e1 ? ?2 e2 为 e1 , e2 的线性组合。 ①其中 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的基底; ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 e1 , e2 的方向分解为两个向量的 和,并且这种分解是唯一的. 这说明如果 a ? ? e ? ? e 且 a ? ? ' e ? ? ' e ,那么 ?1 ? ?1? ? ?2 ? ?2? .
1 1 2 2 1 1 2 2

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2

?2

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2

③当基底 e1 , e2 是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此 平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
第2页

向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标, 即若 A(x,y),则 OA =(x,y) ;当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点 坐标减去起点坐标,即若 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 AB =(x2-x1,y2-y1) ⑵两个向量平行的充要条件 符号语言: a// b ? a ? ? b ( b ? 0 ) 坐标语言为:设非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ∥ b ? (x1,y1)=λ (x2,y2),
? ? ? x1 ? ? x2 即? , 或 x1y2-x2y1=0, 在这里 , 实数 λ 是唯一存在的 , 当 a 与 b 同向时 , ? y1 ? ? y2

(A)-5
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(B)-1
? ? ? ? ?

(C)1
? ? ?

(D)5
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???

例 3. 设 a , b , c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则: ①( a · b ) c ? ( c · a ) b =0
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???

②| a |-| b |<| a ? b |
? ? ? ? ? ?

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③( b · c ) a ? ( c · a ) b 不与 c 垂直 ④(3 a +2 b )·(3 a ? 2 b )=9| a |2- 4 b |2 中, 真命题是( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ 例 4. △OAB 中, OA = a , OB = b , OP = p ,若 p = t ( (A)∠AOB 平分线所在直线上 (C)AB 边所在直线上
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a

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λ >0;当 a 与 b 异向时,λ <0。|λ |= 向 量 的 概 念 及 运 算
? ?

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|a| |b|
?

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,λ 的大小由 a 及 b 的大小确定。因此,

?

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|a| |b| (B)线段 AB 中垂线上 (D)AB 边的中线上
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?

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b

?

t∈R, 则点 P 在( ),

)

例 5. 正方形 PQRS 对角线交点为 M,坐标原点 O 不在正方形内部,且 OP = (0,3) , OS =(4,0) ,则 RM =( (A)( ? , ? )
7 2 1 2

当 a , b 确定时,λ 的符号与大小就确定了 . 这就是实数乘向量中 λ 的几何意 义。 ⑶两个向量垂直的充要条件 符号语言: a ? b ? a ? b ? 0 坐标语言:设非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ⑷两个向量数量积的重要性质: ① a ?| a | 2 即 | a |? a (求线段的长度); ② a ? b ? a ? b ? 0 (垂直的判断); a ?b ③ cos ? ? (求角度)。 a?b 以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由 此可以看到向量知识的重要价值. 注:①两向量 a , b 的数量积运算结果是一个数 a ? b cos ? (其中 ? ? a, b ),这个 数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. ② b cos? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影(如图). 数量积的几何意义是数量积 a b 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影的积. ③如果 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 PP 1 2 = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,
( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ,这就是平面内两点间的距离公式. ∴ PP 1 2 ?
? ?

) (C)(7,4) (D)( ,
7 7 ) 2 2

(B)( ,

?

?

? ?

例 6.已知 a ? ? x,3? , b ? ? ?2, 4 ? , a ? b ,则实数 x=_______. 向 量 的 概 念 及 运 算 的余弦值是_____. 小.

7 1 ) 2 2

?

?

例 7.已知 a ? b ? ? 2, ?8? , a ? b ? ? ?6, ?4 ? , 则 a ? _____, b ? ______, a 与 b 的夹角 例 8. 已知 ABC 的三个顶点分别为 A 3, ? 3 , B ? 6,0 ? , C 5, ? 3 , 求 ?ACB 的大

?2
?

?

?

?2

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例 9. 已知△ABC 中,A(2,-1) ,B(3,2) ,C(-3,-1) ,BC 边上的高为 AD,求点 D 和向量 AD 坐标。
???

例 10.在△OAB 的边 OA、 OB 上分别取点 M、 N, 使| OM |∶| OA |=1∶3, | ON |∶ | OB |=1∶4,设线段 AN 与 BM 交于点 P,记 OA = a , OB = b ,用 a , b 表 示向量 OP .
???

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向量 的 概念 及运

例 1.在 ( A)BC

ABCD 中, BC ? CD ? BA ? (



(B)DA

(C )AB
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(D)AC
?? ?



