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2013年全国高中数学联赛福建预赛试题与答案


2013 年福建省高中数学竞赛 暨 2013 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案
(考试时间:2013 年 9 月 7 日上午 9:00-11:30,满分 160 分) 一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线 上) 1 . 已 知 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 32 , an ? 1 ? an ? 2

n ( n ? N * ) 则 , 为 。 31 【答案】 3 【解答】由 a1 ? 32 , an ? 1 ? an ? 2n 知,
an ? an ? 1 ? 2(n ? 1) , an ?1 ? an ? 2 ? 2(n ? 2) ,??, a2 ? a1 ? 2 ?1 , a1 ? 32 。

an 的最小值 n

上述 n 个等式左右两边分别相加,得 an ? n(n ? 1) ? 32 。 ∴ ∴
an a a 32 52 31 ; n ? 6 时, n ? 。 ? n ? 1 ? ,又 n ? 5 时, n ? n n n 5 n 3 a 31 n ? 6 时, n 取最小值 。 3 n

2.对于函数 y ? f ( x) , x ? D ,若对任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使得
f ( x1 ) f ( x2 ) ? M ,则称函数 f ( x) 在 D 上的几何平均数为 M 。已知 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 1 ,

x ? ?1, ? ,则函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 1 在 ?1 , ? 上的几何平均数 M ? 2 2



【答案】

5

【解答】 ∵ 当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? x(3x ? 2) ? 0 , ∴ ∴
2 5 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 1 在区间 ?1 , ? 上为增函数,其值域为 ?1 , ? 。

根据函数 f ( x) 几何平均数的定义知, M ? 5 。

1 1 2 3.若三个非零且互不相等的实数 a 、b 、c 满足 ? ? ,则称 a 、b 、c 是调和的; a b c

若满足 a ? c ? 2b ,则称 a 、 b 、 c 是等差的。已知集合 M ? ? x

x ? 2013 , ? Z ? ,集 x

b c 合 P 是集合 M 的三元子集,即 P ? ? a , , ? ? M 。若集合 P 中元素 a 、 b 、 c 既是调和

的,又是等差的,则称集合 P 为“好集” 。则不同的“好集”的个数为 【答案】 1006



?1 1 2 ? ? ? 【解答】若 a 、 b 、 c 既是调和的,又是等差的,则 ? a b c , a ? ?2b , c ? 4b 。 ? a ? c ? 2b ?
b 4 即“好集”为形如 ? ? 2b , ,b ? ( b ? 0 )的集合。

由“好集”是集合 M 的三元子集知, ?2013 ? 4b ? 2013 , b ? Z ,且 b ? 0 。 ∴ ?503 ? b ? 503 , b ? Z ,且 b ? 0 。符合条件的 b 可取 1006 个值。 ∴ “好集”的个数为 1006。 4 . 已 知 实 数 x , y 满 足 xy ? 1 ? 4 x ? y , 且 x ? 1 , 则 ( x ? 1) y ? 2的 最 小 值 ( ) 为 【答案】 27 【解答】由 xy ? 1 ? 4 x ? y 知, y ? ∴
( x ? 1 )y(? 2 ) x ?( ? 4x ?1 。 x ?1 4x ? 1 3x(? 1 ) ( 2 x? 1) 。 1) ( ? ? 2 ) x ?1 x ?1



设 x ? 1 ? t ,则 t ? 0 , 3( x ? 1)(2 x ? 1) 3(t ? 2)(2t ? 1) 1 ( x ? 1)( y ? 2) ? ? ? 6(t ? ) ? 15 ? 27 。 x ?1 t t 1 当且仅当 t ? ,即 t ? 1, x ? 2 , y ? 7 时等号成立。 t ∴
( x ? 1 )y(?

