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定积分在几何中的简单应用教学设计


选修 2-2

第一章

第七节

《定积分在几何中的简单应用》教学设计

设计教师:朱梦姣

教学年级:高二年级

课题名称:定积分在几何中的简单应用 授课时间:40 分钟

教材版本:人教版高中数学选修 2-2 一. 教材 分析

>
定积分的应用是在学生学习了定积分的概念、 定积分的计算、 定积分的几何意义之后, 对定积分知识的总结和升华,通过用定积分解决一些简单的面积问题,初步感受定积分在 解决数学问题与实际问题中的作用,体会导数与定积分之间的内在联系。 【知识与技能目标】 通过本节课的探究,学生能够应用定积分解决不太规则的平面 图形的面积,能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。 【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想,加深对知识的理解,同时体会 到数学研究的基本思路和方法。 【情感、态度与价值观目标】探究式的学习方法能够激发学生的求知欲,培养学生对 学习的浓厚兴趣;探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法,培养学生 勇于探索和实践的精神。

二. 教学 目标

三. 教学 重点 难点 四. 教学 方法

【教学重点】应用定积分解决平面图形的面积,使学生在解决问题的过程中体会定积 分的价值。 【教学难点】如何恰当选择积分变量和确定被积函数。 教学方法是“问题诱导——启发讨论——探索结果” 、 “直观观察——抽象归纳——总 结规律”的一种研究性教与学的方法,过程中注重“诱、思、探、练”的结合,从而引导 学生转变学习方式。采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习,形成师生互 动的教学氛围。 师生活动 设计意图 激发学生 (一) 情景引入: 展示大桥图片,设计问题情境:怎样求拱形的面积? 【课件展示】课题:定积分在几何中的简单应用 大桥图片 问:桥拱的面积如何求解呢? 们的求知 欲和探索 欲,设下悬 念,以激发 学生的探

五. 教学 过程

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第一章

第七节

答:??

索激情,为

【学生活动】本环节安排学生讨论,自主发现解决问题方向——定积分跟面 后 面 作 开 积的关系, (二) 知识回顾: 复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义. 教 【热身训练】练习1.计算 【学生活动】思考口答 学 【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.
y

启性的铺 垫。

?

2

?2

4 ? x 2 dx

2.计算

? ? sin x dx
?

?

培养学生 复习的学 习习惯。



?

0

?x



?

2 ?2

4 ? x 2 dx ?

1 ? ? 22 2

? ? sin x dx ? 0
?

?

(三) 新课讲授: 【问题探究】 怎样用定积分表示下面阴影部分的面积 y A D

y ? f 1 ( x)

B M O a

C

y ? f 2 ( x)
图1 b

N x

【板书】配合学生探究的进展书写推理的过程. 【课件展示】 图 1 选择 X 为积分变量,曲边梯形面积为

s ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a

b

b

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第一章

第七节

【课件展示】探究由曲线所围平面图形的面积解答思路 y

A


0 a

b X

巩固了学 生的作图 能力,在寻 找曲边梯 形的过程

【学生活动】思考、探究、讨论 学 【展示结论】

y


A 0 a b X
曲边形 面积 A=A1-A2

1

中提高了

A a b a
2

学生的想

b

象能力。



曲边梯形(三条直边,一条曲边)

【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗?这就需要通过实践来检验。 【试一试、练一练】 计算由曲线 y ? sin x 与 y ? cos x 及 x ? 0 、 x ? 面积. y

?
2
所围平面图形的

y ? cos x

1

y ? sin x

【学生活动】学生独立思考 【成果展示】 邀请一位同学把自己 的成果展示给大家

S1 S2
O

? 4

? 2

x

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第一章

第七节

S ? S1 ? S 2

S1 ? ? cos x dx ? ? 4 sin x dx
4 0 0

?

?

S 2 ? ?? sin x dx ? ??2 cos x dx
2 4 4

?

?

【师生活动】解答思路清晰,表达正确 问:此题还有其他解法吗? 答: S1 ? S 2 所以只算一个 S,取 2 倍就可以了. 【教师点评】做的漂亮,解题时要注意发现题目的特征,联系我们以前的知 教 识将问题化简后再解答,提高效率. 【例题实践】例1.计算由曲线 【师生活动】探究解法的过程. 学 1. 找到图形----画图得到曲边形. 2. 曲边形面积解法----转化为曲边梯形,做出辅助线. 3. 定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 过 4. 计算定积分. 【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程. 程 【课件展示】解答过程 解:作出草图,所求面积为图中阴影部分的面积.
2 ? ?y ? x 解方程组 ? 2 得到交点横坐标为 ? ?y ? x

完成了一 般理论和 具体问题 的有机结 合,初步达
2

y?x



y ?x
2

所围图形的面积.

到了识记 的目标,突 显了教学 重点。

y

y ? x2
1 C B D A 1

y2 ? x

x ? 0及x ?1

?

s?s
??
1 0

曲边梯形 OABC

?s

-1
曲边梯形 OABD

O -1

x

x dx ? ? x 2 dx
0
3 1

1

2 1 1 2 1 1 ? x 2 ? x3 ? ? ? 3 3 0 3 3 3 0

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第一章

第七节

【例题实践】例2.计算由

y ? x ? 4 与 y 2 ? 2x 所围图形的面积.

