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2012年高考专题复习第2单元-函数与导数-数学-大纲(文科)


第二单元

函数与导数

第二单元 │ 知识框架

知识框架

第二单元 │ 考纲要求 考纲要求
【考试内容】 映射.函数.函数的单调性.奇偶性. 反函数.互为反函数的函数图象间的关系. 指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数. 对数.对数的运算性质.对数函数. 函数的应用. 导

数的背景. 导数的概念. 多项式函数的导数. 利用导数研究函数的单调性和极值. 函数的最大值和最小值.

第二单元 │ 考纲要求

【考试要求】 (1)了解映射的概念,理解函数的概念. (2)了解函数的单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简 单函数的单调性、奇偶性的方法. (3) 了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关 系,会求一些简单函数的反函数. (4)理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质, 掌握指数函数的概念、图象和性质. (5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的 概念、图象和性质.

第二单元 │ 考纲要求
(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解 决某些简单的实际问题. (7)了解导数概念的实际背景. (8)理解导数的几何意义. (9)掌握函数 y=C(C 为常数)和 y=xn(n?N+)的导数公式, 会求多项式函数的导数. (10)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会 用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间 上的最大值和最小值. (11)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.

第二单元 │ 复习策略 复习策略
函数知识是高中数学最重要的内容,贯穿整个高中数学 始终,并且又是学习高等数学的基础;导数是研究函数及其 性质的有力工具,有着广泛的应用.本单元复习重点是函数 的概念、 图象、 性质及其应用, 以及用导数研究函数的性质. 高 考中,一般有四道题,三道客观题,一道解答题,分值接近 30 分,客观题一般考查基本函数及其性质,难度以中档为主, 解答题往往利用导数研究三次函数的单调性、极值等,难度 基本稳定在中等或偏上.

第二单元 │ 复习策略

1.有关函数的试题在每年全国高考试题中都占有较 大比例,远远超过本单元在教学中所占课时比例.注重 初等数学与高等数学的衔接的内容历来是高考数学命题 的聚焦点,对函数知识与思想的考查,不会减弱,只会 加强,并注重与不等式、导数的联系,尤其是三次函数 几乎是文科高考的必考内容.

第二单元 │ 复习策略
2.一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函 数,它们的图象与性质是函数的基石,是本单元的重点.求反 函数、判断、证明与应用函数的三大特性(单调性、奇偶性、周 期性)是高考命题的切入点,有单一考查,也有综合考查.函数 的图象、图象的变换是高考热点.应用函数知识解其他问题, 特别是解应用题,能很好地考查分析问题、解决问题的能力, 这类问题在高考中具有较强的生命力,在复习中要加以重点关 注.函数与方程思想、数形结合的思想比比皆是,深刻理解和 灵活运用这些思想方法,不仅会给解题带来方便,而且这正是 充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.

第二单元 │ 复习策略

3.导数的概念、导数公式及求导法则是基础,熟练记 忆这些知识是正确进行导数运算的关键,要引起重视.应用 导数求函数的单调性、 极值、 最值是本单元的又一个重点. 复 习中要明确导数作为一种工具,在研究函数的变化率,解决 函数的单调性、极值等方面的作用,同时培养学生应用知识 解决实际问题的能力. 4.要有意识地与解析几何、函数的单调性、极值与最 值、二次函数、方程、不等式的证明等进行知识交汇、综合 运用.特别是与二次函数的联系,更是文科复习的重点.

第二单元 │ 使用建议 使用建议
1.编写意图 函数是整个高中数学教学的主干知识,导数又是研 究函数性质的有力工具,因此,编写时,把导数及其应 用与函数合并为一单元.本单元是高考考查的重点与热 点,在高考中,既有对基础知识、基本技能的的考查, 又有对数学思想方法和能力的考查 .

第二单元 │ 使用建议
编写中注意到以下几个问题: (1)考虑到该部分在高考试 题中的考查特点和难度, 加强了对基础知识、 基本方法的讲解 和练习题的力度,以通性通法为主. (2)从近几年高考来看, 对于函数的概念、图象、函数性质、反函数、导数的概念、几 何意义、运算及应用的知识,每年在高考的客观题中,都有涉 及,选题时客观题以中档题为主,解答题适当增加难度; (3) 考虑到该部分内容是第一轮初始阶段复习的知识, 但鉴于高考 对本部分的考查力度及试题难度, 将少量选用综合性强、 思维 难度大的题目.

第二单元 │ 使用建议
2.教学指导 高考对本单元的考查要求高,教师在引导学生复习该部分 时,要注意高考对每个知识点的要求,所选习题与高考要求保 持一致,适当增加一些综合性题目. 教学时,要注意到以下几个问题: (1)引导学生深刻理解函数的 概念,弄清函数的“三要素”.(2)在复习中要始终以基本函数 为背景,贯穿函数的图象和性质.尤其二次函数是初中、高中 的结合点,应引起重视,复习时要适当加深加宽.二次函数与 二次方程、二次不等式有着密切的联系,要注意沟通这些知识 之间的内在联系,灵活运用它们去解决有关问题.

第二单元 │ 使用建议
1 (3)补充函数 y=x+x(x≠0)的图象和性质,对此函数的考 查近 10 年高考从未间断过.(4)加强数学思想的渗透,如 数形结合、化归与转化、分类整合、函数与方程等.尤其 是数形结合在函数部分更是体现得淋漓尽致. (5)函数的核 心地位决定了函数类题目综合性强,注重知识的融合、渗 透.复习中注意捕捉新信息,防止学生面对新题无从下手 的情形出现.

第二单元 │ 使用建议
(6)导数中,求导运算,函数的单调性、极值和最值是重点 知识,要让学生通过适量运算,掌握简单函数的导数的求法, 并熟记多项式公式及求导法则;学会利用导数研究函数单调 性、求函数极值、最值.在复习时,要以高考大题为主,注意 解题规范性的要求和限时答题能力的培养. 3.课时安排 本单元包含 13 讲、两个滚动基础训练卷、一个单元能力 训练卷,每讲 1 个课时,每个滚动基础训练卷和单元能力训练 卷各占 1 课时,建议用 16 个课时完成.

第4讲 │ 映射、函数、函数解析式

第4讲 映射、函数、函数解析式

第4讲 │ 编读互动 编读互动
本讲内容概念较多,且较为抽象,要求学生在理解的基础上 能灵活运用.本讲的重点之一是理解映射、函数的概念,弄清映 射与函数之间的联系, 并掌握函数的表示方法与求函数解析式的 方法.分段函数、复合函数是高考的热点和难点,在知识点归纳 上补充了这两个概念. 教材通过例题的形式给出了“分段函数” 的概念,从而说明:对于一个函数来说,对应法则可以由一个解 析式来表示,也可以由几个解析式来表示,用图象表示时,既可 以是一条平滑的曲线,也可以是一些点、一段曲线、几条曲线 等. 本讲的前两道例题, 从映射及函数概念的三个不同层面出发, 使学生深刻理解概念.此外本讲的另一个重点是求函数解析式, 它是求解函数综合问题的基础,重点掌握下列几种方法:待定系 数法、换元法、函数方程法.

第4讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.映射 非空 集合,如果按 (1)映射的定义:设 A、B 是两个________ 照某种对应法则 f,对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 唯一 的元素和它对应,这样的对应叫做从集合 B 中都有________ A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B. (2)象与原象:如果给定一个集合 A 到集合 B 的映射, 象 那么和 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的________ , 原象 . a 叫做 b 的________ (3)一一映射:设 A、B 是两个集合,f:A→B 是集合 A 到集合 B 的映射, 如果在这个映射下, 对于集合 A 中的不同 不同 的象, 元素在集合 B 中有________ 而且 B 中每一个元素都有 原象 ________ ,那么这个映射叫做 A 到 B 的一一映射.

第4讲 │ 知识梳理

2.函数 数集 ,f 是从 A (1)函数的定义:设 A、B 都是非空的________ 到 B 的一个对应法则,那么 A 到 B 的映射 f:A→B 就叫做 A 到 B 的函数,记作 y=f(x),其中 x?A,y?B.原象集合 A 定义域 , 象 集 合 C 叫 做 函 数 f(x) 的 叫 做 函 数 f(x) 的 ________ 值域 ,显然 C________B. = ________ 定义域 、________ 对应法则、值域. (2)构成函数概念的三要素:________ 解析法 、列表法、图象法. (3)函数的表示方法:________

第4讲 │ 知识梳理
(4) 分段函数:函数在其定义域的不同子集上分别用 ________式子来表示对应的关系,这种形式的函数叫做分段 几个不同 函数.(分段函数是一个函数而不是几个函数,它只是一个分 段函数表达式.只是在表达形式上同以前学过的函数不同, 在表示时,用“{”表示出分段函数解析式的关系). (5)复合函数:已知函数 y=f(u)和函数 u=g(x),若满足 u=g(x)的值域 A 是函数 y=f(u)的定义域 B 的子集,那么 x 在其定义域内的任一个值可以唯一确定一个 y 值(在其值域 内的),则 y=f{g(x)}叫做 y=f(u)与 u=g(x)的复合函数.

第4讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 映射与函数概念的应用 例 1 下列对应是从 A 到 B 的映射的是________,是 从 A 到 B 的函数的是________. 1 (1)A=R,B=R.f:x→y= ; x+1 1 * (2)A={a|a=n,n?N },B={b|b=n,n?N*},f:a→b 1 = a; (3)A=?RR-,B=R,f:x→y,y2=x; (4)A={平面 M 内的矩形},B={平面 M 内的圆},f: 作矩形的外接圆.

第4讲 │ 要点探究
例 1 [思路] 映射是一种特殊的对应,函数是一种特殊的 映射,要判断是否是映射、函数应从定义入手. (2)(4) (2) [解析] (1)当 x=-1 时,y 的值不存在,所以 不是映射,更不是函数. (2)是映射, 也是函数, 因为 A 中所有元素的倒数都是 B 中 的元素. (3)不是映射,更不是函数. (4)是映射但不是函数,因为 A、B 都不是数集.
[点评] 判断所给对应是否构成映射或函数,必须根据映射 与函数的定义来判断.

第4讲 │ 要点探究
例2 下列各组函数表示同一函数的是________.

3 (1)f(x)= x2,g(x)= x3; ? ?1,x≥0, |x| (2)f(x)= x ,g(x)=? ? ?-1,x<0; 2n-1 2n-1 (3)f(x)= x2n+1,g(x)=( x) (n∈N*); (4)f(x)= x· x+1,g(x)= x2+x; (5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1. 2n+1

第4讲 │ 要点探究
例 2 [思路] 对于两个函数 y=f(x)和 y=g(x),当且仅当它 们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和 y=g(x)才表示 同一函数.若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同, 反之亦然. (3)(5) [解析] (1)由于 f(x)= x =|x|,g(x)= x3=x, 故它们的值域及对应法则都不相同, 所以它们不是同一函数. |x| (2)由于函数 f(x)= x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), ? ?1 , x ≥ 0 , 而 g (x )= ? 的定义域为 R, ? - 1 , x <0 ? 所以它们不是同一函数.
2

3

第4讲 │ 要点探究
(3)由于当 n?N*时,2n± 1 为奇数, 2n-1 2n-1 所以 f(x)= x2n+1=x,g(x)=( x) =x, 它们的定义域、值域及对应法则都相同, 所以它们是同一函数. (4)由于函数 f(x)= x· x+1的定义域为{x|x≥0}, 而 g(x)= x2+x的定义域为{x|x≤-1 或 x≥0}, 因为它们的定义域不同,所以它们不是同一函数. (5)因为函数的定义域、值域和对应法则都相同, 所以它们是同一函数. 2n+1

第4讲 │ 要点探究

[点评] 对于两个函数来讲,只要函数的三要素中 有一个不相同, 则这两个函数就不可能是同一函数. 一 般先看定义域, 若定义域和对应法则相同, 则这两个函 数就是相同的函数. 第(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是 对函数的概念理解不透. 要知道, 在函数的定义域及对 应法则 f 不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成 其他字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如 f(x)=x2+1, f(t)=t2+1, f(u+1)=(u+1)2+1 都可视为 同一函数.

第4讲 │ 要点探究

变式题 集合 A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下 列不表示从 A 到 B 的函数是( ) 1 1 A.f:x→y= x B.f:x→y= x 2 3 2 C.f:x→y= x D.f:x→y= x 3
变式题 意.故选 C. C 8 [解析] 当 x=4 时, y= >2?B, 不合题 3

第4讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点2
例 3

分段函数与复合函数
已 知 函 数 f(x) 的 解 析 式 为 : f(x) =

?3x+5,x≤0, ? ?x+5,0<x≤1, ?-2x+8,x>1. ? ?3? ?1 ? (1)求 f?2?,f?π?,f(-1)的值; ? ? ? ? (2)画这个函数的图象; (3)求 f(x)的最大值.

第4讲 │ 要点探究
?3? 3 3 1 ? ? 例 3 [解答] (1)∵ >1,∴f 2 =(-2)× +8=5.∵0< 2 2 π ? ? ?1 ? 1 5π+1 <1,∴f?π?= +5= . π ? ? π ∵-1<0,∴f(-1)=-3+5=2.

第4讲 │ 要点探究

(2)如图,在函数 y=3x+5 的图象上截取 x≤0 的部分,在 函数 y=x+5 的图象上截取 0<x≤1 的部分, 在函数 y=-2x+8 的图象上截取 x>1 的部分,图中实线组成的图象就是函数 f(x) 的图象. (3)由函数图象可知,当 x=1 时,f(x)的最大值为 6.

[点评] 本题给出的函数是分段函数.应注意在不同的范围 上用不同的关系式. 求分段函数的函数值时,一般先确定自变量 的取值在定义域的哪个子区间, 然后利用这个区间相对应的关系 来求函数值.

第4讲 │ 要点探究

例 4

[2010·隆 尧 一 中 月 考 ] 已 知 f(x) = )

f?x+1?,x<4, ? ? ??1?x 则 f(log23)等于( ? ? ,x≥4, ? ??2? 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 24 4 2
B

[解析] 由题意得,∵2=log24>log23>log22=1,故 f(log23)

?1? 1 ? ? =f(1+log23)=f(2+log23)=f(3+log23)= 2 3+log23= . 24 ? ?

第4讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点3
例 5 1 ? ? ?x>0?, ?x 2 ? ?x ?x≤0?,

求函数的解析式
(1)已知两个函数
2 ? ?x ?x≥0?, f(x)= ? ? ?-x?x<0?

和 g(x)=

当 x≤0 时, 求 f[g(x)]的解析式.

第4讲 │ 要点探究

(2)设二次函数 f(x)满足 f(x+2)=f(2-x), 且 f(x)=0 的 两实根平方和为 10,图象过点(0,3),求 f(x)的解析式.

(3)已知 f(1-sinx)=cos2x,求 f(x)的解析式.
?1? 2f(x)+f?x?=3x,求 ? ?

(4)已知 f(x)满足

f(x).

第4讲 │ 要点探究
例 5 [解答] (1)当 x≤0 时,g(x)=x2≥0, 故 f[g(x)]=f(x2)=(x2)2=x4. (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵图象过点(0,3),∴有 f(0)=c=3,故 c=3. 又∵f(x)满足 f(x+2)=f(2-x)且 f(x)=0 的两实根平方和为 10, 2 2 得对称轴为 x=2 且 x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2=10, b b2 6 即- =2 且 2-a=10,∴a=1,b=-4, 2a a ∴f(x)=x2-4x+3. (3)解法一:令 1-sinx=t,则 t?[0,2], 则 sinx=1-t. ∴f(t)=f(1-sinx)=cos2x=1-sin2x =1-(1-t)2=-t2+2t, ∴f(x)=-x2+2x(0≤x≤2). 解法二:∵f(1-sinx)=cos2x=1-sin2x =-(1-sinx)2+2(1-sinx), ∴f(x)=-x2+2x(0≤x≤2).

第4讲 │ 要点探究
?1? (4)∵2f(x)+f?x?=3x, ① ? ? ?1? 1 3 将①中 x 换成x得 2f?x?+f(x)=x, ? ?



[ 点评 ] 根据已知条件求函数的解析式常用待定系数 法、换元法、配凑法、赋值法、解方程组法等. (1)当所求函数的解析式的形式已知(如二次函数、 指数 函数等),常用待定系数法; (2)已知 f[g(x)]的表达式,求 f(x)的表达式,常用配方 法或换元法; (3)f(x)满足某个等式, 这个等式除 f(x)外还有其他未知 量,需构造另一个等式,常用解方程组法.

3 ①×2-②得 3f(x)=6x-x, 1 ∴f(x)=2x-x(x≠0).

第4讲 │ 要点探究
例 6 [2010· 上海卷] 2010 年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进 行,对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测.为了方 便起见,以 10 分钟为一个计算单位,上午 9 点 10 分作为第一个计算人数的时 间,即 n=1;9 点 20 分作为第二个计算人数的时间,即 n=2;依此类推,把 一天内从上午 9 点到晚上 24 点分成了 90 个计算单位.第 n 个时刻进入园区的 人数 f(n)和时间 n(n?N*)满足以下关系(如图 4-1): 3600 ?1≤n≤24?, ? ? n-24 ?3600· 3 ?25≤n≤36?, 12 f(n)=? ?-300n+21600 ?37≤n≤72?, ? ?0 ?73≤n≤90?,

n?N*

图 4-1

第4讲 │ 要点探究
第 n 个时刻离开园区的人数 g(n)和时间 n(n?N*)满足 以下关系(如图 4-2): ?1≤n≤24?, ?0 ? g(n)=?500n-12000 ?25≤n≤72?, ?5000 ?73≤n≤90?, ? n?N*

(1)试计算在当天下午3点整(即15 点整)时,世博园区内共有多少游客? (2)请求出当天世博园区内游客总 人数最多的时刻.
图4-2

第4讲 │ 要点探究
[解答] (1)当 1≤n≤24 且 n?N*时,f(n)=3600, n-24 * 当 25≤n≤36 且 n?N 时,f(n)=3600· 3 , 12 所以 S36=[f(1)+f(2)+f(3)+ …+f(24)]+[f(25)+ f(26) +…+f(36)] ? 12 ?? 12 ?12 ? ? ? 3?? 3? -1? ? =3600×24+3600× 12 3-1 =86400+82299.59≈168700; 例6

第4讲 │ 要点探究
另一方面,已经离开的游客总人数是: 12×11 T12 = g(25) + g(26) + ? + g(36) = 12×500 + ×500 = 2 39000;所以 S=S36-T12=168700-39000=129700(人). 故当天下午 3 点整(即 15 点整)时, 世博园区内共有 129700 位游 客. (2)当 f(n)-g(n)≥0 时园内游客人数递增; 当 f(n)-g(n)<0 时园 内游客人数递减. ①当 1≤n≤24 时,园区人数越来越多,人数不是最多的时间; ②当 25≤n≤36 时,令 500n-12000≤3600,得出 n≤31, 即当 25≤n≤31 时,进入园区人数多于离开人数,总人数越来 越多; n-24 当 32≤n≤36 时,经过计算可知 3600· 3 >500n-12000,故进 12 入园区人数多于离开人数,总人数越来越多;

第4讲 │ 要点探究
③当 37≤n≤72 时,令-300n+21600=500n-12000 时,n=42, 即在下午 4 点整时,园区人数达到最多.此后离开人 数越来越多,故园区内人数最多的时间是下午 4 点整.

