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【成才之路】2015-2016学年高中数学(人教A版)必修二练习:4.2.2圆与圆的位置关系


第四章

4.2

4.2.2

基础巩固 一、选择题 1.圆 C1:x2+y2+4x-4y+7=0 和圆 C2:x2+y2-4x-10y+13=0 的公切线有( A.1 条 C.4 条 [答案] B [分析] 先判断出两圆的位置关系,然后根据位置关系确定公切线条数. [解析] ∵C1(-2,2),r1=1,C2(2,5

),r2=4, ∴|C1C2|=5=r1+r2,∴两圆相外切,因此公切线有 3 条,因此选 B. 规律总结:如何判断两圆公切线的条数 首先判断两圆的位置关系,然后判断公切线的条数: (1)两圆相离,有四条公切线; (2)两圆外切,有三条公切线,其中一条是内公切线,两条是外公切线; (3)两圆相交,有两条外公切线,没有内公切线; (4)两圆内切,有一条公切线; (5)两圆内含,没有公切线. 2.已知圆 C1:(x+1)2+(y-3)2=25,圆 C2 与圆 C1 关于点(2,1)对称,则圆 C2 的方程是 ( ) A.(x-3)2+(y-5)2=25 C.(x-1)2+(y-4)2=25 [答案] B [解析] 设⊙C2 上任一点 P(x,y),它关于(2,1)的对称点(4-x,2-y)在⊙C1 上,∴(x-5)2 +(y+1)2=25. 3.若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1 始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4 的周长,则 a、b 应满 足的关系式是(
2

)

B .3 条 D.以上均错

B.(x-5)2+(y+1)2=25 D.(x-3)2+(y+2)2=25

) B.a2+2a+2b+5=0 D.3a2+2b2+2a+2b+1=0

A.a -2a-2b-3=0 C.a2+2b2+2a+2b+1=0 [答案] B

[解析] 利用公共弦始终经过圆(x+1)2+(y+1)2=4 的圆心即可求得.两圆的公共弦所 在直线方程为:(2a+2)x+(2b+2)y-a2-1=0,它过圆心(-1,-1),代入得 a2+2a+2b +5=0. 4.两圆 x2+y2=16 与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交点处的切线互相垂直,则 r=( )

A.5 C.3 [答案] C

B .4 D.2 2

2 2 2 2 2 [解析] 设一个交点 P(x0,y0),则 x2 0+y0=16,(x0-4) +(y0+3) =r ,∴r =41-8x0

+6y0, ∵两切线互相垂直, y0 y0+3 ∴ · =-1,∴3y0-4x0=-16. x0 x0-4 ∴r2=41+2(3y0-4x0)=9,∴r=3. 5.已知两圆相交于两点 A(1,3),B(m,-1),两圆圆心都在直线 x-y+c=0 上,则 m +c 的值是( A.-1 C.3 [答案] C [解析] 两点 A,B 关于直线 x-y+c=0 对称,kAB= -4 =-1. m-1 ) B .2 D.0

∴m=5,线段 AB 的中点(3,1)在直线 x-y+c=0 上, ∴c=-2,∴m+c=3. 6.半径长为 6 的圆与 y 轴相切,且与圆(x-3)2+y2=1 内切,则此圆的方程为( A.(x-6)2+(y-4)2=6 C.(x-6)2+(y-4)2=36 [答案] D [解析] 半径长为 6 的圆与 x 轴相切,设圆心坐标为(a,b),则 a=6,再由 b2+32=5 可以解得 b=± 4,故所求圆的方程为(x-6)2+(y± 4)2=36. 二、填空题 7.若点 A(a,b)在圆 x2+y2=4 上,则圆(x-a)2+y2=1 与圆 x2+(y-b)2=1 的位置关系 是_________. [答案] 外切 [解析] ∵点 A(a,b)在圆 x2+y2=4 上, ∴a2+b2=4. 又圆 x2+(y-b)2=1 的圆心 C1(0,b),半径 r1=1, 圆(x-a)2+y2=1 的圆心 C2(a,0),半径 r2=1, 则 d=|C1C2|= a2+b2= 4=2, ∴d=r1+r2.∴两圆外切. B.(x-6)2+(y± 4)2=6 D.(x-6)2+(y± 4)2=36 )

8.与直线 x+y-2=0 和圆 x2+y2-12x-12y+54=0 都相切的半径最小的圆的标准方 程是_________. [答案] (x-2)2+(y-2)2=2 [解析] 已知圆的标准方程为(x-6)2+(y-6)2=18,则过圆心(6,6)且与直线 x+y-2=0 垂直的方程为 x-y=0.方程 x-y=0 分别与直线 x+y-2=0 和已知圆联立得交点坐标分别 为(1,1)和(3,3)或(-3,-3).由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间,故所求圆的圆心为 (2,2),半径为 2,即圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2. 三、解答题 9.求以圆 C1:x2+y2-12x-2y-13=0 和圆 C2:x2+y2+12x+16y-25=0 的公共弦为 直径的圆 C 的方程. [解析] 方法 1:联立两圆方程
?x2+y2-12x-2y-13=0, ? ? 2 2 ? ?x +y +12x+16y-25=0,

相减得公共弦所在直线方程为 4x+3y-2=0.
? ?4x+3y-2=0, 再由? 2 2 ?x +y -12x-2y-13=0, ?

