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2015世纪金榜理科数学(广东版)7.1


第七章 立 体 几 何 第一节 空间几何体的结构及其 三视图和直观图

考纲 考情

广东五年2考 高考指数:★★☆☆☆ 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能 运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱 等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体 模型,会用斜二

测画法画出它们的直观图 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的 三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式 2013 T5 2010 T6

五年 考题 考情 播报

1.三视图是近几年高考命题的热点 2.常考查柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质 3.以选择题、填空题的形式考查,有时也会在解答题中出 现,属中低档题

【知识梳理】
1.空间几何体的结构特征
相等 全等

公共点 平行于底面 相似

2.空间几何体的三视图 (1)三视图的形成与名称: ①形成:空间几何体的三视图是用平行投影得到的,在这种投 影之下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的 形状 和_____ 大小 是完全相同的; _____ 正视图 、_______ 侧视图 、_______. 俯视图 ②名称:三视图包括_______

(2)三视图的画法: 虚线 ①在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成_____. 正前 ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_____ 正左 方、_____ 正上 方观察几何体画出的轮廓线. 方、_____

3.空间几何体的直观图 斜二测 画法来画,基本步骤是: 空间几何体的直观图常用_______ (1)画几何体的底面: 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直观 图时,把它们画成对应的x′轴、y′轴,两轴相交于点O′,且 45°(或135°) 使∠x′O′y′=______________,已知图形中平行于 x轴的线

不变 平行于y轴的线段,长度_____. 减半 段,在直观图中长度_____,

(2)画几何体的高: 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直观图中对应的 z′轴,也垂直于x′O′y′平面,已知图形中平行于z轴的线段, 不变 在直观图中仍平行于z′轴且长度_____.

【考点自测】 1.(思考)给出下列说法

①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.

③一个棱柱至少有5个面,面数最少的一个棱锥有4个顶点,顶点
最少的一个棱台有3条侧棱.

④用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x 轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中,∠A=45°. ⑤正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同. 其中正确的是 A.①③ ( B.②⑤ ) C.①④ D.③

【解析】选D.①错误.尽管几何体满足了两个面平行且其他各 面都是平行四边形,但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相

平行.如图

,该几何体并不是棱柱.

②错误.尽管几何体满足了一个面是多边形,其余各面都是三
角形,但不能保证三角形具有公共顶点.

③正确.面数最少的棱柱为三棱柱,有5个面;面数最少的棱锥为 三棱锥,有4个顶点;顶点最少的棱台为三棱台,有3条侧棱. ④错误.∠A应为45°或135°. ⑤错误.正方体的三视图由于正视的方向不同 ,其三视图的形状 可能不同,圆锥的侧视图与俯视图显然不相同 .

2.有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个 ( )

A.棱台

B.棱锥

C.棱柱

D.都不对

【解析】选A.从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但大小不 一样,可以判断是棱台.

3.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视 图不可能是 ( )

【解析】选C.依题意,此几何体为组合体,若上下两个几何体均 为圆柱,则俯视图为A; 若上边的几何体为正四棱柱,下边几何体为圆柱,则俯视图为B; 若俯视图为C,则正视图中应有实线或虚线,故该几何体的俯视 图不可能是C;

当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱 ,下面的
几何体为正四棱柱时,俯视图为D.

4.如图所示的直观图,其表示的平面图形是

(

)

A.正三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形

【解析】选D.因为BC∥y′轴,故在原图中平行于y轴,而 AC∥x′轴,在原图中平行于x轴,故BC⊥AC,故三角形的形状为 直角三角形.故选D.

5.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示,
则其侧面积为 .

【解析】由题意可知,该直三棱柱的底面边长为2,高为1, 故S侧面=3×2×1=6. 答案:6

6.(2014·郑州模拟)利用斜二测画法得到的: ①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形.

以上结论正确的个数是

.

【解析】由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一般的平 行四边形;③错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而 菱形的直观图也不一定是菱形,④也错误. 答案:1

考点1

空间几何体的结构特征

【典例1】(1)给出下列命题: ①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; ②用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台; ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直; ④若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱 柱为直四棱柱;

⑤存在每个面都是直角三角形的四面体; ⑥棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是 A.①②③④ C.③④⑤⑥ ( )

B.②③④⑤ D.①②③④⑤⑥

(2)给出下列命题:

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是
圆柱的母线; ②在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是 圆台的母线; ③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确命题的序号是 A.①② B.②③ ( ) C.①③ D.③

【解题视点】(1)根据棱柱、棱锥、棱台的定义及特征进行判 断. (2)根据圆柱、圆台母线的定义及其相关性质进行判断 .