[点评] 审题要认真,利用分段函数求其函数值时,注 意到在不同的范围上用不同的关系式.然后利用这个区间 相对应的关系来求函数值.

第4讲 │ 规律总结 规律总结
1.对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别, 判断一个对应是不是映射,应回到定义去.紧紧抓住 映射的两个特征“存在性、唯一性”.若要说明一个 对应不是映射或不是一一映射,只需找出一个反例.
2.判断两个函数是否为相同函数,应抓住两点:(1) 定义域是否相同;(2)对应法则即解析式是否相同(包括 化简后的解析式).

第4讲 │ 规律总结
3.画分段函数的图象,需先确定该函数在自变量取值 的各个阶段其对应关系,它的定义域、值域应是各阶段相应 集合的并集. 4.函数解析式的常见题型及方法:(1)已知函数类型, 求函数的解析式:待定系数法;(2)已知 f(x)求 f[g(x)]或已知 f[g(x)]求 f(x):换元法、配凑法;(3)已知函数图象,求函数 解析式: 待定系数法; (4)f(x)满足某个等式, 这个等式除 f(x) 外还有其他未知量,需构造另一个等式:解方程组法; (5) 应用题求函数解析式, 首先要选定变量, 而后寻找等量关系, 求得解析式,但要注意函数的定义域.

第5讲 │ 反函数

第5 讲

反函数

第5讲 │ 编读互动 编读互动
反函数的概念建立在函数概念的基础上,较为抽象,是 数学教学中的一个难点.在高考中,主要从三个方面进行考 查: (1)给出函数 y=f(x)的解析式, 求出它的反函数 y=f-1(x) 的解析式; (2)利用“互为反函数的图象关于直线 y = x 对 称”解决有关问题; (3)求反函数的某一函数值.因此,复习 本讲时,要强化反函数概念,要求学生在理解的基础上能灵 活运用.同时,引导学生在同一坐标系下对原函数和其反函 数的图象进行研究,从而利用互为反函数的图象和性质之间 的联系解题,培养学生分析问题、解决问题的能力.

第5讲 │ 知识梳理 知识梳理


1.反函数的概念 设函数 y=f(x)的定义域为 A, 值域为 C, 从式子 y=f(x) 中解出 x,即用 y 表示 x,得到 x=φ(y).如果对于 y 在 C 中 的 任 何 一 个 值 , 通 过 式 子 x = φ(y) , x 在 A 中 都 有 唯一确定的值 =φ(y) 就表示 x 是自变 ____________ 和它对应, 那么式子x ________ x=φ(y) 叫做函数 y=f(x)的反函 量 y 的函数,这样的函数________ x=f-1(,即 y) x=φ(y)=f-1(y).习惯上,用 x 表示 数,记作________ - 自变量,用 y 表示函数,为此将 x=f 1(y)中的 x,y 互换位 置,写成 y=f-1(x),而函数 y=f(x)称为 y=f-1(x)的原函数.

第5讲 │ 知识梳理

2.求反函数的步骤 =f-1(y; ) (2)________ 互换 x , y ,得 (1) 由 y = f(x) 解出x ________ y= f-1(x);(3)写出反函数的________ 定义域 ,即原函数的值域. ________ 3.互为反函数的图象关系 y=f-1(x) 互为反函数的两个函数 y=f(x)与________的图象关于直 线 y=x 对称;若两个函数的图象关于直线 y=x 对称,则 两函数互为反函数.

第5讲 │ 知识梳理
4.几个结论 值域 ,反函数的 (1)反函数的定义域就是原函数的 ________ 定义域 . 值域就是原函数的________ 相同 ,但是存在 (2)单调函数存在反函数且单调性 ________ 1 反函数的函数不一定具有单调性.例如函数 f(x)=x存在反 函数,但在定义域上并不单调. 不存在 反函数.是 (3)定义域为非单元素集的偶函数 ________ 必有 反函数, 奇函数且在其定义域上单调的函数________ 且反函 数也是奇函数. 不存在 反函数. (4)周期函数________ (5)要善于应用 f(a)=b?f-1(b)=a.

第4讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1
例1

反函数的求法

求下列函数的反函数:

(1)y= x2+x(x≤-1); (2)y=1+ln(x-1)(x>1).

第4讲 │ 要点探究
[解答] (1)由 y= x2+x(x≤-1),得 ? 1 ?2 1 2 ? y = x+2? - ≥0(x≤-1), 4 ? ? 1 1 ∴x+ =- y2+ (y≥0), 2 4 1 1 ∴所求函数的反函数为 y=- - x2+ (x≥0). 2 4 (2)∵函数 y=1+ln(x-1)(x>1),∴ln(x-1)=y-1,x-1=ey -1 - ,∴y=ex 1+1,x?R. 例1

[点评] 求反函数时,首先应考虑原函数的定义域和值域, 否则将会导致错误.求反函数时,如遇到开偶次方,开方时正 负号的确定要根据原函数的定义域判断正负号的选取,而反函 数的定义域就是求其原函数的值域.

第4讲 │ 要点探究
? 探究点2
例2

分段函数反函数的求法
函数 y=x|x|+2x 的反函数是____________.

?x2+2x?x≥0?, [解析] 原式可化为 y=? 2 ?-x +2x?x<0?.

当 x≥0 时,y=x2+2x=(x+1)2-1, 解得 x= y+1-1,即 y= x+1-1; 当 x<0 时,y=-x2+2x=-(x-1)2+1, 解得 x=- 1-y+1,即 y=- 1-x+1.
? ?-1+ 1+x,x≥0, ∴y=? ? ?1- 1-x,x<0.

[点评 ] 分段函数应在各自的条件下分别求反函数解析式及反 函数的定义域,分段函数的反函数也是分段函数.

第5讲 │ 要点探究
变式题 求下面函数的反函数:

2 ? ?x +1?x≤-1?, f(x)=? ? ?-x+1?x>-1?.

[解答] 当 x≤-1 时,y=x2+1≥2,且有 x=- y-1, 此时反函数为 y=- x-1(x≥2); 当 x>-1 时,y=-x+1<2,且有 x=-y+1, 此时反函数为 y=-x+1(x<2). ∴f(x)的反函数 f
-1

? ?- x-1?x≥2?, (x)=? ? ?-x+1?x<2?.

第4讲 │ 要点探究

?

探究点3

反函数性质的应用

1 3 例 3 [2010· 隆尧一中月考] f(x)= x -x2+ax-5 在 3 区间[-1,2]上有反函数,则 a 的范围是( ) A.(-∞,+∞) B.[1,+∞) C.(-3,1) D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

1 3 D [解析] 因为 f(x)= x -x2+ax-5 在区间[-1,2]上有 3 反函数,所以 f(x)在该区间[-1,2]上单调,则 f′(x)=x2-2x +a≥0 在[-1,2]上恒成立,得 a≥1 或 f′(x)=x2-2x+a≤0 在[-1,2]上恒成立,得 a≤-3.

第5讲 │ 要点探究
变式题 [2010· 曲靖模拟] 设定义域为 R 的函数 f(x)、 g(x)都有反函数,且 f(x-1)和 g-1(x-2)的图象关于直线 y =x 对称,若 g(5)=2008,则 f(4)等于( ) A.2007 B.2008 C.2009 D.2010

D [解析] ∵g(5)=2008,∴g-1(2008)=5,即 g-1(2010 -2)=5,所以 f(5-1)=2010,即 f(4)=2010,选择 D. [ 点评 ] 要注意从反函数的意义上理解 f - 1[f(x)] = x(x ? A),f-1[f(y)]=y(y?B),并能熟练运用它们解题.

第4讲 │ 要点探究
? 探究点4 互为反函数图象间的关系应用 例 4 已知函数 f(x)=1- ax2+25(-5≤x≤0),点 P(-2,-4)在它的反函数的图象上,求函数 f(x)的反函 数.

[解答] ∵点 P(-2,-4)在它的反函数的图象上,∴点(-4,- 2)在原函数的图象上, ∴-2=1- 16a+25,解得 a=-1,则 y=1- -x2+25,y? [-4,1]. y=1- -x2+25,即(y-1)2=-x2+25,x2=25-(y-1)2,∵- - 5≤x≤0,∴x=- 25-?y-1?2,∴f 1(x)=- 25-?x-1?2,x?[- 4,1]. [点评] 由于互为反函数的函数图象关于直线 y=x 对称,因而如 果点 P(a, b)在它的反函数的图象上时, 其关于直线 y=x 的对称点(b, a)必在原函数的图象上.

第5讲 │ 要点探究

变式题 y=f(x)的图象是过点(4,-1)的一条直线, 其反函数的图象经过点(-3,-2),求 f(x)的解析式.

[解答] 设 y=ax+b, 将 x=4,y=-1 代入得 4a+b=-1. 又反函数的图象经过点(-3,-2), ∴直线 y=ax+b 过点(-2, -3), 代入 y=ax+b 中, 1 7 得-2a+b=-3,联立解得 a= ,b=- , 3 3 1 7 ∴f(x)= x- . 3 3

第5讲 │ 要点探究
a· 4x-a 2 例 5 设 a?R,f(x)为奇函数,且 f(2x)= x (a 4 +1 >0). (1)求 a 的值; (2)试求 f(x)的反函数 f-1(x).


[解答] (1)∵f(x)是奇函数,x?R, 1 ∴f(0)=0,即 a- 2=0,∴a=1. a 2x-1 (2)由(1)得 f(x)= x ,且 f(x)?(-1,1), 2 +1 2x-1 1+ y 1+ y x 设 y= x ,则 2 = ,∴x=log2 , 2 +1 1- y 1- y 1+x -1 ∴f (x)=log2 ,x?(-1,1). 1-x

第5讲 │ 规律总结 规律总结
1 . 求 反 函 数 的 步 骤 是“ 一 解 ”“ 二 换 ”“ 三 定 义”.所谓一解,即首先由给出的原函数的解析式y=f(x) 解出 x=f-1(y);二换,即是将 x=f-1(y)中的 x,y 两个字 母互换得到 y=f-1(x)即为所求函数的反函数;三定义,即 是求出反函数的定义域(原函数的值域). 2.分段函数的反函数,可以分别求出各段函数的反 函数后再合成,也是分段函数.

第5讲 │ 规律总结

3.互为反函数的函数间的关系: (1)反函数的定义域是原函数的值域,不能由其解析式来 确定,而是必须通过求原函数的值域得到; (2)y=f(x)与 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称; - (3)y=f(x)与 y=f 1(x)有相同的单调性; (4)奇函数的反函数也是奇函数; (5)y=f(x)与 x=f-1(y)是互为反函数, 但在同一坐标系内, 它们的图象相同.

第6讲 │ 函数的定义域与值域

第6讲 函数的定义域与值域

第6讲 │ 编读互动 编读互动
本讲重点之一是求函数的定义域,而求函数的定义 域,常见题型有三类: (1)给出函数的解析式求定义域; (2) 求较简单的复合函数的定义域; (3)求有关实际应用问题的 函数的定义域;本讲另一个重点是求函数的值域,而求函 数值域的方法灵活多样,这里除要求学生熟练掌握基本初 等函数的值域的求法和技巧外,还要注重函数解析式的变 形,这也是本讲的难点.

第6讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.求函数的定义域 求函数定义域时,一般遵循以下原则: (1)f(x)是整式时,定义域是全体实数; 不为零的一切实数 (2)f(x)是分式函数时,定义域是使分母 ________ ; (3)f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为 非负实数的一切实数 ________; 大于 零.当对数或指数函数的底 (4)对数函数的真数________ 大于零且不等于1 ; 数中含参数时,底数必须____________________ π x ≠ k π + (k?Z) (5)y=tanx 中,________________ , 2 x≠kπ(k?Z) y=cotx 中,__________________ ;

第6讲 │ 知识梳理
(6)零指数幂的底数不能为零; (7)若 f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算合成的 函数,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集, 分段函数的定义域为各段定义域的并集; (8)对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f(x)的定义域为[a,b],其复合函数 f[g(x)]的定义域就是不等 式 a≤g(x)≤b 的解集; (9)对于含字母参数的函数, 求其定义域, 根据问题具体 情况需对字母参数进行分类讨论; (10)由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义 外,还要符合问题的实际意义.

第6讲 │ 知识梳理
2.函数的值域 函数的值域是函数值的集合,它是由定义域和对应法则所 确定的,所以求值域时应注意函数的定义域. 3.基本函数的值域 R (1)一次函数 y=kx+b(k≠0)的值域为________ ; 2 (2) 二次函数 y = ax +bx+c(a≠0)的值域:当 a>0,值域为 2 ?4ac-b ? 2 ? ? ? 4ac-b ? ? ? ,+∞ ? ________ ? ;当 a < 0 时,值域为 ________ ; -∞, ? 4 a ? ? 4a ? ? ? k {y|y?R且y≠0} (3)反比例函数 y=x(x≠0,k≠0)的值域为________; R+ ; (4)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的值域为________ R (5)对数函数 y=logax(a>0, a≠ 1, x>0)的值域为________ ; [-1,1] (6)正、余弦函数的值域为________,正、余切函数的值域 R 为________ .

第6讲 │ 知识梳理

4.求函数值域的基本方法 求函数值域的常用方法有:化归为二次函数法、均 值不等式法、函数单调性法、导数法等.常用技巧有: 配方、判别式、换元、数形结合等.

第6讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 求函数的定义域 例 1 [2010· 湖北卷] 函数 y=
域为( ) 1 的定义 log0.5?4x-3?

?3 ? A.?4,1? ? ?

?3 ? B.?4,+∞? ? ? ?3 ? C.(1,+∞) D.?4,1?∪(1,+∞) ? ?

3 A [ 解析 ] 由 log0.5(4x - 3)>0 且 4x - 3>0 可解得 4 <x<1,故 A 正确.

第6讲 │ 要点探究
例 2 (1)设 f(x)的定义域为[0,1],求函数 g(x)=f(x2) 的定义域; (2)设 f(2x)的定义域为[1,2], 求函数 g(x)=f(log2x)的定 义域.

第6讲 │ 要点探究
例 2 [解答] (1)把 f(x2)中 x2 看成自变量, ∴0≤x2≤1,∴|x|≤1, 得-1≤x≤1. 故所求定义域为[-1,1]. (2)∵f(2x)是以 x 为自变量, ∴1≤x≤2, ∴2≤2x≤4,即 2≤log2x≤4, ∴4≤x≤16. 故所求定义域为[4,16].
[点评] 复合函数的定义域问题主要包含两类:①已知 f[g(x)]的定 义域为 x?(a,b)求 f(x)的定义域,方法是:利用 a<x<b 求得 g(x)的值 域,则 g(x)的值域即是 f(x)的定义域.②已知 f(x)的定义域为 x?(a, b)求 f[g(x)]的定义域, 方法是: 由 a<g(x)<b 求得 x 的范围, 即为 f[g(x)] 的定义域.

第6讲 │ 要点探究

变式题 若函数 y =f(x) 的定义域为 [ - 1,1],求函数 y= ? 1? ? 1? f?x+4?· f?x-4?的定义域. ? ? ? ? ?-1≤x+1≤1, ? 4 [解答] 要使函数有意义,需有? ?-1≤x-1≤1 4 ?

?-5≤x≤3, ? 4 4 ?? ?-3≤x≤5 4 ? 4
∴函数

3 3 ? - ≤ x≤ . 4 4
? 3? ≤x≤ ?. 4? ?

? ? ? ? 3 1? ? 1? y=f?x+4?· f?x-4?的定义域为?x?-4 ? ? ? ? ? ? ?

第6讲 │ 要点探究
? 探究点2
例3

化为基本函数求值域

求下列函数的值域: 3x+1 x2-x+3 (1)y= ; (2)y= 2 ; x-2 x -x+1 (3)y=x- 1-2x; (4)★留待成书出版前补充 2011 届最新模拟试题 1-sinx (5)y= . 2-cosx

第6讲 │ 要点探究
3x+1 2x+1 的反函数为 y= , x-2 x-3 3x+1 其定义域为{x?R|x≠3},∴原函数 y= 的值域为{y?R|y≠3}. x-2 3x+1 3?x-2?+7 7 7 方法二(分离变量法): y= = =3+ , ∵ ≠ 0, x-2 x-2 x-2 x -2 3x+1 7 ∴3+ ≠3,∴函数 y= 的值域为{y?R|y≠3}. x -2 x-2 x2-x+3 2 (2)方法一(配方法):∵y= 2 = 1+ 2 ,而 x2-x+1= x -x+1 x - x +1 ? 1? 3 3 2 8 11 ? ?2 ≤ , ∴ 1<y≤ , ∴ 函 数 的 值 域 为 ?x- ? + ≥ , ∴ 0< 2 2? 4 4 3 x -x+1 3 ? ? ? 11 ? ? ?y?1<y≤ ?. 3 ? ? ? 例 3 [解答] (1)方法一(反函数法):y=

第6讲 │ 要点探究
方法二(判别式法):变形得(y-1)x2-(y-1)x+y-3=0,当 y=1 时, 此方程无解;当 y≠1 时,∵x?R,∴Δ=(y-1)2-4(y-1)(y-3)≥0,解 11 得 1≤y≤ ,又∵y≠1, 3 ? ? 11 ? 11 ? ∴1<y≤ ,∴函数的值域为?y?1<y≤ 3 ?. 3 ? ? ? 1-t2 1 (3)方法一(换元法):令 1-2x=t,则 t≥0 且 x= ,∴y=- (t 2 2 ? 1? 1 ? 2 +1) +1≤ ,∴函数的值域为?-∞,2? ?. 2 ? ? ? ? ? ? 1 ? 方法二(函数单调性法): 依题意, 函数的定义域为?x|x≤2? , 1-2x在 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ?x|x≤ ?上为减函数, ? - 1-2x在?x|x≤2? 上为增函数, 所以 y=x- 1-2x ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ? ?上为增函数,因此,y≤ ,∴函数的值域为?-∞, ? x | x ≤ 在? . ? 2? 2? 2 ? ? ? ?

第6讲 │ 要点探究
(5)方法一(方程法): 原函数可化为 sinx-ycosx=1-2y, ∴ 1+y2 1 y sin(x-φ)=1-2y 其中 cosφ= , sin φ = 2 2,∴sin(x-φ)= 1+y 1+y 1-2y 4 2 2 ∈ [ - 1,1] ,∴ |1 - 2 y | ≤ 1 + y ,∴ 3 y - 4 y ≤ 0 ,∴ 0 ≤ y ≤ ,∴ 3 1+y2 ? 4? ? 原函数的值域为?0,3? ?. ? ?

方法二(数形结合法):可看作求点 P(2,1)与圆 x2+y2=1 上的点的连线 4 的斜率的范围(如图),当过点 P 的直线与圆相切时,斜率取到最大值 3 4? 与最小值 0,所以函数的值域为 0,3? ? ?
? ? ? ?

第6讲 │ 要点探究

[点评] 已知函数解析式求值域,应从解析式的结构与 ax+b 定义域入手,选择合适的方法求解.形如 y= (ac≠0) cx+d 的函数用分离常数法或逆求法; 形如 y=ax+ b+cx的函数 用换元法等.

