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泉州七中2015届高三年校质检(二)理科数学试卷(完整稿)


准考证号________________姓名________________
(在此卷上答题无效)

保密★启用前

泉 州 七 中 2015 届 高 三 年 校 质 检 ( 二 ) 理 科 数 学 试 卷
命卷人:彭耿铃 审核:林益强 考试时间:2015、5、30

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)<

br />一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
20 15 10 5

z 1、如图,在复平面内,复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA , OB ,设复 数 z ? 1 ,则 z 的共轭复数为( ) z2
A.
om]

1 3 ? i 2 2

B.

1 3 ? i 2 2

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

C. 1 ? 3i

D. 1 ? 3i

y
1
20
[来源学&科&

2.以下判断正确的是(

A.函数 y ? f ( x) 为 R 上的可导函数,则 f ?( x0 ) ? 0 是 x0 为函数 f ( x ) 极值点的充要条件.
网 Z&X

15

B
2

10

O

1

B.若命题 p : ?x? ? R, x? ? x? ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2
2

-1

A x

C.命题“在 ?ABC 中,若 A ? B, 则sin A ? sin B ”的逆命题为假命题 D.“已知不等式

1 9 k ? ? 对任意正数 x 、 y 恒成立”的充要条件为“ k ? 16 ” x y x? y

y y
正视图 侧视图

3、函数 y ? ecos x (?? ? x ? ? ) 的大致图象为(
y y

?? O
A

? x

??

O

?x
B

?? O
C

? x ?? O
D

? x


俯视图

4、某几何体的三视图如图所示,图中方格的长度为 1 ,则该几何体的外接球的体积为( A. ?

8 3

B. 8?

C.

32 ? 3

D.

16 ? 3

5、高三一班共选出共有 5 个节目参加 学校的文艺汇演,其中 3 个舞蹈节目,2 个小品节目;如果 2 个小品节目不能连 续出场,且舞蹈节目甲不能在第一个出场,那么出场顺序的排法种数为( ) A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 6、已知数列 ?an ? 满足:a1 ? 值等于( A. 0 ) B. 1

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? , 用 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,则 [ 2 an ?1 an ? an a1 ? 1 a2 ? 1

?

]的 a2015 ? 1

1

C. 2 D. 3 3? 7、将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 向右平移 个单位,再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 8 4 ? ? 倍,得到函数 y ? g ( x) 的图象,则函数 y ? g ( x) 与 x ? ? , x ? , x 轴围成的图形面积为( ) 3 2 5 3 3 3 A. B. 1 ? C. D. 1 ? 2 2 2 2

?

8、设 F1 、 F2 分别为双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以 F1 F2 为直径的圆 a 2 b2

交双曲线一条渐近线于 M、N 两点,且满足 ?MAN ? 120? ,则该双曲线的离心 率为(
21 A. 3 19 B. 3

)

y
N

5 C. 3

D. 3

A
F1
O

9、已知 Ai (i ? 1, 2,3,

, n, n ? 3, n ? N * ) 是 ?AOB 所在的平面内的 n 个相异点,

F2 x

M

且 OAi ? OB ? OA ? OB . 给出下列命题: ① OA1 ? OA2 ? ③点 A, A 1, A 2,

? OAn ? OA ;

② OAi 的最小值不可能是 OB ; ④向量 OA 及 OA i 在向量 OB 的方向上的投影必相等.

, An 在一条直线上;


其中正确命题的个数是(

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10 、 设 函 数 f ( x) 是 定 义 在 (??,0) 上 的 可 导 函 数 , 其 导 函 数 为 f ?( x) , 且 有 3 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 , 则 不 等 式

( x ? 2015) 3 f ( x ? 2015) ? 27 f (?3) ? 0 的解集(
A. (?2018,?2015) B. (??,?2016)

) C. (?2016,?2015) D. (??,?2012)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置。 11、图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图,第 1 次到第 12 次的考试成绩依次记为 A1,A2,?,A12.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范 围内考试次数的一个程序框图.那么输出的结果是________.

? a? ?2 12、已知 a ? ? ? 3x ? 2 x ? dx ,则二项式 ?1 ? ? 的展开式中 x 的系数为 0 x ? ?
1 2

5

.