的最小值为 27。 2)

5.如图,在四面体 ABCD 中, AB ? 平面 BCD , △BCD 是边长 为 3 的等 边 三角 形。 若 AB ? 2 , 则 四 面体 ABCD 外 接 球 的 面 积 为 。 【答案】 16? 【解答】如图,设正 △BCD 的中心为 O1 ,四面体 ABCD 外接球的
2 3 ?3 ? 3 。 球心为 O 。则 OO1 ? 平面 BCD , OO1∥AB , BO1 ? ? 3 2

取 AB 中点 E 。 由 OA ? OB 知, OE ? AB , OE∥O1B , OO1 ? EB ? 1 。 于是, OA ? OB ? 2 。



四面体 ABCD 外接球半径为 2,其面积为 16? 。

6.在正十边形的 10 个顶点中,任取 4 个点,则以这 4 个点为顶点的四边形为梯形 的概率为 。 2 【答案】 7 【解答】设正十边形为 A1 A2 ? A10 。则 以 A1 A2 为底边的梯形有 A1 A2 A3 A10 、 A1 A2 A4 A9 、 A1 A2 A5 A8 共 3 个。同理分别以 A2 A3 、
A3 A4 、 A4 A5 、?、 A9 A10 、 A10 A1 为底边的梯形各有 3 个。这样,合计有 30 个梯形。

以 A1 A3 为底边的梯形有 A1 A3 A4 A10 、 A1 A3 A5 A9 共 2 个。同理分别以 A2 A4 、 A3 A5 、
A4 A6 、?、 A9 A1 、 A10 A2 为底边的梯形各有 2 个。这样,合计有 20 个梯形。

以 A1 A4 为底边的梯形只有 A1 A4 A5 A10 1 个。 同理分别以 A2 A5 、A3 A6 、A4 A7 、 ?、A9 A2 、
A10 A3 为底边的梯形各有 1 个。这样,合计有 10 个梯形。

所以,所求的概率 P ?

30 ? 20 ? 10 2 ? 。 4 C10 7
? 1 ?? 2 ? ? 2 ? 在区间 ? 0 ,? ? 内的所有实根之和为 ?

? x ? x 7.方程 sin ? x ? ? ? ? ? 2 ? 2



(符号 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数) 。 【答案】 12
? x ? x ? x ? ? x ? 【解答】设 ? ? ? ? ? ? ,则对任意实数 x , 0 ? ? ? ? 1 。 ?2 ? 2 ? 2 ? ?2?
?? x ? 1 ? 原方程化为 sin ? x ? ? ? ? ? ? 。 ??2 ? 2? ?? x ? 1 ? ? x ? 1 ① 若 0 ? ? ? ? ,则 sin ? x ? ? ? ? ? ? ? 0 , ? x ? k? ( k ? Z ) 。 ? 2 ? 2 ??2 ? 2?



2 。结合 x ? ? 0 ,? ? 知, x ? 0 ,1,2,3,4,5,6。 x ? k ( k ?Z )

经检验, x ? 0 ,2,4,6 符合要求。

② 若 ∴

?? x ? 1 ? 1 1 ? x ? 。 ? ? ? ? 1 ,则 sin ? x ? ? ? ? ? ? ? 1 , ? x ? 2k? ? ? ( k ? Z ) 2 ?2? 2 ??2 ? 2?

1 1 5 9 2 。结合 x ? ? 0 ,? ? 知, x ? , , 。 x ? 2k ? ( k ? Z ) 2 2 2 2 1 5 9 经检验, x ? , , 均不符合要求。 2 2 2 ∴ 符合条件的 x 为 0,2,4,6,它们的和为 12。
x 8 . 已 知 f ( x) 为 R 上 增 函 数 , 且 对 任 意 x ? R , 都 有 f ? f ( x)? 3 ? ? 4 则 , ? ?

f ( 2 )?



【答案】 10 【解答】依题意, f ( x) ? 3x 为常数。设 f ( x) ? 3x ? m ,则 f (m) ? 4 , f ( x) ? 3x ? m 。 ∴ ∴
3m ? m ? 4 , 3m ? m ? 4 ? 0 。易知方程 3m ? m ? 4 ? 0 有唯一解 m ? 1。
x f ( x )? 3 ? , f (2) ? 32 ? 1 ? 10 。 1

9.已知集合 A 的元素都是整数,其中最小的为 1,最大的为 200。且除 1 以外, A 中 每一个数都等于 A 中某两个数 (可以相同) 的和。 A 的最小值为 则 号 A 表示集合 A 中元素的个数) 【答案】 10
2 3 5 10 20 40 80 160 200 【 解 答 】 易 知 集 合 A ? ? 1, ,,, , , , , , ? 符 合 要 求 。 此 时 , A ? 10 。

。 (符

下面说明 A ? 9 不符合要求。
x x x 200 假设集合 A ? ? 1,1 , 2 , 3 ,x4 ,x5,x6,x7, ? , x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? x7 符合

