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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查28 数列的概念与简单表示法


开卷速查(二十八)

数列的概念与简单表示法

A 级 基础巩固练 2 4 6 1.数列 0,3,5,7,…的一个通项公式为( n-1 A.an= (n∈N*) n+1 2?n-1? C.an= (n∈N*) 2n-1 )

n-1 B.an= (n∈N*) 2n+1 2n D.an= (n∈N*) 2n+1

0 解析:将 0 写成1,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为 偶数列,可表示为 2(n-1),n∈N*;分母为奇数列,可表示为 2n-1,n ∈N*,故选 C. 答案:C 2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2-1,则 a3=( A.-10 C.10 B.6 D.14 )

解析:a3=S3-S2=2×32-1-(2×22-1)=10. 答案:C n-1 3. 数列{an}满足: a1=1, 且当 n≥2 时, an= n an-1, 则 a5=( 1 A.5 C.5 1 B.6 D.6 )

n-1 解析:因为 a1=1,且当 n≥2 时,an= n an-1,

-1-



an

an-1

n-1 = n .

a5 a 4 a3 a2 4 3 2 1 1 所以 a5=a · · · · a 1= × × × ×1= ,故选 A. a a a 5 4 3 2 5
4 3 2 1

答案:A 4.已知 a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是 ( ) A.2n-1 C.n2 B.?
?n+1?n-1 ? ? n ?

D.n

解析:方法一:由已知整理,得(n+1)an=nan+1,
?an? an an a1 ∴ = n .∴数列? n ?是常数列,且 n = 1 =1. ? ? n+1

an+1

∴an=n. an n 方法二(累乘法):n≥2 时, = , an-1 n-1 an-1 n-1 = , an-2 n-2 ? a3 3 a2=2, a2 2 a1=1, an 以上各式两边分别相乘,得a =n. 1 又∵a1=1,∴an=n,故选 D.
-2-

答案:D an-1 5.若数列{an}满足 a1=1,a2=2,an= (n≥3,n∈N*),则 a17 an-2 =( ) A.1 1 C.2 B.2 D.2-987

1 1 解析:由已知,得 a1=1,a2=2,a3=2,a4=1,a5=2,a6=2, 1 1 a7=1,a8=2,a9=2,a10=1,a11=2,a12=2,即 an 的值以 6 为周期 1 重复出现,故 a17=2. 答案:C 6.数列{an}中,Sn 为{an}的前 n 项和,n(an+1-an)=an(n∈N*),且 a3=π,则 tanS4 等于( 3 A.- 3 C.- 3 ) B. 3 3 D. 3

解析:方法一:由 n(an+1-an)=an 得 nan+1=(n+1)an, 4 可得 3a4=4a3,已知 a3=π,则 a4=3π. 2 又由 2a3=3a2,得 a2=3π. π 10 10 由 a2=2a1,得 a1=3,故 S4=a1+a2+a3+a4= 3 π,tanS4=tan 3 π

-3-

= 3. 方法二:∵由 n(an+1-an)=an, 得 nan+1=(n+1)an 即 an =n. n+1 an+1

an an-1 an-2 a3 π ∴n= = =…= 3 =3. n-1 n-2 π π 10 10 ∴an=3n, ∴S4=a1+a2+a3+a4=3(1+2+3+4)= 3 π, tanS4=tan 3 π= 3. 答案:B 7 . 数 列 {an} 的 通 项 公 式 an = - n2 + 10n + 11 , 则 该 数 列 前 __________项的和最大. 解析:易知 a1=20>0,显然要想使和最大,则应把所有的非负项 求和即可,令 an≥0,则-n2+10n+11≥0,∴-1≤n≤11,可见,当 n =11 时,a11=0,故 a10 是最后一个正项,a11=0,故前 10 项或 11 项 和最大. 答案:10 或 11 8. 数列{an}满足: a1+3a2+5a3+…+(2n-1)· an=(n-1)· 3n+1+3(n ∈N*),则数列{an}的通项公式 an=__________. 解析:a1+3a2+5a3+…+(2n-3)· an-1+(2n-1)· an=(n-1)· 3n + 1 +3,把 n 换成 n-1 得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)· an-1=(n-2)· 3n +3,两式相减得 an=3n.
-4-