0 0 13 、 已 知 在 ?ABC 中 , ?C ? 90 , ?B ? 60 . 设 过 点 C 在 ?BCA 内 随 机 的 作 射 线 CM 交 斜 边 AB 于 点 M ,

?BCM ? 30? 的概率为 p1 ;在斜边 AB 上随机的取一点 N , ?BCN ? 30? 的概率 p2 ,则 p1
或“ ? ”).

p2 (填“ ? ”或“ ? ”

? | x |? ? ? 14、已知实数 x , y 满足不等式组 ? | y |? ? ,则 x ? 2 y 的取值范围是 ?sin(x ? y ) ? 0 ?

.

15、已知函数 f ( x) 的定义域为 D,若函数 f ( x) 的导函数 f ?( x ) 存在且连续且 x0 为 y ? f ?( x) 的极值点;则称点( x0 ,

f ( x0 ) )是函数 f ( x) 的拐点。则下列结论中正确的序号是
①函数 y ? sin x 的拐点为 (k? ,0), k ? Z ;②函数 f ( x) ? e ?
x

.

③若函数 f ( x) ? 4 x ln x ?

1 3 a ?1 2 x ? x 有两个拐点,则 a ? ?5 ;④函数 f ( x) ? xe x 的拐点为( x0 , f ( x0 ) ) ,则存 6 2

1 4 x 有且仅有两个拐点; 12

在正数 ? 使 f ( x) 在区间 ( x0 ? ? , x0 ) 和区间 ( x0 , x0 ? ? ) 上的增减性相反 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16、湖南卫视“我是歌手”这个节目深受广大观众喜爱,节目每周直播一次,在某周比赛中歌手甲、乙、丙竞演完毕, 现场的某 4 位大众评审对这 3 位歌手进行投票,每位大众评审只能投一票且把票投给任一歌手是等可能的,求: (Ⅰ)恰有 2 人把票投给歌手甲的概率; (Ⅱ)投票结束后得票歌手的个数 ? 的分布列与期望.

17、数列 ?an ? 满足 a1 ?

?
6

, an ? ? ?

? ? ?? , ? ,且 tan an ?1 cos an ? 1? n ? N ? ? 。 2 2? ?

2 2 (Ⅰ)证明数列 tan an 是等差数列,并求数列 tan an 的前 n 项和;

?

?

?

?

(Ⅱ)求正整数 m ,使得 11sin a1 sin a2 sin a3

sin am ? 1

18、已知圆 F1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 16及点 F2 (1,0) ,在圆 F1 任取一点 M ,连结 MF2 并延长交圆 F1 于点 N ,连结 F1 N ,过

F2 作 F2 P ∥ MF1 交 NF1 于 P ,如图所示.

y M

(1) 求点 P 的轨迹方程 ;(2)从 F2 点引一条直线 l 交轨迹 P 于 A, B 两点 , 变化直线 l , 试探究
F1 F2

x

1 1 是否为定值. ? | F2 A | | F2 B |

P N

19、 如图一, 在四边形 PEBC 中,PC ? 1 ,CB ? 3 , ?CPE ?

?
3

,?PCB ?

5? , 在边 PE 上取一点 A , 使 PA ? 1 6

BC (如 (PE 足够长) ,连结 AC、AB ,将 ?PAC 与 ?EAB 分别沿 AC和AB 折起,使平面 PAC ⊥ 平面 ABC ,且 PE ∥
图二) ;过 BC 作平面交 AP 、 AE 分别于点 M 、 N . (1)求证: MN ∥ PE ; (2)设

AN ? ? ,求? 的值,使得平面 ABC 与平面 MNC 所成的锐二面角的大小为 45? AP

20、设函数 f ? x ? ? ?1 ? ax ? ln ? x ?1? ? bx ,其中 a 和 b 是实数,曲线 y ? f ? x ? 恒与 x 轴相切于坐标原点.

?1? 求常数 b 的值; ? 2 ? 当 0 ? x ? 1 时,关于 x 的不等式 f ? x? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;
10001 ? ? 3? 求证: ? ? ? ? 10000 ?
10000.4

? 1001 ? ?e?? ? ? 1000 ?

