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直线的倾斜角与斜率课时案例


《直线的倾斜角与斜率》课时案例
备案人:长治市十七中 牛海丽

一、教学准备: (一)教学思考: 1、知识地位: 直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一, 是刻画直线倾斜程度的几何 要素与代数表示,是在平面直角坐标系内以坐标法(解析法)的方式来研究直线 及其几何性质(如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等)的基础。通过该 内容的学习,帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程,初步渗 透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章,承前启后,奠定基 础,渗透方法的作用。 (1)知识准备:初中知识:两点确定一条直线; (2)知识意义:首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系, 进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最 终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终,而且在本课题中也 初步给予体现,帮助学生为不断地体会“数形结合”的思想方法作铺垫。 2、概念综述: 倾斜角是刻画直线倾斜程度的一个几何量,而斜率是倾斜角代数化的一个概念, 也是刻画直线倾斜程度的代数表达。 在此应该注意的是由于斜率与倾斜角的特有 关系,所以,直线的倾斜角和斜率不是一一对应的。直线都有倾斜角,而不一定 都有斜率。 3、分析学生: 学生已有的自主学习的习惯、意识以及课堂参与程度,这些都将决定了本堂课学 生自主研究探索并掌握倾斜角与斜率这两个主要概念的深度、广度。 4、三维目标: (1)知识目标 理解直线的倾斜角和斜率的定义, 用代数方法刻画直线斜率的过程及掌握已 知倾斜角求直线斜率和过两点的直线的斜率计算公式 (2)能力目标 引导学生观察探索发现,培养学生的数形结合的数学思想。 (3)情感目标 通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究的目标。并体验数学和 生活的联系,认识数学在生活中的巨大作用。 (二)教学设计: 1、课堂形式: 观察发现、启发引导、多媒体演示、探索交流相结合是本堂课的主要形式。学方 2、重点、难点的分解: 重点:理解直线的倾斜角和斜率的概念, 经历用代数方法刻画直线斜率的过程, 掌握过两点的直线的斜率的计算公式及应用

难点:过两点的直线的斜率公式的推导 3、课件准备: 适当地展示课件, 正确体现多媒体技术对教学的辅助作用对学生感性地认可概念 是十分重要的。 (1)课件平台:主平台 PowerPoint,辅助平台 Flash。 (2)动画小课件:①情景课件:点的坐标,直线的形状和两点确定一条直线的动 画②直线的变化(平移、旋转)与倾斜角;③倾斜角的变化与斜率的变化(定量与定 性);④斜率的两点公式与倾斜角变化(分类讨论)。 二、课堂教学设计: (一)情景引人: 由平面直角坐标系里点的坐标,直线的形状和两点确定一条直线的动画演示,再 加上如下的问题:你有几种办法确定一条直线的位置呢? 引出新课 (二)概念探索: 第一步:请同学们带着下列四个问题看 P82---P83。(自主学习) (1)直线倾斜角的定义是什么? (2)直线倾斜角的范围是多少? (3)直线倾斜角的意义是什么? (4)如何才能确定一条直线的位置? 案情估计:第一个问题和第二个问题”的结论比较容易得到;对于第三问,教师 老师做必要的引导,目的让同学们通过讨论初步认识斜率的概念;对于第四问, 老师先提出问题,即一点能确定一条直线的位置吗?老师继续提问,倾斜角相同 能确定一条直线吗?目的让同学们自然而然的得出问题的答案。 教师介入: 结合学生的概念表达,将规范的概念陈述展示(用投影仪); 课件演示: 1.老师利用多媒体课件出示问题(1)的图象和答案;
y
l

a
x x x x o

2.老师利用多媒体课件出示问题(2)的答案和图象及巩固倾斜角范围的图象。

y
x

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a x o

y
x
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o

a

零度角

锐角

直角

钝角

3.老师利用多媒体课件出示只有一点不能确定一条直线的位置的动画和只有倾 斜角不能确定一条直线的位置的动画。

x

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l2

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(三)自然过渡 思考:日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?(同学们热烈讨论,老师利用 多媒体课件出示图片)

案情估计: 不仅让学生能说出房顶,汽车的挡风玻璃,楼梯,供残疾人上楼的绿色通道!等 等具体实例,而且有意识地引导学生,让学生说出倾斜角是形,斜率是数,为倾 斜角(形)到斜率(数)的过渡架起一座桥梁,也为数形结合数学思想的渗透提供 现实依据.并且自然过度到下一环节斜率问题上。 (四)概念深化探索: 第一步:请同学们带着下列四个问题自己看 P83---P84(自主学习) 问题(1)直线斜率的定义是什么? 问题(2)讨论两点式直线的斜率公式的推导过程并写出 经过两点 P ( x1 , y1 ), P ( x , y ) 1 2 2 2 ( x1 ? x2 ) 的直线斜率公式 问题(3)当直线平行于 x 轴, 或与 x 轴重合时,两点式直线的斜率公式还适用吗? 为什么?与 y 轴平行或重合呢? 问题(4)已知直线上两点 A( a1,a2) 、B(b1,b2) ,运用两点式直线的斜率公式计算 直线 AB 的斜率时,与 A、B 的顺序有关吗? 案情估计: 第一个问题的结论比较容易得到, 第二个问题还应该估计到学生很有可能对两点 坐标求斜率的公式时遇到困难,所以让学生分组讨论,为培养学生合作探究精神 的培养提供了一个很好的机会。(教师在课堂中既要不失时机地进行科学素养的 培养,又要驾驭课堂的发展), 第三个问题和第四个问题结论比较容易得到。 教师介入: 结合学生的概念表达,将规范的概念陈述展示(用投影仪); 课件演示: 1.老师利用多媒体课件出示问题(1)的图象和答案; ? tan a k 2.老师利用多媒体课件出示问题(4)的答案和图象 b ? a2 a ? b2 k AB ? 2 k BA ? 2 b1 ? a1 a1 ? b1 (五)概念巩固:

x
l3

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o

x

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1.例题分析 例 1.已知 A(4,2),B(-8,2),C(0,-2),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断这 些直线的倾斜角是什么角。 。 例 2.在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为 1,-1,2 和-3 的直线 L1,L2,L3,及 L4 。
)

案情估计:结论(公式:k=(y2-y1)/(x2-x1))的得到学生是比较容易的。 2.练习 P86 2,3,4。 (六)课堂小结: 学生归纳:(学生的表达为主,教师的修正为辅) (1)数形结合的感悟; (2)倾斜角与斜率的概念与注意点; (3)斜率公式。 (七)布置作业: 习题 3.1A 组第 1,2,3,4,5。 三、教学反思: 成功之处在于: (1)借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片,从激励学生 探究入手,讲练结合,直观演示,使教学更富趣味性和生动性。 (2)有效达到形 (倾斜角)与数(斜率)的结合,成功地渗透了数形结合的思想。 (3) 在难点 的处理上有效地发挥了小组的合作探究精神。 失败之处在于:最后一个环节(即:布置作业, 巩固公式)仅仅达到了巩固公式的 效果,没有起到反作用于现实生活的作用,比如课本 90 页探索与发现中提到的 魔术师的地毯,以及查询比萨斜塔的倾斜角求斜率等等现实问题,都没有很好地 去解决,所以也没能让同学们真正达到深刻理解倾斜角和斜率的内涵的目的。


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