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2010年广东省高考模拟试题(一)·数学文


广州市中学数学之窗网络中心组编写

2010 年广东省高考模拟试题(一) 数 学(文科)
2009.12 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答选择题前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考试科 目填写在答题卡上,并用 2B 铅笔将相应的信息点涂黑. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1、已知复数 z 的实部为 ?1 ,虚部为 2,则 A. 2 ? i B. 2 ? i

5i = z C. ?2 ? i D. ?2 ? i





2、平面 ? 外有两条直线 m 和 n ,如果 m 和 n 在平面 ? 内的射影分别是 m1 和 n1 ,给出下列 四个命题: ① m1 ⊥ n1 ? m ⊥ n ; ③ m1 与 n1 相交 ? m 与 n 相交或重合; 其中不正确的命题个数是( A.1 B.2 3、双曲线 ) C.3 ) D.4 ② m ⊥ n ? m1 ⊥ n1 ; ④ m1 与 n1 平行 ? m 与 n 平行或重合;

x2 y 2 =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12
B.2
x

A. 2 3

C. 3 ( D. (2,??) )

D.1

4、函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是 A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4)

数学试卷

第 1 页(共 5 页)

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5、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3 C. 2? ?

).

2 3 3

D. 4? ?

2 3 3

2

2

2 俯视图 2 正(主)视图 2 侧(左)视图

6、 (2009 全国卷Ⅱ理)设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a ( )

7、点 P(4,-2)与圆 x2 ? y 2 ? 4 上任一点连续的中点轨迹方程是 A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 C. ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 D. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

8、若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 等于( a 2 32
B.

)

A. 2

3

C.

3 2

D. 1

9、计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一” ,如 (1101) 2 表示二进 制数,将它转换成十进制形式是 1? 23 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 1? 20 = 13,那么将二进制数

(???)转换成十进制形式是( 1111 1 2 ? ? ?
16个1

). C. 216 ? 1 D. 215 ? 1

A. 217 ? 2

B. 216 ? 2

10、已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且

PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的
A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心

(

)

数学试卷

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二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 是选做题,考生只 能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 11、若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是
x

.

12、若函数 f ( x) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1
1 1 1 1 ? ? ??? 的值的一个框图,其中 2 4 6 20

开 始
s?0 i ?1

13、右图给出的是计算

菱形判断框内应填入的条件是

s? s?

1 2i

i ? i ?1




输出s 结 束

14、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知点 A (1, 两点间的距离是 .

3? ? )和 B ( 2, ) ,则 A 、 B 4 4

15、 (几何证明选讲选做题)已知圆的直径 AB ? 13 ,C 为圆上一点, C 作 CD ? AB 于 D 过 ( AD ? BD ) ,若 CD ? 6 ,则 AD 的长为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、已知向量 m ? (sin A, sin B) , n ? (cosB, cos A) , m ? n ? sin 2C ,且 A 、 B 、 C 分 别为 ?ABC 的三边 a 、 b 、 c 所对的角。 (1) 求角 C 的大小; (2) 若 sin A , sin C , sin B 成等差数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,求 c 边的长。

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17、将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数之和为 5 的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率; (3)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 2 2 x +y =15 的内部的概率.

18、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E 、 F 分别是 A B 、 AC 的 1 1 中 点,点 D 在 B1C1 上, A D ? B1C 1 求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A FD ? 平面 BB1C1C . 1 。

19、已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 (1)求椭圆 C 的方程‘ (2)若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,

OP OM

? e (e 为椭圆

C 的离心率) ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

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20、已知函数 f ?x ? ? x3 ? 3ax2 ? bx ,其中 a, b 为实数. (Ⅰ) 若 f ?x ? 在 x ? 1 处取得的极值为 2 ,求 a, b 的值; (Ⅱ)若 f ?x ? 在区间 ?? 1, 2? 上为减函数,且 b ? 9a ,求 a 的取值范围.

21、已知点 A, B 的坐标分别是 (0, ?1) , (0,1) ,直线 AM , BM 相交于点 M,且它们的斜率 之积为 ?

1 . 2

(1)求点 M 轨迹 C 的方程; (2)若过点 D ? 2,0? 的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 E 、 F ( E 在 D 、 F 之 间) ,试求 ?ODE 与 ?ODF 面积之比的取值范围( O 为坐标原点) .

