当前位置:首页 >> 数学 >>

上海外国语大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


上海外国语大学附中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1. (3 分){an}是首项 a1=1,公差为 d=3 的等差数列,如果 an=2005,则序号 n 等于() A.667 B.668 C.669 D.670 2. (3 分)在等比数列{an}(n∈N )中,若 A. B. C.
*

r />,则该数列的前 10 项和为() D.

3. (3 分)用数学归纳法证明等式(n+1) (n+2)×…×(n+n)=2 ×1×3×…×(2n﹣1)的过程中, * * 由 n=k(k∈N )推出 n=k+1(k∈N )成立时,左边应增加的因式是() A.2k+1 B.2(2k+1) C. D.

n

4. (3 分)已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 10,偶数项之和为 30,则公差为() A.5 B. 4 C. 3 D.2 5. (3 分)设 2010 =3,2010 =6,2010 =12,则数列 a,b,c() A.是等差数列但不是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列 C. 既是等比数列又是等差数列 D.既非等差数列又非等比数列
a b c

6. (3 分)数列{an}中,

则数列{an}的极限值()

A.等于 0

B.等于 1

C.等于 0 或 1

D.不存在

二、填空题(每题 3 分,共 36 分) 7. (3 分)在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}的前 9 项之和 S9 等于. 8. (3 分)等比数列{an}为递增数列,且 a1<0,那么公比 q 的取值范围是. 9. (3 分)若 存在,则实数 a 的取值范围是.

10. (3 分)在等差数列{an}中,a1+a2+a3=15,an+an﹣1+an﹣2=78,Sn=155,则 n=.

11. (3 分)在 和

之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为.

12. (3 分)在等差数列{an}中,a1=1,公差 d≠0 且 a3,a4,a6 依次是一个等比数列的前三项, 则这个等比数列的第四项是.

13. (3 分)已知 a>1,a 为常数,求极限:

=.

14. (3 分) 等差数列{an}中, Sn 是其前 n 项和, 已知 a4﹣a2=4, S2n=100, 则 a1 ﹣a2 +a3 ﹣a4 +…+a2n 2 2 ﹣1 ﹣a2n =. 15. (3 分)已知数列{an}的通项公式为 an=n+ 则实数 λ 的取值范围是. 16. (3 分)首项为正数的数列{an}满足 an+1= 取值范围是. 17. (3 分) 对于数列{un}, 若存在常数 M>0, 对任意的 n∈N , 恒有|un+1﹣un|+|un﹣un﹣1|+…+|u2 ﹣u1|≤M,则称数列{un}为 M 数列.有下列命题: (1)若数列{xn}是 M 数列,则数列{xn}的前 n 项和{Sn}是 M 数列; (2)若数列{xn}的前 n 项和{Sn}是 M 数列,则数列{xn}不是 M 数列; 2 (3)若数列{an}是 M 数列,则数列{an }也是 M 数列, 其中真命题的序号是. 18. (3 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意的正整数 n,都有 an=5Sn+1 成立,记 bn= ,已知数列{bn}的前 n 项和为 Rn,正实数 λ 满足:Rn≤λn 对任意正整
*

2

2

2

2

,若{an}为递增数列,

,若数列{an}是递增数列,则 a1 的

数 n 恒成立,则 λ 的最小值为.

三、解答题(共 46 分). 19. (5 分)求数列极限: .

20. (6 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n +2n﹣1,求数列{an}的通项公式. 21. (8 分)已知等差数列{an}中,a12+a15=15,a7=1, (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前 n 项和 Sn.

2

22. (8 分)在数列{an}中,a1=2,an+1=3an+2, (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列 an 的前 n 项和 Sn. 23. (8 分)一计算机装置有一个数据入口 A 和一个运算结果出口 B,将正整数列{n}中的各数 依次输入入口 A,从出口 B 得到输出的数列{an},结果表明:①A 口输入 n=1 时,从 B 口得 到 a1= ;②当 n≥2 时,从 A 口输入 n,从 B 口得到的结果 an 是将前一结果 an﹣1 先乘以正整 数列{n}中的第 n﹣1 个奇数,再除以正整数列{n}中的第 n+1n+1 个奇数. (1)从 A 口输入 2 和 3 时,求从 B 口得到的数 a2,a3 分别是多少? (2)当 A 口输入正整数列{n}时,求从 B 口得到的数列{an}的通项公式.