要求。 则 x1 ? 1 ? 1 ? 2 , x2 ? 2 ? 2 ? 4 , x3 ? 8 , x4 ? 16 , x5 ? 32 , x6 ? 64 , x7 ? 128 。 由于 x6 ? x7 ? 64 ? 128 ? 192 ? 200 ,因此, 200 ? x7 ? x7 , x7 ? 100 。 同理,由 x5 ? x6 ? 32 ? 64 ? 96 ? 100 ,知, x7 ? 100 ? x6 ? x6 , x6 ? 50 。 由 x4 ? x5 ? 16 ? 32 ? 48 ? 50 ,知, x6 ? 50 ? x5 ? x5 , x5 ? 25 。

由 x3 ? x4 ? 8 ? 16 ? 24 ? 25 ,知, x5 ? 25 ? x4 ? x4 , x4 ? ∴

25 与 x4 为整数矛盾。 2

A ? 9 不符合要求, A ? 9 。同理, A ? 8 也不符合要求。

因此, A 的最小值为 10。
? x ,若 x 为无理数 ? 10.已知函数 f ( x) ? ? q ? 1 ,则函数 q 若 其中 p , ? N * , p 、互质, ? q q 且 q p ? p , x ? p, ?

7 8 f ( x) 在区间 ( , ) 上的最大值为 8 9 16 【答案】 17



7 8 a 7 8 【解答】若 x 为有理数,且 x ? ( , ) 。设 x ? , ? ( , ) ( a , ? ? N* ) 8 9 a?? 8 9



? 9a ? 8a ? 8? 7 a 8 , 7? ? a ? 8? 。 ? ? 知, ? 8 a?? 9 ? 7 a ? 7 ? ? 8a

当 ? ? 1 时, a 不存在; 当 ? ? 2 时,存在唯一的 a ? 15 ,此时 x ?
15 16 , f ( x) ? 。 17 17

当 ? ? 3 时,设 a ? 7? ? m ,其中 1 ? m ? ? ?1,且 m ? N * ,此时 f ( x) ? ∵ ∴
1 6 7 ? m ? 1 ? ?m ? 1 7 ? ( ? ? 9 m ? ?( 8 ) ? 17) ? ? ? ?, 0 17 ??m 8 1 7? 8 m (? ) 1?7?(m 8 )

7? ? m ? 1 。 8? ? m

15 16 时, f ( x) 取最大值 。 17 17 7 8 8 16 又 x 为无理数,且 x ? ( , ) 时, f ( x) ? x ? ? 。 8 9 9 17 7 8 16 综合以上可知, f ( x) 在区间 ( , ) 上的最大值为 。 8 9 17 二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程)

若 x 为有理数,则 x ?

11.将各项均为正数的数列 ?an ? 排成如下所示的三角形数阵(第 n 行有 n 个数,同 一行中,下标小的数排在左边) bn 表示数阵中,第 n 行、第 1 列的数。已知数列 ?bn ? 为 。 等比数列,且从第 3 行开始,各行均构成公差为 d 的等差数列(第 3 行的 3 个数构成公 差为 d 的等差数列;第 4 行的 4 个数构成公差为 d 的等差数列,??) a1 ? 1 ,a12 ? 17 , ,

a18 ? 34 。

(1)求数阵中第 m 行、第 n 列的数 A(m , ) (用 m 、 n 表示) 。 n (2)求 a2013 的值; (3)2013 是否在该数阵中?并说明理由。
a1 a2 a4 a5 a8 a9 a3 a6 a10

【解答】 (1)设 ?bn ? 的公比为 q 。 依题意,a12 为数阵中第 5 行、 2 列的数;a18 第 为数阵中第 6 行、第 3 列的数。 ∴ ∴ ∴

a7

? ? ?

?

?

b1 ? 1 , bn ? q n ? 1 , a12 ? q 4 ? d ? 17 , a18 ? q 5 ? 2d ? 34 。

……

5分

q ? 2 , d ? 1 , bn ? 2n ? 1 。
A( m,n ? mb ? ( n 1 ) d? m ? 1 ) ? 2 ? n。1 ?

