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蚂蚁怎样走最近教学设计


第一章

勾股定理

3.蚂蚁怎么走最近
一、学生起点分析
本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题,其中需要学生了解空间图 形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动.学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体 图形已经有了一定的认识, 并从事过相应的实践活动, 因而学生已经具备解决本课问题所需 的知识基础和活动经

验基础.

二、教学任务分析
● 教材内容:
本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级 (上) 第一章 《勾股定理》 第3节.

● 教材地位及作用
具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。 当然, 在这些具体问题的解 决过程中,需要经历几何图形的抽象过程,需要借助观察、操作等实践活动,这些都有助于 发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识;一些探究活动具体一定的难度,需要学生 相互间的合作交流,有助于发展学生合作交流的能力.

三、教学目标分析
1.教学目标 ● ● 知识与技能目标 过程与方法目标

(1)学会观察图形,勇于探索图形间的关系,培养学生的空间观念.

(1)经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力. (2)在将实际问题抽象成几何图形过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学 建模的思想.



情感与态度目标

(1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. (2)在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.

2.教学重点
探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理,并用它们解决生活实际问题.

3.教学难点
利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理,解决实际问题.

1

四、教法学法
1.教学方法:
引导—探究—归纳 本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识教强,思维活跃,为了实现本节课的教学 目标,我力求以下三个方面对学生进行引导: (1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程; (2)从学生活动出发,顺势教学过程; (3)利用探索研究手段,通过思维深入,领悟教学过程.

2.课前准备
教具:教材、电脑、多媒体课件. 学具:用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具.

五、教学过程设计
本节课设计了七个环节.第一环节:情境引入;第二环节:合作探究;第三环节:做一 做;第四环节:小试牛刀;第五环节:举一反三;第六环节:交流小结;第七环节:布置作 业.

第一环节:情境引入 内容:
情景1:多媒体展示: 提出问题:从二教楼到综合楼怎样走最近? 情景2: 如图:在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处, 恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息, 于是它想从 A 处爬向 B 处, 你们想一想,蚂蚁怎么走最近?

意图:
通过情景1复习公理: 两点之间线段最短; 情景2的创设引入新课, 激发学生探究热情.

效果:
从学生熟悉的生活场景引入,提出问题,学生探究热情高涨,为下一环节奠定了良好基 础.

第二环节:合作探究 内容:
学生分为4人活动小组,合作探究蚂蚁爬行的最短路线,充分讨论后,汇总各小组的方 案,在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法,通过具体计算,总结出最短路线。让学生 发现:沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形,研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短
2

问题,引导学生体会利用数学解决实际问题的方法:建立数学模型,构图,计算.

意图:
通过学生的合作探究,找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法,将曲面最短距离问题转化 为平面最短距离问题并利用勾股定理求解. 在活动中体验数学建摸, 培养学生与人合作交流 的能力,增强学生探究能力,操作能力,分析能力,发展空间观念.

效果:
学生汇总了四种方案:

A


A


A


(1) (2) (3) (4) ’ 学生很容易算出:情形(1)中 A→B 的路线长为:AA +d, 情形(2)中 A→B 的路线长为:AA’+πd/2 所以情形(1)的路线比情形(2)要短. 学生在情形(3)和(4)的比较中出现困难,但还是有学生提出用剪刀沿母线 AA’ 剪开圆柱得到矩形,前三种情形 A→B 是折线,而情形(4)是线段,故根据两点之间线段 最短可判断(4)最短. 如图: (1)中 A→B 的路线长为:AA’+d; (2)中 A→B 的路线长为:AA’+A’B>AB; (3)中 A→B 的路线长为:AO+OB>AB; (4)中 A→B 的路线长为:AB. 得出结论:利用展开图中两点之间,线段最短解决问题. 在这个环节中,可让学生沿母线剪开圆柱体,具体观察. 接下来后提问:怎样计算 AB? 在 Rt△AA′B 中,利用勾股定理可得 AB ? AA? ? A' B ,若已知圆柱体高为 12cm,
2 2 2

底面半径为 3cm,π 取 3,则 AB ? 12 ? (3 ? 3) ,? AB ? 15 .
2 2 2

第三环节:做一做 内容:
李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边和 BC 边是否分别垂直于底边 AB,但他随身只带了卷尺, (1)你能替他想办法完成任务吗? (2)李叔叔量得 AD 长是 30 厘米,AB 长是 40 厘米,BD 长是 50 厘 米,AD 边垂直于 AB 边吗?为什么? (3) 小明随身只有一个长度为 20 厘米的刻度尺, 他能有办法检验 AD 边是否垂直于 AB 边吗?BC 边与 AB 边呢? 解答: (2)? AD2 ? AB2 ? 302 ? 402 ? 2500

BD2 ? 2500 ? AD 2 ? AB 2 ? BD 2
∴AD 和 AB 垂直

意图:
3

运用勾股定理逆定理来解决实际问题, 让学生学会分析问题, 利用允许的工具灵活处理 问题.

效果:
先鼓励学生自己寻找办法,再让学生说明李叔叔的办法的合理性.当刻度尺较短时,学 生可能会在上面解决问题的基础上,想出多种办法,如利用分段相加的方法量出 AB,AD 和 BD 的长度, 或在 AB, AD 边上各量一段较小长度, 再去量以它们为边的三角形的第三边, 从而得到结论.