24. (11 分)64 个正数排成 8 行 8 列,如下所示:

,其中 aij 表示第 i 行第

j 列的数.已知每一行中的数依次都成等差数列,每一列中的数依次都成等比数列,且公比均 为 q, ,a24=1, .

(Ⅰ)求 a12 和 a13 的值; (Ⅱ) 记第 n 行各项之和为 An (1≤n≤8) , 数列{an}, {bn}, {cn}满足 , mbn+1=2 (an+mbn)

(m 为非零常数) ,

,且

,求 c1+c2+…+c7 的取值范围; ,设 ,求数列

(Ⅲ)对(Ⅱ)中的 an,记 {Bn}中最大项的项数.

上海外国语大学附中 2014-2015 学年高二上学期期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1. (3 分){an}是首项 a1=1,公差为 d=3 的等差数列,如果 an=2005,则序号 n 等于() A.667 B.668 C.669 D.670 考点: 等差数列;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;方程思想.

分析: 首先由 a1 和 d 求出 an,然后令 an=2005,解方程即可. 解答: 解:∵{an}是首项 a1=1,公差 d=3 的等差数列, ∴an=1+(n﹣1)×3=3n﹣2, ∵an=2005, ∴3n﹣2=2005, 解得 n=669. 故选 C. 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式 an=a1+(n﹣1)d,注意方程思想的应用. 2. (3 分)在等比数列{an}(n∈N )中,若 A. B. C.
*

,则该数列的前 10 项和为() D.

考点: 等比数列的前 n 项和. 分析: 先由等比数列的通项公式求出公比 q,再根据等比数列前 n 项和公式求前 10 项和即 可. 解答: 解:由 ,

所以



故选 B. 点评: 本题考查等比数列的通项公式及前 n 项和公式. 3. (3 分)用数学归纳法证明等式(n+1) (n+2)×…×(n+n)=2 ×1×3×…×(2n﹣1)的过程中, * * 由 n=k(k∈N )推出 n=k+1(k∈N )成立时,左边应增加的因式是() A.2k+1 B.2(2k+1) C. D.
n

考点: 数学归纳法. 专题: 证明题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据条件分别求出 n=k、n=k+1 时左边的式子,从而可求出 n=k 到 n=k+1 时,等式左 边应增加的项. 解答: 解:n=k 时,左边=(k+1) (k+2)…(k+k) ,n=k+1 时,左边=(k+1+1) (k+1+2)… (k+1+k﹣1) (k+1+k) (k+1+k+1) , ∴由 n=k 到 n=k+1 时,等式左边应增加的项是 2(2k+1) . 故选:B. 点评: 本题以等式为载体,考查用数学归纳法证明等式,分别写出 n=k+1,n=k 时,左边的 式子是解题的关键. 4. (3 分)已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 10,偶数项之和为 30,则公差为() A.5 B. 4 C. 3 D.2

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列有 10 项,得到奇数项有 5 个,偶次项有 5 个,然后利用偶数项减去奇数 项,即第 2 项减第 1 项,第 4 项减去第三项,依此类推,因为第 2 项减第 1 项等于公差 d,所 以偶数项减去奇数项等于 5d,由奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,列出关于 d 的方程,求 出方程的解即可得到 d 的值. 解答: 解:因为 30﹣15=(a2﹣a1)+(a4﹣a3)+…+(a10﹣a9)=5d, 所以 d=3. 故选:C. 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值,是一道基础题.学生做题时注意 到奇数项、偶数项的重新组合. 5. (3 分)设 2010 =3,2010 =6,2010 =12,则数列 a,b,c() A.是等差数列但不是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列 C. 既是等比数列又是等差数列 D.既非等差数列又非等比数列 考点: 等比数列的性质. 专题: 探究型. 分析: 根据对数的定义,可求得 a=log20103,b=log20106,c=log201012,根据等差数列的定义 即可判断. a b c 解答: 解:∵2010 =3,2010 =6,2010 =12,∴a=log20103,b=log20106,c=log201012, ∵2b=log201036=log20103+log201012=a+c, ∴a,b,c 成等差数列,不成等比数列. 故选 A. 点评: 本题考查等差数列的性质,关键在于正确理解对数的概念,求得 a,b,c.再根据等 差数列的定义定义判断,属于中档题.
a b c

