当前位置:首页 >> 数学 >>

(人教a版)必修一同步课件:2.3幂函数


2.3 幂函数

一、幂函数的定义 1.解析式:_____. y=xα 2.自变量:__ x ,常数:___. α

思考:一次函数与二次函数一定是幂函数吗?
提示:不一定.例如:一次函数y=x+1,二次函数y=x2+1等都

不是幂函数.

二、幂函数的图象与性质 1.五种常见幂函数的图象 请在给出的平面直角坐标系中画出幂函y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,
y ? x 的图象.
1 2

2.五类幂函数的性质 幂函数 y=x 定义域 值域 __ R __ R y=x2 __ R [0,+∞) ________ 偶 ___ y=x3 __ R __ R 奇 ___
y?x
1 2

y=x-1

奇 奇偶性 ___

[0,+∞) (∞,0)∪(0,+∞) _______ ______________ [0,+∞) _______________ {y|y∈R且y≠0} _______ 非奇非 _______ 奇 ___ 偶 ___ 增 ___ 减 x∈(0,+∞),___ 减 x∈(-∞,0),___

x∈[0,+∞), 增 ___ 增 增 单调性 ___ ___ x∈(-∞,0], 减 ___ 公共点

(1,1) 都经过点______

判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1).(

)

(2)幂函数y=xα 的定义域、奇偶性、单调性,因函数式中α 的

不同而各异.(

)

(3)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象 限.( )

提示:(1)错误.当α>0时,幂函数y=xα的图象必过点(0,0) 和(1,1);当α<0时,幂函数y=xα的图象必过点(1,1),不 过点(0,0). (2)正确.由五类幂函数的性质可知此说法正确 . (3)错误.对幂函数y=xα而言,当x>0时,必有y>0,故幂函 数的图象不过第四象限.

答案:(1)×

(2)√

(3)×

【知识点拨】 1.幂函数解析式的结构特征 (1)指数为常数. (2)底数是自变量,自变量的系数为1. (3)幂xα的系数为1. (4)只有1项.

2.幂函数与指数函数比较 名称

式子 指数函数:y=ax(a>0且a≠1) 幂函数:y=xα

常数
a为 底数 α为 指数

x
指 数 底 数

y
幂 值 幂 值

3.幂函数y=xα在第一象限的图象特征 (1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸). (2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点).

(3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸).
(4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点).

(5)指数小于0,在第一象限为双曲线型.

4.幂函数的单调性 (1)如果α>0,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数.

(2)如果α<0,幂函数y=xα在(0,+∞)上是减函数.

类型 一

幂函数的概念

【典型例题】 1.给出下列函数: ①y =
1 ;②y=3x-2;③y=x4+x2;④ y ? 3 x 5 ; 3 x

⑤y=(x-1)2;⑥y=0.3x,其中是幂函数的有( A.1个 B.2个 C.3个
2

)

D.4个

2.已知函数 f ? x ? ? ? m2 ? 2m ? 2 ? x m ?m?1, 当m为何值时,f(x)是 幂函数?

【解题探究】1.判断一个函数是否是幂函数的依据是什么? 2.根据幂函数定义可知,题2中的字母应满足哪些条件?

探究提示: 1.判断一个函数是否是幂函数的依据是幂函数的解析式具有 的四个特征: (1)指数为常数. (2)底数是自变量,自变量的系数为1. (3)幂xα的系数为1. (4)只有1项. 2.m应满足m2+2m-2=1.

【解析】1.选B.可以对照幂函数的定义进行判断.在所给出
5 1 3 5 -3 的六个函数中,只有y= 3 =x 和 y ? x ? x 3 符合幂函数的定 x

义,是幂函数,其余四个都不是幂函数.
2.要使 f ? x ? ? ? m2 ? 2m ? 2 ? x m ?m?1 是幂函数,则有m2+2m-2=1,即
2

m2+2m-3=0,解得m=-3或m=1.

【拓展提升】 1.幂函数的判断方法 (1)幂函数同指数函数、对数函数一样,是一种“形式定义” 的函数,也就是说必须完全具备形如y=xα(α∈R)的函数才是 幂函数. (2)如果函数解析式以根式的形式给出,则要注意把根式化为 分数指数幂的形式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行

判断.

2.求幂函数解析式的依据及常用方法 (1)依据. 若一个函数为幂函数,则该函数应具备幂函数解析式所具备 的特征,这是解决与幂函数有关问题的隐含条件 . (2)常用方法. 设幂函数解析式为f(x)=xα,根据条件求出α.

