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2013年高考数学(理)真题分类解析汇编5.平面向量


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2013 年高考数学(理)真题分类解析汇编 5:平面向量
一、选择题 1 . (2013 年高考上海卷(理) 在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的 )

向量分别为 a1, a2 , a3 , a4 , a5 ;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 d1 , d2 , d3 , d4 , d5 .若

?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ?

?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?

m, M

分 别 为 (ai ? a j ? ak ? ( dr ? d s ? ) dt 小 值 、 最 大 值 , 其 中 的 最 )

? ?

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

{i , j ,? } k
) A. m ? 0, M ? 0 【答案】D.

{ 1 , 2, , 3{r, s, t} , {1, 2,3, 4,5} , 4 ?5 }

,



m, M

满 (



B. m ? 0, M ? 0

C. m ? 0, M ? 0

D. m ? 0, M ? 0

【天利解析】作图知,只有 AF ? DE ? AB ? DC ? 0 ,其余均有 ai ? dr ? 0 ,故选 D.
2 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ( WORD 版 ) 已 知 点 ( )

??? ??? ? ?

??? ???? ?

?? ?? ?

? ? ?? A ?1, 3 B? ? , ? 则与向量 A同方向的单位向量为 B ? , 4 1 ,
( ) A. ? ,【答案】A 【天利解析】 AB ? (3, ?4) ,所以 | AB |? 5 ,所以同方向的单位向量是

?3 ?5

4? ? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

D. ? ? , ?

? 4 3? ? 5 5?
? 1 ??? 3 4 AB ? ( , ? ) ,选 A. 5 5 5

??? ?

??? ?

3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 设 ?ABC, P 是边 AB 上 ) 0

一 定 点 , 满 足 P0 B ? ) A. ?ABC ? 90
0

1 AB , 且 对 于 边 AB 上 任 一 点 P , 恒 有 PB ? PC ? P0 B ? P0C . 则 4
( C. AB ? AC D. AC ? BC

B. ?BAC ? 90

0

【答案】D 【天利解析】以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设 AB=4,C(a, b) ,P(x,0)则 BP0=1,A(﹣2,0) ,B(2,0) 0(1,0) ,P 所以 =(1,0) , =(2﹣x,0) , =(a﹣x,b) , =(a﹣1,b)

1

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因为恒有 所以(2﹣x) (a﹣x)≥a﹣1 恒成立 2 整理可得 x ﹣(a+2)x+a+1≥0 恒成立 2 所以△=(a+2) ﹣4(a+1)≤0 2 即△=a ≤0 所以 a=0,即 C 在 AB 的垂直平分线上 所以 AC=BC 故△ABC 为等腰三角形 故选 D

4 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 纯 WORD 版 ) 在四 边形 ABCD ( )



,

???? AC ? (1, 2)

,

??? ? BD ? (?4, 2)

,













积 (



) A. 5 【答案】C 【天利解析】由题意,容易得到 AC ? BD .设对角线交于 O 点,则四边形面积等于四个三角形面 积之和 即 S= B. 2 5 C.5 D.10

1 1 ( AO * DO ? AO * BO ? CO * DO ? CO * BO) ? ( AC * BD ) . 容 易 算 出 2 2

AC ? 5, BD ? 2 5 ,则算出 S=5.故答案 C
5 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版) 在平面直角坐标系中, O 是 )









,







A, B





??? ??? ??? ??? ? ? ? ? OA ? OB ? OA? ? 2, OB







?P |


? ? ? ? O? ? P

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A , ? O B 1 , ? , 所? 表 示 的 区 域 的 面 积 是 O ? ? ? ? R

?



2

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A. 2 2 【答案】D

B. 2 3

C. 4 2

D. 4 3

【天利解析】 若A, B, C三点共线 P是线外一点则 ? ? PB ? ? PC, 其中? ? ? ? 1 . , PA 在本题中, OA ? OB ?| OA | ? | OB | ? cos ? ? 4 cos ? ? 2 ? ? ? 建立直角坐标系,设 A(2,0), B(1 3).则当? ? 0, ? ? 0,? ? ? ? 1时,P在三角形 OAB内(含边界).

?
3

.

根据对称性,所求区域 的面积S ? 4 ? 三角形OAB的面积 ? 4 3
所以选 D
6 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 重 庆 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 含 答 案 ) 在 平 面 ( )

上 , AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 . 若 OP ? ) A. ? 0, 【答案】D

????

???? ?

????

???? ?

??? ???? ???? ? ?

??? ?

??? ? 1 , 则 OA 的 取 值 范 围 是 2


? ? ?

5? ? 2 ?

B. ?

? 5 7? ? 2 , 2 ? ? ?

C. ?

? 5 ? , 2? ? 2 ? ?