6. (3 分)数列{an}中,

则数列{an}的极限值()

A.等于 0

B.等于 1

C.等于 0 或 1

D.不存在

考点: 极限及其运算. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 因为 n→ω,所以 的极限值. 解答: 解: , ,所以 ,由此可求出数列{an}

故选 B 点评: 本题考查数列的极限,解题时要注意公式的选取和运用. 二、填空题(每题 3 分,共 36 分) 7. (3 分)在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}的前 9 项之和 S9 等于 99. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的性质可求得 a4,=13,a6=9,从而有 a4+a6=22,由等差数列的前 n 项和 公式即可求得答案. 解答: 解:∵在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27, ∴a4=13,a6=9, ∴a4+a6=22,又 a4+a6=a1+a9, , ∴数列{an}的前 9 项之和 S9= = =99.

故答案为:99. 点评: 本题考查等差数列的性质,掌握等差数列的性质与前 n 项和公式是解决问题的关键, 属于中档题. 8. (3 分)等比数列{an}为递增数列,且 a1<0,那么公比 q 的取值范围是(0,1) . 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.

分析: 由题意可得

,解得公比 q 的取值范围.

解答: 解:由题意可得

,解得 0<q<1,

故答案为: (0,1) . 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式及性质的应用,属于中档题. 9. (3 分)若 存在,则实数 a 的取值范围是 .

考点: 极限及其运算. 专题: 导数的概念及应用.

分析: 由于 解答: 解:∵ ∴|3a﹣1|≤1,3a﹣1≠﹣1, 解得 故答案为: . .

存在,可得|3a﹣1|≤1,3a﹣1≠﹣1,解出即可. 存在,

点评: 本题考查了数列极限的运算性质,属于基础题. 10. (3 分)在等差数列{an}中,a1+a2+a3=15,an+an﹣1+an﹣2=78,Sn=155,则 n=10. 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的定义和性质可得 a1+an=a2+an﹣1 =a3 +an﹣2 , 代入条件求得 a1+an=31, 再 由 Sn= = =155,解方程求得 n 的值.

解答: 解: 由等差数列的定义和性质可得 a1+an=a2+an﹣1 =a3 +an﹣2 , 再由 a1+a2+a3=15, an+an ﹣1+an﹣2=78, 可得 3( a1+an)=15+78=93,∴a1+an=31. ∵Sn= = =155,解得 n=10,

故答案为 10. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前 n 项和公式的应用,属于中档 题.

11. (3 分) 在 和

之间插入三个数, 使这五个数成等比数列, 则插入的三个数的乘积为 216.

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 插入三个数后成等比数列的五个数的首项 ,由等比数列的通项公式

先求出公比 q,然后分别求出插入的三个数,再求这三个数的乘积. 解答: 解:设插入的三个数分别为 a,b,c,由题设条件知 ,设公比为 q, ∴ ∴ ,∴ , ,abc=216,





, abc=216.

故答案为:216. 点评: 本题考查等比数列的性质和应用,解题时要认真审题,注意等比数列通项公式的合 理运用. 12. (3 分)在等差数列{an}中,a1=1,公差 d≠0 且 a3,a4,a6 依次是一个等比数列的前三项, 则这个等比数列的第四项是﹣8. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 设出等差数列的公差,由 a3、a4、a6 是一个等比数列的前三项列式求出公差,得到等 比数列的前三项,则第四项可求. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) , 2 由 a3、a4、a6 是一个等比数列的前三项,得:a4 =a3a6, 又 a1=1, 2 得(1+3d) =(1+2d) (1+5d) ,解得:d=﹣1. ∴等比数列的前三项分别为:﹣1,﹣2,﹣4. 则该等比数列的第四项为﹣8. 故答案为:﹣8 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础题.

13. (3 分)已知 a>1,a 为常数,求极限:

=﹣2.

考点: 极限及其运算. 专题: 导数的概念及应用.