联立得两圆交点坐标(-1,2),(5,-6). ∵所求圆以公共弦为直径, ∴圆心 C 是公共弦的中点(2,-2),半径为 1 ?5+1?2+?-6-2?2=5. 2 ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y+2)2=25. 方法 2:由方法 1 可知公共弦所在直线方程为 4x+3y-2=0.设所求圆的方程为 x2+y2 -12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ 为参数). 12λ-12 16λ-2 可求得圆心 C(- ,- ). 2?1+λ? 2?1+λ? ∵圆心 C 在公共弦所在直线上, -?12λ-12? -?16λ-2? ∴4· +3· -2=0, 2?1+λ? 2?1+λ? 1 解得 λ= . 2 ∴圆 C 的方程为 x2+y2-4x+4y-17=0. 10.(2015· 江苏天一中学模拟) 已知半径为 5 的动圆 C 的圆心在直线 l:x-y+10=0 上. (1)若动圆 C 过点(-5,0),求圆 C 的方程;

(2)是否存在正实数 r,使得动圆 C 满足与圆 O:x2+y2=r2 相外切的圆有且仅有一个? 若存在,请求出 r;若不存在,请说明理由. [解析] (1)依题意可设动圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=25,其中(a,b)满足 a-b+10 =0. 又因为动圆 C 过点(-5,0), 故(-5-a)2+(0-b)2=25.
? ? ? ?a-b+10=0, ?a=-10, ?a=-5, 解方程组? 得? 或? 2 2 ? ? ? ??-5-a? +?0-b? =25, ?b=0 ?b=5,

故所求圆 C 的方程为(x+10)2+y2=25 或(x+5)2+(y-5)2=25. (2)圆 O 的圆心(0,0)到直线 l 的距离 d= |10| =5 2. 1+1

当 r 满足 r+5<d 时,动圆 C 中不存在与圆 O:x2+y2=r2 相切的圆; 当 r 满足 r+5=d,即 r=5 2-5 时,动圆 C 中有且仅有 1 个圆与圆 O:x2+y2=r2 相 外切; 当 r 满足 r+5>d,即 r>5 2-5 时,与圆 O:x2+y2=r2 相外切的圆有两个. 综上,当 r=5 2-5 时,动圆 C 中满足与圆 O:x2+y2=r2 相外切的圆有且仅有一个. 能力提升 一、选择题 1.已知 M 是圆 C:(x-1)2+y2=1 上的点,N 是圆 C′:(x-4)2+(y-4)2=82 上的点, 则|MN|的最小值为( A.4 C.2 2-2 [答案] D [解析] ∵|CC′|=5<R-r=7, ∴圆 C 内含于圆 C′,则|MN|的最小值为 R-|CC′|-r=2. 2. 过圆 x2+y2=4 外一点 M(4, -1)引圆的两条切线, 则经过两切点的直线方程为( A.4x-y-4=0 C.4x+y+4=0 [答案] A [解析] 以线段 OM 为直径的圆的方程为 x2+y2-4x+y=0,经过两切点的直线就是两 圆的公共弦所在的直线, 将两圆的方程相减得 4x-y-4=0, 这就是经过两切点的直线方程. 3.若集合 A={(x,y)|x2+y2≤16|,B={(x,y)|x2+(y-2)2≤a-1},且 A∩B=B,则 a 的取值范围是( A.a≤1 ) B.a≥5 B.4x+y-4=0 D.4x-y+4=0 ) ) B.4 2-1 D.2

C.1≤a≤5 [答案] D

D.a≤5

[解析] A∩B=B 等价于 B?A.当 a>1 时,集合 A 和 B 分别代表圆 x2+y2=16 和圆 x2 +(y-2)2 =a-1 上及内部的点, 容易得出当 B 对应的圆的半径长小于等于 2 时符合题意. 由 0<a-1≤4,得 1<a≤5;当 a=1 时,集合 B 中只有一个元素(0,2),满足 B?A;当 a<1 时, 集合 B 为空集,也满足 B?A.综上可知,当 a≤5 时符合题意. 4.(2015· 湖南长沙模拟)若圆(x-a)2+(y-a)2=4 上,总存在不同的两点到原点的距离 等于 1,则实数 a 的取值范围是( A.? 2 3 2? ?2, 2 ? ) 3 2 2? B.?- ? 2 ,- 2 ? D.?-

3 2 2? ? 2 3 2? C.?- ∪ ? 2 ,- 2 ? ? 2 , 2 ? [答案] C

?