2010 年广东省高考模拟试题(一)

数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分.
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3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1、已知复数 z 的实部为 ?1 ,虚部为 2,则 A. 2 ? i B. 2 ? i

5i = z C. ?2 ? i D. ?2 ? i





【解析】因为由条件知 z ? ?1 ? 2i ,则

5i 5i(?1 ? 2i) ?5i ? 10 ? ? ? 2 ? i ,选 A。 z (?1 ? 2i)(?1 ? 2i) 5

2、平面 ? 外有两条直线 m 和 n ,如果 m 和 n 在平面 ? 内的射影分别是 m1 和 n1 ,给出下列 四个命题:答案

D
② m ⊥ n ? m1 ⊥ n1 ; ④ m1 与 n1 平行 ? m 与 n 平行或重合; C.3 D.4

① m1 ⊥ n1 ? m ⊥ n ; ③ m1 与 n1 相交 ? m 与 n 相交或重合; 其中不正确的命题个数是( A.1 B.2 )

x2 y2 3 、【 解 析 】 双 曲 线 =1 的 焦 点 (4,0) 到 渐 近 线 y ? 3x 的 距 离 为 12 4
d? 3 ? 4? 0 ? 2 3 ,A 2

4、解析

f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) ? e x ?? ? ( x ? 2)e x ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D
).

5、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3 C. 2? ?

2 3 3
2

D. 4? ?

2 3 3

【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2? ,四棱锥的底面 边长为 2 ,高为 3 , 所以体积为 ?

2

1 3

? 2? ?
2

3?

2 3 3

2

所以该几何体的体积为 2? ? 答案:C

2 3 . 3

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

数学试卷

第 6 页(共 5 页)

俯视图

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6、 (2009 全国卷Ⅱ理)设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a

解析 ?log3 2 ? log2

2 ? log2 3 ?b ? c
A ( )

log2 3 ? log2 2 ? log3 3 ? log3 ? ?a ? b?a ? b ? c .

7、点 P(4,-2)与圆 x2 ? y 2 ? 4 上任一点连续的中点轨迹方程是 A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 C. ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 D. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

4?s ? ?x ? 2 ? 【解析】A ;设圆上任一点为 Q(s,t) ,PQ 的中点为 A(x,y) ,则 ? ,解得: ?y ? ? 2 ? t ? 2 ?

?s ? 2 x ? 4 2 2 ,代入圆方程,得(2x-4) +(2y+2) =4,整理,得:( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ? ?t ? 2 y ? 2
8、若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 等于( a 2 32
B.

)

A. 2

3

C.

3 2

D. 1

【解析】 由

x2 y 2 c a2 ? 3 解得 ? ? 1可知虚轴b= 3,而离心率e= ? ? 2 , a=1 或 a=3, a2 3 a a

参照选项知而应选 D. 9、计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一” ,如 (1101) 2 表示二进 制数,将它转换成十进制形式是 1? 23 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 1? 20 = 13,那么将二进制数

(???)转换成十进制形式是( 1111 1 2 ? ? ?
16个1

). C. 216 ? 1 D. 215 ? 1

A. 217 ? 2

B. 216 ? 2

解析: (111?1)2 ? 1? 215 ? 1? 214 ? ?1? 21 ? 1? 20 ? 216 ? 1 ,答案:C ? ? ?
16

10、已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且

PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的
A.重心 外心 垂心
数学试卷

(

)

B.重心 外心 内心
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C.外心 重心 垂心

D.外心 重心 内心

答案 C(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)

由 OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心; NA ? NB ? NC ? 0知,O为?ABC的重心 由

? PA ? PB ? PB ? PC, PA ? PC ? PB ? 0, CA ? PB ? 0,? CA ? PB, ? ? 同理,AP ? BC ,? P为?ABC的垂心,选C.
二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把正确答案填在题中横线上. 11、若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是
x

?

?

.
x

解析

设函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且

a ? 1)有两个零点, 就是函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图 象可知当 0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? a x (a ? 1) 的 图象过点(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两 个交点.所以实数 a 的取值范围是 {a | a ? 1} . 12、若函数 f ( x) ?
开 始
s?0 i ?1

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1

解析

f’(x)=

2 x( x ? 1) ? ( x 2 ? a) ( x ? 1)2


s? s?

