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2.3.2


2.2.2 双曲线简单的几何性质

定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象
F1 o F2

x
F1

x

/>方程 焦点
a.b.c 的关系

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)

2

2

c 2 ? a 2 ? b2

课堂新授

一、研究双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
(-x,y)

的简单几何性质
y (x,y) o a (x,-y)

1、范围 2 x 2 2 ? 2 ? 1,即x ? a a ? x ? a, x ? ? a 2、对称性

-a (-x,-y)

x

关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点
顶点是A 1 (?a,0)、A 2 (a,0) 只有两个!

( 2) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a,a叫做 实半轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 ( 3) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
A1 -a

y b

B2
o a A2 x

x ? y ? m( m ? 0)
2 2

-b B 1

4、渐近线
动画演示 y b N(x,y’) Q M(x,y)

双曲线在第一象限内部 分的方程为 b 2 x 22 y 2 ? 双曲线 x ? a (? x?0 )1(a ? 0,b ? 0) (1y ) ? a a2 b 2 b b 的渐近线为 y ? ? x: 它与y ? x的位置关系 a a A1 b 2 2 在y ? x的下方 等轴双曲线 x ?y ?m (2) a
b 它与y ? x的位置的变化趋势 : y? a ?x

B2

o

A2
a x

(m ? 0)的渐近线为

B1

慢慢靠近 (3) 利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图

b y?? x a

b y? x a

5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围:

? c>a>0 ?

e >1

(3)e的含义:
b c2 ? a2 c 2 ? ? ( ) ?1 ? e2 ?1 a a a b b ?当e ? (1,?? )时, ? (0,?? ), 且e增大 , 也增大 a a ? e增大时,渐近线与实轴 的夹角增大

e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大

y x 二、导出双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b y 的简单几何性质
(1)范围: y ? a, y ? ?a

2

2

(2)对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
(3)顶点: (0,-a)、(0,a) (4)渐近线: y ? ? a x
b
-b

a
o b x

-a

c (5)离心率: e ? a

(4)等轴双曲线的离心率e= ?2

离心率e ? 2的双曲线是等轴双曲线

c (5) e ? a

c ? a ?b
2 2

2

在a、b、c、e四个参数中,知二可求 二





双 曲 线

性 质 图象

范围

对称 性

顶点

渐近 线

离心 率

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

x?a

x ? ?a
y?a




y ? ?a

b c 关于 (? a,0) y ? ? x e ? 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c 2 ? a 2 ? b2 ) 称 (0,? a) y ? ? x b

例题讲解

例3 :求双曲线

9y2 ?16x2 ? 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 ? 2 ?1 2 4 3

焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解:把方程化为标准方程

可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3 半焦距c=
42 ?32 ? 5

焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率:
e ?

4 渐近线方程: y ? ? x 3

c 5 ? a 4

例4、已知双曲线的一个焦点为(6,0)渐近 2 5 y ? ? x ,求双曲线的标准方程。 线方程为 5

例5、已知双曲线的两个顶点坐标为 3 (0,-4),(0,4),离心率为 2 ,求双曲线 的标准方程及其渐近线方程。





椭 圆

双曲线

方程
a b c关系
图象

2 x2 ? y ? 1 2 ( a> b >0) 2 a b

x2 ? y2 ? 1 ( a> 0 b>0) 2 2 a b

c 2? a 2 ? b 2 (a> b>0)
y
M

c 2? a 2 ? b 2 (a> 0 b>0)
Y p F2 X

F1

0

F2

X

F1

0

B2

. .
B2

图形

. .
F1(-c,0)
F1

y

y
A2
F2

A1 A2
O

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

B1

F2(0,c) x F1(0,-c)

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) 2 2 a b

2

2

x ≥ a 或 x ≤ ?a,y ? R
关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

y ≥ a 或 y ≤ ?a,x ? R

y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a b

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c e? a

(e ? 1)

b y?? x a

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

总结: 1、“共渐近线”的双曲线的应 2 2用 x y



b 2 2 x y 方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b

a

2

?

2

? 1共渐近线的双曲线系

λ>0表示焦点在x轴上的双曲线; λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。 x2 y 2 x2 y2 2、与 2 ? 2 ? 1共焦点的椭圆系方程是 2 ? 2 2 ? 1, a b m m ?c 2 2 x y 双曲线系方程是 2 ? 2 ? 1. 2 m c ?m

二、直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法

相离
判断方法
(1)联立方程组 (2)消去一个未知数 (3)

相切

相交

?<0

?=0

?>0

1) 位置关系种类
Y

O

X

种类:相离;相切;相交(0个交点,一个交点, 一个交点或两个交点)

2)位置关系与交点个数
Y

相交:两个交点
相切:一个交点
O X

相离:0个交点

Y

相交:一个交点

O

X

3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

?y = kx + m ? 2 消去y,得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 ? x y2 ? 2 - 2 =1 ?a b

1.二次项系数为0时,L与双曲线的渐近线平行 或重合。

重合:无交点;平行:有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交(两个交点) 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离

注:
①相交两点: △>0 同侧:x1 ? x2>0 异侧: x1 ? x2 <0 一点: 直线与渐进线平行 △=0
△<0

②相切一点:
③相 离:

特别注意直线与双曲线的 位置关系中: 一解不一定相切,相交不一定 两解,两解不一定同支


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