例 2.平面内三点 A(0, ?3), B(3,3), C ( x, ?1) ,若 AB ∥ BC ,则 x 的值为( )
第3页 第4页

线段的定比分点 1.定义:设 P 1 、P 2 是直线 上的两点,点 P 是 上不同于 P 1 、P 2

定 比 分 点

平 移

例 11. 点 A(m,n) 关 于 点 ? 叫做点 P 分有 B(a,b) 对 称 点 的任意一点,则存在一个实数 ? 使 PP 1 ? ? PP 2 , 的坐标是( ) 向线段 PP 1 2 所成的比.(如图) (A) (-m, -n) (B)( a - m,b -n) (C)(a-2m,b ? ?0; ①P 在线段 PP 1 2 上,P 为内分点时, -2n) ? ? 0. ②P 在线段 PP 1 2或P 2P 1 的延长线上, P 为外分点时, (D)(2a-m, PP 1 2b-n) ③? ? ? , 内分取 “+”, 外分取 “一”. 例 12 . 设 PP2 A(5, 6), B(3, 4) 2. PP 定比分点坐标公式 : 1 2 , 直线 AB 交 x 设P 轴于 C 点,则 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 、 P ( x , y ) , PP 1 ? ? PP 2 x ? ? x2 ? 点 C 分 AB 所成 x? 1 ? ? 1? ? 则: , ? ? ? 1 ? ? 的比为() ? ? y ? y1 ? ? y2 5 ? ( A) ? 1? ? ? 4 x ? x2 ? x? 1 3 ? 2 特殊地, 当? ? 1 时 得中点坐标公式: ? ( B) ? ? 2 ? y ? y1 ? y 2 ? 4 2 ? (C ) ? 5 另外,注意一下定比分点的向量公式: 2 O 为平面内任意一点, PP 1 ? ? PP 2 ( D) ? 3 OP ? ? OP2 则 OP ? 1 (? ? ?1) . ?? ? 有时直接运用它来考虑更简便! 3. 三角形重心公式及推导(见课本例 2) : x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 , ) 三角形重心公式: ( 3 3 1.图形平移:设 F 是坐标平面内的一个图形,将 F 上所有的 例 13. 设 向 量 点按照同一方向移动同样长度 (即按向量 a 平移),得到图形 AB ? (7, ?5) , F`,我们把这一过程叫做图形的平移。 则 将 AB 按 2.平移公式:点 P ? x, y ? 按 a ? 3,6 平 移 向量 a ? ? h, k ? 平移到 P? ? x ' , y ' ?

(h,k) 3. ⑴设曲线 C :y=f(x)按 a = 平移,则平移后曲线 C ? 对应 的 解 析 式为 y ? k ? f ( x ? h) , 当 h , k 中 有 一 个为零时, 就是前面已经研究 过 的 左 右及上下平移. 注 : 函数图象平移口诀 : 左加 右减,上 加下减. 注意这里是指函数解析式的变化 ,另外注意顺序性. ........

?

(D)(3,6) 例 14. 若 将 曲 线 C1: y ? f ( x) 平 移 到 C2, 使 得曲线 C1 上一 点 P 的坐标由 (1,0) 变为 (2,2), 则 C2 的方程是 () (A) y ? f ( x ?1) ? 2 ( B) y ? f ( x ?1) ? 2 (C) y ? f ( x ? 1) ? 2 ( D) y ? f ( x ? 1) ? 2 例 15. 把函数 y ? sin x 的 图 象 按 ? ? ? a ? ? ? , ?2 ? 平 ? 4 ? 移后得到的函 数解析式为____.

解 三 角 形

解斜三角形: 常用的主要结论有: (1)A+B+C=1800 ⑵任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. ⑶等边对等角: a ? b ? A ? B ; 大边对大角: a ? b ? A ? B . 1 1 ⑷ S ABC ? 底× 高= r (a ? b ? c) (其中 r 是内切圆半径) 2 2 1 ? ab sin C ? 2 a b c ? ? ? 2 R (正弦定理) ⑸ sin A sin B sin C ⑹ a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, b2 ? (余弦定理) )

?

?

?x' ? x ? h 则? (新=旧+移) ?y ' ? y ? k 其中 a ? ? h, k ? 叫做平移向量.
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得到 A' B' 的坐 标表示为( ) (A)(0,1) (B)(4,-11) (C)(7,-5)

解 三 角 形

例 16.在 V ABC 中, B ? 45 , c ? 5 2, b ? 5 ,则 a 等于(

(A) 5 2 (B) 5 3 (C) 5 (D) 10 例 17.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 300,600,则塔 高为( ) (A)

400 米 3

(B)

400 3 米 3
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(C)

200 3 米 3

(D) 200 米
3

例 18.在 ABC 中, a ? x, b ? 2, , B ? 45 ,若这个三角形有两解,则 x 的取值范 围是( )

( A) x ? 2

( B) x ? 2

(C)2 ? x ? 2 2

( D)2 ? x ? 2 3

数学基础知识与典型例题(第 5 章平面向量)答案 例 1A、 例 2.C、 例 3.D、 例 4.A、 例 5.A、 例 6.6、 例 7. (?2, ?6) , (4, ?2) ,
???

2 、 例 8. 120 10

例 9. 解:(用解方程组思想)设 D(x,y) ,则 AD =(x-2,y+1) ∵ BC =(-6,-3) , AD · BC =0,∴-6(x-2)-3(y+1)=0,即 2x+y-3=0① ∵ BD =(x-3,y-2), BC ∥ BD ,∴-6(y-2)=-3(x-3),即 x-2y+1=0② ??? ?x ? 1 由①②得: ? ,∴D(1,1), AD =(-1,2) ?y ?1 例 10. 解:∵ B、P、M 共线∴ 记 BP =s PM ??? 1 ??? s ??? 1 ??? s ??? 1 ? s ? ∴ OP ? OB? OM ? OB? OA ? b? a① 1? s 1? s 1? s 3(1 ? s) 1? s 3(1 ? s) ??? ??? ?? ? 1 ? t ? 同理,记 AP ? t PN ∴ OP = a? b② 1? t 4(1 ? t ) s ? 1 9 ? ? s? ? ? ? ??? ? 1 ? t 3(1 ? s ) 3? 2? ? ? 2 ∵ a , b 不共线∴ 由①②得 ? 解之得: ? ∴ OP ? a ? b 11 11 ?t ? 8 ? 1 ? t ? ? ? 3 ?1 ? s 4(1 ? t ) 注:从点共线转化为向量共线,进而引入参数(如 s,t)是常用技巧之一。平面 向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于 s,t 的方 程。 例 11.D、 例 16.C、 例 12.B、 例 13.C 、
?? ? ?? ?
???

???

???

???

???

???

? 例 14.A 、 例 15. y ? sin( x ? ) ? 2 、 4

例 17.A 、 例 18.C、

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