分析: a>1,a 为常数,可得

=

,即可得出.

解答: 解:∵a>1,a 为常数,



=

=﹣2,

故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了数列极限的运算性质,属于基础题. 14. (3 分) 等差数列{an}中, Sn 是其前 n 项和, 已知 a4﹣a2=4, S2n=100, 则 a1 ﹣a2 +a3 ﹣a4 +…+a2n 2 2 ﹣1 ﹣a2n =﹣200.
2 2 2 2

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用 a4﹣a2=4,可得 d=2,再结合平方差公式,即可得出结论. 解答: 解:设公差为 d,则 ∵a4﹣a2=4,∴d=2, ∵S2n=100, 2 2 2 2 2 2 ∴a1 ﹣a2 +a3 ﹣a4 +…+a2n﹣1 ﹣a2n =﹣2S2n=﹣200, 故答案为:﹣200. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查学生的计算能力,比较基础.

15. (3 分)已知数列{an}的通项公式为 an=n+ 则实数 λ 的取值范围是(﹣∞,2) . 考点: 数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列.

,若{an}为递增数列,

分析: 由于{an}为递增数列,可得 an+1>an,化为 λ<n +n,利用数列{n +n}单调递增,即 可得出最小值. 解答: 解:∵{an}为递增数列, ∴an+1>an, ∴
2

2

2



化为 λ<n +n, 2 ∵数列{n +n}单调递增, ∴当 n=1 时,取得最小值 2. ∴λ<2. ∴实数 λ 的取值范围是(﹣∞,2) . 故答案为: (﹣∞,2) . 点评: 本题考查了数列的单调性,考查了计算能力,属于基础题.

16. (3 分)首项为正数的数列{an}满足 an+1= 取值范围是(0,1)∪(3,+∞) . 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.

,若数列{an}是递增数列,则 a1 的

分析: 由已知得 an+1﹣an= (an﹣1) (an﹣3) ,从而 an+1>an 当且仅当 an<1 或 an>3.若 0 <ak<1,则 0<ak+1< =1,若 ak>3,则 ak+1>3.由此能求出对一切 n∈N+都有 an+1>an

的充要条件是 0<a1<1 或 a1>3. 解答: 解:∵an+1= ,

∴an+1﹣an= (an﹣1) (an﹣3) , ∴an+1>an 当且仅当 an<1 或 an>3. 另一方面,若 0<ak<1,则 0<ak+1< 若 ak>3,则 ak+1> =3. =1,

根据数学归纳法得,0<a1<1,∴0<an<1,?n∈N+. 由 a1>3,得 an>3,?n∈N+. 综上所述,对一切 n∈N+都有 an+1>an 的充要条件是 0<a1<1 或 a1>3. ∴a1 的取值范围是(0,1)∪(3,+∞) . 故答案为: (0,1)∪(3,+∞) . 点评: 本题考查数列的首项的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意数列 的性质的合理运用. 17. (3 分) 对于数列{un}, 若存在常数 M>0, 对任意的 n∈N , 恒有|un+1﹣un|+|un﹣un﹣1|+…+|u2 ﹣u1|≤M,则称数列{un}为 M 数列.有下列命题: (1)若数列{xn}是 M 数列,则数列{xn}的前 n 项和{Sn}是 M 数列; (2)若数列{xn}的前 n 项和{Sn}是 M 数列,则数列{xn}不是 M 数列; 2 (3)若数列{an}是 M 数列,则数列{an }也是 M 数列, 其中真命题的序号是(2) , (3) . 考点: 数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)只需举一反例即可;事实上设 xn=1(n∈N ) ,易知数列 xn 是 M 数列,但 Sn=n, |Sn+1﹣Sn|+|Sn﹣Sn﹣1|+…+|S2﹣S1|=n.由 n 的任意性知,数列 Sn 不是 M 数列. (2)根据 M 数列的定义加以证明 (3)数列{an}都是 M 数列,则有|an+1﹣an|+|an﹣an﹣1|+…+|a2﹣a1|≤M1 下面只需验证|an+1 ﹣ 2 2 2 2 2 an |+|an ﹣an﹣1 |+…+|a2 ﹣a1 |≤M. 解答: 解: (1) :若数列{xn}是 M 数列,则数列{xn}的前 n 项和{Sn}是 M 数列,此命题为假 命题. * 事实上设 xn=1(n∈N ) ,易知数列 xn 是 M 数列,但 Sn=n, |Sn+1﹣Sn|+|Sn﹣Sn﹣1|+…+|S2﹣S1|=n. 由 n 的任意性知,数列 Sn 不是 M 数列. (2) :若数列{xn}的前 n 项和{Sn}是 M 数列,则数列{xn}不是 M 数列.此命题为真命题. 事实上,因为数列 Sn 是 M 数列, * 所以存在正数 M,对任意的 n∈N , 有|Sn+1﹣Sn|+|Sn﹣Sn﹣1|+…+|S2﹣S1|≤M, 即|xn+1|+|xn|+…+|x2|≤M. 于是|xn+1﹣xn|+|xn﹣xn﹣1|+…+|x2﹣x1|≤|xn+1|+2|xn|+2|xn﹣1|+…+2|x2|+|x1|≤2M+|x1|, 所以数列 xn 是 M 数列. 2 (3)若数列{an}是 M 数列,则数列{an }也是 M 数列,此命题为真命题. * 若数列是{an}M 数列,则存在正数 M,对任意的 n∈N 有 |an+1﹣an|+|an﹣an﹣1|+…+|a2﹣a1|≤M
2 * *

