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山东省德州市某中学2013-2014学年高一数学1月月考新人教B版


高一阶段性检测 3 数学试题
一、选择题: 1.若空间两条直线 a 和 b 没有公共点,则 a 与 b 的位置关系是( A. 共面 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 ) )

2.若直线经过 A (2

3 , 9)、B(4

3 , 15)两点, 则直线 A B 的斜率是(

(

A) 3

( B)

3 3
? ?

(C )1
1? 2?

( D)2

3.幂函数 f ( x) 的图象过点 ? 4, ? ,那么 f (8) 的值为

( )

A.

2 4

B. 64

C. 2 2

D.

1 64
? ?

4. 已知集合 A= y y ? log 2 x, x ? 1 , B= ? y y ? ( ) , x ? 1? ,则 A ? B =( )
x

?

?

? ?

1 2

A.( 0 , 1 )

B.( 0 ,

1 ) 2

C.(

1 , 1 ) 2

D. ? ) D. ( 2,1)

5. 直线 mx ? y ? m ? 2 ? 0 经过一定点,则该点的坐标是( A. (?1,2) B. (1,2) C. (2,?1)

6.已知两直线 m、n,两平面 α 、β ,且 m ? ? , n ? ? .下面有四个命题( ) 1)若 ? // ? , 则有m ? n ; 3) 若m // n, 则有? ? ? ; 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 2) 若m ? n, 则有? // ? ; 4) 若? ? ? , 则有m // n .

7.若直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与直线 l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则 a 的值是 A. ? 3 B. 1 C. 0 或 ?

3 2

D. 1 或 ? 3

8.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几 何体的表面积及体积为:

5 6 正视图

5

5 6 侧视图

5

1
俯视图

A. 24? cm2 , 12? cm3 C. 24? cm , 36? cm
2
x

B. 15? cm2 , 12? cm3 D.以上都不正确

3

9.设函数 f ( x) ? 3 ? x ,则函数 f ( x) 有零点的区间是
2

A. ? 0,1?

B. ?1, 2 ?

C. ? ?2, ?1? )

D. ? ?1, 0?

10. 设正方体的表面积为 24,那么其外接球的体积是( A. ?

4 3

B.

8? 3

C. 4 3?

D. 32 3?

2 11. 已 知 函 数 f ? x ? ? 2 x ? mx ? 5 , m ? R , 它 在 (? ?, ?2 ]上 单 调 递 减 , 则 f ?1? 的 取 值 范 围 是



) A. f (1) ? 15 B. f (1) ? 15
x

C. f (1) ? 15

D. f (1) ? 15

12.已知 lg a ? lg b ? 0 ,则函数 f ( x) ? a 与函数 g ( x) ? ? log b x 的图象可能是

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.函数 y ?

2 x ? 1 的定义域是_________



14.函数 y=-(x-2)x 的递增区间是_____________________________ 15.过点(1,0)且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 ; ;

16.已知正四棱锥 V - ABCD 的底面面积为 16,一条侧棱长为 2 11 ,则它的斜高为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三个顶点分别为 A(2,3),B(-1,-2) ,C(-3,4) ,求 (Ⅰ)BC 边上的中线 AD 所在的直线方程; (Ⅱ)△ABC 的面积。

2

18.已知函数 f ( x) ? 1 ?

2 . x (Ⅰ)若 g ( x) ? f ( x) ? a 为奇函数,求 a 的值; (Ⅱ)试判断 f ( x) 在 (0, ??) 内的单调性,并用定义证明.
A1 B1 M D1 C1 N A G D C

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M、 N、 G 分别是 A1A, D1C, AD 的中点. 求 证: (Ⅰ)MN//平面 ABCD; (Ⅱ)MN⊥平面 B1BG.

B

20. (本小题满分 12 分) 某商场经营一批进价是每件 30 元的商品,在市场销售中发现此商品的销售单 价 x 元与日销售量 y 件之间有如下关系: 销售单价 x (元) 日销售量 y (件) 30 60 40 30 45 15 50 0

(Ⅰ)在平面直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对 ? x, y ? 对应的点,并确定 x 与 y 的一个函数 关系式 y ? f ? x ? ; (Ⅱ)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据上述关系式写出 P 关于 x 的函数关系式,并指出销售单价

x 为多少时,才能获得最大日销售利润。

21.(本小题满分 12 分) 如图,A、B、C、D 是空间四点,在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 2 ,等边△ADB 所在的平面以 AB 为轴可转动. (Ⅰ)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求三棱锥 D - ABC 的体积; (Ⅱ)当△ADB 转动过程中,是否总有 AB⊥CD?请证明你的结论. D

A C

B

3

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ?

1 . 2| x|

(Ⅰ)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值; (Ⅱ)若 2 t f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ?[ 1, 2 ] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

数学参考答案及评分标准

一、选择题:DAABA CDADC CB 二、填空题:13. ? ? 0, ?? ? 三、解答题: 17.解: (Ⅰ)由已知得 BC 中点 D 的坐标为 D(?2,1) ,………………………2 分 14

? ??,1?

