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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查31 数列求和


开卷速查(三十一)

数列求和

A 级 基础巩固练 1 1.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= ,则 S6 等于( n?n+1? 1 A.42 5 C.6 4 B.5 6 D.7 )

1 1 1 1 1 1 1 解析: 因为 an= =n- , 所以 S6=1-2+2-3+…+6- n?n+1? n+1 1 1 6 = 1 - 7 7=7. 答案:D 2.已知数列{an}是等差数列,a1=tan225° ,a5=13a1,设 Sn 为数 列{(-1)nan}的前 n 项和,则 S2 014=( A.2 014 C.3 021 解析:∵a1=tan225° =1, ∴a5=13a1=13, a5-a1 13-1 则公差 d= = 4 =3,∴an=3n-2. 5-1 方法一:∵(-1)nan=(-1)n(3n-2), ∴S2 014=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2 012-a2 011)+(a2 014- a2 013)=1 007d=3 021. 方法二:(错位相减)由于(-1)nan=(-1)n(3n-2),
-1-

)

B.-2 014 D.-3 021

则 S2 014=1×(-1)1+4×(-1)2+7×(-1)3+…+6 037×(-1)2 013 +6 040×(-1)2 014,① ①式两边分别乘以- 1,得(-1)×S2
014 = 1×( -1) 2

+4×(-1)3+

7×(-1)4+…+6 037×(-1)2 014+6 040×(-1)2 015,② 1-?-1?2 013 ①-②得 2S2 014=-1+3× -6 040(-1)2 015=6 042,∴ 1-?-1? S2 014=3 021. 答案:C ?n+1?π 3.在数列{an}中,已知 a1=1,an+1-an=sin 2 ,记 Sn 为数 列{an}的前 n 项和,则 S2 016=( A.1 006 C.1 008 ) B.1 007 D.1 009

?n+1?π 解析:由题意,得 an+1=an+sin 2 ,所以 a2=a1+sinπ=1, 3π 5π a3=a2+sin 2 =0,a4=a3+sin2π=0,a5=a4+sin 2 =1,…, 因此, 数列{an}是一个以 4 为周期的周期数列, 而 2 016=4×504, 所以 S2 016=504×(a1+a2+a3+a4)=1 008,故选 C. 答案:C 1 4. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a5=5, S5=15, 则数列{ } anan+1 的前 100 项和为( )

-2-

100 A.101 99 C.100

99 B.101 101 D.100

解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. a +4d=5, ? ?1 ∵a5=5,S5=15,∴? 5×?5-1? 5 a d=15, ? 1+ ? 2

?a1=1, ∴? ?d=1,

∴an=a1+(n-1)d=n.

1 1 1 1 1 1 ∴ = =n- , ∴数列{ }的前 100 项和为 1-2+ anan+1 n?n+1? n+1 anan+1 1 1 1 1 1 100 - + … + - = 1 - = 2 3 100 101 101 101. 答案:A 5.已知等比数列的各项都为正数,且当 n≥3 时,a4a2n-4=102n, 则数列 lga1,2lga2,22lga3,23lga4, …, 2n-1lgan, …的前 n 项和 Sn 等于( A.n· 2n C.(n-1)· 2n+1 B.(n-1)· 2n-1-1 D.2n+1 )

解析: ∵等比数列{an}的各项都为正数, 且当 n≥3 时, a4a2n-4=102n,
2n n n -1 ∴a2 lgan=2n-1lg10n=n· 2n-1,∴Sn=1+2×2 n=10 ,即 an=10 ,∴2

+3×22+…+n· 2n-1,① 2Sn=1×2+2×22+3×23+…+n· 2n,② ∴①-②得-Sn=1+2 +22 +…+ 2n -1- n· 2n= 2n-1 -n· 2n =(1 -
-3-

n)· 2n-1, ∴Sn=(n-1)· 2n+1. 答案:C an· an-1 an· an+1 6.数列{an}满足 a1=2,a2=1,并且 = (n≥2),则 an-1-an an-an+1 数列{an}的第 100 项为( 1 A.2100 1 B.250 ) 1 C.100 1 D.50

an· an-1 an· an+1 解析:∵ = (n≥2), an-1-an an-an+1 an-1an ∴数列{ }是常数数列, an-1-an 设 = k, an-1-an an-1an