D. ?

? 7 ? , 2? ? 2 ? ?

【天利解析】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。因为 AB1 ? AB2 ,所以将在直角 坐标系中取点 A, B1 , B2 ,因为 OB1 ? OB2 ? 1 ,所以过点 B1 , B2 作一个半径为 1 的单位圆,圆心为

????

???? ?

????

???? ?

??? ???? ???? ? ? O(a, b) .设 B1 (0, y), B2 ( x,0) ,因为 AP ? AB1 ? AB2 ,所以 P( x, y) 。因 ???? ???? ? 为 OB1 ? OB2 ? 1 , 所 以 ( x ? a)2 ? b2 ? 1, a2 ? ( y ? b)2 ? 1 , 两 式 相 加 得
? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? b2 ? a2 ? 2 , 又 O P ( ? 2) a ? ( x
2 ? ) b, y

O 2 A , 2所 a以 ? ?

b

??? 1 ? ??? 2 1 ? 2 2 2 2 2 OP ? OA ? 2 ,即 OA ? 2 ? OP ,所以 OA ? 2 ? OP ,因为 OP ? ,所以 OP ? , 2 4
即2?

??? 2 ? ??? 2 ? ??? 2 ? 1 7 7 7 ? 2 ? OP ? 2 ,即 ? 2 ? OP ? 2 ,所以 ? 2 ? OP ? 2 ,即 ? OA ? 2 , 4 4 2 4

3

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所以 OA 的取值范围是 (

??? ?

7 , 2] ,选 D. 2

b 7 .( 2013 年 高 考 湖 南 卷 ( 理 )) 已 知 a , b 是 单 位 向 量 , a? ? 0 . 若 向 量

c 满足

c ? a ? b ? 1, 则 c 的取值范围是
( )

, A. ? 2-1, 2+1? ? ? , C. ?1, 2+1? ? ?
【答案】A

, B. ? 2-1 , 2+2? ? ? , D. ?1, 2+2 ? ? ?

【天利解析】本题考查数量积的应用。因为 a ? b ? 0 ,即 a ? b ,又 a ? b ? 1 ,所以 a ? b ?

? ?

?

?

?

?

? ?

2,

不妨让 a, b 固定,设 u ? a ? b ,则 c ? u ? 1,即 c 的终点在以 u 对应点为圆心,半径为 1 的圆上。 则当 c 与 u 方向相同时, c

? ?

?

? ?
?

? ?

?

?

?

?

max

? ? ? ? 2 ? 1 ,当 c 与 u 方向相反时, c

min

? ? 2 ? 1 ,所以 c 的取值范

, 围是 ? 2-1, 2+1? ,选 A. ? ?
8 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) WORD 版含答案(已校对) 已知向量 )

?? ? m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2?
) A. ?4 【答案】B 【天利解析】因为 所以 因为 所以 =(2λ+3,3) , , =0,

,



?m ? n? ? ?m ? n?
D. -1 .

?? ?

?? ?

,



?=


B. ?3 ,

C. ?2



所以﹣(2λ+3)﹣3=0,解得 λ=﹣3.故选 B.
9 . (2013 年高考湖北卷(理) 已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方 )

??? ?

??? ?

向 )







影 (



4

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A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

【答案】A 【 天 利 解 析 】 本 题考 查向 量 的 投 影 以 及 数 量 的坐 标 运 算 。 因 为 AB ? (2,1), ? (5, 5) 以 ,所 CD

??? ?

??? ?

??? ? ??? ???? ? AB? CD? (2,1)? (5, 5) 15 CD ? 52 ? 52 ? 5 2 。 所 以 向 量 AB 在 CD 方 向 上 的 投 影 为 ? , ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? AB ? CD 15 3 2 ,选 A. AB cos ? AB, CD ?? ??? ? ? ? 2 5 2 CD
二、填空题 10. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学 (理) (纯 WORD 版含答案) 已知正方形 ABCD )

的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ?BD ? _______. 【答案】2 【天利解析】因为已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 故 ﹣ =( =4+0﹣0﹣ )?( )=( )?( )= =0, ﹣ +

??? ??? ? ?

=2,故答案为 2.

11. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 已知向量 AB 与 AC 的夹角 )

??? ?

??? ?

为 120 °,且 AB ? 3 , AC ? 2 ,若 AP ? ? AB ? AC ,且 AP ? BC , 则实数 ? 的值为__________. 【答案】

??? ?

????