【变式训练】已知点( 3 , 3 3 )在幂函数f(x)的图象上,则f(x)
3

的表达式为( A.f(x)=x3 C.f(x)= x
1 2

) B.f(x)=x-3 D.f(x)= x
3
? 1 2

【解析】选B.设f(x)=xα,则 3 3=( 3 )? , 即 3 ? 3 , ∴α=-3,∴f(x)=x-3.
3 2 ? ? 2

类型 二

幂函数的图象

【典型例题】

1.(2013·三明高一检测)函数y= x 3 的图象大致是(

5

)

2.(2013·邢台高一检测)当α ∈{-1, , 1,3}时,幂函数 y=xα 的图象不可能经过第______象限. 3.已知幂函数y=xm-2(m∈N)的图象与x,y轴都无交点,且关于 y轴对称,求m的值,并画出它的图象.

1 2

【解题探究】1.可以根据函数的哪些性质判断函数的图象的 特征?

2.幂函数y=x-1,y=

3 x , y=x,y=x 的图象分布在哪些象限?

1 2

3.题3中幂函数的图象与x,y轴都无交点,且关于y轴对称,揭

示了幂指数m-2是什么数?

探究提示: 1.可以根据函数的奇偶性、图象上的特殊点和线判断函数的 图象的特征. 2.幂函数y=x-1,y=x,y=x3的图象分布在第一、三象限, y= x 的图象分布在第一象限. 3.图象与x,y轴都无交点,揭示了幂指数m-2是负数或零;关 于y轴对称且m∈N揭示了幂指数m-2是偶数.
1 2

【解析】1.选B.函数 y ? x ? 3 x 5 是定义域为R的奇函数,且此
函数在定义域上是增函数,其图象关于原点对称,排除 A,C.
1 1 1 1 另外,因为 y ? ( ) 3 ? ? ( ) 3 < , y ? 13 ? 1, y ? 2 3 ? 2 ? 2 3>2, 2 2 2 2
5 2 5 5 2

5 3

所以当x∈(0,1)时,函数y= x 的图象在直线y=x的下方;

5 3

当x∈(1,+∞)时,函数y= x 的图象在直线y=x的上方.故选B.

5 3

2.幂函数y=x-1,y=x,y=x3的图象分布在第一、三象限, y= x 2 的图象分布在第一象限.
1

所以幂函数y=xα(α=-1,
四象限.

1 , 1,3)的图象不可能经过第二、 2

答案:二、四

3.∵图象与x,y轴都无交点, ∴m-2≤0,即m≤2. 又m∈N,∴m=0,1,2. ∵幂函数图象关于y轴对称, ∴m=0,或m=2.

当m=0时,函数为y=x-2,图象如图1;
当m=2时,函数为y=x0=1(x≠0),

图象如图2.

【互动探究】题1中,若将函数y= x 改为y= x ,其图象大 致是所给四个选项中的哪个图象? 【解析】函数 y ? x
? 5 3

5 3

?

5 3

?

1
3

x

5

是定义域为{x|x≠0}的奇函数,

其图象关于原点对称.

由此知函数y= x 的图象大致是选项A的图象.

?

5 3

【拓展提升】
1.作幂函数图象的原则和方法

(1)原则:作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调
性、奇偶性等. (2)方法:首先作出幂函数在第一象限内的图象,然后根据奇 偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象.

2.幂函数y=xα在第一象限内图象的画法 (1)当α<0时,其图象可以类似y=x-1画出; (2)当0<α<1时,其图象可以类似y= x 画出; (3)当α>1时,其图象可以类似y=x2画出.
1 2

【变式训练】函数f(x)=xn+ax-1(n∈Z,a>0且a≠1)的图象必 过定点( A.(1,1) C.(-1,0) ) B.(1,2) D.(-1,1)

【解析】选B.因为f(1)=1n+a1-1=1+1=2,所以f(x)=xn+ax-1 (n∈Z,a>0且a≠1)的图象必过定点(1,2).

类型 三

幂函数的性质及应用

【典型例题】 1.设α ∈{ ? , ?1,1, ,3 },则使函数y=xα 的定义域为R的所有α 的值为( A.1,3 C.-1,3 2.判断下列各组数的大小 (1)5.1-2与5.09-2的大小关系是______.
? 2 ? 3 10 3 (2) (? ) , (? ) , 1.1 3 的大小关系是______. 2 7 2 2 4

3 2

1 2

) B.-1,1 D.-1,1,3

3.(2013·长沙高一检测)已知函数f(x)=

1 2 +1. x

(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明.
(2)求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值.

【解题探究】1.幂函数y=xα的定义域与α有什么关系? 2.(1)要比较题2(1)中两个数的大小,可将其看作哪个函数的 函数值?如何利用函数的单调性比较大小? (2)三个(三个以上的)数比较大小,要注意应用什么方法? 3.利用定义法判断函数的单调性的步骤是什么?