1 1 1 1 1 1 ∴a - =k .∴k =1-2=2. n an-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴a =a - + - +…+a -a +a =2(n-1)+2, ∴a = n n 2 1 1 100 an-1 an-1 an-2 99 1 2 +2=50. 1 ∴a100=50.故选 D. 答案:D 7.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1= b1=1, a3+b5=19, a5+b3=9, 则数列{anbn}的前 n 项和 Sn=__________.

-4-

解析:由条件易求出 an=n,bn=2n-1(n∈N*). ∴Sn=1×1+2×21+3×22+…+n×2n-1,① 2Sn=1×2+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n.② 由①-②,得-Sn=1+21+22+…+2n-1-n×2n, ∴Sn=(n-1)· 2n+1. 答案:(n-1)· 2n+1 1 2 n 2 8.在数列{an}中,an= + +…+ ,又 bn= ,则 n+1 n+1 n+1 anan+1 数列{bn}的前 n 项和为__________. n?n+1? 2 n 解析:∵an= =2, n+1 1 ? ?1 8 ? - ∴bn= =8? ?n n+1?. n?n+1? ? ? ∴b1+b2+…+bn= 1 1 1 1 1 ? ? 8n ? 1-2+2-3+…+n- 8? = . ? ? n+1? n+1 ? 8n 答案: n+1 9 .若数列 {an} 是正项数列,且 a1+ a2+…+ an = n2 +3n(n ∈ a1 a2 an N*),则 2 + 3 +…+ =__________. n+1 解析:令 n=1,得 a1=4,∴a1=16. 当 n≥2 时, a1+ a2+…+ an-1=(n-1)2+3(n-1).
-5-

与已知式相减,得 an=(n2+3n)-(n-1)2-3(n-1)=2n+2. ∴an=4(n+1)2.∴n=1 时,a1 适合 an. an ∴an=4(n+1)2.∴ =4n+4, n+1 n?8+4n+4? a1 a2 an 2 ∴ 2 + 3 +…+ = = 2 n +6n. 2 n+1 答案:2n2+6n 10.[2014· 大纲全国]等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=10, a2 为整数,且 Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1 解析:(1)由 a1=10,a2 为整数知,等差数列{an}的公差 d 为整数, 10 又 Sn≤S4, 故 a4≥0, a5≤0, 于是 10+3d≥0,10+4d≤0.解得- 3 ≤d≤ 5 -2.因此 d=-3. 数列{an}的通项公式为 an=13-3n. 1 1 ? 1? ? ? - (2)bn= =3? ?. ?13-3n??10-3n? ?10-3n 13-3n? 1 于是 Tn=b1+b2+…+bn 1??1 1 ? ?1 1? =3??7-10?+?4-7?+…
?? ? ? ?

-6-

1 ?? ? 1 ? ?? - +? ?? ?10-3n 13-3n?? 1 1? 1? ? ? - =3? 10 ? ?10-3n ? = . 10?10-3n? B级 能力提升练 n

1 11.已知数列{an}的通项公式为 an= (n∈N*), ?n+1? n+n n+1 其前 n 项和为 Sn, 则在数列 S1、 S2、 …、 S2 014 中, 有理数项的项数为( A.42
n

)

B.43

C.44 n+1 =

D.45 ?n+1?n ( n+1 + n ) =

1 解 析 : a = (n + 1) n + n
? ?n+1?n? ? ? ? ? , n+1- n? ?

1

an=

n+1- n ?n+1?n



1 - n

1 n+1

, 1 n+1

Sn=a1+a2+a3+…+an=1- 1 n+1

1 1 1 1 + - +…+ - 2 2 3 n

=1



问题等价于在 2,3,4,…,2 015 中有多少个数可以开方 设 2≤x2≤2 015 且 x∈N, 因为 442=1 936,452=2 025, 所以 2≤x≤44 且 x∈N,共有 43 个.选 B.

