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第二讲 函数的概念及表示


第二讲

函数的概念及表示

1.函数的定义 ①函数的概念:对于两个非空数集 A、B,按照某个对应法则 f,对于 A 集合的任 一元素在 B 集合中都有唯一的元素和它对应,这种从 A 到 B 的对应叫做函数 ②理解函数的概念注意以下几点: (1) 集合 A、B 要求非空 (2) 函数的实质是一种对应, 这种对应要求起始集合 A 满足任意性,终止集合 满足唯一性。对应形式只能是一对一,多对一,不允许一对多。反应在图 像上就是直线 x=a(a ? A)与 y=f(x)图像只有一个交点。 (3) 函数的三个要素:定义域、值域、对应法则,定义域就是 A,值域却不是 B,值域只是 B 的子集。 例 1.(1)y=1,x ? R (2)y= ? x (x ? 0 ) (3)y= x - 3 ? 1 - x

上述三个式子是函数的有__________________个 例 2.函数 y=f(x)的图像与直线 x=a(a 为常数)的交点个数是() A.0 B.1 C.0 或 1 D.1 或 2 例 3.设集合 M={x 0 ? x ? 2 },N={y 0 ? y ? 2 },给出下列四个图像,其中能表示 从集合 M 到集合 N 的函数关系的有()个。
2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 例 4.已知 A={a,b,c},B={-1,0,1},函数 f:A ?B 满足 f(a)+f(b)+f(c) =0,则这样的函数有___________个 A.4 B.6 C.7 D.8 例 5.若一系列的函数解析式相同,值域相同,定义域不同,则称这些函数为“同 族函数”,那么函数解析式为 y=x 2 ,值域为 ? 1,4? 的“同族函数”共有() A.7 2.求函数值 B。8 C。9 D。10

例 1.设函数 f(n)=k,n ? N ? ,k 是 ? 的小数点后第 n 个数字, ? =3.1415926535?,

?f ? f ?f ?10 ???=_______________ 则f ?? ? ??? ?
100 个

1 - x),x ? 0 ?log( 例 2. 已 知 函 数 f ( x ) = ? 2 , 则 f(2011) 的 值 为 ) - f(x - 2),x ? 0 ?f(x - 1
_____________
1

? 2 x ,x ? 0 练习:已知函数 f(x)= ? ,则 f(2004)=________ ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0



3.









f



x



=

x2 x2 ?1







1 1 1 )+f(3)+f( )+f(4)+f( )=_________ 2 3 4 3.求自变量的值

f(1)+f(2)+f(

已知 f(x)=2 x -

1 2
x

,若 f(x)=

3 ,则 x=______________ 2

4.相等函数 下列各组函数中是同一函数的有() A. f(x)=

?1,x ? 0 ,g(x)= ? x ?- 1,x ? 0
x

B. f(x)= 2n x 2n ,g(x)=( 2 n ?1 x ) 2 n ?1 C. f(x)= x ? x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x D. f(x)=x 2 -2x-1,g(t)=t 2 -2t-1 5.映射 例:(1)下列对应关系是映射的是________________ ①P=Z,Q=N ? ,对应关系 f: 对集合 P 中的元素取绝对值与集合 Q 中的元素相对应。 ②P={-1,1,-2,2},Q={1,4},对应关系 f:x ?y=x 2 ,x ? P,y ? Q; ③P={三角形}Q={x x >0},对应关系 f:对 P 中三角形求面积与集合 Q 中元素对应 (2)已知 a、b 为两个不相等的实数,集合 M={a 2 -4a,-1},N={b 2 -4b+1,-2}, f: x ?x 表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x, 则 a+b 等于_____________ 6.定义域 一.若 f(x)的解析式含有分式,分母不为 0 二.若 f(x)的解析式含有偶次根式,被开方数大于或等于 0 三.若 f(x)的解析式含有 0 指数幂,底数不等于 0 四.若 f(x)的解析式含有对数,真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1 五.若 f(x)的解析式含有分数指数,则化为根式来求定义域 ? 六.若 f(x)的解析式含有 tanx,则 x ? k? ? 2 例 1.函数 f(x)=

3x 2 1- x

+lg(3x+1)+(2x+1) 0 的定义域为________________
2

例 2. ①已知函数 y=f ( x )的定义域为 ?- 2,3? ,则 y=f ( 2x+1 )的定义域为 ____________ ②已知函数 y=f (2x+1) 的定义域为 ?- 2,3? , 则f (x) 的定义域为___________ 例 3.①设函数 f(x)= 范围是______________ ② 已 知 函 数 y=log
4

ex (其中 a 为实数)的定义域为 R,则 a 的取值 x 2 ? ax ? a

(ax+1) 在 ?- ?, 1? 有 意 义 , 则 a 的 取 值 范 围 为

_________________ 7.函数的表示 解析法、列表法、图像法 (1).解析法 1 1 例 1.f( )= ,求 f(x)= x 1- x2 例 2. 已 知 f ( x ) 是 正 比 例 函 数 , g ( x ) 是 反 比 例 函 数 , 且 f(2)+4g(2)=6,求 f(x)与 g(x)的解析式 1 例 3.3f(x)+f( )=x,则 f(x)=___________ x (2).列表法 例 1.已知函数 f(x) 、g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 x 1 2 3 f(x) 2 1 1 g(x) 3 2 1
f( 1 ) =2 , g( 1 )

?的值为__________ 则①f ?g( 1 ) ?=2,则 x=_______________ ②g ?f(x)
例 2.二次函数 y=ax 2 +bx+c(x ? R)的对应如下表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则 ax 2 +bx+c>0 的解集为_____________。 8.函数的值域 (1).分离常数法,形如 y= 法 (4) .有界限法, 形如 y=
ax ? b (2).配方法,二次函数(3).利用单调性 cx ? d

1 x 2 -1 , y= (5) .换元法, 形如 y=ax+b+ cx ? d 2x ? 1 x2 ?1

3

(6).均值不等式法(7).图像法,y= x - 1 ? x - 2

第二讲函数的概念经典作业 练出高分
A组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1 1.(2012· 山东)函数 f(x)= + 4-x2的定义域为 ln?x+1? A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2]
2

(

)

B.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,2]

x +1,x≤1, ? ? 2. (2012· 江西)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3))等于 ?x,x>1, ? 1 A. 5 B.3 2 C. 3 13 D. 9

(

)

3.设 g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 f(x)等于 A.-2x+1 C.2x-3 B.2x-1 D.2x+7

(

)

4.若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y=f(x) 的图像可能是 ( )

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5.已知 f(x)=x2+px+q 满足 f(1)=f(2)=0,则 f(-1)=________.
2 ?1-x?=1-x ,则 f(x)的解析式为____________. 6.已知 f? ? ?1+x? 1+x2

7.若函数 f(x)= 2x2+2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为________. 三、解答题(共 22 分) 8.(10 分)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1.求函数 f(x)的解析式.

4

9.(12 分)记 f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合 M,函数 g(x)= 求:(1)集合 M、N;(2)集合 M∩N,M∪N. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1.设 f(x)=lg 2+x x? ?2? ,则 f? ?2?+f?x?的定义域为 2-x B.(-4,-1)∪(1,4) D.(-4,-2)∪(2,4)

2 1- 的定义域为集合 N, x-1

(

)

A.(-4,0)∪(0,4) C.(-2,-1)∪(1,2)

?2x,x>0, ? 2.(2011· 福建)已知函数 f(x)=? 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( ?x+1,x≤0, ?

)

A.-3

B.-1

C.1

D.3

2 ? ?x ,|x|≥1, ? 3. 设 f(x)= g(x)是二次函数,若 f(g(x))的值域是[0,+∞),则 g(x)的值域是 ?x,|x|<1, ?

(

) A.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.[0,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞) D.[1,+∞)

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4.(2012· 江苏)函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为________.
? ?a 5. 对任意两实数 a、 b, 定义运算“*”如下: a*b=? ?b ?

?a≤b? ?a>b?

1 , 则函数 f(x)=log (3x-2)*log2x 2

的值域为________.
?2x+a,x<1, ? 6.(2011· 江苏)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值 ?-x-2a,x≥1. ?

为______. 三、解答题
? ?x-1,x>0 7.(13 分)已知 f(x)=x2-1,g(x)=? . ?2-x,x<0 ?

(1)求 f(g(2))和 g(f(2))的值; (2)求 f(g(x))和 g(f(x))的解析式.
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