1000.5



21. 本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 14 分.如果多做,则按所做 的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已 知 平 行 四 边 形 ABCD 的 四 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A ? 3,1? , B ? ?1,1? , C ? ?3, ?1? , D ?1, ?1? . 其 在 矩 阵
? k 1? M ?? (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 . ? ( k ? 0) 所对应的变换作用下变成菱形 A? B ?C ?D? 。则: ? 0 2?

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立平面极坐标系.已知曲线 C 的极坐标方程 为 ? sin
2

? ? 4cos? ,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t cos ? , ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ). y ? 1 ? t sin ? ?

(Ⅰ)化曲线 C 的极坐标方程为直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 经过点 ?1,0 ? ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 .
2 2 2

(Ⅰ )求 x ? 2 y ? 2 z 的取值范围; (Ⅱ )若不等式 | a ? 3 | ?

a ? x ? 2 y ? 2 z 对一切实数 x, y, z 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

泉州七中 2015 届高三年校质检(二)理科数学试卷参考答案
1-10:BDCCD; BCABA; 11: 9 ; 12: 40 ; 13:>;
4

14: ??3? ,2? ?

?3? ? ; 15:①③;
2

16、解析: (Ⅰ )解法一:所有可能的投票方式有 3 种,恰有 2 人把票投给歌手甲的方式 C4 ? 2 2 种,从而恰有 2 人把 票投给歌手甲的概率为

C4 ? 2 2 8 ……5 分,解法二:设对每位投票人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 记 ? 4 27 3

2

“把票投给歌手甲”为事件 ? ,则 P ( A) ?

1 ,从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,恰有 2 3

1 2 8 人把票投给歌手甲的概率为 P4 (2) ? C 4 2 ( ) 2 ( ) 2 ? 3 3 27
1 3 2 2 C32 C2 C4 ? C4 C2 14 3 1 ( Ⅱ ) ξ 的 所 有 可 能 值 为 : 1,2,3 , 则 P ?? ? 1? ? 4 ? , P ?? ? 2 ? ? (或 ? 4 3 27 3 27

?

?

P ?? ? 2 ? ?

C32 ? 24 ? 2? 34

2 1 C4 A3 4 C1C C 4 14 ? ) , P ?? ? 3? ? 3 4 42 ? (或 P ?? ? 3? ? , ? ) 34 9 3 9 27

2

3

综上知,ξ 有分布列

?
P

1

2

3

1 27

14 27

4 9

从而有

E? ? 1 ?

1 14 4 65 ? 2? ? 3? ? . ………………………13 分 27 27 9 27

17:解: (Ⅰ)因为对任意正整数 n , an ? ? ?

1 ? π π? , ? ,且 tan an?1 ? cos an ? 1,故 tan 2 an?1 ? ? 1 ? tan 2 an , 2 cos an ? 2 2?
2

1 .??????????(4 分) 3 n n(n ? 1) 1 2 1 1 3n ? 2 2 2 ? n ? n .?????(6 分) 所以 tan an ? ? ( n ? 1) ?1 ? .数列 ? tan an ? 的前 n 项和为 ? 3 2 2 6 3 3
2 所以数列 tan an 是以 1 为公差的等差数列,且 tan a1 ?

?

?

(Ⅱ)因为 cos an ? 0 ,所以 tan an?1 >0 , an ?1 ? ? 0,

? ?

3n ? 2 3 π? , cos an ? , ? .所以 tan an ? 2? 3 3n ? 1

sin a1 ? sin a2

sin am ? ? tan a1 ? cos a1 ? ? ? tan a2 ? cos a2 ?

? tan am ? cos am ?

? ? tan a2 ? cos a1 ?
? tan a1 ? cos am ?