答案:3n an 9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1,则满足 n ≤2 的正整数 n 的集合为__________. 解析:因为 Sn=2an-1, 所以当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-1, 两式相减得 an=2an-2an-1, 整理得 an=2an-1 , 所以{an}是公比为 2 的等比数列, 又因为 a1=2a1-1,解得 a1=1, 故{an}的通项公式为 an=2n-1. an 而 n ≤2,即 2n-1≤2n.∴n=1,2,3,4. ∴正整数 n 的集合为{1,2,3,4}. 答案:{1,2,3,4} 1 10.已知数列{an}中,an=1+ (n∈N*,a∈R,且 a≠0). a+2?n-1? (1)若 a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的 n∈N*,都有 an≤a6 恒成立,求 a 的取值范围. 1 解析:(1)∵an=1+ (n∈N*,a∈R,且 a≠0), a+2?n-1? 又∵a=-7,∴an=1+ . 2n-9 1

-5-

1 结合函数 f(x)=1+ 的单调性, 2x-9 可知 1>a1>a2>a3>a4, a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*). ∴数列{an}中的最大项为 a5=2,最小项为 a4=0. 1 (2)an=1+ =1+ . a+2?n-1? 2-a n- 2 ∵对任意的 n∈N*,都有 an≤a6 恒成立, 1 2 1 2

结合函数 f(x)=1+

的单调性, 2-a x- 2

2-a 知 5< 2 <6,∴-10<a<-8. 故 a 的取值范围为(-10,-8). B级 能力提升练
? ? ? ?

?4? ?2? 11 . 已知数 列 {an} 的 通项公 式 为 an = ?9? n - 1 - ?3? n - 1 ,则 数列

{an}(

)

A.有最大项,没有最小项 B.有最小项,没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项

-6-

?4? ?2? 解析:∵数列{an}的通项公式为 an=?9?n-1-?3?n-1, ? ? ? ? ?2? 令 t=?3?n-1,t∈(0,1],t 是减函数, ? ? ? 1? 1 则 an=t2-t=?t-2?2-4, ? ?

由复合函数单调性知 an 先递增后递减. 故有最大项和最小项,选 C. 答案:C 1 7 12.已知数列{an}满足:a1=7,对于任意的 n∈N*,an+1=2an(1 -an),则 a1 413-a1 314=( 2 A.-7 3 C.-7 ) 2 B.7 3 D.7

1 7 1 6 3 7 3 4 6 7 6 1 解析:a1=7,a2=2×7×7=7,a3=2×7×7=7,a4=2×7×7= 3 7,…. 6 3 归纳可知当 n 为大于 1 的奇数时,an=7;当 n 为正偶数时,an=7. 3 故 a1 413-a1 314=7. 答案:D 13.[2015· 白山模拟]已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数?

-7-

②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N*,都有 an+1>an,求实数 k 的取 值范围. 解析:(1)①由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4. 因为 n∈N*,所以 n=2,3. 所以数列中有两项是负数,即为 a2,a3. 5? 9 ? 5 ②因为 an=n2-5n+4=?n-2?2-4的对称轴方程为 n=2.
? ?

又 n∈N*,所以当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2= a3=-2. (2)由 an+1>an 知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an=n2 k 3 +kn+4,可以看作是关于 n 的二次函数,考虑到 n∈N*,所以-2<2, 即得 k>-3. 14.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an+n2-1,数列{bn}满足 3n· bn+
1=(n+1)an+1-nan,且

b1=3.

(1)求 an,bn; (2)设 Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Tn,并求满足 Tn<7 时 n 的最 大值. 解析:(1)当 n≥2 时,Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1, 两式相减,得 an=an-an-1+2n-1, ∴an-1=2n-1(n≥2).

-8-

∴an=2n+1(n≥1). ∴3n· bn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3. 4n+3 ∴bn+1= 3n . 4n-1 当 n≥2 时,bn= n 1 ,又 b1=3 适合上式, 3- 4n-1 ∴bn= n 1 . 3- 4n-1 (2)由(1)知 bn= n 1 , 3- 4n-5 4n-1 3 7 11 ∴Tn=1+3+ 32 +…+ n 2 + n 1 ,① 3- 3- 4n-5 4n-1 1 3 7 11 T n= + 2+ 3 +…+ n 1 + 3 3 3 3 3n ,② 3- 4n-1 2 4 4 4 4 ① - ② , 得 3 Tn = 3 + 3 + 32 + 33 + … + n 1 - 3n = 3 + 3- 1 ? 1? ?1- ? n-1? 3? 3 ? 4n-1 4n+5 ? 4× - n =5- 1 3 3n . 1-3 15 4n+5 ∴Tn= 2 - n 1. 2· 3-

-9-

4?n+1?+5 4n+5 4n+3 Tn-Tn+1= 2· - =- n 3 3n <0, 2· 3n-1 59 64 ∴Tn<Tn+1,即{Tn}为递增数列,又 T3= 9 <7,T4= 9 >7,∴当 Tn<7 时,n 的最大值为 3.

- 10 -


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