【规范解答】(1)选C.①错误,因为棱柱的侧 面不一定是全等的平行四边形;②错误,必须

用平行于底面的平面去截棱锥,才能得到棱台;
③正确,根据面面垂直的判定定理判断;④正确,因为两个过相

对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;⑤正确,如图
所示,正方体AC1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形;

⑥正确,由棱台的概念可知.因此,正确命题的序号是③④⑤⑥.
(2)选D.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知 ,只有③是正

确的,所以选D.

【规律方法】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条 件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本 元素,然后再依据题意判定. (2)利用反例对结构特征进行辨析,即要说明某个命题是错误的,

只要举出一个反例即可.

直棱柱、正棱柱和正棱锥的有关概念 (1)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱 . (2)正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱 的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形. (3)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边 形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫 正四面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的 射影是底面正多边形的中心.

【变式训练】下列结论正确的是

(

)

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的 曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六

棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

【解析】选D.A错误.如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放 在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是三棱锥.

B错误.如图,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转
轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥.

C错误.因为六棱锥的所有棱长都相等,所以底面多边形是正六 边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于 底面边长.

【加固训练】 1.下面有四个命题: ①各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;

②三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥;
③底面是正三角形的棱锥是正三棱锥;

④顶点在底面上的射影是底面多边形的内心,又是外心的棱锥
必是正棱锥.其中正确命题的个数是 ( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选A.命题①显然不正确.正棱锥必须具备两点,一是: 底面为正多边形,二是:顶点在底面内的射影是底面的中心;命 题②缺少第一个条件,命题③缺少第二个条件.而命题④可推出 以上两个条件都具备.

2.若三棱锥P-ABC的底面ABC是正三角形,则三个侧面的面积相 等是三棱锥P-ABC为正三棱锥的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 ( )

D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.当三棱锥P-ABC的底面ABC是正三角形时,如果该 三棱锥又是正三棱锥,则其三个侧面的面积一定相等,但当三个 侧面的面积相等时,却不一定能推出该三棱锥是正三棱锥 .

3.给出下列三个命题: ①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体; ②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台; ③通过圆台侧面上一点,有无数条母线. 其中正确命题的序号是 .

【解析】①错误,没有说明这两个平行截面与底面的位置关系,
当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况则结论是错误

的,如图(1).②正确,如图(2).③错误,通过圆台侧面上一点,只
有一条母线,如图(3).

答案:②

考点2

空间几何体的三视图

高频考点 通 关

【考情】三视图是高考命题的热点,以选择题、填空题的形式 出现,主要考查已知几何体,判断三视图;已知几何体三视图中 的两个视图,判断第三个视图;由三视图判断几何体等.

【典例2】(1)(2014·汕头模拟)如图是一正方体被过棱的中点

M,N和顶点A,D截去两个角后所得的几何体,则该几何体的正视
图为 ( )

(2)(2013·四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何 体的直观图可以是 ( )

【解题视点】(1)结合正方体原形,找准M,N,截取几何体,然后
作正视图. (2)结合三视图进行判断,特别要注意虚线的标注.

【规范解答】(1)选B.对于选项A,由于只是截去了两个角,此切 割不可能使得正视图成为梯形.故A不对;对于B,正视图是正方 形符合题意,线段AM从正面可以看到,故是一条实线段,相对面 上的线段DC1的投影是正方形的对角线,由于从正面看不到,故 应作成虚线,故选项B正确;对于C,正视图是正方形,符合题意,

有两条实线存在于正面不符合实物图的结构,故不对;对于D,正
视图是正方形符合题意,其中的两条实线符合俯视图的特征,故

D不对.

(2)选D.根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致 ,并且俯视 图是两个圆,可知只有选项D适合,故选D.