探究提示:

1.当α为正整数时,幂函数y=xα的定义域为R.当α为负数或
分数时,要先用负整数幂、分数指数幂的意义变形后再求定

义域.
2.(1)5.1-2和5.09-2可以看作函数y=x-2在自变量分别取5.1和

5.09时的函数值.根据函数y=x-2的单调性,可以由5.1和5.09
的大小关系推出5.1-2和5.09-2的大小关系. (2)三个(三个以上的)数比较大小,要注意应用中间量法 . 3.按照设元、作差、变形、判号、下结论五个步骤进行 .

【解析】1.选A.函数y=x,y=x3的定义域是R.

y?x

?

3 2

?

1
2

x

3



定义域是(0,+∞).
y=x 的定义域是[0,+∞).
1 2

y=x-1的定义域是{x|x≠0}.

2.(1)∵y=x-2在(0,+∞)上为减函数, 且5.1>5.09, ∴5.1-2<5.09-2.
2 ?3 (2) (? ) ? 2
2 3
2

? 2?

2 3

10 ∵y= x 在(0,+∞)上为增函数,且 > 2>1. 7 2 4 4 2 ? ? 10 ∴ ( ) 3> 2 3 >, 1 3 ? 1, 1 又 1.1 3 < 7 2 2 4 ? ? 10 2 ∴ (? ) 3>(? ) 3>1.1 3. 7 2

10 10 ,(? ) 3 ? ( ) 3, 7 7

2

2

? ?

答案:(1)5.1-2<5.09-2
? ? (2) (? 10 ) 3>(? 2 ) 3>1.1 3 7 2 2 2 4

3.(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数. 证明如下: 设x1,x2是区间(0,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,则
f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? (

∵x2>x1>0,

? x1 ? x 2 ?? x 2 ? x1 ? , 1 1 ? 1) ? ( ? 1) ? 2 2 x1 x2 x x ? ? 2 1 2

∴x1+x2>0,x2-x1>0,(x1x2)2>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.

(2)由(1)知函数f(x)在区间[1,3]上是减函数,
所以当x=1时,取最大值,最大值为f(1)=2,

当x=3时,取最小值,最小值为f(3)=

10 . 9

【拓展提升】 1.求幂函数y=xα(其中α是分数形式)定义域的基本步骤 (1)把分数指数幂化为根式的形式.

(2)根据根式和分式有意义的条件列不等式(组)求解.

2.利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法

3.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内,否 则无法比较大小.

【变式训练】已知函数f(x)=xm- (1)求m的值. (2)判定f(x)的奇偶性.

2 7 且f(4)= . x 2

(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.

【解析】(1)因为f(4)= ,所以 4m- 2 = 7 ,
4 2

7 2

所以m=1.
2 (2)由(1)知f(x)= x ? , x

因为f(x)的定义域为{x|x≠0}, 又 f ?-x ?=-x- 2 =-(x- 2 )=-f ? x ?,
-x x

所以f(x)是奇函数.

(3)f(x)在(0,+∞)上单调递增.
2 设x1>x2>0,则 f ? x1 ?-f ? x 2 ?=x1- 2 -(x 2- 2 )=? x1-x 2 ? (1 + ), x1 x2 x1x 2

因为x1>x2>0,
2 所以x1-x2>0,1 + ? 0, x1x 2

所以f(x1)>f(x2), 所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.

【易错误区】解答幂函数性质问题的误区 【典例】(2013·遵义高一检测)幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在 (0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m可能等于( A.0 B.1 C.2 D.0 或1 )

【解析】选B.因为f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,
5 所以3m-5<0,故m< .又因为m∈N,所以m=0或m=1. 3

当m=0时,f(x)=x-5,f(-x)≠f(x)①,不符合题意; 当m=1时,f(x)=x-2, f(-x)=f(x),符合题意. 综上知,m=1.

【类题试解】已知幂函数 y ? ? m2 ? 5m ? 7 ? x m ?6 在区间(0,+∞)上
2

是增函数,则实数m的值为( A.3 B.2 C.2或3

) D.-2或-3
2

【解析】选A.因为函数 y ? ? m2 ? 5m ? 7 ? x m ?6 是幂函数, 所以m2-5m+7=1,即m2-5m+6=0,解得m=2或m=3. 当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上是减函数,不符合题意; 当m=3时,f(x)=x3在(0,+∞)上是增函数,符合题意. 所以m=3.

【误区警示】

【防范措施】 1.重视幂函数单调性的分析 幂函数在(0,+∞)上的单调性与幂函数指数的正负有密切的关 系.例如本例中的幂函数在(0,+∞)上是减函数,所以可以分 析出指数3m-5<0. 2.注意解题的入手点 解题要注意选准解题的入手点,否则容易陷入误区 .例如,解 答本例要首先由单调性和m∈N入手,求出m所有可能的取值,

然后根据f(-x)=f(x)进行检验,并确定答案.