1 2i

i ? i ?1

3? a =0 ? a=3 4 1 1 1 1 13、右图给出的是计算 ? ? ? ? ? 的值的一个框图,其中菱 2 4 6 20 形判断框内应填入的条件是 .答案 i ? 10
f’(1)= 14、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知点 A (1, 和 B ( 2,



输出s 结 束

?
4

3? ) 4

) ,则 A 、 B 两点间的距离是



解:如图所示,在△OAB 中,| OA |? 4, | OB |? 5, ?AOB ?

7? ? 5? ? ? 6 3 6

A

? S ?AOB ?

1 OA OB sin ?AOB ? 5 2

评述:本题考查极坐标及三角形面积公式,数形结合是关键.

O B

x

15、 (几何证明选讲选做题)已知圆的直径 AB ? 13 ,C 为圆上一点, C 作 CD ? AB 于 D 过
数学试卷 第 8 页(共 5 页)

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( AD ? BD ) ,若 CD ? 6 ,则 AD 的长为

9

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、解: (1) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin(A ? B) 对于 ?ABC, A ? B ? ? ? C,0 ? C ? ? ? sin( A ? B) ? sin C ,

? m ? n ? sin C.

又? m ? n ? sin 2C ,

? sin 2C ? sin C , cos C ?

1 ? ,C ? . 2 3

, (2)由 sin A, sin C, sin B成等差比数列得2 sin C ? sin A ? sin B ,
由正弦定理得 2c ? a ? b.

?CA ? ( AB ? AC) ? 18,?CA ? CB ? 18,
即 ab cosC ? 18, ab ? 36. 由余弦弦定理 c ? a ? b ? 2abcosC ? (a ? b) ? 3ab ,
2 2 2 2

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36, c 2 ? 36 ,?c ? 6.
17、解: 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件 (1)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有 4 个基本事件, 所以 P(A)=

4 1 ? ; 36 9 1 . 9

答:两数之和为 5 的概率为

(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件 B,则事件 B 与“两数均为偶数”为对立事件, 所以 P(B)= 1 ?

9 3 3 ? ;答:两数中至少有一个奇数的概率 . 36 4 4
2 2

(3)基本事件总数为 36,点(x,y)在圆 x +y =15 的内部记为事件 C,则 C 包含 8 个事

8 2 2 ? .答:点(x,y)在圆 x2+y2=15 的内部的概率 . 36 9 9 18、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E 、 F 分别是 A B 、 AC 的 1 1
件,所以 P(C)= 中 点,点 D 在 B1C1 上, A D ? B1C 1 求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A FD ? 平面 BB1C1C . 1 。

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19、点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 解(1)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 {

a ? c ? 1, 解得 a=4,c=3, a ? c ? 7.

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 7

(Ⅱ)设 M(x,y),P(x, y1 ),其中 x???4,4?.

x 2 ? y12 由已知得 2 ? e2 . 2 x ?y
而e ?

3 2 ,故 16( x2 ? y1 ) ? 9( x2 ? y 2 ). 4
2



由点 P 在椭圆 C 上得 , y1 ? 代入①式并化简得 9 y ? 112,
2

112 ? 7 x 2 , 16

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ? 20、解 (Ⅰ)由题设可知:

4 7 (?4 ? x ? 4), 轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3
?????? 2 分 ?????? 4 分 ?????? 5 分

f ??1? ? 0 且 f ?1? ? 2 ,
即?

?3 ? 6a ? b ? 0 4 ,解得 a ? , b ? ?5. 3 ?1 ? 3a ? b ? 2
2 2

(Ⅱ)? f ??x? ? 3x ? 6ax ? b ? 3x ? 6ax ? 9a , 又 f ?x ? 在 ?? 1, 2? 上为减函数,

? f ??x? ? 0 对 x ? ?? 1, 2? 恒成立,
即 3x ? 6ax ? 9a ? 0 对 x ? ?? 1, 2? 恒成立.
2

?????? 6 分

? f ??? 1? ? 0 且 f ?2? ? 0 ,

?????? 10 分

数学试卷

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?a ? 1 ?3 ? 6a ? 9a ? 0 ? 即? ?? 3 ? a ? 1, ?12 ? 12a ? 9a ? 0 ?a ? 7 ?