【通关锦囊】 高考指数 ◆◆◆ 重点题型 破 解 策 略

根据几何体的 由实物图画三视图或判断选择三 图形,识别三视 视图,符合“正侧一样高,正俯一 图 样长,俯侧一样宽”的特点

◆◆◆

三视图还原直 观图 根据几何体三 视图中的两个 视图,判断第三 个视图

首先对柱、锥、台、球的三视图 要熟悉;其次,明确三视图的形成 原理,并能结合空间想象将三视 图还原为直观图,遵循“长对正、 高平齐、宽相等”的原则

◆◆◇

根据已有的两个视图判断出几何 体的可能的不同形状,就可以在 已有视图的基础上画出第三个视 图

【关注题型】 三视图与原几何体之 间的图形关系问题 三视图与函数不等式 判断三视图中各线之间的关 系,并将三视图还原成几何体,

◆◇◇

注意分类讨论的应用
明确三视图与直观图之间的 数量关系,结合三视图的特征 建立数学模型

◆◇◇

相结合问题

◆◇◇

根据小正方体的个数 首先确定几何体的形状,再判

确定三视图

断三视图

【特别提醒】对于简单组合体的三视图,首先要确定正视、侧 视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它 们的组成方式,特别应注意它们的交线的位置,区分好实线和虚 线的不同.

【通关题组】 1.(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均 相等,那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱锥 ( ) D.圆柱

C.正方体

【解析】选D.圆柱的三视图,分别为矩形,矩形,圆,不可能三个

视图都一样,而球的三视图都是圆,三棱锥的三视图可以都是三
角形,正方体的三视图可以都是正方形.

2.(2014·汕尾模拟)一个正方体截去两个角后所得几何体的正 视图、俯视图如图所示,则其侧视图为 ( )

【解析】选C.根据一个正方体截去两个角后所得几何体的 正视图、俯视图可得几何体的直观图为:

所以侧视图为:

.

3.(2011·浙江高考)若某几何体的三视图如图所示,则这个几 何体的直观图可以是 ( )

【解析】选B. 选项 A B 具体分析 三视图均不相符 三视图均符合 结论 错误 正确

C
D

三视图均不相符
侧视图不相符

错误
错误

4.(2014·长春模拟)一只蚂蚁从正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最 短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可 以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图 可能是 (填上序号).

【解析】由点A经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位 置,共有6种展开方式,若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个 平面内,在矩形中连接AC1会经过BB1的中点,故此时的正视图为 ②.若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内,在矩形中连 接AC1会经过CD的中点,此时正视图会是④.其他几种展开方式

对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中 .
答案:②④

【加固训练】 1.(2014·西安模拟)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边 长为1的正方形,且体积为 1 , 则该几何体的俯视图可以是(
2

)

【解析】选C.若该几何体的俯视图是选项A,则该几何体的体 积为1,不满足题意;若该几何体的俯视图是选项 B,则该几 何体的体积为 ? , 不满足题意;若该几何体的俯视图是选项C,
4

则该几何体的体积为 ,满足题意;若该几何体的俯视图是选 项D,则该几何体的体积为 ,不满足题意.
? 4

1 2

2.(2014·兰州模拟)已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所 示,正视图和侧视图都是矩形,俯视图为正方形,在该几何体上 任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何图形的4个顶点,这 些几何图形是 ( )

①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为直角三角形, 有一个面为等腰三角形的四面体;④每个面都是等腰三角形的 四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体. A.①③④⑤ C.④⑤ B.②③④⑤ D.①④⑤

【解析】选A.由三视图知该几何体是底面边长为a,高为b的长 方体.任选4个顶点,若这4个点的几何体是平行四边形,则其一 定为矩形,故②不可能.其他情形均有可能,如图所示.

3.(2014·龙岩模拟)如图表示一个由相同小立方块 搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位 置上小立方块的个数,则该几何体的正视图为( )

【解析】选C.俯视图中的每个数字是该位置小立方块的个数 , 分析其中的数字,得正视图有3列,从左到右的行数分别是4,3,2.

如图

.

4.(2014·泰安模拟)某几何体的三视图如图所示,当xy最大时,
该几何体的体积为 .

【解析】如图所示,三视图所表示的立体图 形是三棱锥A-BCD,从图中可得x2+y2=52+ ( 7 )2=32,xy≤
x 2 ? y2 =16,当且仅当 2

“x=y”时取“=”,此时x=y=4,VA-BCD=
1 1 ? ? 4 ? 7 ? 3 ? 2 7. 3 2

答案: 2 7

考点3

空间几何体的直观图

【典例3】(1)(2014·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a,

那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为
A. 3 2 a 4 B. 3 2 a 8 C. 6 2 a 8 D. 6 2 a 16

(

)

(2)如图,正方形OABC的边长为1cm,它是水平放置的一个平面
图形的直观图,则原图形的周长为 .

【解题视点】(1)先建立坐标系,然后画出△ABC的直观图 △A′B′C′,求出△A′B′C′相关的边,确定其面积. (2)按照斜二测画法,将正方形OABC还原为平面图形再求解.