第6讲 │ 要点探究
? 探究点3 求复合函数的值域

例 4 (1)已知 f(x)=2+log3x,x?[1,3],求函数 y =[f(x)]2+f(x2)的值域. (2) 若 函 数
?3 4? f(x) 的 值 域 为 ?8,9? , 求 ? ?

y = f(x) +

1-2f?x?的值域.

第6讲 │ 要点探究
? 例 4 [解答] (1)f(x)=2+log3x,x?? ?1,3?, 2 2 2 ?2 ? 2? y=? ?f?x?? + f ?x ? = (2 + log3x) + 2 + log3x = log 3 x + 6log3x + 6 = ?1≤x≤3, 1 2 ? (log3x+3) -3,由 解得 1≤x≤ 3,所以 0≤log3x≤ , 2 2 ?1≤x ≤3, ? 37? 37 ? ? ?2 ? 2? 所以 6≤y≤ ,所以函数 y=?f?x?? +f?x ?的值域为?6, 4 ? ?. 4 ? ? 3 4 1 1 1 1 (2)因为 ≤f(x)≤ ,所以 ≤1-2f(x)≤ ,所以 ≤ 1-2f?x?≤ , 8 9 9 4 3 2 ? 1? 1 1 ?1 ? 2 令 t= 1-2f?x?,则 t??3,2?,y=F(t)= (1-t )+t=- (t-1)2+1, 2 2 ? ? ? ? 1? 1? ?1 ? ?1 因为 1??3,2?,所以函数 y=F(t)在区间?3,2? ?上递增,所以函数的值 ? ? ? ? ? 7? ?7 域为?9,8? ?. ? ?

第6讲 │ 要点探究
? 探究点4 利用均值不等式求值域

例5

? 1 ? ? ? 函数 f(x)=log2?x+x-2?(x>2)的值域为( ? ?

)

A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.[4,+∞)

第6讲 │ 要点探究

例 5

B

[解析]

? 1 ? ? 依 题 意 , f(x) = log2 ?x+x-2? ?= ? ?

? ? 1 ? log2?x-2+x-2+2? ?≥log24=2(x>2),当且仅当 ? ?

x=3 时取等

号,选择 B.

[点评] 应用均值不等式求值域时,必须验证等号成立的 条件是否存在,即“一正、二定、三相等”.

第6讲 │ 要点探究

变式题

x2-4x+5? 5? ?x≥ ?的值域. 求函数 y= 2x-4 ? 2?

1 ? ?x-2?2+1 1? ? ? [解答] f(x)= = ??x-2?+x-2?. 2? 2?x-2? ? 5 1 1 ∵x≥ , ∴f(x)≥ · 2 ?x-2?× =1. 2 2 x-2 1 当且仅当 x-2= 时,即 x=3 时取到最小值, x-2 ∴值域为[1,+∞).

第6讲 │ 要点探究
? 探究点5 函数定义域、值域的应用问题

例 6 已知函数 y= mx2-6mx+m+8的定义域为 R. (1)求实数 m 的取值范围; (2)当 m 变化时,若 y 的最小值为 f(m),求函数 f(m) 的值域.

第6讲 │ 要点探究
例 6 [解答] (1)依题意,当 x?R 时,mx2-6mx+m+ 8≥0 恒成立. 当 m=0,x?R; ? ?m>0, 当 m ≠ 0 时? ? ?Δ≤0,
? ?m>0, 即? 2 ? ??-6m? -4m?m+8?≤0,

解得 0<m≤1.综上知,0≤m≤1. (2) 当 m = 0 时 , y = 2 2 ; 当 0<m≤1 时 , y = m?x-3?2+8-8m,∴ymin= 8-8m,因此 f???m???= 8-8m ? ? ? ?. 0 , 2 2 (0≤m≤1),∴f(m)的值域为? ?

第6讲 │ 规律总结 名师纠错
若函数 f(x)=log2(x2+tx-t)的值域为 R, 求实数 t 的取值范 围. [错解] 依题意,要使函数有意义,x2+tx-t>0 对一切实数 x 都成立,所以 t2+4t<0,解得-4<t<0,所以 t 的取值范围是(- 4,0). [错因] 函数 f(x)=log2(x2+tx-t)的值域为 R 与定义域为 R 是两个完全不同的条件,错解由于审题不细造成错误. [正解] 依题意,函数 f(x)=log2(x2+tx-t)的值域为 R,则 x2+tx-t 能够取遍一切正实数,所以 t2+4t≥0,解得 t≤-4 或 t≥0,所以 t 的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞).

第6讲 │ 规律总结 规律总结
1.求函数定义域一般有三类问题 (1)给出函数解析式的: 函数的定义域是使解析式有意义的自变量 的取值集合,因此往往归结为解不等式组的问题,在解不等式组时要 细心,取交集时可借助数轴,并要注意端点值或边界值的取舍. (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还 应考虑使实际问题有意义. (3)已知 f(x)的定义域求 f[g(x)]的定义域或已知 f[g(x)]的定义域求 f(x)的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、 三角函数)的定义域; ②若已知 f(x)的定义域[a,b],其复合函数 f[g(x)]的定义域应由 a≤g(x)≤b 解出.

第6讲 │ 规律总结
2.求函数值域或最值的常用方法 (1)配方法:主要适用于二次函数或利用换元技巧转 化为二次函数的函数,要特别注意自变量和新变量的范 围. (2)均值不等式法:利用均值不等式求最值时,一定 要注意等号成立的条件. (3)函数单调性法和导数法. (4)换元法:主要有三角代换、二元代换、整体代换 等,换元时,一定要注意新变量的取值范围. (5)数形结合法:常用于解答选择题、填空题或探究 解题思路.

第6讲 │ 规律总结
3.求函数的值域的注意事项 求函数的值域,不但要注意对应法则的作用,而且要 特别注意定义域对值域的制约作用.另外,求函数的值域 常常转化为求函数的最值问题,要注意函数的单调性在确 定函数最值过程中的作用.

第7讲 │ 函数的单调性与最值

第7讲 函数的单调性与最值

第7讲 │ 编读互动 编读互动
函数的单调性是函数的重要性质, 是高考重点考查的内 容之一,特别是导数作为教材新增内容,为研究函数的单调 性提供了强有力的工具,函数、不等式和导数的综合应用已 成为高考的一个热点,复习时要引起高度重视.本讲主要是 单调性的证明及应用,函数最值的求法,求有关函数中参变 量的取值范围和最值问题.

第7讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.增函数、减函数的定义 设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于属于定义域 I 内某个区间 任意 上 的 ________ 两 个 自 变 量 的 值 x1 , x2 , 当 x1 < x2 时 , ① 若 f(x1)<f(x2) , f(x1)>f(x2) , ____________ 则 f(x)在这个区间上是增函数; ②若____________ 则 f(x)在这个区间上是减函数. 2.单调区间的定义 减 增 函数或________ 如果函数 y=f(x)在某个区间上是________ 函 数,就说 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,该区间叫做 f(x) 单调 区间. 的________ 3.判断函数单调性(求单调区间)的方法 (1)利用定义法; (2)利用导数法; (3)利用图象法; (4)利用已知函数的单调性;

第7讲 │ 知识梳理
(5)利用复合函数的单调性规律. 复合函数单调性的规律:(简称“同增异减”)

增函数 减函数 减函数

增函数

第7讲 │ 知识梳理
(6)几个常用的结论:①若 f(x)、g(x)均为增函数,则 增 f(x)+g(x)为________ 函数;②若 f(x)为增函数,则-f(x) 减 函数;③互为反函数的两个函数有________ 为________ 相同 的 单调性;④奇函数在其对称区间上的单调性________ 相同 ,偶 相反 . 函数在其对称区间上的单调性________ 4.函数单调性的证明:①定义法;②导数法. 5.函数的最值

第7讲 │ 知识梳理
函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素,任 何一个函数,其值域必定存在,但其最值不一定存在. 6.求函数最值的常用方法 (1)配方法:主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注 意自变量的范围; (2)判别式法:主要适用于可化为系数含有 y 的二次方程的函数.由 Δ≥0 且二次项系数不为 0 求出最值, 求出 y 的最值后, 要检验这个最值在 定义域内是否有相应的 x 值; (3)不等式法:利用均值不等式求最值,要注意等号成立的条件; (4)换元法:主要有三角代换、复数代换、整体代换等.用换元法时, 一定要注意新变量的取值范围; (5)单调性法:首先确定函数的定义域,然后再根据单调性确定函数的 最值; (6)导数法:先利用导数求出函数在所给区间上的极值,然后求出区间 端点处的函数值,最后通过比较端点处的函数值以及极值的大小求最值.

第7讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 求函数的单调区间及证明函数的单调性

x+ a 例 1 设函数 f(x)= (a>b>0),求 f(x)的单调区 x+ b 间,并证明 f(x)在其单调区间上的单调性. x+a [解答] 函数 f(x)= 的定义域为(-∞,-b)∪(- x+b b,+∞). f(x)在(-∞,-b)内是减函数,f(x)在(-b,+∞)内 也是减函数. 下面证明 f(x)在(-b,+∞)内是减函数.

第7讲 │ 要点探究

证法一:取 x1,x2?(-b,+∞),且 x1<x2,那么 x1+a x2+a ?a-b??x2-x1? f(x1)-f(x2)= - = , x1+b x2+b ?x1+b??x2+b? ∵a-b>0,x2-x1>0,(x1+b)(x2+b)>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2), 即 f(x)在(-b,+∞)内是减函数. 同理可证 f(x)在(-∞,-b)内也是减函数. ?x+b?-?x+a? b-a 证法二:∵f′(x)= = < 0, ?x+b?2 ?x+b?2 ∴f(x)在(-∞,-b)和(-b,+∞)上都单调递减.

第7讲 │ 要点探究
[点评] (1)证明函数的单调性,一般从定义入手,也可 以应用导数; (2)注意先确定函数的定义域,进一步讨论其在定义域 上的单调性. 用定义证明单调性要强调书写步骤, 其关键是 f(x1) - f(x2) 符号的确定,要注意作差后对差变形的常用技 巧:配方法、因式分解、通分、分子或分母有理化等.解答 本题时易出现以下错误结论:f(x)在(-∞,-b)∪(-b,+ ∞)上是减函数,或者说 f(x)在(-∞,-b)∪(-b,+∞)上 是单调函数.要注意,函数的单调性是对某个区间而言的, 而不是两个或两个以上不相交区间的并.

第7讲 │ 要点探究
ax 讨论函数 f(x)= 2 (a>0)在 x?(-1,1)上的单调 x -1

变式题 性.

[解答] 设-1<x1<x2<1, ax1 ax2 则 f(x1)-f(x2)= 2 - x1-1 x2 2-1 2 ax1x2 2-ax1-ax2x1+ax2 = 2 ?x2 1-1??x2-1? a?x2-x1??x1x2+1? = . 2 ?x2 - 1 ?? x - 1 ? 1 2 ∵-1<x1<x2<1, 2 2 ∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x1 -1)· (x2 -1)>0, 又∵a>0,∴f(x1)-f(x2)>0,函数 f(x)在(-1,1)上为减函数.

第7讲 │ 要点探究

?

探究点2
例2

求复合函数的单调区间 ?1? y=?2?x2+2x-3 的单调递减区间是________, y ? ?

1 =log (3-2x-x2)的单调递增区间是________. 3

第7讲 │ 要点探究
例2 [-1,+∞) [-1,1) [解析]
?1?t (1)y=?2? 单调递减.故只 ? ?

需求 t=x2+2x-3 的单调递增区间即可. 由 t=(x+1)2-4 知所求 区间为[-1,+∞). 1 (2)因为 y=log t 单调递减, 故只需求 t=3-2x-x2(t>0)的单 3 调递减区间即可.由 t>0,即 3-2x-x2>0?-3<x<1,即函数 的定义域为(-3,1),又由 t=-(x+1)2+4,知所求区间为[-1,1).

[点评] 求复合函数的单调区间,需先转化为基本函数, 再利用同增异减求.要注意的是,一定先确定函数定义域,再 在定义域内求单调区间.

第7讲 │ 要点探究

?

探究点3

函数最值的求法

例 3 (1)已知 f(x)=2+log3x(1≤x≤9), 则函数 y=[f(x)]2 +f(x2)的最大值为( ) A.6 B.13 C.22 D.33 ? 1 ? ? (2)函数 f(x)=log2?x+x-2? ) ?(x>2)的最小值为( ? ? A.1 B.2 C.3 D.4 (3)[2009· 海南、宁夏卷] 函数 y=2x3-3x2-12x+5 在 [0,3]上的最大值,最小值分别是( ) A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-16

第7讲 │ 要点探究
例 3 (1)B (2)B (3)A [解析] 令 t=log3x,则 y=(2 +t)2+2+2t=t2+6t+6=(t+3)2-3, ∵1≤x≤9 且 1≤x2≤9, ∴1≤x≤3,∴0≤t≤1,∴当 t=1 时,y=[f(x)]2+f(x2)取得最 大值为 13,故选 B. ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? (2) 依 题 意 , f(x) = log2 ?x+x-2? = log2 ?x-2+x-2+2? ? ? ? ? ≥log24=2(x>2),当且仅当 x=3 时取等号,选择 B. (3)y′=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),当 x=2 时函数取 最小值-15,x=0 时取最大值 5,故选 A.

第7讲 │ 要点探究

[点评] 本题 3 个小题中, (1)小题是可化为二次函数 型函数求最值问题,一般通过换元法转化成二次函数后 用配方法解决,需要注意的是换元后的函数定义域的变 化.(2)小题的解析式的真数通过分拆,容易出现积为定 值,因此可用均值不等式求解;(3)小题是三次函数在闭 区间上的最值,用导数法求解.

第7讲 │ 要点探究

?

探究点4

函数单调性的应用

3-ax 例 4 (1) 已知函数 f(x)= (a≠1). (1)若 a>0, a-1 则 f(x)的定义域是________; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范 围是________.

第7讲 │ 要点探究
例4
? 3? (1)?-∞,a? ? ?

(2)(-∞,0)∪(1,3]

3 [解析] (1)当 a>0 且 a≠1 时,由 3-ax≥0 得 x≤a,即此时 ? 3? 函数 f(x)的定义域是?-∞,a?; ? ? (2)当 a-1>0,即 a>1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则 需 3-a×1≥0,此时 1<a≤3. 当 a-1<0,即 a<1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需 -a>0,此时 a<0.综上所述,所求实数 a 的取值范围是(-∞, 0)∪(1,3].

[点评] 应用函数的单调性求参数取值范围,一般地,需要 根据已知条件,构造关于参数的不等式 (组),然后通过解不等 式(组)解决.

第7讲 │ 要点探究

?

探究点5

抽象函数的单调性及应用

例 5 定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b?R,有 f(a+b)=f(a)· f(b). (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x?R,恒有 f(x)>0; (3)求证:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)· f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围.

第7讲 │ 要点探究
例 5 [解答] (1)证明:令 a=b=0,则 f(0)=f2(0). 又 f(0)≠0,∴f(0)=1. (2)证明:当 x<0 时,-x>0, ∴f(0)=f(x)· f(-x)=1. 1 ∴ f( x )= >0. f?-x? 又 x≥0 时,f(x)≥1>0, ∴x?R 时,恒有 f(x)>0. (3)证明:设 x1<x2,则 x2-x1>0. ∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)· f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. 又 f(x1)>0, ∴f(x2-x1)· f(x1)>f(x1), ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)是 R 上的增函数.

第7讲 │ 要点探究

(4)由 f(x)· f(2x-x2)>1,f(0)=1 得 f(3x-x2)>f(0). 又 f(x)是 R 上的增函数,∴3x-x2>0, ∴0<x<3.

[点评] 判断抽象函数的单调性的基本方法是定义法, 其关键是根据所给条件判断 f(x1)-f(x2)的符号.本题(3)中 “f(x2)=f[(x2-x1)+x1]”是证明此题的关键,体现了向条 件转化的策略.

第7讲 │ 规律总结 名师纠错
求函数 y=log0.7(x2-3x+2)的单调递增区间.
? 3 [错解] 令 u=x -3x+2, 由二次函数的单调性知, 当 x? 2,+∞? ?时, ? ? ? 3? -∞, u(x)为增函数;当 x?? 时,u(x)为减函数,又 y=log0.7u 为减函数, ? 2? ? ? ? 3? ? 2 由复合函数单调性知,y=log0.7(x -3x+2)的单调递增区间为?-∞,2? ?. ? ? 2 [错因] 忽略了函数的定义域,对数要有意义,必须使真数 x -3x+ 2>0,即 x<1 或 x>2,所以上述解法对应的单调增区间是错误的. [正解] 依题意 x2-3x+2>0,即 x<1 或 x>2;令 u(x)=x2-3x+2,由 ? ? ? 3? ?3 ? ? 二次函数的单调性知,当 x??2,+∞?时,u(x)为增函数,当 x??-∞,2? ? ? ? ? ? 2 时, u(x)为减函数, 又 y=log0.7u 为减函数, 由复合函数单调性知, y=log0.7(x -3x+2)的单调递增区间为(-∞,1).

2

? ? ? ?

第7讲 │ 规律总结 规律总结
1.根据函数的单调性的定义 ,证明(判断)函数 f(x)在其定义域的单 调性的步骤是: (1)在给定区间上任取自变量的两个值x1,x2,并规定大小; (2)作差 f(x1)-f(x2),将差变形(常用变形技巧:配方法、因式分解、 通分、分子或分母有理化等); (3)判断 f(x1)-f(x2)的符号,从而得出 f(x1)与 f(x2)的大小关系; (4)由定义得出结论. 2.求函数的单调区间:首先应该注意函数的定义域 ,函数的增减 区间都是其定义域的子集 ,其次,掌握基本初等函数的单调区间 .主要 方法有:定义法、图象法、单调函数的性质以及导数法等 . 3.求函数最值的方法与求函数值域的方法基本相同 .当一个函数 存在最值时,若求得它的值域是一个闭合区间 ,则可以取得的区间端点 值就是函数的最值; 当求得的值域不是一个区间时 , 可以通过比较大小, 找出其中的最大值或最小值作为函数的最值 .

第8讲 │ 函数的奇偶性与周期性

第8讲

函数的奇偶性与周期性

第8讲 │ 编读互动 编读互动
函数的奇偶性和周期性是函数的重要性质之一,也是高考每年必 考,重点考查的内容之一.函数的奇偶性和周期性都非常形象的体现 在函数的图象里,所以,我们在解相关问题时,一定不要忘了从图象 中找思路及解题方法,另外,需要注意特殊点的解题功能. 复习本讲的关键是: 1.理解并掌握函数奇偶性的定义,判断方法 (奇偶性的实质就是 f(-x)与 f(x)之间的转换)及图象特征,尤其是与单调性、对称性、周 期性的综合,既是重点又是难点,因此要分阶段重点复习.至于三角 函数的奇偶性,这个问题到复习三角函数时再重点讲评. 2.理解并掌握函数的周期性的定义,判断方法 (周期性的实质就 是 f(x+T)与 f(x)之间的转换)及图象特征;会利用函数奇偶性、周期 性分析、探究函数值、性质及图象等问题.它是高考中常考问题之一.