? a 的取值范围是 a ? 1.
21、解(1)设点 M 的坐标为 ( x, y ) , ∵ k AM ? k BM ? ?

?????? 12 分

1 y ?1 y ?1 1 ? ?? . ,∴ 2 x x 2

x2 ? y 2 ? 1( x ? 0 ) 整理,得 ,这就是动点 M 的轨迹方程. 2
(2)方法一 由题意知直线 l 的斜率存在,

设 l 的方程为 y ? k ? x ? 2? ( k ? ? 将①代入

1 ) 2



x2 ? y2 ? 1, 2

得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 ? x ? (8k 2 ? 2) ? 0 ,
2 由 ? ? 0 ,解得 0 ? k ?

1 . 2

? 8k 2 x1 ? x 2 ? 2 , ? ? 2k ? 1 设 E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,则 ? 2 ? x x ? 8k ? 2 . ? 1 2 2k 2 ? 1 ?
令? ?



??? ? ??? ? | BE | S?OBE ,则 ? ? ,即 BE ? ? ? BF ,即 x1 ? 2 ? ? ? x2 ? 2? ,且 0 ? ? ? 1. | BF | S?OBF

?4 ? ?( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? 2k 2 ? 1 , ? 由②得, ? 2 ? (x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 . ? 2k ? 1 ? ?4 ? ??1 ? ? ?? x2 ? 2 ? ? 2k 2 ? 1 , ? 即? ?? ? x ? 2 ? 2 ? 2 . 2 ? 2k 2 ? 1 ?
?

? 2k 2 ? 1 4? 1 ? , 即k 2 ? ? . 2 2 (1 ? ? ) 8 (1 ? ? ) 2
数学试卷 第 11 页(共 5 页)

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?0 ? k2 ?

1 1 4? 1 1 4? 1 1 2 且 k ? ?0 ? ? ? 且 ? ? . 2 2 4 2 (1 ? ? ) 2 2 (1 ? ? ) 2 4

解得 3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 且 ? ?

1 3 1 . 3

? 0 ? ? ? 1 ,? 3 ? 2 2 ? ? ? 1 且 ? ?

∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是 ? 3 ? 2 2, ? ? ? ,1? . 方法二 由题意知直线 l 的斜率存在, ①

? ?

1? ?1 ? 3? ? 3 ?

设 l 的方程为 x ? sy ? 2 ( s ? ?2)

将①代入

x2 ? y 2 ? 1 ,整理,得 (s 2 ? 2) y 2 ? 4sy ? 2 ? 0 , 2

2 由 ? ? 0 ,解得 s ? 2 .

4s ? ? y1 ? y2 ? ? s 2 ? 2 , ? 设 E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,则 ? ?y y ? 2 . ? 1 2 s2 ? 2 ?
1 S?OBE 2 OB ? y1 y 令? ? ? ? 1 ,且 0 ? ? ? 1 . S?OBF 1 OB ? y y2 2 2



4s ? ? ? ? 1? y2 ? ? 2 , ? ? s ?2 将 y1 ? ? y2 代入②,得 ? ?? y 2 ? 2 . ? 2 s2 ? 2 ?

? ? ? 1? ∴
?
2

2

2 ? ? ? 1? 8s 2 .即 s 2 ? . ? 2 s ?2 6? ? ? 2 ? 1
2 2 2
2

2 ? ? ? 1? 2 ? ? ? 1? ∵ s ? 2 且 s ? 4 ,∴ ? 2且 ? 4. 2 6? ? ? ? 1 6? ? ? 2 ? 1
2 即 ? ? 6? ? 1 ? 0 且 ? ?

1 . 3 1 . 3 1 . 3

解得 3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 且 ? ?

? 0 ? ? ? 1 ,? 3 ? 2 2 ? ? ? 1 且 ? ?
数学试卷

第 12 页(共 5 页)

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故△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是 ? 3 ? 2 2, ? ? ? ,1? .

? ?

1? ?1 ? 3? ? 3 ?

数学试卷

第 13 页(共 5 页)


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