-7-

答案:B 1 12.在数列{an}中,已知 a1=1,an+1=- ,记 Sn 为数列{an} an+1 的前 n 项和,则 S2 014=__________. 1 1 1 1 1 解析: a2=- =- =-2, a3=- =- 1 =-2, a1+1 1+1 a2+1 -2+1 1 1 a4=- =- =1, a3+1 -2+1 因此 a4=a1,依次下去,得到 an+3=an,因此数列{an}是以 3 为周 期的周期数列, ∵2 014=3×671+1, 1 ? ? 2 011 ∴S2 014=671×(a1+a2+a3)+a1=671×?1-2-2?+1=- 2 .
? ?

2 011 答案:- 2 13. [2015· 云南昆明三中、 玉溪一中统考]已知数列{an}的前 n 项和 1 2 1 1 Sn 和通项 an 满足 2Sn+an=1, 数列{bn}中, b1=1, b2=2, =b + bn+1 n bn+2 (n∈N*). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; an 3 (2)数列{cn}满足 cn=b ,求证:c1+c2+c3+…+cn<4.
n

1 解析:(1)由 2Sn+an=1,得 Sn=2(1-an). 1 1 1 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2(1-an)-2(1-an-1)=-2an+2an-1, 即 2an=-an+an-1,
-8-

an 1 ∴ = (由题意可知 an-1≠0). an-1 3 1 1 {an}是公比为3的等比数列,而 S1=a1=2(1-a1),
?1? 1 1 ?1? ∴a1=3,∴an=3×?3?n-1=?3?n, ? ? ? ?



1 1 1 1 =b + ,b =1,b =2,得 1 2 bn+1 n bn+2
? n?

2

?1? 1 1 d=b -b =1(d 为等差数列?b ?的公差),
2 1

1 1 ∴b =n,∴bn=n. n an ?1? (2)cn=b =n?3?n,设 Tn=c1+c2+…+cn,则
n

? ?

?1? ?1? ?1? ?1? Tn=1×?3?1+2×?3?2+3×?3?3+…+n×?3?n, ? ? ? ? ? ? ? ? ?1?2 ?1?3 ?1?n ?1?n 1 1 + , T n=1×?3? +2×?3? +…+(n-1)×?3? +n×?3? 3 ? ? ? ? ? ? ? ?

由错位相减,化简得: 3 3 ?1? 1 ?1? 3 2n+3 1 3 Tn=4-4×?3?n-2n?3?n=4- 4 ×3n<4.
? ? ? ?

14.[2014· 山东]已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(-1)n-1 4n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1

2×1 解析:(1)因为 S1=a1,S2=2a1+ 2 ×2=2a1+2,

-9-

4×3 S4=4a1+ 2 ×2=4a1+12, 由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得 a1=1, 所以 an=2n-1. (2)bn = ( - 1)n - 1 1 ? ? + ?2n-1 2n+1?. ? ?
?

4n anan+1

= ( - 1)n - 1

4n ?2n-1??2n+1?

= ( - 1)n -

1?

1

当 n 为偶数时, 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1? ?1 1? ? ? ? ? + + Tn=?1+3?-?3+5?+…+? - ?2n-3 2n-1? ?2n-1 2n+1? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2n =1- = . 2n+1 2n+1 当 n 为奇数时, 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1? ?1 1? ? ? ? ? + + Tn=?1+3?-?3+5? +…-? + ?2n-3 2n-1? ?2n-1 2n+1? =1 + ? ? ? ? ? ? ? ? 2n+2 = . 2n+1 2n+1 1

?2n+2,n为奇数, ?2n+1 所以 T =? 2n ,n为偶数. ? ?2n+1
n

2n+1+?-1?n-1 (或 Tn= ) 2n+1
- 10 -


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