2 2? , 2 2?

[解析] 圆(x-a)2+(y-a)2=4 的圆心 C(a,a),半径 r=2,到原点的距离等于 1 的点的 集合构成一个圆, 这个圆的圆心是原点 O, 半径 R=1, 则这两个圆相交, 圆心距 d= a2+a2 = 2|a|,则|r-R|<d<r+R,则 1< 2|a|<3,所以 3 2 2 2 3 2 所以- <a<- 或 <a< . 2 2 2 2 二、填空题 5.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2 3,则 a=_________. [答案] 1 1 1 [解析] 两个圆的方程作差, 可以得到公共弦的直线方程为 y= , 圆心(0,0)到直线 y= a a 1 2 3 2 12 的距离 d=| |,于是由( ) +| | =22,解得 a=1. a 2 a 6.(2015· 江苏扬州月考) 已知两点 M(1,0),N(-3,0)到直线的距离分别为 1 和 3,则满足条件的直线的条数是 _________. [答案] 3 [解析] ∵已知 M(1,0),N(-3,0),∴|MN|=4,分别以 M,N 为圆心,1,3 为半径作两 个圆,则两圆外切,故有三条公切线.即符合条件的直线有 3 条. 三、解答题 7.已知圆 A:x2+y2+2x+2y-2=0,若圆 B 平分圆 A 的周长,且圆 B 的圆心在直线 l: y=2x 上,求满足上述条件的半径最小的圆 B 的方程. [解析] 解法一:考虑到圆 B 的圆心在直线 l 上移动,可先写出动圆 B 的方程,再设法 2 3 2 <|a|< , 2 2

建立圆 B 的半径 r 的目标函数. 设圆 B 的半径为 r. ∵圆 B 的圆心在直线 l:y=2x 上, ∴圆 B 的圆心可设为(t,2t),则圆 B 的方程是(x-t)2+(y-2t)2=r2, 即 x2+y2-2tx-4ty+5t2-r2=0.
2 2



∵圆 A 的方程是 x +y +2x+2y-2=0, ② ∴②-①,得两圆的公共弦方程为 (2+2t)x+(2+4t)y-5t2+r2-2=0. ∵圆 B 平分圆 A 的周长, ∴圆 A 的圆心(-1,-1)必在公共弦上,于是,将 x=-1,y=-1 代入方程③并整理, 得 r2=5t2+6t+6 3 21 21 =5(t+ )2+ ≥ . 5 5 5 3 ∴当 t=- 时,rmin= 5 此时,圆 B 的方程是 3 6 21 (x+ )2+(y+ )2= . 5 5 5 解法二:也可以从图形的几何性质来考虑,用综合法来解. 如图,设圆 A,圆 B 的圆心分别为 A,B,则 A(-1,-1),B 在直 线 l:y=2x 上, 连接 AB,过 A 作 MN⊥AB,且 MN 交圆于 M,N 两点.∴MN 为圆 A 的直径. ∵圆 B 平分圆 A,∴只需圆 B 经过 M,N 两点. ∵圆 A 的半径是 2,设圆 B 的半径为 r, ∴r=|MB|= |AB|2+|AM|2 = |AB|2+4. 欲求 r 的最小值,只需求|AB|的最小值. ∵A 是定点,B 是 l 上的动点, ∴当 AB⊥l,即 MN∥l 时,|AB|最小. 于是,可求得直线 AB 方程为 1 y+1=- (x+1), 2 1 3 3 6 即 y=- x- ,与直线 l:y=2x 联立可求得 B(- ,- ),rmin= 2 2 5 5 ∴圆 B 的方程是 21 . 5 21 . 5 ③

3 6 21 (x+ )2+(y+ )2= . 5 5 5 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和圆 C2:(x-4)2+(y- 5)2=4

(1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分 别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试 求所有满足条件的点 P 的坐标. [解析] (1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交, 所以直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y |1-k?-3-4?| =k(x-4),圆 C1 的圆心 C1(-3,1)到直线 l 的距离为 d= , 1+k2 因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3, ∴4=( 3)2+d2,∴k(24k+7)=0, 7 即 k=0 或 k=- , 24 所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0 (2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0,则直线 l2 的方 1 程为 y-b=- (x-a),因为 C1 和 C2 的半径相等,及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被 k 圆 C2 截得的弦长相等,所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相 等, |1-k?-3-a?-b| ? 即 = 1+k2

?5+1?4-a?-b? k ?
1 1+ 2 k

整理得:|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, ∴1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5. 因为 k 的取值有无穷多个,所以

? ? ?a+b-2=0 ?a-b+8=0 ? ,或? , ?b-a+3=0 ? ? ?a+b-5=0

?a=2 解得? 1 ?b=-2

5

?a=-2 或? 13 ?b= 2

3

5 1? ? 3 13? 这样点 P 只可能是点 P1? ?2,-2?或点 P2?-2, 2 ?. 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件.


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