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2.3幂函数及性质


说出下列函数的名称 正比例函数 y ? kx (k ? 0) k y ? (k ? 0, x ? 0) 反比例函数 x y ? kx ? b (k ? 0) 一次函数 2 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 二次函数 y ? c (c为常数) 常数函数 x y ? a (a ? 0且a ? 1) 指数函数 对数函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1)

r />
2.3 幂 函 数

问题1:如果张红购买了每千克 1元的苹果 w千克, ?x 那么她需要付的钱数p =w 元, 。 这里p是w的函数 y 问题2:如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 2 y?x 是S =a? , 这里S是a的函数 。 问题3:如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 3 是 V = a? , 这里V是a的函数 。 y?x 问题 4: 如果正方形场地的面积为 S ,那么正方形的 1 边长a= S , 这里a是S的函 。 y ? x2 问题5:如果某人t s内骑车行进了 1km,那么他骑 数 ?1 车的平均速度v = t ?1km / s这里 , v是t的函数 。 y?x
1 2

若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用 y来表示,则它们的函数关系式将是:

思考:以上问题的关系式有什么共同特征? (1) (2) (3) (4) (5)
y? x

y ? x2

y ? x3
y?x
y?x
1 2
?1

(1)都是以自变量x为底数; (2)指数为常数; (3)自变量x前的系数为1; (4)只有一项。

一、幂函数的定义: ? 一般地,我们把形如 y ? x 的函数叫
?
?

? 为常数。 做幂函数,其中 x 为自变量,
y ? x 中 x 前面的系数是1,后面没有其它项。

练习1:判断下列函数哪几个是幂函数?
( 1)y ? 3 ;   ( 2) y ? x ;   ( 3) y ? 2 x ;   (4) y ? x ? 1;
x 2 2 ?2

1 ( 5) y ? x

答案(2)(5)

思考:指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别?

幂函数与指数函数比较
名称
式子 常数 a为底数 α为指数

x
指数

y
幂值

指数函数: y=a x
(a>0且a≠1)
α y= x 幂函数:

底数

幂值

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数

快速反应

y ? 0.2
(指数函数)

x

y?x

1 2

(幂函数)

y?x

?1

y ?5
5

x

(幂函数)

(指数函数)

y ?3

?x

y? x
(幂函数)

(指数函数)

例1 :已知f ( x) ? m ? m ? 1 x
2

?

?

2 m ?3

是幂函数,

求m的值。
解 : 因为f ( x)是幂函数

? m ? m ?1 ? 1
2

解之得: m ? ?2或m ? 1

? m ? ?2或m ? 1

二、五个常用幂函数的图像和性质

(1) y ? x (4) y ? x

1 2

(2)y ? x

2

(3) y ? x

3

(5)y ? x

?1

作出下列函数的图象 : 1
y=x
x

y?x

2

y?x
-2 -2

3

y?x

2

y?x

?1

y=x0

… -3 -3

-1 0 -1 0

1 1

2 2

3 3

… …

y?x …

y ? x2 …
1 2…

9

4
-8 \

1 0
-1 0 \ 0

1
1 1 1

4
8

9



y ? x3 … -27

27 …

y?x

\

2

3 …


y ? x ?1 … -1/3

-1 \ 1/2

1/ 1/2 3

4

3

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

4

3

y=x

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

4

3

y=x

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

x

-2 -1 0 1 2 1 0 1 4

-3

y=x2 4

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x

-2 -1 0 1 2 1 0 1 4

-3

y=x2 4

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x

-2 -1 0 1 2
1 0 1 4

-3

y=x2 4

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

x y=x3

-2 -8

-1 0 1 2 -1 0 1 8

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

x y=x3

-2 -8

-1 0 1 2 -1 0 1 8

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x

0
1 2

1

2

4

-3

y?x

0

1

2

2

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x

0
1 2

1

2

4

-3

y?x

0

1

2

2

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x

y?x
-3 -4

?1

-2 -1 -1/2 -1

1 1

2 1/2

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

x

-3

y ? x?1

-2 -1 -1/2 -1

1 1

2 1/2

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

在第一象限内, 当 ? >0时,函数单增 当 ? <0时,函数单减

-4

不管指数是多少 (-2,4) ,图象都经过哪 个定点?
(-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

图象都经过点(1,1)

-3

? >0时,图象过定点(0,0)

-4

幂函数的性质:
幂函数的定义域、奇偶性、单调性,因函数式 中? 的不同而各异.

1.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1); 2.如果? >0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) ? >1 并在(0,+∞)上为增函数; 0<? <1
3.如果? <0,则幂函数的图象过点 (1,1),并在 ? <0 (0,+∞)上为减函数;

例2研究幂函数 y ? x 并作出图象

1 ? 2

的定义域,

解:

y?x

?

1 2

?