因为|an|=|an﹣an﹣1+an﹣1+an﹣2+…+a2﹣a1+a1|≤|an﹣an﹣1|+|an﹣1﹣an﹣2|+…+|a2﹣a1|+|a1|≤M+|a1| 2 2 记 K=M+|a1|,则有|an+1 ﹣an |=|(an+1+an) (an+1﹣an) ≤(|an+1|+|an|)|an+1﹣an|≤2K|an+1﹣an| 2 2 2 2 2 2 因此|an+1 ﹣an |+|an ﹣an﹣1 |+…+|a2 ﹣a1 |≤2KM 2 故数列{an }是 M 数列. 故答案为: (2) , (3) 点评: 考查学生理解数列概念,灵活运用数列表示法的能力,旨在考查学生的观察分析和 归纳能力,特别是问题(2) (3)的设置,增加了题目的难度,同时也考查了等差数列的定义 和分类讨论的思想,属难题. 18. (3 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意的正整数 n,都有 an=5Sn+1 成立,记 bn= ,已知数列{bn}的前 n 项和为 Rn,正实数 λ 满足:Rn≤λn 对任意正整

数 n 恒成立,则 λ 的最小值为 4. 考点: 数列与不等式的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: 当 n=1 时,a1=5a1+1,求得 a1=﹣ ,又由 an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1,两式相减,再由 等比数列的通项公式,求得 an,进而得到 bn,设 n=2k+1(k∈N )推出 Rn=b1+b2+…+b2k+1>4n ﹣1,由此入手能推导出正实数 λ 的最小值为 4. 解答: 解:当 n=1 时,a1=5a1+1,∴a1=﹣ , 又∵an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1, ∴an+1﹣an=5an+1,即 an+1=﹣ an, ∴数列{an}成等比数列,其首项 ∴an=(﹣ )?(﹣ )
n﹣1 +

,公比是
n



=(﹣ ) .

∴bn=

=4+


+

一方面,已知 Rn≤λn 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n=2k+1(k∈N ) 则 Rn=b1+b2+…+b2k+1 =4n+5×(﹣ + ﹣ + …﹣ )=4n+5×[﹣ +( )+…+

( >4n﹣1

)]

∴λn≥Rn>4n﹣1,即(λ﹣4)n>﹣1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立 ∴λ≥4 否则, (λ﹣4)n>﹣1 只对满足 n< 的正奇数 n 成立,矛盾.