第四环节:小试牛刀 内容:
1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,某日早晨 8:00 甲先出发,他以 6km/h 的速度 向正东行走,1 小时后乙出发,他以 5km/h 的速度向正北行走.上午 10:00,甲、乙两人 相距多远? 解答:如图:已知 A 是甲、乙的出发点,10:00 甲到达 B 点, 北 乙到达 C 点.则: C AB=2×6=12(千米) AC=1×5=5(千米) 在 Rt△ABC 中 A B 东 BC 2 ? AC 2 ? AB2

? 52 ? 122 ? 169 ? 132
∴BC=13(千米) 即甲乙两人相距 13 千米 2.如图,台阶 A 处的蚂蚁要爬到 B 处搬运食物,它怎么走 最近?并求出最近距离. 解答:
20 3 2 B

? AB2 ? 152 ? 202 ? 625 ? 252
A

3.有一个高为 1.5 米,半径是 1 米的圆柱形油桶,在靠近 边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为 0.5 米,问这根铁棒有多长? 解答:设伸入油桶中的长度为 x 米, 2 2 2 则最长时: x ? 1.5 ? 2 ∴最长是 2.5+0.5=3(米) 最短时: x ? 1.5 ∴最短是 1.5+0.5=2(米) 答:这根铁棒的长应在 2-3 米之间

x ? 2.5

意图:
对本节知识进行巩固练习,训练学生根据实际情形画出示意图并计算.

效果:
学生能独立地画出示意图,将现实情形转化为数学模型,并求解.

4

第五环节:举一反三 内容:
1.如图,在棱长为 10 厘米的正方体的一个顶点 A 处有一只蚂 蚁,现要向顶点 B 处爬行,已知蚂蚁爬行的速度是 1 厘米/秒,且速 度保持不变,问蚂蚁能否在 20 秒内从 A 爬到 B? B 解答: B A A B

2.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是: 有一个水池,水面是一个边长为 10 尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出 水面 1 尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的 深度和这根芦苇的长度各是多少? 解答:设水池的水深 AC 为 x 尺,则这根芦苇长为 AD=AB=(x+1)尺, 在直角三角形 ABC 中,BC=5 尺 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2 即 52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2 x+1, 2 x=24, ∴ x=12, x+1=13 答:水池的水深 12 尺,这根芦苇长 13 尺。

意图:
第 1 题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展,从圆柱侧面到棱柱侧面,都是将空间问题 平面化;第 2 题,学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用,了解我国古代人民 的聪明才智;运用方程的思想并利用勾股定理建立方程

效果:
学生能画出棱柱的侧面展开图,确定出 AB 位置,并正确计算.如有可能,还可把正方 体换成长方体进行讨论. 学生能画出示意图,找等量关系,设适当的未知数建立方程.

注意事项:对于普通班级而言,学生完成“小试牛刀” ,已经基本完成课堂教学任务。
因此本环节可以作为教学中的一个备选环节,共老师们根据学生状况选用。

第六环节:交流小结 内容:
师生相互交流总结: 1.解决实际问题的方法是建立数学模型求解. 2.在寻求最短路径时,往往把空间问题平面化,利用勾股定理及其逆定理解决实际问 题.

意图:
鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想, 体会到勾股定理及其逆定理的广泛应

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用及它们的悠久历史.

效果:
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获, 总结出在寻求曲面最短路径时, 往往考虑其 展开图,利用两点之间,线段最短进行求解.并赞叹我国古代数学的成就.

第七环节:布置作业
1.课本习题 1.5 第 1,2,3 题. 2.如图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老师想知 道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?(本题作为对部 分学生的思考题)

六、教学设计反思
本节从生动有趣的问题情景出发, 通过学生自主探究, 运用勾股定理及其逆定理解决简 单的实际问题,既巩固了基本知识点,又在将实际问题抽象成几何图形过程中,学会观察, 提高分析能力,渗透数学建摸思想.在设计中,我注重以下两点: 1.要充分利用好教材提供的素材 “蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题,让学生充满了探究的欲望,这个问题体现 了二、三维图形的转化,对发展学生的空间观念很有好处. 2.合理使用教材提供的练习 本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组,使练习有梯度,既巩固 了基本知识点, 又训练了学生的应用能力. 第一个作业让学生深入理解和应用勾股定理及逆 定理. 3.突破重点、突破难点的策略 在教学过程中教师应通过情景创设, 激发兴趣, 鼓励引导学生经历探索过程,得出结论, 从而发展学生的数学应用能力,提高学生解决实际问题的能力. 4.分层教学 根据本班学生实际情况可在教学过程中选择:基础训练——“小试牛刀” ;提高训练— —“举一反三” ;拓展训练——作业第 2 题. 5.评价方式 根据新课标的评价理念, 在教学过程中应关注学生的参与程度, 关注活动中所反映出的 思维水平, 关注对实际问题的理解水平, 关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理及 逆定理解决实际问题的意识和能力. 在教学过程中尊重学生的个体差异, 对于学生的回答教 师应给予恰当的评价与鼓励,并帮助学生树立学习数学的自信,充分发挥教育的价值. 附:板书设计 情境引入———— 合作探究———— 蚂蚁怎样走最近 小试牛刀: 举一反三————— 1.—————— 1. —————— 2.—————— 3.—————— 2.—————— 课后作业:

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