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

7 12

【 天 利 解 析 】 向 量 AB 与 AC 的 夹 角 为 120 , 且 | A B? |
?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? 3 ,A|? C

所 以, | 2

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ??? ? ? A B A ? ? C A? B c oAs C? 2 0 ? ? 3 ? 。?由?3A P 1 ? 2 ? B得 , A P B 0 , 即 C ? ?C 2 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? 2 ???? 2? ? ?? ?? ??? ???? ? ,0 A B A P B ?? ? ( C A B) (A C ? A) C ? 所 以 AC ? ? AB ? (? ? 1) AB ? AC ? 0 , 即 ? ? ? 4 ? ? ? ?3 ( ? ,解得 ?0 9 ? 1 )
t=_____.
【答案】 t = 2 . 【天利解析】因为 , ,所以 =0,

7 。 12

12. (2013 年高考新课标 1(理) 已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b,若 b·c=0,则 )

5

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所以 tcos60°+1﹣t=0,所以 1

=0,解得 t=2.故答案为 2.

13. (2013 年高考北京卷(理) 向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c=λ a+μ b )

(λ ,μ ∈R),则

? =_________. ?

b

a
【答案】4

c

【天利解析】以向量 、 的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系 可得 =(﹣1,1) =(6,2) =(﹣1,﹣3) , , 因为

所以

,解之得 λ=﹣2 且 μ=﹣

因此,

=

=4

故答案为:4

14. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) 设 e1 ,e2 为单位向量, )

非零向量 b ? xe1 ? ye2 , x, y ? R ,若 e1 ,e2 的夹角为 【答案】2 |x| |x| |x| 【天利解析】 |b|= = 2= 2 2 (xe1+ye2) x +y + 3xy |x| 所以|b|的最大值为 2

|x| ? ,则 的最大值等于________. 6 |b|
1 1
2

= x +y + 3xy x2
2 2

?y? + 3y+1 ?x ? x

=

1

?y 3 ? 1 ?x? 2 ? +4 ? ?

2



15. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) 设 D,E )
6

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分 别 是 ?ABC 的 边 AB,BC 上 的 点 , AD ? ( ?1,?2 为实数),则 ?1 ? ?2 的值为__________. 【答案】

1 2 AB , BE ? BC , 若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC 2 3

1 2

【天利解析】易知 DE ? 所以 ?1 ? ?2 ?

? ? ? ? ? ? ? 1 ??? 2 ??? 1 ??? 2 ??? ??? 1 ??? 2??? AB ? BC ? AB ? AC ? AB ? ? AB ? AC 2 3 2 3 6 3

?

?

1 2

16 . 2013 年 高 考 四 川 卷 ( 理 ) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 对 角 线 AC 与 BD 交 于 点 ( )

??? ???? ? ???? O , AB ? AD ? ? AO ,则 ? ? _________.
【答案】2 【天利解析】因为四边形 ABCD 为平行四边形,对角线 AC 与 BD 交于点 O, 所以 + = ,

又 O 为 AC 的中点, 所以 所以 因为 =2 + + , =2 =λ , ,

所以 λ=2.

故答案为:2.
17. (2013 年高考江西卷(理) 设 e1 , e2 为单位向量.且 e1 , e2 的夹角为 )

? ,若 a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 , 3

则向量 a 在 b 方向上的射影为 ___________ 【答案】

5 2

【天利解析】本题考查向量的投影的概念,以及平面向量的数量积的运算。向量 a 在 b 方向上

?

?

? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? 2 ?? ?? ? ? ? ? 1 a ?b ? 的射影为 a cos ? a, b ?? ? 。 b ? 2 ,a ? b ? (e1 ? 3e2 ) ? 2e1 ? 2e1 ? 6e1 ? e2 ? 2 ? 6 ? ? 5 , 2 b

7

? ? ? ? a ?b 5 所以向量 a 在 b 方向上的射影为 ? ? 。 2 b

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18. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) 在平行四边形 ABCD 中, AD = )

???? ??? ? BE 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AD· ? 1 , 则 AB 的长为______.

【答案】

1 2

? ??? ??? ??? ???? 1 ???? ???? 1 ??? ???? ???? ??? ? ? ? ? 【天利解析】因为 E 为 CD 的中点,所以 BE ? BC ? CE ? AD ? DC ? AD ? AB . AC ? AD ? AB 因 2 2 ???? ??? ? ???? ??? ???? 1 ??? ???? ??? ???? 2 1 ??? 2 1 ??? ???? ? ? ? ? ? BE 为 AC· ? 1 , 所 以 AC· ? ( AD ? AB) ? ( AD ? AB) ? AD ? AB ? AB ? AD ? 1 , 即 BE 2 2 2 ??? 2 1 ??? ? ? ??? 2 1 ??? ? ? ??? 1 ? 1 1 1 ? AB ? AB cos60? ? 1 ,所以 ? AB ? AB ? 0 ,解得 AB ? 。 2 2 2 4 2

8


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