? tan am ? cos am?1 ? ? tan a1 ? cos am ??????????????(9 分)
1 1 3 3 1 ? ,得 m ? 40 .????????????(13 分) ,由 ? ? 3m ? 1 11 3 3m ? 1 3m ? 1

18:解析:(1)∵ F2 P ∥ MF1 ,∴

PF2 PN PF 4 ? PF 1 ? ? 2 ? ? PF1 ? PF2 ? 4 ? F 1F 2 ? 2 ,∴点 P 的轨迹 MF1 F1 N 4 4

x2 y 2 是以 F ? ? 1 。…………4 分 1 , F2 为焦点,长轴长 2a ? 4 的椭圆,其轨迹方程为: 4 3

(2) ( Ⅰ ) 若

l AB

的 斜 率 存 在 时 , 设

l AB

为 :

y? k x 1? ? ?

, 联 立

x2 y 2 ? ?1 4 3

, 可 得 :

?3 ? 4k ?
2

? 8k 2 x ? x ? ? 1 2 3 ? 4k 2 , x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,不妨设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?? x2 ? 1 ? x1 ? ,则 ? ? 2 ? x x ? 4k ? 12 ? 1 2 3 ? 4k 2 ?



1 1 1 1 1 ? ? ? ? | F2 A | | F2 B | 1 ? k 2 x1 ? 1 1 ? k 2 x2 ? 1 1? k2
? 1 ? x2 ? x1 ? 1 ? ? 1 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? 1 ? k 2 ? ? x1 ? 1??1 ? x2 ? ? 1 ? k 2 ? ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? 1 ? 1

? 1 1 ? ? ? ? ? x1 ? 1 1 ? x2 ?

?

? ? ? 2 ? 1? k ? 1

2 ? ? 8k 2 ? 4k 2 ? 12 ? ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 4k 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? 1 ? ? 3 ? 4k ? ?? ? 8k 2 4k 2 ? 12 ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? 1 ? 1 ? k 2 ? ? ?1 ? ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ?

? ? ? 12 1 ? k 2 ? 1 ? 3 ? 4k 2 ? ? ? 2 9 ? 1 ? k ? ? 3 ? 4k 2 ? ? ?

? ? 12 4 ?? ? ? 9 3 ? ?

(Ⅱ)若 l AB 的斜率不存在时,此时 l AB : x ? 1,则 A ? 1,

3? 1 1 2 2 4 ? 3? ? ? ? ? ? .综 ? , B ? 1, ? ? ,此时 2? | F2 A | | F2 B | 3 3 3 ? 2? ?

上可知,变化直线 l ,则

1 1 4 为定值 . ? | F2 A | | F2 B | 3

19: 【解析】(1) 证明:因为 PE∥CB,所以 BC∥平面 APE ????? 3 分 又依题意平面 ABC 交平面 APE 于 MN,故 MN∥BC,所以 MN∥PE ?????? 5 分 (2) 法一:解:由(Ⅰ)知 MN∥BC,故 C、B、M、N 共面,平面 ABC 与平面 MNC 所成的锐二面角即 N—CB—A.因为平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩ 平面 ABC = AC,且 CB⊥AC,所以 CB⊥平面 PAC.故 CB⊥CN,即知 ?NCA 为二面角 N—CB—A 的平面角??11 分所以 ?NCA ? 45? .在△NCA 中运用正弦定理得,

AN sin 45? ? ? AC sin 75?

2 AN 2 ? 3 ? 1 . ??13 分 ? 3 ? 1 .所以, ? ? AP 6? 2 4

方法二:由已知 CA =1, ?ACB ? 90 如图以点 C 为原点建立 空间直角坐标系 C-xyz,

1 3 1 3 设 PE ? ? CB ,则 C (0 , 0 , 0) , A(1 , 0 , 0) , B(0 , 3 , 0) , P ( , 0 , ) , E ( , 3? , ) .…… 6 分 2 2 2 2 AM AN 1 3 ? ? ? ,得 M (1 ? 1 ? , 3?? , 3 ? ) , 由 N (1 ? ? , 0 , ? ) . …… 7 分 AE AP 2 2 2 2 1 3 MN ? (0 , ? 3?? , 0) , CM ? (1 ? ? , 3?? , ? ) , 设 平 面 CMN 的 法 向 量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 n1 ? M N? 0 , 2 2

n1 ? CM ? 0 ,可取 n1 ? (1 , 0 ,

? ?2 | n ?n | ) ,…… 9 分,又 n0 =(0,0,1) 是平面 ABC 的一个法向量.由 | cos? |? 0 1 , 3? | n0 | ? | n1 |

? ?2 | 2 3? ? 以 及 ? ? 45? 可 得 , ……11 分 , 即 2? 2 ? 4? ? 4 ? 0 . 解 得 ? ? 3 ? 1 ( ? ? ?1 ? 3 舍 去 ) ,故 2 2 (? ? 2) 1? 3? 2
|

? ? 3 ? 1 .??13 分
20、解析:(1) 对 f ( x) 求导得: f ?( x) ? ? a ln(1 ? x) ? (2) 由(1)得 f ( x) ? (1 ? ax) ln(1 ? x) ? x , 0 ? x ? 1

1 ? ax ? b ,根据条件知 f ?(0) ? 0 ,所以 1 ? b ? 0 ? b ? 1 . 1? x

a ?a (1 ? x) ? (1 ? ax) ax ? 2a ? 1 1 ? ax . ? ?? ? 1 , f ??( x) ? ? 2 1? x 1? x (1 ? x) (1 ? x) 2 2a ? 1 a( x ? ) 1 a ?? ① 当 a ? ? 时 , 由 于 0 ? x ? 1 , 有 f ( x) ? ? ? 0 , 于 是 f ?( x) 在 [0,1] 上 单 调 递 增 , 从 而 (1 ? x) 2 2 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,因此 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 ,符合题意; ax ? 2a ? 1 ? 0 ,于是 f ?( x) 在 [0,1] 上单调递减,从而 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 , ②当 a ? 0 时,由于 0 ? x ? 1 ,有 f ??( x) ? ? (1 ? x) 2 因此 f ( x) 在 [0,1] 上单调递减,即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 ,不合题意; 2a ? 1 a( x ? ) 1 2a ? 1 f ?( x) 在[0,m]上 } ,当 0 ? x ? m 时, ?? ③当 ? ? a ? 0 时,令 m ? min{1, ? a f ( x) ? ? ? 0 ,于是 2 a 2 (1 ? x) 单调递减,从而在 [0, m] 上单调递减,从而 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,因此 f ( x) 在 [0, m] 上单调递减,即 f ( x) ? f (0) ? 0 而 1 且仅有 f (0) ? 0 ,不合题意;.综上可知,所求实数 a 的取值范围是 (??, ? ] . (9 分) 2 2 10001 10000.4 1001 1000.5 1 10000? 5 1 1000? 1 2 (3) 对要证明的不等式等价变形如下: ( ) ?e?( ) ? (1 ? ) ? e ? (1 ? ) 10000 1000 10000 1000 1 n? 2 1 n? 1 所以可以考虑证明:对于任意的正整数 n ,不等式 (1 ? ) 5 ? e ? (1 ? ) 2 恒成立. 并且继续作如下等价变形 n n 2 1 1 ? (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 ( p) 2 1 ? 1 n? 1 n? 2 1 1 1 ? 5n n n (1 ? ) 5 ? e ? (1 ? ) 2 ? (n ? ) ln(1 ? ) ? 1 ? ( n ? ) ln(1 ? ) ? ? 1 n n 5 n 2 n ?(1 ? ) ln(1 ? 1 ) ? 1 ? 0 ( q) ? 2n n n ? 2 1 1 1 对于 ( p ) 相当于(2)中 a ? ? ? (? , 0) , m ? 情形,有 f ( x) 在 [0, ] 上单调递减,即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 5 2 2 2 1 2 1 1 , 当 n ? 2 时 , (1 ? ) ln(1? ) ? ? 0 成 立 ; 当 n ? 1 时 , f (0) ? 0 . 取 x ? n 5n n n 2 7 7 2 1 1 (1 ? ) ln 2 ? 1 ? ln 2? 1? ? 0.7? 1? 0. 从而对于任意正整数 n 都有 (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 成立. 5 5 5 5n n n 1 1 对于 (q ) 相当于(2)中 a ? ? 情形,对于任意 x ? [0,1] ,恒有 f ( x) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 . 取 x ? ,得:对于任 2 n 2 n ? 1 5 1 n? 1 1 1 1 意正整数 n 都有 (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 成立.因此对于任意正整数 n ,不等式 (1 ? ) ? e ? (1 ? ) 2 恒成立,这 n n 2n n n 2 1 1 n? 1 n? 样 依 据 不 等 式 (1 ? ) 5 ? e ? (1 ? ) 2 , 再 令 n ? 10000 利 用 左 边 , 令 n ? 1000 利 用 右 边 , 即 可 得 到 n n 10001 10000.4 1001 1000.5 成立. (14 分) ( ) ?e?( ) 10000 1000
f ?( x) ? ?a ln(1 ? x) ?
21. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