【学生活动】学生分组合作完成 【成果展示】邀请同学们把自己的成果展示给大家,发现这道题目有多种解 答方法,过程中解决学生在解题过程中暴露出来的各种问题。 y
y

y ? x?4
4 2

y 4 4 2

使学生懂
x?

y ? 2x

S2 S1
2 4

2

S2
2

y 2

2

得如何灵 活选择积 分变量,确 定被积函 数,通过该 题突破教 学难点。

S
O 2

S
4

S1
2 4 8 x

1

A2

8

x

O



8

x

O



A: B:

s ? s1 ? s 2 ? ?

8 0

2 x dx ?

1 ? 4? 4 2



s ? s1 ? s 2 ? ?
s ? s1 ? s2 ?

4 0

1 ? 8 ? 2 x dx ? ?? 2 x dx ? ? 4 ? 4? 4 2 ? ?

C: 学

2 4 y 1 (4 ? 8) ? 4 ? ? dx 0 2 2

问题:表示不出定积分. 探讨:X 为积分变量表示不到,那换成 Y 为积分变量呢?



【板书】根据师生探究的思路 板书重要分析过程. 【课件展示】解答过程



解:作出草图,所求面积为 图中阴影部分的面积
2 ? ?y ? x 解方程组 ? 2 得到交点坐标为(2,-2)及(8,4) ? y ? x ?

探索到的 结果通过 实践,学生 都得到了 一些解题 心得,及时 指导学生 进行抽象

选y为积分变量

? S ? 1 (2 ? 8) ? 6 ? ?
2

1 2 y dy ? 18 ?2 2
4

【抽象归纳】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤 【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳

【教师简单点评】帮助学生修改、提炼,强调注意注意选择 y 型积分变量时, 归纳,便是

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第一章

第七节

要把函数变形成用 y 表示 x 的函数 .

探究的阶

【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤: 段小结,得 到解题的 1.画草图,求出曲线的交点坐标. 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积. 3.根据图形特点选择适当的积分变量. (注意选择 y 型积分变量时,要 把函数变形成用 y 表示 x 的函数) 4.确定被积函数和积分区间. 5.计算定积分,求出面积. 【应用提升】 如图,一桥拱的形状为抛物线,已 知该抛物线拱的高为常数 h, 宽为常数 b. h b 把本节课 的探究活 动推向高 潮,解决了 前面设下 的悬念的 同时,实现 确定抛物线方程 了生活中 的实际问 题与抽象 问:如何建立平面直角坐标系会使得抛物线方程的求解简单 学 答:以抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系. 【学生活动】学生独立求解抛物线方程. 【成果展示】投影学生练习 过 如图建立平面直角坐标系, 可 设 抛 物 线 方 程 为
y 0 x

一般方法。

2 s ? bh 求证:抛物线拱的面积 3
【师生活动】探究解题方法 1.建立平面直角坐标系 教

2.求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤

数学的完 美结合。

h b
b ( ,? h ) 2

y ? ?ax2 (a ? 0) ,

b 代抛物线上一点 ( ,? h ) 入方程, 2

b 4h 4h 则有 ? h ? ?a( ) 2 解得 a ? 2 ,所以抛物线方程为 y ? ? 2 x 2 . 2 b b

【教师点评】在投影中与全班同学一起点评学生的练习.

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第一章

第七节

【师生活动】探究、并在投影中完成该题 问:所求图形有什么特点? 答:左右对称;可以解答一半取 2 倍. 【成果展示】在黑板上与学生共同完成 设一半的面积为 S,则有
b ?b ? 4h 2s ? 2? h ? ? 2 (? 2 x 2 )dx ? 0 b ?2 ?

教 (四) .互动小结 学

b 4h ?b ? 2 2 ?? ? ? 2? h ? (? 2 x 3 ) 0 bh ? 3 3b ?2 ?

提问式的 课堂小结, 目的在于 调动学生 积极参与 梳理知识 的过程,培 养学生在 探究之后 整合知识 的能力。

问:本节课我们做了什么探究活动呢? 答:用定积分解曲边形面积。 问:如何用定积分解决曲边形面积问题呢?



答:1.画草图,求出曲线的交点坐标. 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积. 3.根据图形特点选择适当的积分变量. (注意选择 y 型积分变量时,



要把函数变形成用 y 表示 x 的函数) 4.确定被积函数和积分区间. 5.计算定积分,求出面积. 问:解答曲线所围的平面图形面积时须注意什么问题? 答:选择最优化的积分变量;根据图形特点选择最优化的解题方法. 问:体会到什么样的数学研究思路及方法呢? 答:从问题出发,联系相关知识,探究出解决问题的思路,通过实践的 检验得到一般方法,通过练习巩固,通过应用提升。

作业是探 究活动的 一种延续。

(五) .作业

学法大视野P105-106

指导教师点评:

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第一章

第七节

朱梦姣老师的这堂课过程设计是: 情境引入→知识回顾→热身练习→合作探究→例题精讲→总结规律→ 学生展示→解决实际→课堂小结。从问题入手,注重“诱、思、探、练”的结合,培养了学生观察、分 析和总结的能力。多媒体课件制作精美、实用,让学生不仅是从无形的思维上还是从有形的图画上都能 感受到数学中的美。


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