…………

10 分

(2)由 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 62 ? 1953 , 1 ? 2 ? 3 ? ?? 62 ? 63 ? 2016 , 2013 ?1953 ? 60 知,
a2013 为数阵中第 63 行,第 60 列的数。



a2013 ? 262 ? 59 。

…………………

15 分

(3)假设 2013 为数阵中第 m 行、第 n 列的数。 ∵ ∴ 第 m 行中,最小的数为 2 m ? 1 ,最大的数为 2 m ? 1 ? m ? 1 ,
2 m ? 1 ? 2013 ? 2 m ? 1 ? m ? 1

????? ① 。

由于 m ? 10 时, 2 m ? 1 ? m ? 1 ? 29 ? 9 ? 512 ? 2013 ,因此 m ? 10 不符合①; 由于 m ? 11 时, 2 m ? 1 ? 210 ? 1024 ? 2013 ,因此 m ? 11 不符合①; ∴ ∴ 上述不等式①无正整数解。 2013 不在该数阵中。 ………… 20 分

12.已知 A 、 B 为抛物线 C : y 2 ? 4 x 上的两个动点,点 A 在第一象限,点 B 在第四 象限。 l1 、 l 2 分别过点 A 、 B 且与抛物线 C 相切, P 为 l1 、 l 2 的交点。 (1)若直线 AB 过抛物线 C 的焦点 F ,求证:动点 P 在一条定直线上,并求此直线 方程; (2)设 C 、 D 为直线 l1 、 l 2 与直线 x ? 4 的交点,求 △PCD 面积的最小值。 【解答】 (1)设 A(
y12 y2 。 ,1 ) , B ( 2 , 2 ) ( y1 ? 0 ? y2 ) y y 4 4 y12 )。 4

易知 l1 斜率存在,设为 k1 ,则 l1 方程为 y ? y1 ? k1 ( x ?
? y2 y ? y1 ? k1 ( x ? 1 ) ? 2 2 由? 4 得, k1 y ? 4 y ? 4 y1 ? k1 y1 ? 0 ? y2 ? 4x ?

?????



由直线 l1 与抛物线 C 相切,知 △ ? 16 ? 4k1 (4 y1 ? k1 y12 ) ? 0 。 于是, k1 ?
2 2 1 , l1 方程为 y ? x ? y1 。 y1 y1 2 2 1 x ? y2 。 y2 2

同理, l 2 方程为 y ?

联立 l1 、 l 2 方程可得点 P 坐标为 P( ∵
k AB ?

y1 y2 y1 ? y2 , ) 4 2

………

5分

y2 4 y1 ? y2 4 ( x ? 1 ) , AB 过抛物线 C 的 ? , AB 方程为 y ? y1 ? 2 y12 y2 y1 ? y2 y1 ? y2 4 ? 4 4

焦点 F (1, 。 0) ∴
? y1 ? y2 4 (1 ? 1 ) , y1 y2 ? ?4 。 y1 ? y2 4

∴ xP ?

y1 y2 ? ?1 ,点 P 在定直线 x ? ?1 上。 4

…………

10 分

y y 或解:设 A( x1 ,1 ) , B( x2 , 2 ) ,则 l1 方程为 y1 y ? 2( x ? x1 ) ,l 2 方程为 y2 y ? 2( x ? x2 ) 。

……………

5分

设 P( x0 , 0 ) ,则 y1 y0 ? 2( x0 ? x1 ) , y2 y0 ? 2( x0 ? x2 ) 。 y ∴ ∴
y 点 A( x1 ,1 ) , B( x2 , 2 ) 坐标满足方程 yy0 ? 2( x0 ? x) 。 y

直线 AB 方程为 yy0 ? 2( x0 ? x) 。

由直线 AB 过点 F (1, ,知 0 ? 2( x0 ? 1) 。 0) ∴
x0 ? ?1 。点 P 在定直线 x ? ?1 上。

………………

10 分

8 1 8 1 (2)由(1)知, C 、 D 的坐标分别为 C (4 , ? y1 ) 、 D(4 , ? y2 ) 。 y1 2 y2 2



CD ? (

( y1 y 2? 16)( y 1 y )2 ? 8 1 8 1 ? y1 ) ? ( ? y2 ) ? 。 y1 2 y2 2 2 y1 y2



S△PCD ?