【规范解答】(1)选D.如图①②所示的实际图形和直观图 ,

由②可知,A′B′=AB=a,O′C′= 1 OC= 3 a,
2 4

在图②中作C′D′⊥A′B′于D′, 则C′D′= 2 O?C?= 6 a.
2 8

所以S△A′B′C′=

1 A′B′·C′D′ 2

1 6 6 = ?a? a= a 2 . 2 8 16

(2)将直观图还原为平面图形,如图.

可知还原后的图形中
OB ? 2 2, AB ? 1 ? 2 2
2

?

?

2

? 3,

于是周长为2×3+2×1=8(cm).

答案:8 cm

【互动探究】若本例(1)改为“△A1B1C1是边长为a的正三角形, 且△A1B1C1是△ABC的直观图,则△ABC的面积如何?” 【解析】如图,可知

在△A1D1C1中,由正弦定理 得x= 6 a,
2

a x = , sin 45? sin 120?

所以S△ABC= 1 ? a ? 6a= 6 a 2 .
2 2

【易错警示】关注斜二测画法的规则 本例第(1)题采用斜二测画法求△A′B′C′的面积,解题过程 中不能正确求出O′C′的长,导致这种错误的原因是忽视了在 直观图中平行于y′轴的线段长是原图中相应线段长的一半.

【规律方法】直观图画法的关键与结论 (1)关键:在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.“平行于 x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变, 长度减半.” (2)结论:按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与

原图形的面积的关系:
S直观图= 2 S原图形.
4

【变式训练】(2014·太原模拟)一个水平放 置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如 图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这 个平面图形的面积为
1 A. + 4 1 C. + 4 2 4 2 2

(
2 2

)

B.+ 2

1 D. + 2 2

【解析】选B.如图将直观图ABCD还原后为直角梯形A′BCD′, 其中A′B=2AB=2,BC=1+ 2 , A′D′=AD=1.
2 2 2 所以S= 1 ? (1 ++ 1 ) ? 2=2+ . 2 2 2

【加固训练】 1.如图所示是水平放置三角形的直观图, D是△ABC的BC边中点,AB,BC分别与y′轴、 x′轴平行,则三条线段AB,AD,AC中( A.最长的是AB,最短的是AC B.最长的是AC,最短的是AB C.最长的是AB,最短的是AD D.最长的是AC,最短的是AD 【解析】选B.由条件知,原平面图形中AB⊥BC,从而AB<AD<AC. )

2.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,若A1C1=2, △ABC的面积为 2 2, 则A1B1的长为 .

【解析】由直观图可知AC⊥BC,BC=2B1C1,AC=2,又因为
1 则 B1C1= 1 BC ? 2, AC BC ? 2 2,所以BC= 2 2, 2 2

所以A1B12=22+( 2 )2-2×2× 2 ×cos 45°=2, 解得A1B1= 2. 答案: 2

3.如图所示,梯形A1B1C1D1是一个平面图形ABCD的直观图.若 A1D1∥O1y′,A1B1∥C1D1,A1B1= 2 C1D1=2,A1D1=O1D1=1.
3

请画出原来的平面几何图形的形状,并求原图形的面积.

【解析】如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O1D1=1;
OC=O1C1=2.在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.在过点A

的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2.连接BC,即得到了原图形.由
作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为

AB=2,CD=3,直角腰长度为AD=2,所以面积为S= 2 ? 3 ×2=5.
2

【易错误区18】忽视几何体的放置对三视图的影响致错 【典例】(2014·琼海模拟)一个几何体的正视图为一个三角形, 则这个几何体可能是下列几何体中的 的几何体前的编号). (1)三棱锥;(2)四棱锥;(3)三棱柱;(4)四棱柱;(5)圆锥;(6)圆 柱. (填入所有可能

【解析】

【误区警示】

【规避策略】

答案:

【类题试解】如图是长和宽分别相等的两个 矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其 正视图、俯视图如图; ②存在四棱柱,其正视图、俯视图如图; ③存在圆柱,其正视图、俯视图如图.其中真

命题的个数是
A.3 B.2

(

)
C.1 D.0

【解析】选A.底面是等腰直角三角形的三棱柱,当它的一个矩 形侧面放置在水平面上时,它的正视图和俯视图可以是全等的 矩形,因此①正确;若长方体的高和宽相等,它的正视图和俯视

图可以是全等的矩形,因此②正确;当圆柱侧放时(即侧视图为
圆时),它的正视图和俯视图可以是全等的矩形 ,因此③正确.直

观图如图所示.


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