1 x 它的定义域是(0,+∞)

y
3 2

1 ( ,2) 4 ( 1 2 ,1.4) (1,1) (2,0.7) (3,0.6) (4,0.5)

1

-4

-2

o
-1

2

4

x

x 1/4 1/2
y 2 1.4

1
1

2

3

4
-2 -3

0.7 0.6 0.5

y
3 2

1 ( ,2) 4 ( 1 2 ,1.4) (1,1) (2,0.7) (3,0.6) (4,0.5)

1

-4

-2

o
-1

2

4

x

x 1/4 1/2
y 2 1.4

1
1

2

3

4
-2

0.7 0.6 0.5
-3

探 作出它的图象,并根据图象说明函数的单调 究 与 性、及值域。 发 定义域:(-∞,+∞) 现 奇偶性:偶函数

例3:讨论函数 y

? x 的定义域、奇偶性,

2 3

10

8

x

0

1

2

4

6

8

6

y

0

1

1. 6

2. 5

3. 3

4
4

2

-10

-5

o

5

10

x

-2

10

y
8

x y

0 0

1 1

2 1. 6

4 2. 5

6 3. 3

8
6

4
4

(8.4)
2

(4,2.5) (1,1)

-10

-5

o

5

10

x

-2

10

y
8

x y

0 0

1 1

2 1. 6

4 2. 5

6 3. 3

8
6

4
4

(8.4)
2

(4,2.5) (1,1)

-10

-5

o

5

10

x

-2

10

y
8

x y

0 0

1 1

2 1. 6

4 2. 5

6 3. 3

8
6

4
4

(8.4)
2

(4,2.5) (1,1)

-10

-5

o

5

10

x

-2

第 一 象 曲线型 <0 ? =1 ? y 限 ?

? <0时

? >0时 ? >1开口向上型抛物线

=0,直线型

y

O

X

0<? <1开口 向右抛物线型

O

X

画出函数在第一象限的图象后,再根 据函数的奇偶性,画出函数在其他象限还 有的图象

练习1:
已知函数 f ( x) ? ?m ? 3m ? 3?x 是幂函数 ,并且是偶函数,求m的值。
2 m2 ?2

解:因为f ( x) ? m ? 3m ? 3 x
2

?

?

m2 ?2

是幂函数

? m ? 3m ? 3 ? 1 解之得: m ? 2或m ? 1
2

又因为f ( x)是偶函数

? m ? 1不符合题意 , 舍去 ?m ? 2

一: 幂函数的定义: 一般地,我们把形如 y ? x 的函数叫 ? 为常数。 做幂函数,其中 x 为自变量,
y ? x 中 x 前面的系数是1,后面没有其它项。
?
?

?

二: 幂函数在第一象限的图象特征: y a>1 a=1 0<a<1 a<0 x
指数大于1,在第一象限为 抛物线型(凹); 指数等于1,在第一象限为 上升的射线; 指数大于0小于1,在第一象 限为抛物线型(凸); 指数等于0,在第一象限为 水平的射线; 指数小于0,在第一象限为 双曲线型;

1

0

1

三: 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随 常数α取值的不同而不同.

1.所有幂函数的图象都通过点(1,1);

2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
α>1

a=1

0<α<1
α<0

下面将5个函数的图像画在同一坐标系 中 y?x 3 2 y ? x (1) (2)y ? x (3)
(4) y ? x
1 2

(5)y ? x

?1

练习2 :已知幂函数y ? f ( x)的图像过点(2, 2 ), 试求出这个函数的解析式.

解 : 设所求的幂函数为y ? x ?函数的图像过点(2, 2 )
哪种方法 ?

?

? 2 ? 2 , 即2 ? 2? 1 ?? ?
1 2

?

?所求的幂函数为y ? x .

2

1 2

练习3:已知幂函数f(x)的图像经过点(3,27), 求证:f(x)是奇函数。

证明 : 设所求的幂函数为y ? x ?函数的图像过点(3, 27)
?
3

?

? 27 ? 3 ,即3 ? 3 ?? ? 3 3 ? f ( x) ? x ? f ( x)的定义域为R, f (? x) ? (? x)3 ? ? x 3
? f ( ? x) ? ? f ( x)

?

? f ( x)是奇函数

练习:

如果函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) x
2

m 2 ? 2 m ?3

是幂函数,且在区间(0,+∞)

内是减函数,求满足条件的实
数m的集合。

m?2
舍去m ? ?1

例5. 利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 0.3 (2)0.20.3 与 0.3 -2 -2
2.5 5 与 2.7 5 解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数

(3)

∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

练习
1)

1.3
?2

0.5<

1.5

0.5

?2 < 5.1 2) 5.09
1 4

3) ?1.79 > ?1.81 4)

1 4

(2 ? a )

2 ? 2 3 ≤

2

2 ? 3

练习: 如图所示,曲线是幂函数 y = xk 在第一象
1 限内的图象,已知 k分别取?1,1, , 2 2

四个

值,则相应图象依次为:________ C4 C2 C3 C1

1

一般地,幂函数的图象 在直线x=1的右侧,大 指数在上,小指数在下, 在Y轴与直线x =1之间 正好相反。


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