yy ( y y ? 16)( y ?1 y ) 2 1 1 2 4? 1 2 ? 。 2 4 2 y1 y2

…………

15 分

设 y1 y2 ? ?t 2 ( t ? 0 ) y1 ? y2 ? m , , 由 ( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? m2 ? 4t 2 ? 0 知, m ? 2t ,当且仅当 y1 ? y2 ? 0 时等号 成立。 ∴
S△P C D? 1 t2 4 ? 2 4 ? ( t2 ? 1 6m ? ) 2 ? t 2 ? m? 2t ? 1 26 ) ( ? 2 1t6 t? 2 2t ( ? 2 16 t
2

1 6 ) t2 ? ( 2 1 6 ) ? 。 t8

设 f (t ) ?

(t 2 ? 16)2 2(t 2 ? 16) ? 2t ? t ? (t 2 ? 16) 2 (3t 2 ? 16)(t 2 ? 16) ? ,则 f ?(t ) ? 。 8t 2 8t 2 8t
? 4 3? 4 3 4 3 时, f ?(t ) ? 0 ; t ? 时, f ?(t ) ? 0 。 f (t ) 在区间 ? 0 , ? 上为减 ? 3 ? 3 3 ?



0?t ?

?4 3 ? , ? ? 上为增函数。 ? ? 函数;在区间 ? ? 3 ?



t?

4 3 128 3 时, f (t ) 取最小值 。 3 9



当 y1 ? y2 ? 0 , y1 y2 ? ?

4 4 16 ,即 y1 ? , y2 ? ? 时, △PCD 面积取最小值 3 3 3

128 3 。………… 9

20 分

13.如图,在 △ABC 中, ?B ? 90? ,它的内切圆分 别与边 BC 、CA 、 AB 相切于点 D 、 E 、 F ,连接 AD , 与内切圆相交于另一点 P ,连接 PC 、 PE 、 PF 、 FD 、 ED 。 FP EP (1)求证: ; ? FD ED (2)若 PE∥BC ,求证: PC ? PF 。

【解答】 (1)由条件知, ?AFP ? ?ADF ,又 ?FAP ? ?FAD 。 AP FP ∴ △AFP ∽△ADF , 。 … 5分 ? AF DF 同理,由 ?AEP ? ?ADE , ?PAE ? ?EAD 知, △AEP ∽△ADE , ∵ ∴ ∴
EP AP 。 ? DE AE

AF ? AE , EP AP AP FP 。 ? ? ? DE AE AF DF FP EP 。 ? FD ED
………… 10 分

(2)∵ P E B C ∥ , ∴ ?PED ? ?EDC ? ?DPE ? ?CED 。 ∴ ∴
△DPE ∽△CDE 。

EP PD ? ED DC
FP DP 。 ? FD DC ?PFD ? ?PDC ,

……………

15 分

结合(1)可知, 又 ∴ ∴ 又 ∴

△PFD ∽△PDC , ?PCB ? ?PDF ? ?PFA 。

P 、 F 、 B 、 C 四点共圆。 ?B ? 90? , ?FPC ? 90? , PC ? PF 。

……

20 分

14.已知 f ( x) ? 2 ln( x ? 1) ?

1 ? 1。 x( x ? 1)

? (1)求 f ( x) 在区间 ?1 , ? ? 上的最小值;

(2)利用函数 f ( x) 的性质,求证: ln1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? ; n ? 2)

(n ? 1)2 ( n ? N * ,且 2n

(n ? 1) 4 (3)求证: ln 1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? ( n ? N * ,且 n ? 2 ) 。 3 4n
2 2 2 2

【解答】 (1)∵ ∴ ∴

f ?( x) ?

2 2x ?1 2 x3 ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 (2 x 3 ? 1) ? 2 x( x ? 1) 。 ? 2 ? ? x ? 1 x ( x ? 1) 2 x 2 ( x ? 1) 2 x 2 ( x ? 1) 2

? x ? 1时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 ?1 , ? ? 上为增函数。

1 ? f ( x) 在区间 ?1 , ? ? 上的最小值为 f (1) ? 2ln 2 ? 。 2

……………

5分

(2)由(1)知,对任意的实数 x ? 1, 2ln( x ? 1) ?

1 1 ? 1 ? 2ln 2 ? ? 0 恒成立。 x( x ? 1) 2



对任意的正整数 k , 2 ln(k ? 1) ?