另一方面,当 λ=4 时,对一切的正整数 n 都有 Rn≤4n 事实上,对任意的正整数 k,有 b2n﹣1+b2n=8+

=8+

=8﹣
+



∴当 n 为偶数时,设 n=2m(m∈N ) 则 Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n﹣1+b2n)<8m, + 当 n 为奇数时,设 n=2m﹣1(m∈N ) 则 Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n﹣3+b2n﹣2)+b2n﹣1 <8(m﹣1)+4=8m﹣4=4n ∴对一切的正整数 n,都有 Rn≤4n 综上所述,正实数 λ 的最小值为 4. 故答案为:4. 点评: 本题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想,以及推理 论证、分析与解决问题的能力. 三、解答题(共 46 分). 19. (5 分)求数列极限: .

考点: 极限及其运算. 专题: 导数的综合应用. 分析: 利用等差数列的前 n 项和公式、数列极限的运算性质即可得出.

解答: 解:

=

=

=

= .

点评: 本题考查了等差数列的前 n 项和公式、数列极限的运算性质,属于基础题. 20. (6 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n +2n﹣1,求数列{an}的通项公式. 考点: 数列的函数特性. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据 Sn=n +2n﹣1 求出 a1 的值,利用 an=Sn﹣Sn﹣1 求出当 n>1 时 an 的表达式,然后 验证 a1 的值,表示出 an. 2 解答: 解:由题意得,Sn=n +2n﹣1, 当 n=1 时,a1=S1=2, 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n +2n﹣1﹣[(n﹣1) +2(n﹣1)﹣1]=2n+1. 此时当 n=1 时不成立.
2 2

∴数列的通项公式为



点评: 本题考查数列 an 与 Sn 的关系式: 当 n=1 时 a1=S1, an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2) , 注意验证 n=1 时是否成立. 21. (8 分)已知等差数列{an}中,a12+a15=15,a7=1, (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据等差数列的通项公式和题意,列出关于数列的首项和公差的方程组,解得 到公差和首项,代入通项公式化简; (2)根据(1)先求出数列{an}的前 n 项和,再由 an 的正负项对 n 进行分类,利用等差数列 的前 n 项和公式,分别化简数列{|an|}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差是 d, 因为 a12+a15=15,a7=1, 所以 ,解得 ,

所以 an=﹣5+(n﹣1)=n﹣6; (2)由(1)知 an=n﹣6,令 an=0 得 n=6, 设 Tn=a1+a2+…+an=﹣5+(﹣4)+…+(n﹣6) = = , ,

当 n≤6 时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣(a1+a2+…+an)=﹣ 当 n>6 时,Sn=|a1|+|a2|+…+|a6|+|a7|+…+|an| =﹣(a1+a2+…+a6)+(a7+a8+…+an) =Tn﹣2T6= ﹣2× = ,

综上得,Sn=



点评: 本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式,以及利用分类讨论思想求数列的 前 n 项和,这是常考的题型. 22. (8 分)在数列{an}中,a1=2,an+1=3an+2, (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列 an 的前 n 项和 Sn.

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用待定系数法和题意,构造等比数列{an+1},由等比数列的通项公式求出 an; (2)根据分组求和法、等比数列的前 n 项和公式,求出数列{an}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1)设 an+1+k=3(an+k) (k 是常数) ,则 an+1=3an+2k, 因为 an+1=3an+2,所以 2k=2,解得 k=1, 则 an+1+1=3(an+1) ,即 =3,

又 a1=2,则 a1+1=3, 所以数列{an+1}是以 3 为首项、公比的等比数列, n﹣1 n n 则 an+1=3?3 =3 ,所以 an=3 ﹣1; (2)由(1)得, 2 3 n 数列{an}的前 n 项和 Sn=3+3 +3 +…+3 ﹣n = ﹣n= .

点评: 本题考查了等比数列的通项公式、前 n 项和公式,待定系数法构造等比数列,以及 分组求和法求数列的前 n 项和,这是常考的题型. 23. (8 分)一计算机装置有一个数据入口 A 和一个运算结果出口 B,将正整数列{n}中的各数 依次输入入口 A,从出口 B 得到输出的数列{an},结果表明:①A 口输入 n=1 时,从 B 口得 到 a1= ;②当 n≥2 时,从 A 口输入 n,从 B 口得到的结果 an 是将前一结果 an﹣1 先乘以正整 数列{n}中的第 n﹣1 个奇数,再除以正整数列{n}中的第 n+1n+1 个奇数. (1)从 A 口输入 2 和 3 时,求从 B 口得到的数 a2,a3 分别是多少? (2)当 A 口输入正整数列{n}时,求从 B 口得到的数列{an}的通项公式. 考点: 数列的应用. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)根据题意,由 n=1 时,a1 求出 a2、a3 的值; (2)由 a1、a2、a3,归纳猜想得出 an. 解答: 解: (1)n=1 时,a1= ; n=2 时,a2=a1?1? = ×1× = n=3 时,a3=a2?3? = (2)∵a1= = a2= = , , ×3× = ; ;