15. x ? 2 y ? 1 ? 0

16. 2 10

∴中线 AD 所在直线的方程是

y ? 1 x ? ( ?2) ,………………………4 分 ? 3 ? 1 2 ? ( ?2)

即 x ? 2 y ? 4 ? 0 ………………………………6 分 (Ⅱ)∵ BC ?

(?1 ? (?3)) 2 ? (?2 ? 4) 2 ? 2 10 ,

直线 BC 的方程是 3x ? y ? 5 ? 0 ,……………………………………………8 分 点 A 到直线 BC 的距离是 d ? ∴△ABC 的面积是 S ?

| 3? 2 ? 3 ? 5 | 32 ? 12

?

14 ……………………………10 分 10

1 BC ? d ? 14 .………………………………………………12 分 2
2 , x
…………2 分

18.解: (Ⅰ)由已知 g ( x) ? f ( x) ? a 得: g ( x) ? 1 ? a ? ∵ g ( x) 是奇函数,∴ g (? x) ? ? g ( x) ,即 1 ? a ?

2 2 ? ?(1 ? a ? ) ,解得 a ? 1. ………5 分 ( ? x) x

4

(Ⅱ)设 0 ? x1 ? x2 ,

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ?

2( x1 ? x2 ) 2 2 . ? (1 ? ) ? x1 x2 x1 x2

9分

∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,从而

2( x1 ? x2 ) ?0, x1 x2

11 分

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .所以函数 f ( x) 在 (0, ??) 内是单调增函数.

12 分

19、证明: (Ⅰ)取 CD 的中点记为 E,连 NE,AE. 由 N,E 分别为 CD1 与 CD 的中点可得
1 NE∥D1D 且 NE= D1D, ………………………………2 分 2 1 又 AM∥D1D 且 AM= D1D………………………………4 分 2
B1 M A1 D1 C1 N A G D C

所以 AM∥EN 且 AM=EN,即四边形 AMNE 为平行四边形 所以 MN∥AE, 又 AE ? 面 ABCD,所以 MN∥面 ABCD……6 分
B

(Ⅱ)由 AG=DE , ?BAG ? ?ADE ? 90? ,DA=AB 可得 ?EDA 与 ?GAB 全等……………………………8 分 所以 ?ABG ? ?DAE , 又 ?DAE ? ?AED ? 90?,?AED ? ?BAF ,所以 ?BAF ? ?ABG ? 90?, 所以 AE ? BG , 又 BB1 ? AE ,所以 AE ? 面B1BG , 又 MN∥AE,所以 MN⊥平面 B1BG …………………………………12 分 20.解: (Ⅰ)坐标系画点略 设 f ? x ? ? kx ? b ,………………………………2 分 则? ………………………………………………10 分

?60 ? 30k ? b ? k ? ?3 ,解得: ? ………………………………5 分 ?30 ? 40k ? b ?b ? 150
检验成立。………………………………6 分
2

? f ? x ? ? ?3x ? 150,30 ? x ? 50

(Ⅱ) P ? ? x ? 30 ? ? ? ?3x ? 150 ? ? ?3x ? 240 x ? 4500,30 ? x ? 50 ……………9 分

? 对称轴x ? ?

240 ? 40 ? ?30,50? ………………………………11 分 2 ? ? ?3?

5

? 当销售单价为 40 元时,所获利润最大。………………………………12 分

21.解: (Ⅰ)设 AB 的中点为 O,连接 OD,OC, 由于△ADB 是等边为 2 的三角形, \ OD ^ AB 且 OD =

3 ,………………2 分

?平面ADB ^ 平面ABC \ OD ^ 平面ABC ………………………………4 分
\ V三棱锥D- ABC = 1 SD ABC ? OD 3 1 1 创 2? 3 2 2 1? 3 3 .…………6 分 3

(Ⅱ)当△ADB 以 AB 为轴转动过程中,总有 OD ^ AB,OC ^ AB ,……………8 分 即有 AB ^ 平面COD ,故有 AB ^ CD ;………………………………10 分 当平面 ABD 与平面 ABC 重合时,由平面几何知 AB ^ CD ;……………………11 分 于是,当△ADB 转动过程中,总有 AB⊥CD。………………………………12 分

22.解: (Ⅰ)当 x ? 0 时 f ( x) = 0 ,………………………………2 分

当 x > 0 时, f ( x) = 2 由条件可得, 2 即 2 - 2? 2
2x x

x

1 ,………………………………4 分 2x

x

1 = 2 ,………………………………5 分 2x
2,

1 = 0 ,解得 2 x = 1

? 2x > 0 , \ 2x = 1+
\ x = log 2 (1 +

2,

2) 。 ……………………………7 分

1 ? 1 ? ? ? (Ⅱ)当 t ?[ 1, 2 ] 时, 2 t ? 2 2t ? 2t ? ? m? 2 t ? t ? ? 0 ,………………………………9 分 2 ? 2 ? ? ?
即 m 2 2 t ? 1 ? ? 2 4t ? 1 .

?

? ?

?

? 2 2 t ? 1 ? 0 , ? m ? ?? 2 2 t ? 1 ?.

………………………………12 分

6

? t ?[ 1, 2 ], ? ? 1 ? 2 2 t ?[ ? 17, ? 5 ] ,
故 m 的取值范围是 [ ? 5, ? ? ) . ………………………………14 分

?

?

7


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