? k 1? ? k 1?? x ? 解: (Ⅰ)由题意可知点 ? x , y ? 在矩阵 M ? ? ? ( k ? 0) 所对应的变换作用下变成点 ? ? ? ? ? ( kx ? y , 2 y ) ,故点 ? 0 2? ? 0 2 ?? y ? A(3,1) ? A?(3k ? 1, 2) , B( ?1,1) ? B?( ? k ? 1, 2) , C ( ?3, ?1) ? C ?( ?3k ? 1, ?2) , D(1, ?1) ? D?(k ? 1, ?2) ??2 分

显然四边形 A? B ?C ?D? 为平行四边形, 故要使得 A? B ?C ?D? 为菱形, 只需 A?B? ? B?C ? , 即 4k ? 4k 2 ? 8k ? 20 , 由k ? 0 ,
? ?1 2 ? 1 ? ? 1 ? ? 解得 k ? ?1 ??4 分;(Ⅱ)由 M ? ?2 ,故 M ?1 = ? = ? ?2 ? 0 ?1 ? ? ? 0 ? 1? 2? ? .??7 分. 1? ? 2?

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 解析: (Ⅰ)由 ? sin 2 ? ? 4cos? 可得: ? 2 sin 2 ? ? 4? cos? ,即曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 4 x .????3 分 ( Ⅱ ) 法 一 : 由 直 线 l 经 过 点 ?1,0 ? , 可 得 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 x ? y ? 1 ? 0 , 联 立 ?

? y2 ? 4x ?x ? y ?1 ? 0

,可得

x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 , ? ? ? ? 5 分 , 又 点 ?1 , 0 ? 为 抛 物 线 y2 ? 4x 的 焦 点 , 故 由 抛 物 线 定 义 可 知 , 弦 长

AB ? xA ? xB ? 2 ? 6 ? 2 ? 8 . ???? 7 分法二:由直线 l 经过 点 ?1,0 ? ,得 tan? ? ? 1,直线 l 的参数方 程为
? 2 t ?x ? ? ? 2 2 2 ,????5 分,把直线 l 的参数方程代入 y ? 4 x ,得 t ? 6 2t ? 2 ? 0 , ? ? y ? 1? 2 t ? ? 2
∴ AB ? t A ? t B ?

? t A ? tB ?

2

? 4t A t B ?

?6 2 ?

2

? 8 ? 8 ????7 分,

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲
2 2 2 2 2 2 2 解析: (Ⅰ )由柯西不等式 9 ? (1 ? 2 ? 2 ) ? ( x ? y ? z ) ? (1? x ? 2 ? y ? 2 ? z) ,即 ? 3 ? x ? 2 y ? 2 z ? 3 ,

?x y z ?x y z 1 2 ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0, 当且仅当 ? 1 2 2 即x ? ,y ? z ? 时, x ? 2 y ? 2 z 取得最大值 3.当且仅当 ? 1 2 2 即 5 5 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1, ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1, ? ?
x?? 1 5
,y? z ??

2 5

时, x ? 2 y ? 2 z 取得最小值 ? 3 ,所以 x ? 2 y ? 2 z 的取值范围是 [?3,3] .

(Ⅱ )由(Ⅰ )得,不等式 | a ? 3 | ?

a a ? x ? 2 y ? 2 z 对一切实数 x, y, z 恒成立,当且仅当 | a ? 3 | ? ? 3 成立,即 2 2

?a ? 3, ?a ? 3, ? ? 或 ? 3a 解得 a ? 0 ,或 a ? 4 , ? a ? ? 3 ? 3, ? ? 3 ? 3, ? ? 2 ?2


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