第8讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.函数奇偶性的定义 -f(x) 或 f( - x) = 若对定义域内的任意一个 x , 都 有 f( - x) = ________( f(x) 成立,则称 f(x)为奇函数(或偶函数).显然,函数定义域关于原点 ________) 必要 条件. 对称是函数具有奇偶性的 ________ 2.奇偶性的几个重要结论 0 (1)如果一个奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,那么 f(0)=________ ,如果 {0} 一个函数既是奇函数又是偶函数,则其值域为 ________ ,但逆命题不成立. 原点 对称; y轴 (2)奇函数的图象关于________ 偶函数的图象关于 ________ 对称. 奇(偶) 函数;两个奇(偶)函数之积、商 (3)两个奇(偶)函数之和、差为________ 奇 函数. 偶 函数;一个奇函数与一个偶函数之积或商是 是________ ________ 3.多项式函数的奇偶性 多项式函数 P(x)=anxn+an-1xn-1+?+a0 的奇偶性: (1)多项式函数 P(x) 偶次项 的系数全为零. 是奇函数,则 P(x)的________ 奇次项 的系数全为零. (2)多项式函数 P(x)是偶函数,则 P(x)的________

第8讲 │ 知识梳理
5.函数的周期性的性质 (1)f(x+T)=f(x)常常写作
? T? ? T? f?x+ 2 ?=f?x- 2 ?,若 ? ? ? ?

f(x)

的周期中,存在一个最小的正数,则称它为 f(x)的最小正 周期; (2)若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ωx)(ω≠0)是周 T 期函数,且周期为 ; |ω| (3)若 T 是周期,则 k· T(k≠0,k?Z)也是周期; (4)周期函数并非都有最小正周期, 如常函数 f(x)=C 就没 有.

第8讲 │ 知识梳理
6.周期性的几个重要结论 (1)若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足 f(x+a)=f(x-a),则 2a 为函数 f(x)的周期. (若 f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),则 f(x)的图象关于直线 x=a 对 称,应注意二者的区别) 1 (2)y=f(x)对 x?R,总有 f(x+a)=-f(x)(或 f(x+a)=- , f?x? 则 y=f(x)是周期为 2|a|的周期函数. (3)若函数 f(x)的图象有两条对称轴 x=a 和 x=b(a<b),则 2(b -a)是 f(x)的一个周期. (4)若函数 f(x)图象有两个对称中心(a,0),(b,0)(a<b),则 2(b- a)是 f(x)的一个周期. (5)若函数 f(x)有一条对称轴 x=a 和一个对称中心(b,0)(a<b), 则 4(b-a)是 f(x)的一个周期.

第8讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1
例1

判断函数的奇偶性

判断下列各函数的奇偶性: 1+x (1)f(x)=(x-1) ; 1-x lg?1-x2? (2)f(x)= 2 ; |x -2|-2 2 ? x ? +x?x<0?, (3)f(x)=? 2 ? - x +x?x>0?; ? (4)f(x)=x2-|x-a|+2.

第8讲 │ 要点探究
1+x 例 1 [解答] (1)由 ≥0 得定义域为[-1,1),不关于原点 1-x 对称,故 f(x)为非奇非偶函数. 2 ? ?1-x >0, (2)由? 2 得定义域为(-1,0)∪(0,1), ? ?|x -2|-2≠0, lg?1-x2? lg?1-x2? 这时,f(x)= =- . 2 2 x -?x -2?-2 lg[1-?-x?2] lg?1-x2? ∵f(-x)=- =- =f(x), 2 2 x ?-x? ∴f(x)为偶函数.

第8讲 │ 要点探究

(3)当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x); 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x). 综上所述,对任意的 x?(-∞,0)∪(0,+∞), 都有 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. (4)定义域为 R, 当 a=0 时, f(x)=x2-|x|+2 为偶函数. 当 a≠0 时,f(a)=a2+2,f(-a)=a2-|2a|+2, f(a)≠± f(-a),故为非奇非偶函数.

第8讲 │ 要点探究
[点评] 函数的奇偶性的判断一般有三种方法: (1)定义法:定义域若不关于原点对称,立即可以判定这个函数既不是奇 函数也不是偶函数.若定义域关于原点对称,再判断 f(-x)是否等于 f(x)或- f?-x? f(x) , 或 应 用 定 义 的 等 价 形 式 f( - x) = ± f(x) ? f(x)± f( - x) = 0 ? = f?x? ± 1(f(x)≠0). (2)图象法:利用奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或 y 轴)对称 进行判断. (3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行. (4)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的 和、差仍为奇函数.奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数,一 个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. 若 f(x)的定义域关于原点对称, 则 F1(x) =f(x)+f(-x)为偶函数,F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.第(1)题,若先化简: 2 1+x f(x) =- ?1-x? · =- 1-x2 ,将扩大函数的定义域,作出错误的判 1-x 断.对于第(3)小题也可以利用图象法判断.

第8讲 │ 要点探究
? 探究点2
例2 +f(y).

抽象函数奇偶性的判定与证明
已知函数 f(x)对一切 x、 y?R, 都有 f(x+y)=f(x)

(1)试判断 f(x)的奇偶性; (2)若 f(-3)=a,用 a 表示 f(12).

第8讲 │ 要点探究
例 2 [解答] (1)显然 f(x)的定义域是 R,关于原点对称.又 ∵函数 f(x)对一切 x、y?R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y).∴令 x=y =0,得 f(0)=2f(0),∴f(0)=0.再令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(- x),∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. (2)∵f(-3)=a 且 f(x)为奇函数,∴f(3)=-f(-3)=-a.又 ∵f(x+y)=f(x)+f(y),x、y?R, ∴ f(12) = f(6 + 6) = f(6) + f(6) = 2f(6) = 2f(3 + 3) = 4f(3) =- 4a.

[ 点评 ] (1) 利用函数奇偶性的定义,找准方向 ( 想办法出现 f(-x),f(x));(2)巧妙赋值,合理、灵活变形配凑;(3)找出 f(- x)与 f(x)的关系,得出结论.

第8讲 │ 要点探究
? 探究点3 函数奇偶性的应用

例 3 已知函数 f(x),当 x<0 时,f(x)=x2+2x-1. (1)若 f(x)为 R 上的奇函数,能否确定其解析式?请 说明理由; (2)若 f(x)为 R 上的偶函数,能否确定其解析式?请 说明理由.

第8讲 │ 要点探究
例 3 [解答] (1)可确定,当 x>0 时,-x<0, 则 f(-x)=x2-2x-1,∵f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=x2-2x-1, ∴f(x)=-x2+2x+1,又 f(0)=0. ?x2+2x-1?x<0?, ? ∴f(x)=?0?x=0?, ?-x2+2x+1?x>0?. ? (2)不可以确定,∵x>0 时,虽可确定 f(x)=x2-2x-1, 但 x=0 时,f(0)取任意实数都可以.

第8讲 │ 要点探究

[点评] 求奇、偶函数的解析式通常用区间转换法(未知 区间向已知区间转化)或图象法(利用奇、偶函数对称性,由 已知区间上的图象作出函数在未知区间上的图象,再由图 象求解析式).通过两题的对比,使学生记住“f(0)=0”只 适用于定义域包括 0 的奇函数,而对于偶函数不能用.

第8讲 │ 要点探究
? 探究点4 函数的周期性及应用

1 例 4 [2010· 重庆卷] 已知函数 f(x)满足:f(1)= , 4 4f(x)f(y) = f(x + y) + f(x - y)(x , y ? R) , 则 f(2010) = ________.

第8讲 │ 要点探究
1 1 [解析] 取 x=1,y=0 得 f(0)= , 2 2 取 x=n,y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n +2)+f(n), 1 联立得 f(n+2)=—f(n-1),又令 x=y=1,求得 f(2)=- .再 4 令 x=n-2,y=2,求得 f(n-4)=-f(n)-f(n-2)=-f(n-1),所 1 ? ? 2010 以 f(n+2)=f(n-4),所以 T=6,故 f? ?=f(0)= . 2 例4 [点评] 周期函数问题,在考题中常有两类表现形式:一类是 研究三角函数的周期性;另一类是研究抽象函数的周期性.抽象 函数的周期性常常应用定义 f(T+x)=f(x)给予证明, 证明时多从中 心对称、轴对称所产生的数学等式出发,推导满足周期定义的等 式,从而在证明函数为周期函数的同时求出周期.

第8讲 │ 要点探究
? 探究点5 函数奇偶性与周期性的综合应用

例 5 已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数, 且它的图 象关于直线 x=1 对称. (1)求 f(0)的值; (2)证明:函数 f(x)是周期函数; (3)若 f(x)=x(0<x≤1), 求 x?R 时, 函数 f(x)的解析式, 并画出满足条件的函数 f(x)至少一个周期的图象.

第8讲 │ 要点探究
例 5 [解答] (1)f(0)=0. (2)证明:∵函数 f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)①,又 f(x) 关于直线 x=1 对称,∴f(x)=f(2-x)②,由①②得,-f(-x)= f(2-x),换-x 为 x,则 f(2+x)=-f(x), ∴ f(4+ x)= f(2 + (2+ x)) =- f(2 + x) =- [- f(x)]= f(x) ,故 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ? ?x-4k?4k-1≤x≤4k+1?, (3)f(x)=? (k?Z), 图象如下: ? ?-x+2+4k?4k+1<x≤4k+3?

第8讲 │ 要点探究

变式题 定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(-x)=-f(x), f(1 +x)=f(1-x),当 x?[-1,1]时,f(x)=x3,则 f(-2009)的 值是________.
-1 [解析] ∵f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.由 f(1+x)=f(1-x)可知 f(x)关于直线 x=1 对称, ∴f(x)=-f(-x)=-f(2+x)=-[-f(4+x)]=f(x+ 4), 即 f(x)=f(x+4), ∴4 为 f(x)的一个周期, ∴f(-2009) =f(-1)=(-1)3=-1.

第8讲 │ 要点探究
例 6 函数 f(x)的定义域为 D={x|x?R 且 x≠0}, 且满足 对于任意 x1,x2?D,有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+ ∞)上是增函数,求 x 的取值范围.

第8讲 │ 要点探究
例 6 [解答] (1)∵对于任意 x1,x2?D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0. (2)令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0. 2 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2.f(16×4)=f(16)+f(4)=3, ∵f(3x +1)+f(2x-6)≤3, 即 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) 方法一:∵f(x)为偶函数,∴f(|(3x+1)(2x-6)|)≤f(64).又∵f(x)在 (0,+∞)上是增函数, 7 1 ∴0<|(3x+1)(2x-6)|≤64.解上式,得 3<x≤5 或- ≤x<- ,或- 3 3 ? ? ? ? 7 1 1 1 ? <x<3.∴x 的取值范围为?x|3<x≤5或-3≤x<-3或-3<x<3? . ? 3 ? ?

第8讲 │ 要点探究
方法二:∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴(*)等价于不等式组 ? ? ??3x+1??2x-6?>0, ??3x+1??2x-6?<0, ? 或? ? ? ??3x+1??2x-6?≤64 ?-?3x+1??2x-6?≤64,

?x>3或x<-1, ? 3 ∴? ?-7≤x≤5, ? 3

1 ? ?- <x<3, 或? 3 . ? ?x?R.

7 1 1 得 3<x≤5 或- ≤x<- 或- <x<3. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围为 x|3<x≤5 或- ≤x<- 或- <x<3. 3 3 3

第8讲 │ 规律总结 规律总结
1.函数的奇偶性是在整个定义域内讨论的整体性质 , 要正确理解奇函数与偶函数的定义 ,必须注意以下几点: (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称 ; (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.f(x)为奇函数? f(x)的图象关于原点对称;f(x)为偶 函数? f(x)的图象关于 y 轴对称. 3.判断函数的奇偶性的方法:定义法、图象法、性质 法. 4.函数的定义域关于原点对称,这是函数具备奇偶性 的必要条件.稍加推广,可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有 f(x+a)=f(a- x)成立. 函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映 .

第8讲 │ 规律总结
5.若奇函数的定义域包含 0,则 f(0)=0,因此,“f(x) 为奇函数”是“f(0)=0”的非充分非必要条件;f(x)为偶函 数,则 f(x)=f(-x)=f(|x|). 6.函数的周期性是在整个定义域内函数的整体性质, 要正确理解周期函数的定义,必须注意以下几点: (1)周期函数的定义域是无界的; (2)f(x+T)=f(x)(T≠0)是定义域上的恒等式; (3)若 T 是 f(x)的一个周期,则 kT(k≠0,k?Z)也是 f(x) 的周期. 7.函数的奇偶性与周期性是函数的两个重要性质,它 们存在着一定的联系,特别是存在两条对称轴的函数,一定 是一个周期函数, 且最小正周期是相邻两条对称轴之间距离 的二倍.

第9讲 │ 二次函数

第9讲 二次函数

第9讲 │ 编读互动 编读互动
二次函数是重要的初等函数之一,它与二次方程、二 次不等式有着密切的联系,加上三次函数的导数是二次函 数,因此二次函数在高中数学中有着广泛的应用,许多问 题都需要化归为二次函数来处理,因此,二次函数问题是 高考的热点问题. 复习时, 既要引导学生熟练掌握其定义、 图 象 特 征 及 性 质( 特 别 是 单 调 性) , 又 要 掌 握 三 个“二 次”(二次函数,二次方程,二次不等式 )之间的联系.

第9讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.二次函数解析式的三种形式 2 ax +bx+c (1)一般式:f(x)=______________( a≠0); a(x-m)2+n a≠0); (2)顶点式:f(x)=______________( a(x-x1)(x-x2) a≠0). (3)两根式:f(x)=______________( 2.二次函数的图象特征 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物 2? ? 4 ac - b b ? ? b - , x=- ? 2a 4a ? ? ________ ; ? 2a 线,对称轴方程为 ________ ,顶点坐标是 向上 ,当 a<0 时,开口 向下 当 a>0 时,开口________ ________.

第9讲 │ 知识梳理
3.二次函数的单调性及最值 (1) 当 a > 0
2 ? ? 4 ac - b b b 递增 , ?- ,+∞?上________ 并且当 x=- 时, f(x)min= ; 2 a 2 a 4 a ? ? ? b? 递增 (2) 当 a < 0 时 , 函 数 在 ?-∞,-2a? 上 ________ , 在 ? ? 2 4 ac - b ? ? b f(x)max= 递减 ,当 x=- b 时,______________. ?- ,+∞?上________ 4a 2 a 2a ? ?

? b? 递减 , 在 时 , 函 数 在 ?-∞,-2a? 上 ________ ? ?

第9讲 │ 知识梳理

4.根与系数的关系 二 次 函 数 f(x) = ax2 + bx + c(a≠0) , 当 Δ = b2 - >0 4ac________ 时 , 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点 M1(x1,0) 、 M2(x2,0) ,这里的 x1 , x2 是方程 f(x) = 0 的两根,且 b -a ? , ?x1+x2= c ? ? x2 = . ?x1· a Δ |M1M2|=|x1-x2|= . |a|

第9讲 │ 知识梳理
5.二次函数在闭区间上的最值 若 a>0,二次函数 f(x)在闭区间[p,q]上的最大值为 M,最小值为 N. 1 令 x0= (p+q). 2 b f(p) (1)若- <p,则 M=f(q),N=________; 2a b f(q) (2)若- >q,则 M=f(p),N=________ ; 2a ? ? b b f?-2a? ; (3)若 p≤- ≤x0,则 M=f(q),N=________ ? ? 2a ? b? b f?-2a? (4)若 x0<- ≤q,则 M=f(p),N=________. ? ? 2a

第9讲 │ 知识梳理
6.一元二次方程根的分布 一般地,方程 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的根 x1,x2 的分布 所满足的充要条件如下表:

第9讲 │ 知识梳理

第9讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 求二次函数的解析式
例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x)的最大值为 8,求此二次函数的解析式.

[解答] 方法一:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),依题意, ? ?4a+2b+c=-1, ?a-b+c=-1, 得? 2 ?4ac-b =8, ? ? 4a ?a=-4, ? 解得?b=4, ?c= 7, ?

所以所求函数

解析式为 y=-4x2+4x+7;

第9讲 │ 要点探究
方法二:依题意,设 f(x)=a(x-m)2+8(a≠0),∵f(2)=-1, 1 f(-1)=-1,∴f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为 x= ,因此-1 2 ? ? 1? 2 1? 2 ? ? ? = a 2-2 + 8(a≠0) ,解得 a =- 4 ,所以 f(x) =- 4 x-2? + ? ? ? ? 8(a≠0); 方法三:依题意,∵f(2)=-1,f(-1)=-1,所以 f(x)+1=0 有两个实根 2,-1,设 f(x)+1=a(x+1)(x-2),则 f(x)=ax2-ax 4a?-2a-1?-a2 -2a-1,又 f(x)的最大值为 8,∴ =8,解得 a= 4a -4,所以所求函数解析式为 y=-4x2+4x+7.
[点评] 本题采用二次函数的三种形式,以三种方法求得,方法一最 容易想,解起来有点麻烦;方法二重视观察得 f(2)=f(-1),从而确定了 f(x)的对称轴,进而减少了未知数;方法三采用构造法,由 f(2)=f(-1) =-1 构造方程 f(x)+1=0,进而采用零点式设解析式,从而求得 f(x).

第9讲 │ 要点探究
已知二次函数 f(x)=ax2+bx 对任意 x?R 均有 ? 3? f(x-4)=f(2-x)成立,且函数的图象过点 A?1,2?. ? ? (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)若不等式 f(x-t)≤x 的解集为[4,m],求实数 t、m 的 值. 变式题
[解答] (1)∵f(x)=ax2+bx 对任意 x?R 均有 f(x-4)=f(2- ? 3? ? x)成立,且图象过点 A 1,2?,∴f(x)的对称轴为 x=-1,且有 ? ? ?a+b=3, 1 ? ? ?a = , 2 2 ? 解得? ? ?- b =-1, ?b=1. ? 2a 1 2 ∴所求函数解析式为 f(x)= x +x. 2

第9讲 │ 要点探究
(2)∵f(x-t)≤x 的解集为[4,m], 1 ∴ (x-t)2+x-t≤x, 2 即 x2-2tx+t2-2t≤0 的解集是[4,m],且 m>4. ∴4、m 是方程 x2-2tx+t2-2t=0 的两根, ? ? ?4+m=2t, ?m=12, ∴? 解此方程组,得? 或 2 ? ? 4 m = t - 2 t , t = 8 ? ?
? ?m=0, ? ? ?t=2 ? ?m=12, (舍去).∴? ? ?t=8.

第9讲 │ 要点探究
? 探究点2
例2

求二次函数的最值

[2010· 黄冈模拟] 已知函数

数 g(x)=f2(x)-2af(x)+3 的最小值为 h(a). (1)求 h(a)的解析式; (2)是否存在实数 m,n,同时满足下列两个条件:①m>n>3; ②当 h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]?若存在,求出 m,n 的值;若不存在,请说明理由.

?1? f(x)=?3?x,x?[-1,1],函 ? ?

第9讲 │ 要点探究
例2 令 [解答] (1)由
?1?x f(x)=?3? ,x?[-1,1],知 ? ? ?1 ? f(x)??3,3?, ? ?