1 1 1 ? 1 ? 0 ,即 2ln(k ? 1) ? 1 ? ( ? ) 恒成 k (k ? 1) k k ?1

立。……… ∴ ∴

10 分 1 1 1 1 1 1 2 ln 2 ? 1 ? ( ? ) , 2ln 3 ? 1 ? ( ? ) ,??, 2ln n ? 1 ? ( ? )。 1 2 2 3 n ?1 n
1 1 ? ? ? ? ? 1 ? ( 2 ? 3) ? ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 1? ( n ?1 ? n ) ? ? ? ?。 ?

1 1 ? 2 ln 2 ? 2 ln 3 ? ? ? 2 ln n ? ? 1 ? ( ? ) 1 2 ?



2 ln ? 2

2 l? ? ? n3

2 1 ( ? 1) n n2 ln ? ? ? 1 ? 1 ? n ( ) 。 n n



n ? N * ,且 n ? 2 时, ln1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ?

(n ? 1) 2 。 2n

……

15 分

(3)由柯西不等式知,
(ln 2 1 ? ln 2 2 ? ln 2 3 ? ? ? ln 2 n)(12 ? 12 ? 12 ? ? ? 12 ) ? (ln1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n) 2 。

结合(2)的结论可知,
1 (n ? 1)4 (n ? 1)4 ? 当 n ? N ,且 n ? 2 时, ln 1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? ? 。 n 4n 2 4n 3
*
2 2 2 2

……

20 分

其中 a , , 为不超过 6 的正整数 ? 。 b c 15.已知集合 P ? ? x x ? 73 ? a ? 7 2 ? b ? 7 ? c ,

x1 , x2 , x3 ,?, xn 为集合 P 中构成等差数列的 n 个元素。求 n 的最大值。

【解答】 (1)显然 1,2,3,4,5,6 这 6 个数在集合 P 中,且构成等差数列。 …… 5分 (2)下面证明集合 P 中任意 7 个不同的数都不能构成等差数列。用反证法。 设 x1 , x2 , x3 ,?, x7 为集合 P 中构成等差数列的 7 个不同的元素,其公差为 d ,
d ? 0。 由集合 P 中元素的特性知,集合 P 中任意一个元素都不是 7 的倍数。



由抽屉原理知, x1 , x2 , x3 ,?, x7 这 7 个数中,存在 2 个数,它们被 7 除的

j 2 3 4 5 6 7 余数相同,其差能被 7 整除。设 xi ? x j ( i , ? ? 1, ,, ,, , ? ,i ? j )能被 7 整除。

则 7 ( j ? i)d 。 ∴
7 d。

………………

10 分

设 d ? 7m ( m 为正整数) , 设 x1 ? 73 ? a1 ? 7 2 ? a2 ? 7 ? a3 ( a1 , a2 , a3 为不超过 6 的正整数) 。 则 xi ? 73 ? a1 ? 72 ? a2 ? 7 ? a3 ? 7(i ? 1)m ,其中 i ? 2 ,3,?,7。 ∵ ∴ ∵ ∴
x7 ? 73 ? 6 ? 72 ? 6 ? 7 ? 6 , x7 ? 73 ? 1? 72 ? 1? 7 ? 1 ? 7(7 ? 1)m ,

1 ? m ? 6 ,即公差 d 只能为 7 ?1 , 7 ? 2 ,?, 7 ? 6 。
m 1 ? m ? 6 , (7 , ) ? 1 。

……

15 分

m , 2m ,?, 6m 除以 7 以后的余数各不相同,分别为 1,2,?,6 中的一个。

2 3 4 5 6 因此,存在 k ? ? 1, ,, ,, ? ,使得 a2 ? km 能被 7 整除,设 a2 ? km ? 7t ( t 为正

整数) 。 则
xk ? 1 ? 73 ? a1 ? 72 ? a2 ? 7 ? a3 ? 7km ? 73 ? a1 ? 72 ? (a2 ? km) ? 7 ? a3 ? 73 ? (a1 ? t ) ? 7 2 ? a3

这样, xk ? 1 的 7 进制表示中,7 的系数(即从左到右第 2 位)为 0,与 xk ? 1 ? P 矛盾。 ∴ ∴ 集合 P 中任意 7 个不同的数都不能构成等差数列。 ……… n 的最大值为 6。 20 分


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