a3= ∴an=

=

,…, = ,n∈N ;
*

∴数列{an}的通项公式为 an= ,n∈N .
*

点评: 本题考查了数列的递推公式的应用问题,也考查了归纳与猜想的应用问题,是中档 题.

24. (11 分)64 个正数排成 8 行 8 列,如下所示:

,其中 aij 表示第 i 行第

j 列的数.已知每一行中的数依次都成等差数列,每一列中的数依次都成等比数列,且公比均 为 q, ,a24=1, .

(Ⅰ)求 a12 和 a13 的值; (Ⅱ) 记第 n 行各项之和为 An (1≤n≤8) , 数列{an}, {bn}, {cn}满足 , mbn+1=2 (an+mbn)

(m 为非零常数) ,

,且

,求 c1+c2+…+c7 的取值范围; ,设 ,求数列

(Ⅲ)对(Ⅱ)中的 an,记 {Bn}中最大项的项数.

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)轻车熟路的公比,通过 a11,a12,a13,a14 成等差数列,求 a12 和 a13 的值; (Ⅱ)设第一行公差为 d,求出 d,求出 是等差数列,推出 (Ⅲ)对(Ⅱ)中的 an,记 (1≤n≤8,n∈N ,推出 .即可; ,设 ,利用数
*

.说明{cn}

列的单调性推出 解答: (共 14 分)

,求出 n 即可求数列{Bn}中最大项的项数.

解: (Ⅰ)因为

,所以



又 a11,a12,a13,a14 成等差数列, 所以 .…(4 分) ,

(Ⅱ)设第一行公差为 d,由已知得, 解得 所以 因为 . . , . 所以 所以
*

, (1≤n≤8,n∈N ) .…(6 分)

因为 mbn+1=2(an+mbn) , 所以 .

整理得





,所以



所以{cn}是等差数列.…(8 分) 故 因为 , .

所以 c1≠c7. 所以 所以 所以 所以 c1+c2+…+c7 的取值范围是 . .…(10 分) . ,

(Ⅲ)因为

是一个正项递减数列,
*

所以当 dn≥1 时,Bn≥Bn﹣1,当 dn<1 时,Bn<Bn﹣1. (n∈N ,n>1)

所以{Bn}中最大项满足



…(12 分)

解得







,且 n∈N ,

*

所以 n=7,即{Bn}中最大项的项数为 7.…(14 分) 点评: 本题考查等差数列与等比数列的综合应用,函数的函数特征,考查分析问题解决问 题的能力,数列的单调性的应用.


相关文章:
上海市新中高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
上海市新中高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。上海市新中高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析 ...
上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_...上海交大附中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷一、填空题(3 分×...
上海外国语大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
上海外国语大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷_数学_高中教育_教育专区。上海外国语大学附中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷一、选择题(每题 3 ...
上海师大附中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
上海师大附中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年上海师大附中高二(上)期中数学试卷一.填空题(本大题满分...
上海市虹口高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
上海市虹口高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。上海市虹口高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析 ...
上海理工大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
上海理工大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中...上海理工大附中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析 一、...
上海理工大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
上海理工大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。上海理工大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析 ...
北京师范大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
北京师范大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中...北京师范大学附中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷一.选择题(每小题 5 ...
上海市金山中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
上海市金山中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。上海市金山中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析 ...
上海市宝山区行知中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
上海市宝山区行知中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。上海市宝山区行知中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷一...
更多相关标签:
高二上学期期中家长会 | 高二上学期期中考试 | 高二上学期期中试卷 | 高二上学期期中数学 | 高二上学期物理期中 | 高二上学期期中总结 | 高二历史上学期期中 | 高二生物上学期期中 |