?1 ? t=f(x)??3,3?,记 ? ?

g(x)=y=t2-2at+3,则 g(x)的对称轴为

t=a,故有: 1 28 2a ①当 a≤ 时,g(x)的最小值 h(a)= - ; 3 9 3 ②当 a≥3 时,g(x)的最小值 h(a)=12-6a; 1 ③当 <a<3 时,g(x)的最小值 h(a)=3-a2. 3

?28-2a,a≤1, ?9 3 3 ? 1 综上所述,h(a)=? 2 ?3-a ,3<a<3, ? ?12-6a,a≥3.

第9讲 │ 要点探究
(2)当 a≥3 时,h(a)=-6a+12,故 m>n>3 时,h(a)在[n, m]上为减函数,所以 h(a)在[n,m]上的值域为[h(m),h(n)].由 2 2 ? ? ?h?m?=n , ?-6m+12=n , 题意,得? ?? 两式相减得 6n-6m 2 2 ? ? h ? n ? = m - 6 n + 12 = m , ? ? =n2-m2,又 m≠n,所以 m+n=6,这与 m>n>3 矛盾,故不存 在满足题中条件的 m,n 的值.

[点评 ] 本题是二次函数求最值“轴动区间定”问题,处理 时,需要比较对称轴与定义域的关系,可以看做曲线从左到右的 移动过程中,在区间内函数最值的变化.

第9讲 │ 要点探究
a 1 变式题 已知函数 y=-sin x+asinx- + 的最大值为 4 2 2,求 a 的值.
2

[解答] 令 t=sinx,t?[-1,1], ? a ?2 1 2 a ∴y=-?t-2? + (a -a+2),对称轴为 t= . 4 2 ? ? a (1)当-1≤ ≤1,即-2≤a≤2 时, 2 1 2 ymax= (a -a+2)=2,得 a=-2 或 a=3(舍去); 4

第9讲 │ 要点探究
a (2)当 >1,即 a>2 时, 2 ? a ?2 1 2 函数 y=-?t-2? + (a -a+2)在[-1,1]上单调递增, 4 ? ? 1 1 10 由 ymax=-1+a- a+ =2,得 a= ; 4 2 3 a (3)当 <-1,即 a<-2 时, 2 ? a ?2 1 2 函数 y=-?t-2? + (a -a+2)在[-1,1]上单调递减, 4 ? ? 1 1 由 ymax=-1-a- a+ =2,得 a=-2(舍去). 4 2 10 综上可得 a 的值为-2 或 . 3

第9讲 │ 要点探究
? 探究点3 一元二次方程根的分布

例 3 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根 在区间(1,2)内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

第9讲 │ 要点探究
例 3 [解答] (1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图(如图),得

? ?f?0?=2m+1<0, ?f?-1?=2>0, ? ?f?1?=4m+2<0, ? ?f?2?=6m+5>0
5 1 ∴- <m<- . 6 2

?m<-1, ? 2 ? ?m?R, ?? 1 m < - , ? 2 ? ?m>-5, 6 ?

第9讲 │ 要点探究
(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内(如图),列不等式组

? ?f?0?>0, ?f?1?>0, ? ? Δ≥ 0 , ? ?0<-m<1
1 ∴- <m≤1- 2. 2

1 ? ?m>- , 2 ? 1 ? ??m>-2, ? ?m≥1+ 2或m≤1- 2, ? ?-1<m<0,

第9讲 │ 要点探究

[点评] 设出二次方程对应的函数, 可画出相应的示意 图,然后用函数性质加以限制.一般考虑的顺序是:①开 口方向;②判别式;③对称轴;④区间端点处的函数值的 正负.本题重点考查方程的根的分布问题.解答本题的关 键点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.用 二次函数的性质对方程的根进行限制时,条件不严谨是常 犯的错误.

第9讲 │ 要点探究
变式题 已知方程 2kx2-2x-3k-2=0 有两根 x1, x2, 且(1)x1, x2 都小于零; (2)x1, x2 都小于 1; (3)x1<1<x2; (4)-2<x1、x2<0;(5)恰有一根在区间(1,2)内.分别求 k 的取值范围.
? ?k ≠ 0 , ?Δ=4-4×2k?-3k-2?≥0, ? 1 [解答] (1)由?x1+x2= <0, k ? ? 3k+ 2 ? ?x1x2=- 2k >0

2 ?- <k<0. 3

第9讲 │ 要点探究
? ?k≠0, ?Δ≥0, (2)由? ??x1-1??x2-1?>0, ? ?x1-1+x2-1<0 ? ?-4<k<0, ?? 1 k<0或k> ? 2 ?
? ?k>0, (3)? ? ?f?1?<0

?k≠0, ? ??x1x2-?x1+x2?+1>0, ?x +x -2<0 ? 1 2

?-4<k<0.

? ?k<0, 或? ? ?f?1?>0

?k<-4 或 k>0.

第9讲 │ 要点探究
?k>0,Δ≥0, ? ?f?-2?=5k+2>0, (4)?f?0?=-3k-2>0, ? b 1 ?-2<- = <0 2a 2k ?
2 2 ?- <k<- . 3 5

?k<0,Δ≥0, ? ?f?-2?<0, 或?f?0?<0, ? 1 ?-2< <0 2k ?

? ?f?1?=0, (5)f(1)· f(2)<0 或? 1 3 ? ?1<2k<2
6 ?k<-4 或 k> . 5

? ?f?2?=0, 或?3 1 ? ?2<2k<2

第9讲 │ 要点探究
? 探究点4
例4 >0. (1)若 a=1,求 f(2)的值; (2)求证:方程 f(x)=0 必有两个不等实根 x1、x2,且 3<x1+x2<5.

二次函数的综合应用
设 f(x)=ax2+bx+c, 若 6a+2b+c=0, f(1)· f(3)

第9讲 │ 要点探究
例 4 [解答] (1)∵6a+2b+c=0,a=1,∴f(2)=4a+2b+c= -2a=-2. (2)证明:首先说明 a≠0,∵f(1)· f(3)=(a+b+c)(9a+3b+c)= -(5a+b)(3a+b)>0,若 a=0,则 f(1)· f(3)=-b2<0 与已知矛盾, ∴ a≠ 0 , 其次说明二次方程 f(x)=0 必有两个不等实根 x1、 x2, ∵f(2) =4a+2b+c=-2a,∴若 a>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 开口向 上,而此时 f(2)<0;若 a<0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 开口向下, 而此时 f(2)>0.画草图可知二次函数图象必与 x 轴有两个不同交点, ∴二次方程 f(x)=0 必有两个不等实根 x1、x2,∵a≠0,∴将不等式 ?b ??b ? b 2 -(5a+b)(3a+b)>0 两边同除以-a 得?a+3??a+5?<0, ∴-5<a< ? ?? ? b -3.∴3<x1+x2=-a<5.

第9讲 │ 规律总结 规律总结
1.求二次函数的解析式,一般用待定系数法,已知对称轴或 顶点, 设解析式用顶点式; 已知对应方程的根, 设解析式用两点式; 其余用一般式. 2.对于函数 y=ax2+bx+c(a≠0)在给定区间 x?[m,n]上的 最值问题,最好使用图象法研究,尤其是 “轴动区间定”或“轴定 区间动”时,利用图象作参考找出讨论时的分类标准.一般地,有 如下结论: 4ac-b2 b (1)当 x=- ?[m,n]时, 是它的一个最值,另一个最 2a 4a 值在区间端点取得; b (2)当 x=- ?[m,n]时,最大值和最小值分别在区间的两个 2a 端点处取得.

第9讲 │ 规律总结

3.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0): (1)当 a>0 且 Δ<0 时,f(x)>0 恒成立; (2)当 a<0 且 Δ<0 时,f(x)<0 恒成立. 4.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个 有机的整体,要深刻理解他们的关系,能够灵活运用函数 与方程思想进行转化.三者的核心是二次函数的图象,而 图象中的关键是研究开口方向和顶点位置.

第10讲 │ 指数与对数运算

第10讲 指数与对数运算

第10讲 │ 编读互动 编读互动
本讲复习指数式、对数式的概念、运算及性质、 对数的换底公式等基础知识. 指数式、 对数式的互化、 运算、化简、求值及等式证明是研究指 (对)数方程、 不等式和指数(对数)函数的基础,必须熟练掌握.在 进行指数式与对数式计算时, 要注意分析所给数式的 结构特征,恰当选择运用公式是解题的关键.

第10讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.根式的概念与性质 (1)根式的概念

xn=a

正数

负数 两个 相反数

第10讲 │ 知识梳理
(2)根式的性质 n n a ①( a)n=a;②若 n 是奇数,则 an=________;若 n 是偶 ? ?a?a≥0?, n ? 数,则 an=|a|=________. ? ?-a?a<0? m n ? 2.分数指数幂的概念 * ? ? a >0 , m , n ? N , n >1 a n = am ? ? ? (1)正数的正分数指数幂的意义是_____________________; 1 1 - m a n = m = n an am (2)正数的负分数指数幂的意义是_____________________ * ? ? ; ?a>0,m,n?N ,n>1? ? ? (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. 3.有理数指数幂的运算性质 ? r s r+s? ?a>0,r,s?Q? a a = a ? (1)__________________; ? ? ? r?s rs? ?a>0,r,s?Q? a = a ? ? ? (2)__________________; ? ? ? ?r r r? ? (3)__________________ . a >0 , b >0 , r ? Q ?ab? =a b ? ? ?

第10讲 │ 知识梳理
4.对数的概念与性质 (1)对数的概念 一般地,如果 a(a>0 且 a≠1)的 b 次幂等于 N,就是 ab aN=b ,a =N,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作log ________ 叫做对数的底数,N 叫做真数. (2)指数式与对数式的关系

指数
对数

第10讲 │ 知识梳理

5.对数的运算性质 loga(MN)=logaM+log aN (1)__________________ ; M loga N =logaM-logaN ; (2)__________________ (3)__________________ . logaMn=nlogaM(n?R) 6.对数的恒等式与换底公式 N (1)alogaN=________( a>0,a≠1,N>0); logbN a>0,a≠1;b>0,b≠1). (2)logaN=________(
logba

第10讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 指数、对数式的有关运算

例1

求下列各式的值. 1 ? 1?-2 ? 7?1 (1)(0.027)- -?-7? +?29? -( 2-1)0; 3 ? ? ? ?2 (2)log6[log4(log381)].

第10讲 │ 要点探究
例 1 [解答]
? 27 ? 1 ?1?-2 ?25?1 -2 (1)原式=?1000?- -(-1) ×?7? +? 9 ? -1= ? ? 3 ? ? ? ?2

10 5 -49+ -1=-45. 3 3 (2)log6[log4(log381)]=log6(log44)=log61=0. [点评] (1)关于指数式的运算,主要是熟练运用指数幂的定义与 运算性质,以及分解因式、配方等技巧.利用分数指数幂来进行根 式运算,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再根据幂的运算性质 进行计算. (2)熟练运用对数式的运算公式是解决本题的基础和前提.运用 对数的运算法则时,要注意各字母的取值范围,只有所得结果中的 对数和所给出的数的对数都存在时才成立,同时不要将积、商、幂 的对数与对数的积、商、幂混淆.

第10讲 │ 要点探究
变式题 1 计算下列各式的值: 4 1 a -8a · b ? 3 b? 3 3 3 ?1-2 ?× a(a>0,b>0); (1) ÷ 2 2 ? 3 a? 4b +2 ab+a 3 3 (2)2(lg 2)2+lg 2· lg5+ ?lg 2?2-lg2+1

第10讲 │ 要点探究
1 a ?a-8b? 3 变 式 题 1 [ 解 答 ] (1) 原 式 = 2 1 1 2 4b +2a b +a 3 3 3 3 1 1 1 a - 2b a 3 3 3 1 1 1 1 1 ÷ ×a =a (a -2b )· · a =a. 1 3 3 3 3 1 1 3 a a - 2b 3 3 3 (2)原式=lg 2(2lg 2+lg5)+ ?lg 2-1?2 =lg 2(lg2+lg5)+(1-lg 2)=1.

第10讲 │ 要点探究
? 1 3? ? 1 3? 1 ? ? ? ? x>0,则 2x4+32 ·2x4-32 -4x- 2 ? ? ? ?

变式题 2 (1)若
? 1? ?x-x ?=________; 2? ?

(2)[2010· 四川卷] 2log510+log50.25=( A.0 B.1 C.2 D.4

)

第10讲 │ 要点探究

1 3 1 变式题 2 (1)-23 (1)C [解析] (1)(2x +3 )· (2x 4 2 4 3 1 1 1 3 1 -3 )-4x- (x-x )=4x -3 -4x +4=-23. 2 2 2 2 2 (2) ∵ 2log510 + log50.25 = log5102 + log50.25 = log5(100×0.25)=log525=2,故选 C.

第10讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点2 指数式与对数式的互化
a b

例2

1-a-b (1)若 60 =3,60 =5,求 12 的值; 2?1-b?

(2)已知 315a=55b=153c,求证:5ab-bc-3ac=0.

第10讲 │ 要点探究
例 2 [解答] (1) a=log603,b=log605, 1-b=1-log605=log6012, 1-a-b=1-log603-log605=log604, 1-a-b log604 = =log124, log6012 1-b 1-a-b 1 ∴12 =12 log124=12log122=2. 2 2?1-b? (2)证明:设 315a=55b=153c=k>0,则 lg315a=lgk, lgk lgk lgk ∴a= .同理 b= ,c= . 15lg3 5lg5 3lg15 把上述三式代入得 1 1 1 ? ?lgk?2 ? ? ? - - 5ab-bc-3ac= · ? 15 ?lg3lg5 lg15lg5 lg3lg15? ? ?lgk?2 ?lg15-lg3-lg5? ? ?=0. = · 15 ? lg3lg5lg15 ? ∴5ab-bc-3ac=0.

第10讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点3 换底公式及其应用
)

例 3 (1)log23· log34· log45· log56· log67· log78=( A.1 B.2 C.3 D.4

(2)已知 log23=a,log37=b,则用 a,b 表示 log1456 为 ________.

第10讲 │ 要点探究
例3 (1)C ab+3 (2) ab+1 lg3 lg4 lg5 [ 解析 ] (1)log23· log34· log45· log56· log67· log78 = × × lg2 lg3 lg4 lg6 lg7 lg8 lg8 × × × = =3,故选 C. lg5 lg6 lg7 lg2 log256 (2)∵log23=a,log37=b,∴log27=ab,∴log1456= = log214 3+log27 ab+3 = . 1+log27 ab+1

[点评] 对数的换底公式在教材中是以习题形式出现的,但在 指、对数函数的化简变形中经常用到,要熟练掌握.使用换底公 式时,要根据题目所给条件,把相关的对数的底换为需要的对数 的底,从而沟通已知与未知的联系,达到解决问题的目的.

第10讲 │ 要点探究
变式题 (1)已知:log23=a,3b=7,将 log3 72 21的值 用 a、b 表示; 1 2 (2)设 4 =5 =m,且a+b=1,求 m 的值.
a b

第10讲 │ 要点探究
变式题 [解答] (1)log23= lg3 =a, lg2 ∴lg3=alg2. 由 3b=7,得 b=log37= ∴lg7=blg3=ablg2. lg2 21 ∴log3 72 21= lg3 7 1 lg2+ ?lg3+lg7? 2 = 1 lg3+ lg7 2 1 lg2+ ?alg2+ablg2? 2 = 1 alg2+ ablg2 2 2+a+ab = . 2a+ab lg7 , lg3

第10讲 │ 要点探究

(2)由题意可知 a=log4m,b=log5m. 1 2 ∴a+b=logm4+2logm5=logm100=1,∴m=100.

第10讲 │ 要点探究 要点探究
指数式、对数式与函数性质的综合应用 1 1 1 1 x - x- x +x- 3 3 3 3 例 4 已知函数 f(x)= ,g(x)= . 5 5 (1)证明:f(x)是奇函数,并求 f(x)的单调区间; (2)分别计算 f(4)-5f(2)g(2)和 f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概 括出涉及函数 f(x)和 g(x)的对所有不等于零的 x 都成立的一个 等式. ? 探究点4

第10讲 │ 要点探究
例 4 [解答] (1)证明:函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关 于原点对称,又 1 1 1 1 ?-x? -?-x?- x -x- 3 3 3 3 f(-x)= =- =-f(x), 5 5 ∴f(x)是奇函数. 设 x1<x2,x1,x2?(0,+∞), 1 1 1 1 x 1-x- 1 x 2-x- 2 3 3 3 3 则 f(x1)-f(x2)= - 5 5 1 ? 1 1 1 ?1+ 1 1 ?. = (x 1-x 2)? 5 3 3 x 1x 2 3 3? ? 1 1 1 ∵ x 1-x 2<0,1+ >0,∴f(x1)-f(x2)<0, 3 3 1 1 x 1x 2 3 3 ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. 又∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(-∞,0)上也单调递增.

第10讲 │ 要点探究
(2)计算得 f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,由此概括出 对所有不等于零的实数 x 的一个等式: f(x2)-5f(x)g(x)=0.证明如下: 2 2 1 1 1 1 x - x- x - x- x + x- 3 3 3 3 3 3 1 2 2 f(x ) - 5f(x)g(x) = - 5· · = (x - x 5 5 5 5 3 2 1 2 2 - )- (x -x- )=0. 3 5 3 3

[点评] 本题研究的是函数的性质,但解题的关键是正确运用 指数式、对数式的运算法则进行代数变形.

第10讲 │ 规律总结 规律总结
1.分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系 ,因此,根 式的运算可以转化为分数指数幂的运算 .在运算过程中,要贯彻先化 简,后计算的原则,并且注意运算的顺序. 2.指数式 ab=N 与对数式 logaN=b 的关系以及这两种形式的互 化是对数运算法则的关键 ,是解决问题的一个有效途径 .一般地,在 解决指数问题时,常常“取对数”;而解决对数问题时,又常常转化 为指数形式,这种转化是数学解题中的重要思想和手段 . n 3. 注意对数恒等式、 对数换底公式以及 logambn=mlogab, logablogba =1 在解题中的灵活运用. 4.研究指数、对数问题时要尽量化为同底 .另外,研究对数问题 时,要注意对数的底数与真数的限制条件 .

第11讲 │ 指数函数与对数函数

第11讲 指数函数与对数函数

第11讲 │ 编读互动 编读互动
指数函数、对数函数是两类重要的初等函数,它们互为 反函数.本讲在高考中是必考内容之一,既考查定义、图象 及主要性质, 又在数学思想方法上考查分类讨论、 数形结合、 化归和转化的思想,且综合能力要求较高,复习时应引起高 度重视.本讲复习重点为: (1)运用两种函数的图象和性质去 解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性 质并能灵活应用; (2)综合性题目.此类题目要求考生具有较 强的分析能力和逻辑思维能力.

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增函数 减函数

增函数 减函数

y>1 0<y<1 0<y<1 y>1

y>0 y<0 y<0 y>0

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? 探究点1
例 1

指、对数函数图象及其应用
(1)[2010· 湖南卷] 函数 y=ax2+bx 与 y=

b log|a|x(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能 是( )

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例 1 (1)D (2)D [解析] (1)本题考查二次函数、对 数函数的图象问题, 这些知识点在高考考纲中都是 B 级要 ?b? b b b 1 b 1 ? ? 求.若 a >1,则a>1 或a<-1.∴- <- 或- > ,排除 2a 2 2a 2 ? ? ?b? b b 1 b 1 b ? ? A, B, 若 a <1, 则-1<-a<1 且a≠0.∴- <- < 且- 2 2a 2 2a ? ? ≠0,排除 C.

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(2)[2010· 天津卷] 设 a=log54, b=(log53)2, c=log45, 则( ) A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c

(2)因为 a=log54<log55=1,b=(log53)2<(log55)2=1, c=log45>log44=1,所以 c 最大,排除 A、B;又因为 a、 b?(0,1),log54>log53,所以 a>b,故选 D.

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变式题

设 a=lge,b=(lge)2,c=lg e,比较 a,

b,c 的大小关系.

[ 解答 ] 本题考查对数函数的增减性, lge>lg e ,即 1 a>c,由 1>lge>0,知 a>b,又 c= lge,作商比较知 c>b, 2 所以 a>c>b.

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? 探究点2 指、对函数单调性及应用

例 2 已知 f(x)=loga(ax2-x)(a>0 且 a≠1)在区间 [2,4]上是增函数,求实数 a 的取值范围.
1? 1 2 [解答] 设 t=ax -x=a x-2a? - ,若 f(x)=logat 在[2,4]上是增函 ? 4a ?
2
? ? ? ?

?0<a<1, ?1 数,需 ?2a≥4, ? ?16a-4>0

?a>1, ?1 或 ?2a≤2, ? ?4a-2>0,

0<a<1, ? ? ?a≤1, 即? 8 ? 1 ? ?a>4

a>1, ? ? ?a≥1, 或? 4 ? 1 ? ?a>2,



得 a>1,所以实数 a 的取值范围为(1,+∞).

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? 探究点3
例3

指、对函数性质的综合应用
已知函数 f(x)=loga(a-ax)(a>1).

(1)求 f(x)的定义域、值域; (2)判断 f(x)的单调性; - (3)解不等式 f 1(x2-2)>f(x).

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例 3 [解答] (1)要使函数有意义,需要满足 a-ax>0,即 ax<a,又 a>1, ∴x<1,故所求定义域为(-∞,1). 又 loga(a-ax)<logaa=1, ∴f(x)<1,值域为(-∞,1). (2)令 u=a-ax,∵a>1, ∴u=a-ax 在(-∞,1)上是减函数, 又∵y=logau 在定义域上是增函数, ∴函数 f(x)=loga(a-ax)在(-∞,1)上是减函数.

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(3)设 y=loga(a-ax),则 ay=a-ax, ∴ax=a-ay,x=loga(a-ay). ∴f(x)的反函数为 f-1(x)=loga(a-ax), 则 f-1(x2-2)>f(x),得 loga(a-ax2-2)>loga(a-ax). ∵a>1,∴ax2-2<ax,∴x2-2<x, 即 x2-x-2<0,解得-1<x<2. 又 f(x)的定义域为(-∞,1), 故原不等式的解集为{x|-1<x<1}.

[点评] (1)f(x)的定义域易求得,值域与(2)问可由函数 u(x)=a- ax 与函数 f(u)的单调性来完成; (3)应先求出函数 f-1(x), 建立不等式, 再利用指、对数函数的性质获解. 在本题(3)的求解中应注意函数 f(x)的定义域这个隐含条件,否 则就会出现错解.

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10x-10-x 变式题 已知函数 y= (x?R). 2 - (1)求反函数 y=f 1(x); (2)判断 y=f-1(x)是奇函数还是偶函数,并证明.
[解答] (1)令 t=10x,则 t>0, 原函数变形得 t2-2yt-1=0,∴t=y+ y2+1. ∴10x=y+ y2+1, ∴f-1(x)=lg(x+ x2+1)(x?R). (2)∵f-1(-x)=lg(-x+ x2+1) 1 =lg x+ x2+1 =-lg(x+ x2+1) =-f-1(x), ∴f-1(x)为奇函数. [点评] 求反函数注意运用换元,将问题转化为一元二次方程求解.第 二问的关键是分子有理化.

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1. 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数,要能从概念、图象、性质三个方面理 解它们的联系与区别. 2.画指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象,要抓住三个 ? 1? 关键点(1,a)、(0,1)、?-1,a?;画对数函数 y=logax(a>0 且 ? ? ?1 ? a≠1)的图象,要抓住三个关键点 (a,1)、(1,0)、?a,-1?. ? ?

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3. 指数函数的底数及对数函数的真数和底数应满足的条件是 求解有关指数、对数问题时必须予以特别重视的,另外研究指数 函数、对数函数问题时尽量化为同底. 4.单调性是指数函数与对数函数的重要性质,特别是函数图 象的无限延展性.对于指数函数,x 轴是它的渐近线,当 0<a<1 时,x→+∞,y→0;当 a>1 时,x→-∞,y→0;当 a>1 时,a 值越大,图象越靠近 y 轴;当 0<a<1 时,a 值越小,图象越靠近 y 轴;对于对数函数,y 轴是它的渐近线,当 0<a<1 时,x→0,y→ +∞;当 a>1 时,x→0,y→-∞;当 a>1 时,a 值越大,图象越 靠近 x 轴;当 0<a<1 时,a 值越小,图象越靠近 x 轴. 5.比较大小是单调性的一个重要应用,在比较时,要注意单 调性与其底数的关系:(1)底数相同、指数不同或底数相同、真数 不同的两个数,可以分别利用指数函数、对数函数的单调性来比 较;(2)底数不同、指数也不同或底数不同、真数也不同的两个数, 可引入中间量或画出图象来比较.

第12讲 │ 函数图象及变换

第12讲 函数图象及变换

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近几年的高考试题中多数出现了以图象研究图象,考查 学生识图能力的题目,这是高考考查的一个新方向.借助图 象研究函数性质是一种常用的方法,高考题对图象的考查, 既有容易的选择题,又有综合程度较高的解答题.主要形式 可能有:(1)函数图象;(2)函数图象变换的知识(包括函数图象 对称性的证明); (3)数形结合的思想, 利用图象解决某些问题、 识图读图能力.本讲的主要内容包括基本初等函数的图象及 图象变换的三种变换法则: 平移变换, 对称变换, 伸缩变换 (伸 缩变换到复习三角函数时再重点讲评 ).本讲重点解决作图、 识图、用图(图象法解不等式、判定方程的实根个数等 )三个方 面的问题,宜从具体函数到抽象函数,从特殊点的变化看函 数图象的整体变换.

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1.熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、 对数函数的图象. 2.作图 (1)描点法作图步骤: ①确定定义域; ②化简解析式; ③确定函数图象的特殊点; ④讨论函数的性质; ⑤描点连线.

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(2)函数图象变换法则 平移变换:

对称变换: -f(x)

f(-x) -f(-x)

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f-1(x)

f(|x|) |f(x)| 伸缩变换: ωx A
(ω>0)

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3.识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分布 范围、 变化趋势、 对称性等方面研究函数的定义域、 值域、 单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数 的关系. 4.用图 函数的图象形象地显示了函数的性质. 为研究数量关 系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得 问题结果的重要工具,要重视数形结合解题的思想方法.

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? 探究点1 函数图象的作法

例 1 作出下列函数的大致图象: (1)y=log2|x|; (2)y=|log2(x-1)|; 2-x (3)y= ; x+1 (4)y=2+ 3-x.

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y轴对称的图象 例 1 [解答] (1)y=log2x作出其关于 ――→ y=log2|x|,图象如图(a). (2)y=log2x右移一个单位 ――→ y=log2(x-1) 把x轴下方部分对称到上方 ――→ y=|log2(x-1)|,图象如图(b). 2- x 3 (3)y= ?y+1= , x+ 1 x+ 1 3左移一个单位,下移一个单位 3 因此 y=x ――→ y+1= ,图象如图 x+ 1 (c). (4)y = x 左移三个单位 ――→ y = y轴对称 y = x+3 关于 ――→ 3- x

上移两个单位 ――→ y=2+ 3-x,图象如图(d).

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[点评] 已知函数解析式研究函数图象问题, 主要是将解析式进行恰 当的化简,然后与一些熟知的函数图象相联系,通过各种图象变换 (主 要是平移变换、伸缩变换、对称变换 )得到要求的函数图象.另外,还 要善于借助解析式发现函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等),以此 帮助分析函数图象特征.

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? 探究点2 函数图象的识别

例 2 [2010· 江西卷] 如图 12-1,一个正五角星薄片 (其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星 露出水面部分的图形面积为 S(t)(S(0)=0),则导函数 y= S′(t)的图象大致为( )

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例 2 A [解析] 本题考查函数图象、导数图象、导数的实际意义 等知识,重点考查的是对数学的探究能力和应用能力.最初零时刻和最 后终点时刻没有变化,导数取零,排除 C;总面积一直保持增加,没有 负的改变量,排除 B;A、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑,考 虑到导数的意义,判断此时面积改变为突变,产生中断,选择 A.

[点评] 分析函数的图象,实质就是分析函数的性质,主要观察以下 几点:(1)函数的定义域;(2)函数的最大值与最小值; (3)与坐标轴的交 点;(4)图象的对称性;(5)图象在某段上的变化趋势(单调性);(6)图象的 变化规律(函数的周期性).

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? 探究点3 函数图象的变换

例 3 说明由函数 y=2x 的图象经过怎样的图象变换 得到函数 y=2-x-3+1 的图象.
[解答] 解法一: - (1)将函数 y=2x 的图象向右平移 3 个单位,得到函数 y=2x 3 的图象; - (2)作出函数 y=2x 3 的图象关于 y 轴对称的图象,得到函数 - - y=2 x 3 的图象; - - (3)把函数 y=2 x 3 的图象向上平移 1 个单位,得到函数 y= - - 2 x 3+1 的图象.

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解法二: (1)作出函数 y=2x 的图象关于 y 轴的对称图象, 得到 y=2 -x 的图象; - - (2)把函数 y=2 x 的图象向左平移 3 个单位,得到 y=2 x -3 的图象; (3)把函数 y=2-x-3 的图象向上平移 1 个单位, 得到函数 y =2-x-3+1 的图象.

[点评] 任何一种变换都对应着 x 或 y 的变化.左右平移 和关于 y 轴对称两种变换同时出现时,很容易出错,主要原因 是不理解任何一种变换都对应着 x 或 y 的变化. 通过两种方法 的比较使同学弄清图象变换的实质.

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? 探究点4 函数图象的综合应用

例 4 已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=mx 有四个不相等的实 根 }.
[解答]
2 ? ??x-2? -1,x??-∞,1]∪[3,+∞?, ∵f(x)=? 2 ? ?-?x-2? +1,x??1,3?,

则作出图象如图所示.

(1)递增区间为[1,2], [3, +∞), 递减区间为(-∞, 1), (2,3).

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(2)由图象可知 y=f(x)与 y=mx 图象有四个不同的交 点 , 直 线 y = mx 应 介 于 x 轴 与 切 线 l1 之 ? ?y=mx, 2 间.? ? x +(m-4)x+3=0. 2 ? ?y=-?x-2? +1 由 Δ=0 得 m=4± 2 3, m=4+2 3时, x=- 3?(1,3), 舍去. ∴m=4-2 3,l1 方程为 y=(4-2 3)x.∴m?(0,4- 2 3), ∴集合 M={m|0<m<4-2 3}. [点评] 本题主要考查作函数图象的方法、函数图象的 判断以及函数图象的应用(如解不等式,判断方程解的个数 等问题).

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变式题 若 1<x<3, a 为何值时 x2-5x+3+a=0 有两 解、一解、无解?

[解答] 原方程可化为 a=-x2+5x-3①,作出函数 y= -x2+5x-3(1<x<3)的图象如图,显然该图象与直线 y=a 13 的交点的横坐标是方程①的解,由图可知:当 3<a< 时, 4 13 原方程有两解;当 1<a≤3 或 a= 时,原方程有一解;当 4 13 a> 或 a≤1 时,原方程无解. 4

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? 探究点5 函数图象对称性的证明 例 5 对函数 y=f(x)定义域中任一个 x 值均有 f(x+a) =f(a-x). (1)求证:y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称; (2)若函数 f(x)对一切实数 x 都有 f(x+2)=f(2-x),且 方程 f(x)=0 恰好有四个不同实根,求这些实根之和.
[解答] (1)证明:设(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点,则 y0= f(x0). ?2a-x0?+x0 ∵ =a, 2 ∴点(x0,y0)与(2a-x0,y0)关于直线 x=a 对称. 又 f(a+x)=f(a-x), ∴f(2a-x0)=f[a+(a-x0)] =f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0, ∴(2a-x0,y0)也在函数的图象上, 故 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称.

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(2)由 f(2+x)=f(2-x)得 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 若 x0 是 f(x)=0 的根,则 4-x0 也是 f(x)=0 的根, 若 x1 是 f(x)=0 的根,则 4-x1 也是 f(x)=0 的根, ∴x0+(4-x0)+x1+(4-x1)=8, 即 f(x)=0 的四根之和为 8.

[点评] (1)把证明图象对称问题转化到点的对称问题. (2)充 分利用图形的对称性、 数形结合、 等价转化. 本题考查函数概念、 图象的对称问题以及求根问题.通过本题进一步理解函数的概 念,掌握证明函数对称性的方法.

第12讲 │ 规律总结 规律总结
1.作函数图象的一般步骤为: (1)确定函数的定义域. (2)化简函数解析式. (3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最 值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与坐标轴的交点、 间断点等)、线(如对称轴、渐近线等). (4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象.要注意 对函数性质的研究.

第12讲 │ 规律总结
2.采用图象变换法时,变换后的函数图象要标出特殊 的线(如渐近线)和特殊的点,以显示图象的主要特征,处理 这类问题的关键是找出基本函数,将函数的解析式分解为只 有单一变换的函数链,然后依次进行单一变换,最终得到所 要的函数图象. 3.用图问题:对于给定函数的图象,要能从图象的左 右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定 义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等,注意图象与解析 式中参数的关系.由于函数的图象提供了形的直观性,因而 为灵活运用图象处理有关不等式、方程根的个数、求参数的 范围等问题提供了有力的工具.

第13讲 │ 函数的实际应用与综合应用

第13讲 函数的实际应用与综合 应用

第13讲 │ 编读互动 编读互动
本讲复习函数的实际应用与综合应用,通过本讲 复习,使学生学会运用函数的知识和函数的观点解决 实际应用问题,培养学生的应用意识和分析问题、解 决问题的能力. 函数的实际应用比较广泛,常涉及阅读理解题、 图表分析题、简单函数的应用问题等.近年来重点考 查新情境下理解和运用模型的能力,因此教学时应多 训练一些特殊的实际背景联系初等函数模型求解的问 题.函数综合题教学要注意强化知识间的纵向联系和 横向沟通,把知识、技能、方法提升到思想的高度.

第13讲 │ 知识梳理 知识梳理
y =kx+b; (k≠ 0) 1.几种常见的函数模型: (1) 一次函数型: ________ (2) k 2 y = ax +bx+c(; a≠0) y = ( k ≠ 0) 反比例函数型:________ ;(3)二次函数型:________ x x y = N (1 + p ) (4)指数函数型:________;(5)分段函数型. 2.解答应用题的基本步骤 (1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理 顺数量关系,初步选择数学模型,这一关是基础. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为 符号语言, 利用数学知识, 建立相应的数学模型, 正确建 “模” 是关键的一关. (3)解模:求解数学模型,得到数学结论,要充分注重数学 模型中元素的实际意义,更要注意巧思妙做,优化过程. (4)作答:将数学结论还原给实际问题的过程.

第13讲 │ 知识梳理

3.函数的综合应用 (1)函数的概念、性质和方法的综合问题; (2)函数与其他知识,如方程、不等式、数列的综合问 题; (3)函数与解析几何的综合问题; (4)联系生活实际和生产实际的应用问题.

第13讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 二次函数型应用题

例 1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产 品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系 x2 式可以近似地表示为 y= -48x+8000,已知此生产线年产 5 量最大为 210 吨. (1) 求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最 低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为 多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

第13讲 │ 要点探究
y y x 8000 [ 解 答 ] (1) 每 吨 平 均 成 本 为 x ( 万 元 ) . 则 x = + x - 5 x 8000 x 8000 48≥2 · x -48=32,当且仅当 = x ,即 x=200 时取等号.∴ 5 5 年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低为 32 万元. x2 (2)设年获得总利润为 R(x)万元,则 R(x)=40x-y=40x- +48x- 5 2 x 1 8000=- +88x-8000=- (x-220)2+1680(0≤x≤210). 5 5 1 ∵R(x)在[0,210]上是增函数,∴x=210 时,R(x)有最大值为- (210 5 -220)2+1680=1660. ∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润为 1660 万元. [点评] 一些实际问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、 利润问题、产量问题等.一般利用函数图象的开口方向、对称轴与函数 单调性解决,但一定要注意函数的定义域,否则极易出错. 例 1

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变式题 生产一定数量的商品的全部费用称为生产 成本, 某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本(单 1 2 位: 万元)为 C(x)= x +2x+20.一万件售价是 20 万元, 为 2 获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为( ) A.36 万件 B.18 万件 C.22 万件 D.9 万件

1 B [ 解析 ] 利润 L(x) = 20x - C(x) =- (x - 18)2 + 2 142,当 x=18 时,L(x)有最大值 142.

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? 探究点2 分段函数型应用题

例 2 某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多 的关注,据有关统计数据显示,从上午 6 点到中午 12 点,车 辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关系可近似地用如下函数给出: 629 ? 13 32 ?-8t -4t +36t- 4 ,6≤t<9, ? y=? t 55 ?8+ 4 ,9≤t≤10, ? 2 ?-3t +66t-345,10<t≤12. 求从上午 6 点到中午 12 点,通过该路段用时最多的时刻.

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32 3 3 2 例 2 [解答] 当 6≤t<9 时,y′=- t - t+36=- (t +4t-96)= 8 2 8 3 - (t+12)(t-8). 8 令 y′=0, 得 t=-12 或 t=8.当 8<t<9 时, y′<0; 当 6≤t<8 时, y′>0, ∴当 t=8 时,y 有最大值,ymax=18.75. 1 55 当 9≤t≤10 时,y= t+ 是增函数,∴当 t=10 时,ymax=15. 8 4 当 10<t≤12 时,y=-3(t-11)2+18,∴当 t=11 时,ymax=18. 综上所述,上午 8 时通过该路段用时最多,为 18.75 分钟. [点评] (1)很多实际问题中变量间的关系,不能用同一个关系式给出, 而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关 系,就是分段函数. (2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将 其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起.要 注意各段变量的范围,特别是端点值.

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变式题 国家规定个人稿费纳税办法是:不超过 800 元的不纳税;超过 800 元而不超过 4000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税;超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳 税.已知某人出版一本书,共纳税 420 元,这个人应得稿 费(扣税前)为( ) A.2800 元 B.3000 元 C.3800 元 D.3818 元
C [解析] 设扣税前应得稿费为 x 元,则应纳税额为分段函数, 由题意,得 0?x≤800?, ? ? y=??x-800?×14%?800<x≤4000?, 如果稿费为 4000 元应纳 ? ?11%· x?x>4000?. 税为 440 元,现知某人共纳税 420 元,所以稿费应在 800~4000 元之 间,∴(x-800)×14%=420,∴x=3800.

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? 探究点3 指数函数型应用题

例 3 某城市现有人口总数为 100 万人, 如果年自然增 长率为 1.2%,试解答以下问题: (1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关 系式; (2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人); (3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到 120 万人 (精确到 1 年); (4)如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人, 年自 然增长率应该控制在多少? (参考数据: 1.0129≈1.113,1.01210≈1.127, lg1.2≈0.079, lg2≈0.301,lg1.012≈0.005)

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例 3 [ 解 答 ] (1)1 年 后 该 城 市 人 口 总 数 为 y = 100 + 100×1.2%=100×(1+1.2%). 2 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+ 1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2. 3 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)2+100×(1+ 1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3. x 年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)x. (2)10 年后人口总数为 100×(1+1.2%)10≈112.7(万人). (3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人,即 100×(1+ 1.2%)x=120, 120 x=log1.012 =log1.0121.2≈16(年). 100

第13讲 │ 要点探究
(4)由 100×(1+x%)20≤120,得(1+x%)20≤1.2, 两边取对数得 20lg(1+x%)≤lg1.2=0.079, 0.079 所以 lg(1+x%)≤ =0.00395,所以 1+x%≤1.009, 20 得 x≤0.9%,即年自然增长率应该控制在 0.9%以下.

[点评] 在函数应用问题中,人口增长率问题、银行存贷 款复利计算问题、C14 的衰减问题等,都是典型的指数型函数 问题.

第13讲 │ 要点探究
变式题 (1)某市 2008 年新建住房 100 万平方米,其中 有 25 万平方米经济适用房,有关部门计划以后每年新建住 房面积比上一年增加 5%, 其中经济适用房每年增加 10 万平 方米.按照此计划,当年建造的经济适用房面积首次超过该 年 新 建 住 房 面 积 一 半 的 年 份 是 ( 参 考 数 据 : 1.052≈1.10,1.053≈1.16,1.054≈1.22,1.055≈1.28)( ) A.2010 年 B.2011 年 C.2012 年 D.2013 年 (2)2006 年 7 月 1 日某人到银行存入一年期存款 a 元, 若 年利率为 x, 按复利计算, 则到 2011 年 7 月 1 日可取款( ) A.a(1+x)5 元 B.a(1+x)6 元 C.a+(1+x)5 元 D.a(1+x5)元

第13讲 │ 要点探究

变式题 (1)C (2)A [解析] (1)设第 n 年新建住房面积 为 an=100(1+5%)n, 经济适用房面积为 bn=25+10n, 由 2bn >an 得: 2(25+10n)>100(1+5%)n, 利用已知条件解得 n>3, 所以在 2012 年时满足题意. (2)因为年利率按复利计算,所以到 2011 年 7 月 1 日可 取款 a(1+x)5 元.

第13讲 │ 要点探究
? 探究点4 函数概念、图象与性质的综合应用

例 4 对于函数 f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题: ①q=0 时,f(x)为奇函数; ②y=f(x)的图象关于点(0,q)对称; ③p=0,q>0 时,方程 f(x)=0 有且只有一个实数根; ④方程 f(x)=0 至多有两个实数根. 其中正确命题的序号为________.

第13讲 │ 要点探究

例4 [解析]

①②③ 画出图象可得

2 ? ?x +px+q?x≥0?, f(x)=? 2 ? ?-x +px+q?x<0?,

第13讲 │ 规律总结 规律总结
1.解应用问题的关键有两点:首先,认真读题,缜密 审题,确切理解题意,分析原型结构,明确问题的实际背景, 然后进行科学的抽象、概括,将实际问题转化为数学问题; 其次,合理选取参变量设定变元后,就要寻找它们之间的内 在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的 函数、方程模型,最终求解数学模型使实际问题获解. 2.分析与解答函数应用题的基本思路: 利用函数模型解决的实际问题称为函数的应用问题.分 析和解答函数应用问题的基本思路:

第13讲 │ 规律总结

3.解题中要注意化归思想和数形结合思想的运用. 4.函数是高中数学的主要内容,涉及函数的应用题, 题源丰富、背景深刻、题型新颖、解法灵活,是历年高考 命题的热点之一.因此,对应用题的研究和学习的力度要 进一步加大.

第14讲 │ 导数的概念与运算

第14讲 导数的概念与运算

第14讲 │ 编读互动 编读互动
导数是近代数学的重要组成部分,是初、高等数学的 衔接点, 它的引入为中学数学解决问题注入了新的活力. 本 讲复习要求是:让学生了解导数的实际背景,理解导数的 几何意义, 掌握函数 y=xn 的求导公式, 会求多项式函数的 导数.重点是导数的几何意义及应用以及求多项式函数的 导数问题.复习时,注意引导学生回归课本,以课本为纲, 在牢固掌握基础知识的基础上,学会灵活运用.

第14讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.导数的定义:设函数 y=f(x)在 x=x0 处附近有定义,当自 变量在 x=x0 处有增量 Δx 时, 则函数 y=f(x)相应地有增量 Δy=f(x0 Δy Δy +Δx)-f(x0),如果当 Δx→0 时,Δy 与 Δx 的比 有极限(即 无 Δx Δx 限 趋 近 于 某 一 个 常 数) , 我 们 就 把 这 个 极 限 值 叫 做 函数 f________________ (x)在 x=x0 处的导数 , 记 作 f′(x0) 或 y′|x = x0. 即 f′(x0) = f?x0+Δx?-f?x0? __________________.

lim Δ x→ 0

Δx

2.导函数:如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点处都可导, 就说 f(x)在开区间(a,b)内可导.此时对于每一个 x?(a,b),都 对应着一个确定的导数 f′(x),从而就构成一个新的函数 f′(x), 称这个函数 f′(x)叫做函数 y=f(x)在开区间内的导函数,简称导 f?x+Δx?-f?x? Δy 数,记作 f′(x)或 y′.即 f′(x)=y′=________________. lim lim Δ x→0 Δx=Δ x→0 Δx

第14讲 │ 知识梳理
3.导数的几何意义: (1)切线的斜率:设函数 y=f(x)在点 x0 处可导,那么它在 该点处的导数等于函数所表示的曲线在相应点 M(x0, f(x0))处的 切线斜率 即导数的几何意义). ________( s′(t0) (2)瞬时速度:设 s=s(t)是位移函数,则________表示物体 在 t=t0 时刻的瞬时速度. v′(t0) 表示物体在 (3)加速度: 设 v=v(t)是速度函数, 则________ t=t0 时刻的瞬时加速度. (4)边际成本:设 C 是成本,q 是产量,若 C=C(q),则 C′(q0) 表示产量 q=q0 时的边际成本. ________ 4.求导公式 - C′=0(C 为常数);(xn)′=n· xn 1(n?N*). 5.求导法则 如 果 f(x) 、 g(x) 有 导 数 , 那 么 [f(x)± g(x)]′ = f′(x)± g ′ (x ) , [c· f(x)]′=cf′(x).

第14讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 导数的概念
例 1 已知某运动物体的位移 y(米)与其运动时间 t(秒) 的函数关系为:y=t3+t. (1)设 y=f(t),利用导数的定义求 f′(t);(2)求该物体 在 t=2 秒时的瞬时速度.

第14讲 │ 要点探究
例 1 [解答] (1)∵f(t+Δt)-f(t)=(t+Δt)3-t3+(t+Δt)-t=Δt[3t2+ 3Δt· t+(Δt)2+1], f?t+Δt?-f?t? ∴ =3t2+3Δt· t+(Δt)2+1, Δt f?t+Δt?-f?t? ∴f′(t)=Δ lim =Δ lim [3t2+3tΔt+(Δt)2+1]=3t2+1, → t→0 t 0 Δt 即 f′(t)=3t2+1. (2)∵t=2 秒时的瞬时速度即 f′(2),∴瞬间速度为 f′(2)=3×4+1 =13(米/秒). [点评] (1)本题利用导数概念求导数,因此,要注意导数是函数值增 量与自变量增量比值的极限.解答时,必须把握好增量的对应性,即函数 值的增量必须是相应自变量的函数值的差值. (2)求函数 y=f(x)的导数的步骤: ①求函数的增量 Δy=f(x+Δx)-f(x); Δy f?x+Δx?-f?x? Δy ②求平均变化率 = ;③取极限,得导数 f′(x)=Δ lim . x→0 Δx Δx Δx

第14讲 │ 要点探究
变式题 列极限: 已知 f(x)在 x=a 处可导,且 f′(a)=b,求下

[解答] f?a+3h?-f?a-h? f?a+3h?-f?a?+f?a?-f?a-h? (1)lim =lim h→0 h→0 2h 2h f?a+3h?-f?a? 1 f?a-h?-f?a? 3 = 3 lim + - lim 2 h→0 3h 2 h→0 -h 3 1 = f′ (a )+ f ′ (a )= 2 b . 2 2 f?a+h2?-f?a? f?a+h2?-f?a? (2) lim = lim h] = h lim h→0 h→0 [ 2 →0 h h2 f?a+h2?-f?a? · lim 0=0. h→0 h=f′(a)· h2

第14讲 │ 要点探究

[点评] (1)在导数定义中,增量 Δx 的形式多种多样,但不 论 Δx 选择哪种形式,Δy 也必须选择相对应的形式.解决这类 问题的关键是等价变形,使极限式转化为导数定义的结构形 式. (2) 导 函 数 的 定 义 式 并 不 唯 一 , 即 可 表 示 为 Δ lim x→ 0 f?x0+Δx?-f?x0? f?x0?-f?x0-Δx? ,又可表示为Δ lim 或 xlim →x0 x→ 0 Δx Δx f?x?-f?x-x0? . x - x0

第14讲 │ 要点探究
? 探究点2 导数运算的基本公式

例 2 求下列函数的导数. (1)y=(x2+1)(x-2); (2)y=(x2-1)3; (3)y=(a+bx)n(a、b 为常数,n≥2,且 n?N*).
[解答] (1)y=(x2+1)(x-2)=x3-2x2+x-2, y′=3x2-4x+1. (2)∵y=(x2-1)3 0 6 1 4 2 2 3 0 =C3 x -C3 x +C3 x -C3 x, ∴y′=6x5-12x3+6x.

第14讲 │ 要点探究
n 1 n 1 n (3) ∵ y = (a + bx)n = C 0 bx +?+ C k na +Cna na
- -

k k k

n n +?+Cn b n x , n-1 2 n- 2 2 k n-k k k-1 ∴y′=C1 a b + 2C a b x +?+ k C bx n n na n n- 1 +?+nCn . nb x k- 1 又∵kCk = n C n n-1, n- 1 1 n- 2 k-1 (n-1)- ∴y′=nb(C0 a + C a bx +?+ C n- 1 n- 1 n- 1 a -1 n-1 n-1 (k-1)· k-1 k-1 b x +?+Cn x ) n-1b =nb(a+bx)n-1. [点评] 对于函数求导, 需将函数 f(x)展开为多项式 的形式,再求导.

bx

第14讲 │ 要点探究
? 探究点3 导数的几何意义及应用

例 3 (1)曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中, 求斜率最小 的切线方程; (2)若直线 y=3x+1 是曲线 y=x3-a 的一条切线, 求实数 a 的值.

第14讲 │ 要点探究
3 [解答] (1)y′=3x2+6x+6=3(x+1)2+3,由导数 的几何意义,斜率即为 y′. ∴当 x=-1 时,切线斜率最小为 3,此时, y=(-1)3+3×(-1)2+6×(-1)-10=-14. ∴切线方程为 y+14=3(x+1),即 3x-y-11=0. (2)设切点为 P(x0,y0),对 y=x3-a 求导数是 y′=3x2,∴3x2 1. 0=3.∴x0=± ①当 x0=1 时, ∵P(x0,y0)在 y=3x+1 上, ∴y0=3×1+1=4,即 P(1,4), 又 P(1,4)也在曲线 y=x3-a 上, ∴4=13-a.∴a=-3.

第14讲 │ 要点探究
②当 x0=-1 时, ∵P(x0,y0)在 y=3x+1 上, ∴y0=3×(-1)+1=-2,即 P(-1,-2), 又 P(-1,-2)也在曲线 y=x3-a 上, ∴-2=(-1)3-a.∴a=1. 综上可知,实数 a 的值为-3 或 1. [点评] (1)求以点(x0,f(x0))为切点的曲线的切线方程的常用 方法步骤:①设切点的坐标;②利用导数的几何意义求 f(x)的导 函数 f′(x);③将 x0 代入 f′(x)中得到切线的斜率 f′(x0);④利 用直线方程的点斜式写出切线方程. (2)利用导数的几何意义求切线的斜率是导数的一个基本应 用.直线 Ax+By+C=0 与曲线 y=f(x)相切于点(x0,y0)包含三 层含义: ①点(x0, y0)在切线上; ②点(x0, y0)在 y=f(x)上; ③f ′(x0) A =-B.

第14讲 │ 要点探究
变式题 已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与曲线 C 相切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线 l 的方 程及切点坐标.
解析] 切点(x0,y0)既在曲线上,又在切线上,由导数可得切线 的斜率,联立方程组解之即可. y0 [解答] ∵直线过原点,则 k= (x0≠0). x0 3 由点(x0,y0)在曲线 C 上,则 y0=x0 -3x2 0+2x0, y0 ∴ = x2 0-3x0+2. x0 又 y′=3x2-6x+2, 2 ∴在点(x0,y0)处曲线 C 的切线斜率应为 k=f′(x0)=3x0 - 6x0 + 2, 2 ∴ x2 0-3x0+2=3x0-6x0+2.

第14讲 │ 要点探究

整理得 2x2 0-3x0=0. 3 解得 x0= (x0≠0). 2 3 1 这时,y0=- ,k=- . 8 4
?3 3? 1 因此,直线 l 的方程为 y=- x,切点坐标是?2,-8?. 4 ? ?

第14讲 │ 要点探究
1 3 a 2 例 4 [2010· 湖北卷] 设函数 f(x)= x - x +bx+c,其中 3 2 a>0.曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=1. (1)确定 b,c 的值; (2)设曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过 点(0,2).证明:当 x1≠x2 时,f′(x1)≠f′(x2); (3)若过点(0,2)可作曲线 y=f(x)的三条不同切线,求 a 的取 值范围.

第14讲 │ 要点探究
1 3 a 2 例 4 [解答] (1)由 f(x)= x - x +bx+c 得 f(0)=c,f′(x)=x2-ax 3 2 +b,f′(0)=b, 又由曲线 y=f(x)在点 P(0, f(0))处的切线方程为 y=1, 得 f(0)=1, f′(0) =0, 故 b=0,c=1. 1 a (2)f(x)= x3- x2+1,f′(x)=x2-ax,由于点(t,f(t))处的切线方程 3 2 为 y-f(t)=f′(t)(x-t),而点(0,2)在切线上,所以 2-f(t)=f′(t)(-t), 23 a2 23 a2 化简得 t - t +1=0,即 t 满足的方程为 t - t +1=0. 3 2 3 2 下面用反证法证明. 假设存在 x1≠x2, 使 f′(x1)=f′(x2), 由于曲线 y=f(x)在点(x1, f(x1)) 及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2),则下列等式成立:

第14讲 │ 要点探究
?2 3 a 2 ?3x1-2x1+1=0, ① ? ?2 3 a 2 ?3x2-2x2+1=0, ② ? 2 2 ?x1-ax1=x2-ax2, ③ 4 2 2 2 又 x2 1 + x1x2 + x 2 = (x1 + x2) - x1x2 = a - x1(a - x1) = ? a ?2 3 2 3 2 ?x1- ? + a ≥ a , 2? 4 4 ? a a 故由④得 x1 = ,此时 x2 = ,与 x1≠x2 矛盾,所以 2 2 f′(x1)≠f′(x2). 由③得 x1+x2=a,由①-②得 3 2 2 2 x1+x1x2+x2= a ,④

第14讲 │ 要点探究
(3)由(2)可知过点(0,2)可作 y=f(x)的三条切线等价于方程 2 a 2- f(t) = f′(t)(0- t) 有三个相异实根,即等价于方程 t3- t2 3 2 +1=0 有三个相异实根. ? a? 23 a2 2 设 g(t)= t - t +1,则 g′(t)=2t -at=2t?t-2?, 3 2 ? ? 由于 a>0,故有
t g′(t) g(t) (-∞,0) + 0 0 极大值1
? a? ? ? ?0,2? ? ?

a 2

?a ? ? ? ?2,+∞? ? ?



0
a3 极小值1-24



第14讲 │ 要点探究

由 g(t)的单调性知:要使 g(t)=0 有三个相异实根,当且仅当 a3 3 3 1- <0,即 a>2 3,所以 a 的取值范围是(2 3,+∞). 24 [点评] (1)已知切点与切线方程求参数值,一般要根据条件构 造方程(或方程组).特别地,切线平行于 x 轴(或垂直于 y 轴)?切 点是极值点;(2)当证明一个命题用直接法较困难时,可采用反证 法,需要注意的是反证法的步骤及格式.

第14讲 │ 规律总结 规律总结
1.导数的实际背景就是用导数的知识处理相关的实际问 题,主要是指瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线斜率等. 2.能熟练求出多项式(一般不高于三次多项式)的导数, 对以因式积的形式出现的函数 ,一般先化成多项式的形式, 再求导. 3.函数 y=f′(x)在 x=x0 处的几何意义,就是曲线 y= f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率,即 k=f′(x0).求曲线的切 线方程时,要分清是在某点处的切线还是过某点的切线 .

第15讲 │ 导数的应用(一)

第15讲 导数的应用(一)

第15讲 │ 编读互动 编读互动
导数的应用极其广泛,它是研究函数性质、研究曲线的切 线和解决实际问题的有力工具.在研究函数性质时,导数为研 究函数的单调性提供了简单、快捷、程序化的方法,而利用导 数求函数的极大值与极小值, 又可加深对函数单调性与其导数 关系的理解.本讲主要复习利用导数研究函数的单调性、求函 数的单调区间、求函数的极值等基础知识与基本方法.通过复 习,使学生会利用导数求解有关函数单调性、极值以及综合运 用等问题.复习时,课前热身以基础题为主,引导学生回顾基 础知识.在例题部分,循序渐进,按由浅至深的顺序分别涉及 了求函数单调区间、判断函数的单调性、求函数极值和求参数 值的例题, 最后一个例题用高考题为例, 强调导数的综合应用, 培养学生分析问题和解决问题的能力.

第15讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系: (1)(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x)在某个区间 内 可 导 , 如 果 f′(x) > 0 , 则 f(x) 在 该 区 间 内 为 增 _______________ 函 数 ; 如 果 f′(x) < 0 , 则 f(x) 在 该 区 间 内 为 减 _______________ 函数. (2)(函数单调性的必要条件)设函数 y=f(x)在某个区间 内可导,如果 f(x)在该区间上单调递增(或递减),则在该区 ≤ ≥ 间内 f′(x)________0( 或 f′(x)________0) .

第15讲 │ 要点探究
2.函数的极值: (1)函数极值的定义:设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有点, 都有________ , f(x0)>f(x ) 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个 极大值,记作 y 极大值=f(x0); 如果对 x0 附近的所有点,都有 f(x0)<f(x),我们就说 f(x0)是 函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0). 极值 . 极大值与极小值统称为________ (2)判断极值的方法:当函数 f(x)在点 x0 处连续,判别 f(x0)是 极大(小)值的方法: ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0, 那么 f(x0) 大 是极________ 值; ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0, 右侧 f′(x)>0, 那么 f(x0) 小 值. 是极________

第15讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1
例1 +1. (1)设 a=2,求 f(x)的单调区间; (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点, 求 a 的取 值范围.

利用导数求函数的单调区间

[2010· 全国卷Ⅱ] 已知函数 f(x)=x3-3ax2+3x

第15讲 │ 要点探究
例 1 [解答] (1)当 a=2 时,f(x)=x3-6x2+3x+1, f′(x)=3(x-2+ 3)(x-2- 3). 当 x?(-∞,2- 3)时 f′(x)>0,f(x)在(-∞,2- 3)上单 调增加; 当 x?(2- 3,2+ 3)时 f′(x)<0,f(x)在(2- 3,2+ 3) 上单调减少; 当 x?(2+ 3,+∞)上时 f′(x)>0,f(x)在(2+ 3,+∞) 单调增加. 综上, f(x)的单调递增区间是(-∞, 2- 3)和(2+ 3, +∞), f(x)的单调递减区间是(2- 3,2+ 3). (2)f′(x)=3[(x-a)2+1-a2]. 由题意知,f′(x)=0 有实根. 当 Δ=0 时,a=± 1,此时根为 x=± 1?(2,3),不合题意;

第15讲 │ 要点探究
当 Δ>0 时,a<-1 或 a>1,此时根为 x1=a- a2-1,x2=a + a2-1,则 2<a- a2-1<3,① 或 2<a+ a2-1<3.② 5 5 ①无解,②的解集为 <a< . 4 3 ?5 5? 因此 a 的取值范围是?4,3?. ? ? [ 点评 ] (1) 求函数的单调区间时,首先要明确函数的定义 域. (2)在已知函数的单调性求参数的取值范围时, 要注意等号是 否可以取到.

第15讲 │ 要点探究
变式题 已知函数 f(x)=x3+ax2+3bx+c(b≠0),且 g(x)=f(x)-2 是奇函数. (1)求 a,c 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间.

[解答] (1)因为函数 g(x)=f(x)-2 为奇函数,所以对任 意的 x?R,g(-x)=-g(x), 即 f(-x)-2=-f(x)+2. 又 f(x)=x3+ax2+3bx+c, 所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2. ? ?a=-a, 所以? ? ?c-2=-c+2. 解得 a=0,c=2.

第15讲 │ 要点探究
(2)由(1)得 f(x)=x3+3bx+2. 所以 f′(x)=3x2+3b(b≠0). 当 b<0 时, 由 f′(x)=0 得 x=± -b. x 变化时,f′(x)的变化情况如下表:

x f′(x)

(-∞,- -b) +

- (- -b, -b -b) 0 -

-b 0

( -b,+ ∞) +

所以,当 b<0 时, 函数 f(x)在(-∞,- -b)上单调递增, 在(- -b, -b)上单调递减, 在( -b,+∞)上单调递增. 当 b>0 时,f′(x)>0, 所以函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.

第15讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点2 利用导数判断函数的单调性

1 3 例 2 [2009· 全国卷Ⅱ] 设函数 f(x)= x -(1+a)x2 3 +4ax+24a,其中常数 a>1.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围.

第15讲 │ 要点探究
例 2 [ 解 答 ] (1)f′(x) = x2 - 2(1 + a)x + 4a = (x - 2)· (x - 2a).由已知 a>1,∴2a>2, ∴令 f′(x)>0,解得 x>2a 或 x<2,∴当 x?(-∞,2)或(2a, +∞)时,f(x)单调递增,当 x?(2,2a)时,f(x)单调递减.综上,当 a>1 时, f(x)在区间(-∞, 2)和(2a, +∞)上是增函数, 在区间(2,2a) 上是减函数. (2)由(1)知,当 x≥0 时,f(x)在 x=2a 或 x=0 处取得最小值. 1 f(2a)= (2a)3-(1+a)(2a)2+4a· 2a+24a 3 4 3 4 2 =- a +4a +24a=- a(a-6)(a+3), 3 3 a>1, ? ? f(0)=24a,由假设知?f?2a?>0, 即 ? ?f?0?>0,

第15讲 │ 要点探究

?a>1, ?4 ? a?a+3??a-6?<0, ?3 ?24a>0.

解得 1<a<6.

故 a 的取值范围是(1,6). [点评] (1)若函数 y=f(x)在某个区间内可导,f′(x)>0?f(x) 在该区间上为增函数; f′(x)<0? f(x)在该区间上为减函数 . (2)若函数 y=f(x)在某个区间内可导, f(x)在该区间上单调 递增?f′(x)≥0;f(x)在该区间上单调递减?f′(x)≤0.

第15讲 │ 要点探究 要点探究
? 利用导数求函数的极值 1 3 例 3 设函数 f(x)= x -ax2-3a2x+1(a>0). 3 (1)若 a=1,求曲线 f(x)在(a,f(a))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单调区间、极大值和极小值; (3)若 x?[a+1,a+2]时,恒有 f′(x)>-3a,求实数 a 的取值范围. 探究点3

第15讲 │ 要点探究
例 3 [解答] (1)由题知,f′(x)=x2-2ax-3a2(a>0), 当 a=1 时,f′(x)=x2-2x-3, f′(1)=1-2-3=-4. 1 8 8 又 f(1)= -1-3+1=- ,故所求的切线方程为:y+ = 3 3 3 -4(x-1),即 12x+3y-4=0. (2)令 f′(x)=x2-2ax-3a2=0(a>0),得 x=-a 或 x=3a. 当 x 变化时,f(x)与 f′(x)的变化情况如下表:

x f′(x)

(-∞, -a) +

-a 0

(-a,3a) -

3a 0 -9a3 +1

(3a,+ ∞) +

f(x)

a3+1

第15讲 │ 要点探究
从而可知:当 x?(-∞,-a)时,函数 f(x)为增函数; 当 x?(3a,+∞)时,函数 f(x)也为增函数; 当 x?(-a,3a)时,函数 f(x)为减函数. 5 当 x=-a 时,f(x)取得极大值为 a3+1; 3 当 x=3a 时,f(x)取得极小值为-9a3+1. (3)因为 f′(x)=x2-2ax-3a2(a>0)的对称轴为直线 x=a, 且其图象 开口向上, 所以 f′(x)在区间[a+1,a+2]上是增函数. 因为 f′(x)在区间[a+1,a+2]上恒有 f′(x)>-3a, 等价于 f′(x)在区间[a+1,a+2]上的最小值大于-3a 成立, 所以 f′(a+1)=(a+1)2-2a(a+1)-3a2=-4a2+1>-3a, 1 解得- <a<1.又 a>0,则 a 的取值范围是(0,1). 4

第15讲 │ 要点探究

[点评] 对于求极值的问题,首先明确函数的定义域, 并用导数值为 0 的点把定义域分割成几部分,然后列表并 判断导数在各部分取值的正负,极值点从表中就很清楚地 显示出来,然后再求出函数极值.

第15讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点4 已知函数单调性求参数的范围 3 3 例 4 [2010· 北京卷] 设 f(x)=x - (a+1)x2+3ax+1. 2 (1)若函数 f(x)在区间(1,4)内单调递减,求 a 的取值范

围; (2)若函数 f(x)在 x=a 处取得极小值是 1,求 a 的值, 并说明在区间(1,4)内函数 f(x)的单调性.

第15讲 │ 要点探究
例 4 [解答] f′(x)=3x2-3(a+1)x+3a =3(x-1)(x-a). (1)∵函数 f(x)在区间(1,4)内单调递减,∴f′(4)≤0,∴a?[4, +∞). 3 3 (2)∵函数 f(x)在 x=a 处有极值是 1,∴f(a)=1.即 a - (a+1)a2 2 1 3 +3a2+1=- a3+ a2+1=1.∴a2(a-3)=0,所以 a=0 或 3.当 a=0 2 2 时,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,所以 f(0)为极 大值,这与函数 f(x)在 x=a 处取得极小值是 1 矛盾,所以 a≠0.当 a =3,f(x)在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以 f(3)为极 小值,所以 a=3,此时,在区间(1,4)内函数 f(x)的单调性是:f(x)在 (1,3)内减,在[3,4)内增. [点评] 三次函数求导后变为二次函数,这样问题就转化为二次 函数或二次不等式的问题,研究时要注意 x2 的系数的正负、判别式 的符号以及对称轴的位置,必要时要进行分类讨论.

第15讲 │ 规律总结 规律总结
1.求函数单调区间的基本步骤 : (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)由 f′(x)>0 或 f′(x)<0, 解出相应的 x 的范围. 当 f′(x)>0 时, 得到的区间是函数的递增区间 ; 当 f′(x)<0 时,得到的区间是函数的递减区间 . 2.求可导函数 f(x)极值的步骤: (1)求导数 f′(x); (2)求 f′(x)=0 的根; (3)将 f′(x)=0 的根在数轴上标出,得各区间,写出 f′(x)在各区间上的符号,可求出 f(x)的极值.

第16讲 │ 导数的应用(二)

第16讲 导数的应用(二)

第16讲 │ 编读互动 编读互动
利用导数求函数的极大值与极小值,求函数在连续 区间[a, b]上的最大值与最小值或解决一些实际应用问题 是函数内容的继续与延伸,这种利用导数解决问题的方 法使复杂问题简单化,逐渐成为高考的热点.本讲主要 复习利用导数求解最值问题、不等式恒成立问题、方程 问题以及实际问题等.通过本讲复习,培养学生综合运 用知识分析解决问题的能力.

第16讲 │ 知识梳理 知识梳理
函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函 数 f(x),在[a,b]上必有最大值与最小值;但在开区间(a, b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与最小值. (2)求最大值与最小值的步骤:设函数 f(x)在[a,b]上连 续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上最大值与最小值的 步骤如下: 极 ①求 f(x)在(a,b)内的________ 值; f(________ a),f(b) 比较, 极 ②将 f(x)的各________ 值与 其中最大的 一个是最大值,最小的一个是最小值.

第16讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题

例 1 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx(a,b?R).若函数 f(x)在 x=1 处有极值-4.(1)求 f(x)的单调递减区间;(2)求 函数 f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值.

第16讲 │ 要点探究
例 1 [ 解 答 ] (1)f′(x) = 3x2 + 2ax + b , 依 题 意 有 ? ? ? ?f′?1?=0, ?3+2a+b=0, ?a=2, ? 即? 得? ? ? ? ?f?1?=-4, ?1+a+b=-4, ?b=-7. 所以 f′(x)=3x2+4x-7=(3x+7)(x-1),由 f′(x)<0, ? 7 ? 7 得- <x<1,所以函数 f(x)的单调递减区间为?-3,1?. 3 ? ? (2)由(1)知 f(x)=x3+2x2-7x, f′(x)=3x2+4x-7=(3x 7 +7)(x-1),令 f′(x)=0,解得 x1=- ,x2=1. 3 f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:

第16讲 │ 要点探究
x f ′ (x) f(x) 8 -1 (-1,1) - ↘ 1 0 (1,2) + 2

极小值-4



2

由上表知,函数 f(x)在(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增.故 可得 f(x)min=f(1)=-4,f(x)max=f(-1)=8. [点评] 此类题要注意区分函数最大(小)值与函数极值的区别、联 系.函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,是局部性概念, 而函数的最大(小)值是比较整个定义域区间的函数值得出的,是对整 个定义域而言的.在闭区间[a,b]内连续函数 f(x)的最大(小)值,是开 区间(a,b)内所有极大(小)值与 f(a)、f(b)中的最大(小)值.

第16讲 │ 要点探究
变式题 已知函数 f(x)=x3+ax2+b 的图象在点 P(1, f(1))处的切线为 3x+y-3=0.(1)求函数 f(x)及其单调区间; (2)求函数 f(x)在区间[0,t](t>0)上的最值.
[解答] (1)由 P 点在切线上得 f(1)=0, 又点 P(1,0)在 y=f(x) 上,得 a+b=-1,又 f′(1)=3+2a=-3,故得 a=-3,b= 2,故 f(x)=x3-3x2+2.f′(x)=3x2-6x,令 f′(x)>0 解得 x>2 或 x<0,令 f′(x)<0 解得 0<x<2,故 f(x)的增区间是(-∞,0), (2,+∞),减区间是(0,2). (2)当 0<t≤2 时,f(x)max=f(0)=2,f(x)max=f(t)=t3-3t2+ 2. 当 2<t≤3 时,f(x)max=f(0)=f(3)=2,f(x)min=f(2)=-2. 当 t>3 时,f(x)max=f(t)=t3-3t2+2,f(x)min=f(2)=-2.

第16讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点2 利用导数解决方程问题 9 2 3 例 2 设函数 f(x)=x - x +6x-a. 2 (1)对于任意实数 x,f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大
(2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范 围.

值;

第16讲 │ 要点探究
例 2 [解答] (1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2), 因为 x?(-∞,+∞),f′(x)≥m,即 3x2-9x+(6-m)≥0 恒成立, 3 3 所以 Δ=81-12(6-m)≤0,得 m≤- ,即 m 的最大值为- . 4 4 (2)因为当 x<1 时,f′(x)>0;当 1<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时, f′(x)>0; 5 所以当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)= -a; 2 当 x=2 时,f(x)取极小值 f(2)=2-a; 故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时,方程 f(x)=0 仅有一个实根.解得 a<2 或 5 a> . 2 [点评] 方程 f(x)=0 的根等价于函数图象与 x 轴的交点横坐标,方 程根的问题即为函数图象与 x 轴的交点位置问题.

第16讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点3 利用导数求解实际问题

例 3 旅游部门开发一种旅游纪念品, 每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销售 a 件.通过改进工艺,产 品的成本不变,质量和技术含量提高,市场分析的结果表明, 如果产品的销售价提高的百分率为 x(0<x<1),那么月平均销 售量减少的百分率为 x2.改进工艺后,旅游部门销售该纪念品 的平均利润是 y(元). (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售 该纪念品的月平均利润最大.

第16讲 │ 要点探究
例 3 [解答] (1)改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1+ x ), 用平均销售量为 a(1-x2)件, 则月平均利润 y=a(1-x2)· [20(1 + x)-15](元 ),∴ y 与 x 的函数关系式为 y= 5a(1+ 4x- x2- 4x3)(0<x<1). 1 2 2 (2)由 y′=5a(4-2x-12x )=0 得 x1= ,x2=- (舍),当 2 3 1 1 0<x< 时 y′>0,函数 y 是增函数;当 <x<1 时 y′<0,函数 y 2 2 1 2 3 是减函数.∴函数 y=5a(1+4x-x -4x )(0<x<1)在 x= 处取得 2 ? 1? ? 最大值.故改进工艺后,产品的销售价为 20 1+2?=30 元时, ? ? 旅游部门销售该纪念品的平均利润最大.

第16讲 │ 要点探究

[点评] (1)本题是一个优化问题,求解优化问题的思路 是: 优化问题 → 用函数表示数学问题 ↓ ↓ 优化问题答案 ← 用导数解决数学问题 (2)求函数最值时,不仅可以用导数,还可以选择更为 适当的方法求解.

第16讲 │ 要点探究
变式题 已知函数 f(x)=x3-2x2+x, g(x)=x2+x+a, 若函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有三个不同的交点,求实 数 a 的取值范围.
[解答] 函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有三个不同的交 点等价于方程 x3 - 2x2+ x= x2+ x+ a 有三个不同的实数 根.即关于 x 的方程 x3-3x2-a=0 有三个不同的实数 根. 令 h(x)=x3-3x2-a, 则 h′(x)=3x2-6x, 令 h′(x)<0, 解得 0<x<2,令 h′(x)>0,解得 x<0 或 x>2.所以 h(x)在(- ∞,0),(2,+∞)上为增函数,在(0,2)上为减函数.所以 h(0)为极大值,h(2)为极小值.依题意需 h(2)<0<h(0),解 得-4<a<0.

第16讲 │ 要点探究

?

函数、导数、不等式的综合应用 ?1 ? 3 例 4 已知函数 f(x)=ax +?2sinθ?x2-2x+c 的图象 ? ? ? 37? 经过点?1, 6 ?,且在区间(-2,1)上单调递减,在[1,+∞) ? ? 上单调递增.(1)证明 sinθ=1;(2)求 f(x)的解析式;(3) 若对于任意的 x1, x2?[m,m+3](m≥0),不等式 |f(x1) 45 -f(x2)|≤ 恒成立,试问:这样的 m 是否存在,若存在, 2 请求出 m 的范围;若不存在,请说明理由.

探究点4

第16讲 │ 要点探究
例 4 [ 解答 ] (1) 证明:∵ f′(x) = 3ax2 + (sinθ)x - 2 ,由题设可知 ?f′?1?=0, ? ?f′?-2?≤0,
?3a+sinθ-2=0 ①, 即? ?sinθ≥1,∴sinθ=1. 12 a - 2sin θ - 2 ≤ 0 ② ?

1 1 1 (2)将 sinθ=1 代入①式得 a= ,∴f(x)= x3+ x2-2x+c, 3 3 2 37 22 1 1 22 而又由 f(1)= 得,c= ,∴f(x)= x3+ x2-2x+ . 6 3 3 2 3 (3)f′(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1),易知 f(x)在(-∞,-2)及(1,+ ∞)上为增函数,在(-2,1)上为减函数. (i)当 m>1 时,f(x)在[m,m+3]上递增.故 f(x)max=f(m+3),f(x)min =f(m). 15 45 2 由 f(m+3)-f(m)=3m +12m+ ≤ 得-5≤m≤1.这与条件矛盾, 2 2 故舍去.

第16讲 │ 要点探究
(ii)当 0≤m≤1 时,f(x)在[m,1]上递减,在[1,m+3]上递增, ∴f(x)min=f(1),f(x)max=max{f(m),f(m+3)}, 15 9 2 2 又 f(m + 3) - f(m) = 3m + 12m + = 3(m + 2) - > 2 2 0(0≤m≤1), ∴f(x)max=f(m+3), ∴|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=f(m+3)-f(1)≤f(4)-f(1)= 45 恒成立,故当 0≤m≤1 时原式恒成立. 2 综上所述,存在 m 且 m?[0,1]合乎题意. [点评] 导数常作为高考的综合解答题,不仅要求考生牢固掌 握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算 能力.主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证 明不等式等,在证明不等式时,首先要构造函数,再运用导数的 方法来证明.

第16讲 │ 规律总结 规律总结
1.求可导函数 f(x)在区间[a,b]上的最值. 求出 f(x)在(a,b)上的极值并与 f(a)、f(b)比较,得出最大 值和最小值. 2.函数、导数、方程、不等式综合在一起,解决极值、 最值等问题.求极值的过程就是讨论函数单调性及解含参数的 不等式问题;通过构造函数,以导数为工具,证明不等式,解 题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究 函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式 的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键 .参 数的取值范围转化为解不等式的问题 ;有时需要借助于方程的 理论来解决.考查分类与整合、化归与转化的数学思想.

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