1.下列给出的函数中,幂函数是(

)

A.y=3x

B.y=2x3

C.y=

? 1 【解析】选C.根据幂函数的定义可知 y ? 3 ? x 3是幂函数. x

1 3 x

D.y=x3-1
1

2.下列幂函数中图象过点(0,0),(1,1),且是偶函数的是( A.y= x
1 2

)

B.y=x4

C.y=x-2
1

D.y= x
1

1 3

【解析】选B.函数y= x 2,y= x 3 不是偶函数,函数y=x-2是偶 函数,其图象不过点(0,0).函数y=x4的图象过点(0,0),(1,1) 且是偶函数.

3.已知f(x)= x , 若0<a<b<1,则下列各式中正确的是(
A. f ? a ?<f ? b ?<f ( 1 )<f ( 1 )
a b

1 2

)

B. f ( 1 )<f ( 1 )<f ? b ?<f ? a ?
C. f ? a ?<f ? b ?<f ( 1 )<f ( 1 )
a b b a 1 1 D. f ( )<f ? a ?<f ( )<f ? b ? a b

【解析】选C.因为0<a<b<1,
1 1 所以0<a<b<1< < , b a

因为f(x)= x 在(0,+∞)上为增函数,

1 2

所以 f ? a ?<f ? b ?<f ( 1 )<f ( 1 ).
b a

4.已知二次函数f(x)是幂函数,则f(x)的解析式为______.

【解析】由题意得f(x)=x2.
答案:f(x)=x2

5.若幂函数y=f(x)的图象经过点(9, 【解析】设f(x)=xα,则

1 ? 1 解得α= ? , 所以f(x)= x 2 , 2 1 1 ? ? 1 f ? 25? ? 25 2 ? 52 2 ? 5?1 ? . 5 1 答案: 5

1 α =9 ,3-1=32α, 3

1 ),则f(25)的值是______. 3

? ?

6.求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性.
(1)y=x-2. (2)y= x .
x
2 3

【解析】(1) y ? x ?2 ? 12 , 定义域是{x|x≠0},是偶函数.
(2)y ? x ? 3 x 2, 定义域是R,是偶函数.
2 3


相关文章:
人教A版数学必修一2.2.3《幂函数》教学设计
人教A版数学必修一2.2.3《幂函数》教学设计 - 高中数学必修一:2.2.3 幂函数设计 教学设计 一,内容及其解析 备课组 中心发言人 长 备课题 孙冠南 年级 ...
教材图解(思维导图+微试题)人教A版高中数学必修1学案:2.3幂函数_...
教材图解(思维导图+微试题)人教A版高中数学必修1学案:2.3幂函数 - 第一章 基本初等函数(人教 A 版新课标) 第 3 节 幂函数 【思维导图】 【微试题】 1...
高一数学人教A版必修1课后导练:2.3幂函数 Word版含解析
高一数学人教A版必修1课后导练:2.3幂函数 Word版含解析_初中教育_教育专区。课后导练 基础达标 1.下列函数中,幂函数的个数为( y= ) 1 x3 y=-2x y=x2...
...数学人教版a版必修一学案:第二单元 §2.3 幂函数 含...
2018版高中数学人教版a版必修一学案:第二单元 §2.3 幂函数 含答案_数学_高中教育_教育专区。§ 2.3 幂函数 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式(易错...
最新人教A版必修1高中数学 2.3 幂函数学情分析(精品)
最新人教A版必修1高中数学 2.3 幂函数学情分析(精品)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.3 幂函数学情分析 (1)学生已经接触过函数,已经确立了利用函数的...
高一数学:2.3《幂函数》教案 新人教A版必修1
高一数学:2.3幂函数》教案 新人教A版必修1_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学:2.3幂函数》教案 新人教A版必修1 ...
第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数教案新人教A版必修1
第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数教案新人教A版必修1 - 幂函数 【教学目标】 1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,了解幂函数图象的变化情况和...
高中数学-2.3幂函数全册精品教案-新人教A版必修1
高中数学-2.3幂函数全册精品教案-新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。2.3 (一)教学目标 1.知识与技能 幂函数 (1)理解幂函数的概念,会画幂函数 y=x...
2.3 幂函数(人教A版必修1)
2.3 幂函数(人教A版必修1)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.3 幂函数 幂函数要点导学 一、知识导引 1.幂函数定义:形如 y=xα 的函数叫幂函数(α ...
...初等函数(I)2.3 幂函数复习学案 新人教A版必修1
高中数学 第二章 基本初等函数(I)2.3 幂函数复习学案 新人教A版必修1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2.3 幂函数 自主复习 考点清单: 幂函数及其性质 ...
更多相关标签: