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高中数学各种强公式


[例题 1] 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点, 线段 BF 的延长线交 C 于点 D, 且向量 BF=2 向量 FD,求 C 的离心率_____。[解析]:利用爆强公式:ecosA=(x-1)/(x +1) A 为直线与焦点所在轴夹角, 是锐角 。 x 为分离比(就是指 AF=xBF) , 必须大于 1。注 上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分, 用该公式;如果外分,将公式中正负号对调。 综上:本题中 cosA=c/a=e,所以代入公式易得 e=√3/3 [例题 2]已知 O 三角形 ABC 的外心, AB=2, AC=5, 向量 AO※向量 BC (数量积) =__[解 析]:根据爆强公式:向量 AO※向量 BC=(AC^2-AB^2)/2 易得。[公式的来源:过 O 作 BC 垂线,垂足为 D,转化到三角形]综上:答案为:21/2 [例题 3]已知正三棱锥 S-ABC,若点 P 是底面 ABC 内一点,且点 P 到三棱锥的三个侧面的 三个距离依次成等差数列,则点 P 的轨迹是()A.一条直线的一部分 B,椭圆的一部分,C, 圆的一部分 D,抛物线的一部分 [解析]:根据等体积易得 d1+d2+d3=定值。又因为这三 个数成等差,所以 d2 为定值。故选 A[答案]:A [例题 4]已知椭圆 x^2/4+y^2/3=1,直线 AB 过椭圆右焦点,交于椭圆 A.B 两点,AB 的中 点为(1/2,1/2) ,求直线 AB 的方程。 [解析]:根据爆强公式 k 椭=-b^2xo/(a^2yo)=-3/4 根据点斜易得直线方程。[答案]3x+4y-3=0 [例题 5]已知点(x,y)满足 x^2/4+y^2<=1,求 x+2y 的取值范围。[解析]:根据参数方程求 解。x=2cosc,y=sinc 所以 x+2y=2cosc+2sinc=2√2sin(c+派/4) [答案]:[-2√2,2√2] [例题 6]已知 a(n+1)=3a(n)+2, a1=2, 求 an。 [解析]: 根据爆强公式特征根方程得到 x=q/(1-p) =2/(1-3)=-1,所以 an=(a1-x)p^(n-1)+x=3^(n-1)-1[答案]:an=3^(n-1)-1 [例题 7]空间给定不共面的 A、B、C、D 四个点,其中任意两点的距离都不相同,考虑具 有如下性质的平面α :A、B、C、D 中有三个点到 α 的距离相同,另外一个点到α 的距 离是前三个点到α 的距离的 2 倍,这样的平面的个数是 A.15 B.23 C.26 D.32 [解析]:无论如何算,答案必是 4 的倍数。因为 C41=4[答案]:D 如果要真正做也可以自己 想一下:4×(2+6)=32 [例题 8]三角形 ABC 的两顶点 A(-5,0),B(5,0),三角形内心在直线 x=3 上,求顶点 C 的轨迹 方程。[解析]:根据双曲线性质,c 是双曲线上一点,三角形 f1cf2 的内切圆的圆心必在 x=a 上,所以易得 a=3,c=5 注意定义域 [答案]:x^2/9 -y^2/16=1(x>0) [例题 9]已知 P 点在圆 c:x^2+(y-4)^2=1 上移动,Q 点在椭圆 x^2/4 +y^2=1 上移动,求 ∣PQ∣的最大值。 [解析]:抓住圆的圆心不动,以静制动。设点 C(0,4)与点 Q(x,y)的 距离为 d, 则 d^2=x^2+(y-4)^2=4-4y^2+(y-4)^2 又因为 y 属于[-1, 1] 所以 d^2 最大为 25 所 以 d+1 最大为 6。[答案]:6 [例题 10](a+b+c)^6 的展开式中合并同类项后共有__项。 [解析]:根据常用结论(a+b+c)^n 的 展开项有 C(n+2) 2 项。所以本题 C8 2=28[答案]:28[拓展]:上述公式可以推广成(x1+x2 +?+xm)^n 展开合并后共有:C(n+m-1) (m-1) 项

[例题 11]已知 y^2=4x, 过焦点的两弦 AB 垂直 CD, AB+CD 最小=__解析: 根据常用结论: 对于 y^2=2px,有过焦点的两互相垂直弦,则两弦长和最小为 8p。代入易得。[答案]:16 [例题 13]已知等差数列 S15=S10, a1+ak=0, 则 k=__[解析]: 注意 S15-S10=0, 即 a13=0, 即 a13+a13=a1+a25=0,所以 k=25,[答案]25 [例题 14]设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x>=0 时, f(x)=x^2, 若对任意的 x 属于[t, t+2], 不等式 f(x+t)>=2f(x)恒成立,则实数 t 的取值范围:__ [解析]注意到 2f(x)=f(√2 x),再考虑 恒成立,分离参变量即可。[答案]{t∣t>=√2} [例题 15]存在 x 属于 R,使得 ax^2-ax-2>0,求实数 a 的取值范围。 [解析]:分类讨论思 想。1,当 a=0 时,不符合题意。2,当 a>0 时,恒成立,3,当 a<0 时,考虑▲>0,易得 a<-8 [答案]:(-无穷,-8)U(0,+无穷) [例题 16]△ABC 中, 向量 AB(2,3) ,向量 BC(4,-7) 则△ABC 的面积为__。[解析]:根 据爆强公式: △ABC 中,向 AB= (x1 , y1)BC= (x2 y2), 那三角形 ABC 面积=1/2|x1y2-x2y1| 易得答案 13。[答案]:13 [例题 18]△ABC 的三个顶点在椭圆 4x^2+5y^2=6 上,其中 A、B 两点关于原点 O 对称,设 直线 AC 的斜率 k1,直线 BC 的斜率 k2,则 k1k2 的值为 A.-5/4 B.-4/5C.4/5D.2√5/5[解析]: 特殊点考虑。不妨令 A、B 分别为椭圆的长轴上的两个顶点,C 为椭圆短轴上的一个顶点, 这样直接确认交点,由此可得,故选 B[答案]:B [例题 19]等比数列{a n }的前 10 项和为 48,前 20 项和为 60,则 这个数列的前 30 项和 为( )A、75 B、68 C、63 D、54 [解析]:根据性质:[公比不为-1] 在等比数列{a n }中,前 n 项和为 s n,则 s n , s 2 n- s n , s3n -s 2 n 仍成等比数列。易得 63 [答案]:C [例题 20]已知 f(x)定义域为 R, 且f ‘(x)<f(x)恒成立, 判断[e^2012]f(0) 与 f(2012)哪个更大? [解析]关键在于构造函数: F(x)=[e^(-x)]f(x),则 F'(x)=e^(-x)[f'(x)-f(x)]<0, 所以 F(0)>F(2012)。 答案:前者大 [例题 21]已知分段函数 f(x)={a^x (x>1) [4-(a/2)]x+2 (x<=1) }在 R 上递增,则实数 a 的取值范围为()A.(1,正无穷) B(4,8) C[4,8) D(1,8)[解析]:此类题目首先直接排除 范围大的两个选项 A,D,另外至少必有一个闭区间,故免算选 B。[答案]:B [本题考点]: 关键在于是否考虑到临界点处。 [例题 22]在三角形 ABC 中,边长 a,b,c 成等差数列,则(cosA+cosC)/(1+cosAcosC) =__ [解析]特殊值法,令该三角形为等边三角形。易得答案。[答案]4/5 [例题 23]方程∣x-1∣+∣x-3∣<a 在 R 上无解,则 a 的取值范围:__ [解析]根据图像“\_/” 易得 a 的范围。[答案]{a|a<=2} [ 例 题 24] 已 知 (1+x)^16=a0 + (a1)x + (a2)x^2+ ? +a(16)x^16 , 求 a1 + 2(a2) + 3(a3) + ? +16(a16)=__[解析]根据爆强公式: C(n)1+2C(n) 2+3C(n)3+?+nC(n)n =n×[2^(n-1)] [拓展]

证明思路:两边同时对 x 求导 [答案]:2^19 [例题 25]直线 AB 过抛物线 y^2=4x 的焦点 F,求[1/AF]+[1/BF]=__解析:根据爆强公式,对 于 y^2=2px,直线 AB 过焦点 F,必有[1/AF]+[1/BF]=2/p 所以易得答案。[答案]:1 ?[拓展] 对于填空题可以考虑,线段 AB 为通径时,求得答案。 ■ ■■爆强结论:强烈推荐! ! ![太好记了]:对于 y^2=2px,若过焦点的弦 AB 垂直 CD, 有以下两个结论:1,它们长度的和最小值为 8p,[最小在斜率为 1,-1 取到],★2,四 边形 ABCD 的面积最小值为 8(p^2),[最小同样在斜率为 1,-1 取得] ● ●[拓展]:证明 方法:首先必须知道 AB=2p/[(sinx)^2],所以 CD=2p/[(cosx)^2] ,说明 x 为倾斜角! [例题 26]已知椭圆方程 x^2/4+y^2/3=1,点 p(1,-1) ,f 为右焦点。在椭圆上存在一点 m, 使得 mp+2mf 最小。求 m 坐标。[解析]:由椭圆第二定义:mf/mm`=e=1/2(m`表示过 m 作 准线的垂线的垂足)。要使最小:则 m,p,m`三点共线。易得 m 坐标。[答案]:(2√6/3,-1) ■ ■■■■爆强定理:[前提]:适用于抛物线,椭圆。互相垂直的两条直线 AB、直线 CD 均过同一个焦点,四边形 ABCD 的面积必有最小值。当且仅当 k=-1,1[即一条直线斜率 为 1,另一条为-1 时取得]。 此时最小值固定可算得。★★★证明方法:焦半径联立加 上二次函数。

■ ■■■■[适用于任意圆锥曲线]爆强公式圆锥曲线焦点弦长公式:★已知 F 和直线 l 分 别是离心率为 e 的圆锥曲线 C 的焦点和对应准线,焦准距(指焦点到对应准线的距离)为 p,过点焦点 F 的弦 AB 与曲线 C 的焦点 F 所在轴的夹角为 T(T 为锐角),则有 AB=∣ 2ep/[1-(e^2)(cosT)^2]∣(∣∣表示绝对值)。[说明:若知道斜率可先求 cosT]

[例题 27]已知某圆 O 半径为 1,A,B,C 三点都在圆上。AB 弦长固定=√3,C 为动点。 求向量 BA※向量 BC(即数量积)的最大值__ [解析]建立直角坐标系有: 圆心 O 即原点, A(1/2, √3/2),B(1/2,-√3/2)。根据参数方程可设 C(cost,sint),t 任意。所以所求=(√3)[sint+(√ 3/2)]<=(3/2)+√3 [答案]:3/2+√3 [例题 28]空间中从一点出发的四条射线两两夹角为 x,则 cosx=_[解析]:视空间中该点为正 四面体外接球的球心, 四条射线为以球心为端点过正四面体的四个顶点的四条线。 易得答案。 [答案]: -1/3 [例题 29]已知三角形 ABC 的三边长 a,b,c 满足:a>b>c,2b=a+c,a^2+b^2+c^2=84, 且 b 为整数。 则 b=__[解析]: 设 a=b+d, c=b-d(d>0), 则(b+d)^2+b^2+(b-d)^2=84, 即 3b^2 +2d^2=84。因为 b 取整。所以 b 可能值 1,2,3,4,5。又因为 b>d,代入验证得 b=5,[答 案]:5

■[定理 8]:非 p 是非 q 的必要不充分条件等价于 q 是 p 的必要不充分条件[这个结论的价值 是:一般不考虑非 p 和非 q 的内容是什么,而是先转化到 p 与 q 之间的关系,而且这样不容 易出错]

定理 18]:空间四面体的重心公式[(x1+x2+x3+x4)/4,(y1+y2+y3+y4)/4,(z1+z2+z3+z4)/4] ■[定理 19]:若一个集[和谐]合含有 n(n 为正整数)个元素,它的子集为 2^n 个,它的非空子 集为(2^n)-1 个,它的真子集(2^n)-1 个,它的非空真子集为(2^n)-2 个.

■[定理 27]:等比数列爆强公式:S(n+m)=S(m)+(q^m) S(n) [作用:可以迅速求 q.记忆方 法:中间三个都是 m,头尾保持为 n] ■[定理 28]:适用条件:[直线过焦点],必有 ecosA=(x-1)/(x+1),其中 A 为直线与 焦点所在轴夹角,是锐角 。x 为分离比 ,必须大于 1。 注上述公式适合一切圆锥曲线。如 果焦点内分(指的是焦点在所截线段上), 用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上), 右边为(x+1)/(x-1),其他不变。(分离比:AF=xBF 中的 x 或 1/x。目的使 x>1。若 AF=BF/ 2,则 x=2;若 AF=2BF,则 x=2)

■[定理 29]:[请务必搞懂下面这两个恒等式]关于对称问题 1,若在 R 上(下同)满足:f(a +x)=f(b-x)恒成立, 对称轴为 x=(a+b)/2 ,???2、函数 y=f(a+x) 与 y=f (b-x)的图像关于 x=(b-a)/2 对称。[记忆方法:第一个:左右括号内相加除。第二个: 令左括号内式=右括号内式,解出 x 即为对称轴]

■[定理 31]: 数列的终极利器,(如果看不懂就算了)。首先介绍公式:对于 a(n+1)=pa n+q ,a1 已知,那么特征根 x=q/(1-p) ,则数列通项公式为 an=(a1-x)p^(n-1)+ x ,这是一阶特征根方程的运用。[说明:这与前面的那个构造求法是不一样(我想说的是两 个 x 不一样),请不要误会。看你习惯选择用哪一个啦,但千万不要混淆]说明:如果有疑问, 请提问!谢谢合作 ■[定理 37]:求 f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣ (n 为正整数)的最小值。 答案为:当 n 为奇数,最小值为(n^2-1)/4,在 x=(n+1)/2 时取到;当 n 为偶数时, 最小值为 n^2/4,在 x=n/2 或(n/2 )+1 时取到。

■[定理 38]:√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b) (a、b 为正数,是统一定义 域)[说明:这个很基础,但是可以推广成多项]

■[定理 39]:椭圆中焦点三角形面积公式:S=b^2tan(A/2)在双曲线中:S=b^2/tan(A/ 2) 说 明:适用于焦点在 x 轴,且标准的圆锥曲线。A 为两焦半径夹角。[计算时可以加快速度, 证明方法:s=1/2absinC 加上向量]

■[定理 40]:适用于标准方程(焦点在 x 轴)爆强公式:k 椭=-{(b^2) xo}/{(a^2)yo} k 双={(b^2) xo}/{(a^2)yo} k 抛=p/yo 注:(xo,yo)均为直线过圆锥曲线所 截段的中点。[证明方法:点差法] ■[定理 41]:常用数列 bn=n× (2^n) 求和 Sn=(n-1)× (2^(n+1))+2 记忆方法:前面减 去一个 1,后面加一个,再整体加一个 2.[这个不能推广,但是方法可以推广:错位相减] ■[定理 42]:1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)[(2n+1)/6; 1^3+2^3+3^3+…+n^3==(n+1)^2*n^2/4 ■[定理 43]:空间向量三公式解决所有立体几何题目:cosA=|{向量 a.向量 b}/[向量 a 的模 × 向量 b 的模] |一:A 为线线夹角,二:A 为线面夹角(但是公式中 cos 换成 sin)三:A 为 面面夹角 ■注:以上角范围均为[0,派/2]。[说明:立体几何的建立空间直角坐标系非常重 要] ■[定理 44]:切线长 l=√(d^2-r^2) d 表示圆外一点到圆心得距离 , r 为圆半径,而 d 最 小为圆心到直线的距离。 ■[定理 45]:(a+b+c)^n 的展开式[合并之后]的项数为:C(n+2)(2) ,n+2 在下,2 在上 ■[定理 46]:■,关于解决证明含 ln 的不等式的一种思路:爆强■■■:举例说明:证明 1+1 /2+1/3+…+1/n>ln(n+1) 把左边看成是 1/n 求和,右边看成是 Sn。 解:令 an=1/n , 令 Sn=ln(n+1),则 bn=ln(n+1)-lnn ,那么只需证 an >bn 即可,根据定积分知识 画出 y=1/x 的图。an=1× 1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。当然前面要证明 1>ln2。[ ■ 注:仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广,就是把左边、右边看成是数列 求和,证面积大小即可。说明:前提是含 ln 。]说明:这类题目还有构造函数的方法。有时 ■[定理 47]:关于一个重要绝对值不等式:∣|a|-|b|∣≤∣a± b∣≤∣a∣+∣b∣

■[定理 48]:对于 y^2=2px,过焦点的互相垂直的两弦 AB、CD,它们的和最小为 8p。 [爆 强定理的证明:对于 y^2=2px,设过焦点的弦倾斜角为 A.那么弦长可表示为 2p/〔(sinA) ^2〕,所以与之垂直的弦长为 2p/[(cosA)^2],所以求和再据三角知识可知。]

■[定理 50]:已知三角形中 AB=a,AC=b,O 为三角形的外心,则向量 AO× 向量 BC(即 数量积)=(1/2)[b^2-a^2]强烈推荐! [★证明方法:过 O 作 BC 垂线,转化到已知边上] ■[定理 53]:常用结论:过(2p,0)的直线交抛物线 y^2=2px 于 A、B 两点。O 为原点,连 接 AO.BO。必有角 AOB=90 度。[证明方法:可以利用向量积为零证明垂直]

■[定理 54]:对于抽象函数的处理方法如下:柯西函数方程:若 f(x)连续或单调(1)若 f (xy)=f(x)+f(y) (x>0,y>0),则 f(x)=㏒ ax(2)若 f(xy)=f(x)f(y) (x>0,y>0),则 f(x)=x^u(u 由初 值给出)(3) f(x+y)=f(x)f(y) 则 f (x) =a^x (4) 若 f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,则 f(x)=ax? +bx(5) 若 f(x+y)+f(x-y)=2f(x),则 f(x)=ax+b 特别的若 f(x)+f(y)=f(x+y),则 f(x)=kx.[对 于抽象函数,基本思路是赋值,但不乏赋字母]

■[定理 58]:关于积化和差的推导:举例说明:要求将 sinasinb 化成和差形式,首先想一下 在和角差角公式中出现的 sinasinb[两个同名三角函数相乘必定是由于 cos(a+b)与 cos(a-b)引 起],请看式子:cos(a+b)=cosacosb-sinasinb★,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb?,要求出 sina sinb,用?-★即可,得到 cos(a-b)-cos(a+b)=2sinasinb,所以 sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)] 推导完毕。[其他同理:cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)],sinacosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)] ▲,cosasinb 与▲其实是一样的 b 换成 a,a 换成 b 即可]这就是和差化积的所有内容!掌握 原理很重要! ■[定理 59]和差化积的思想是角的演变:a=(a+b)/2+(a-b)/2★,b=(a+b)/2-(a-b)/2▲,比如求 sina-sinb 只需把★、 ▲代入即可化简有 sina-sinb=2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]其他同理。 [说明: 和差化积只可以求同名三角函数的和差化积,意思是不存在 sina-cosb 的化积。敬请注意] 1 的代换:例如万能公式的推导利用到这个:sin2a=2sinacosa=2sinacosa/1=2sinacosa/[(sin a)^2+(cosa)^2]=2tana/[1+(tana)^2] ■[定理 60]:万能公式的全部内容:sin2a=2tana/[1+(tana)^2],cos2a=[1-(tana)^2]/[1+(tana) ^2],tan2a=2tana/[1-(tana)^2][证明方法:前面两个用代换 1,最后一个其实就是正切 2 倍角 展开]

■[定理 61]:y=asin(bx+m)为奇函数的充分必要条件是:m=kπ(k 为整数);为偶函数的充分 必要条件是 m=kπ+π/2。y=acos(bx+m)为奇函数的充分必要条件是 m=kπ+π/2;为偶函数的 充分必要条件是 m=kπ. ■[定理 62]:从 n 个元素里取出 m 个互不相邻的元素的取法总数:C(n-m+1)(m) [注:n-m+1 在下] ■[定理 64]:最有价值的恒等式:若 f(x)的图像关于(a,b)成中心对称等价于 f(x+a)+f(-x+a) =2b,或者 f(x)+f(-x+2a)=2b。???关于这个恒等式的利用价值如下:如果已知 f(x)图 像与 g(x)图像关于(a,b)成中心对称,且 f(x)的解析式已知,求 g(x)的解析式。做法:写出 恒等式即可,g(x)+f(-x+2a)=2b,所以 g(x)=2b-f(-x+2a)

■[定理 68]:关于辅助角公式:asint+bcost=[√(a^2+b^2)]sin(t+m) 其中 tanm=b/a[条件:a> 0] 说明:一些的同学习惯去考虑 sinm 或者 cosm 来确定 m,个人觉得这样太容易出错最好 的方法是根据 tanm 确定 m.(见上)。举例说明:sinx+√3cosx=2sin(x+m),因为 tanm=√3, 所以 m=60 度,所以原式=2sin(x+60 度)

■[定理 69]:对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC nπtanC)整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证

证明如下:

因为 A+B=π-C,所以 tan(A+B)=tan(π-C)即:(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+ta

■[定理 70]y=logax y'=1/xlna;y=a^x y'=(a^x)lna[解题说明:这两个式子的求导比较冷门,但 是并不代表不考,它是课本中明确给出的。而且对于这 2 个公式,我们必须会正反逆用,意 思是会求定积分。举例说明:$(1-2)(2^x)dx=?,解:2^x 的原函数是 2^x/ln2,所以原式=2 ^2/ln2-2/ln2=2/ln2]

■[定理 73]:关于正方体被一个平面所截形成 的图形问题:

■[定理 81]:

■[定理 82]:

■[定理 83]:

■[定理 87]:直线 AB 过原点,交椭圆(或者双曲线)于 A、B 两点 P 为椭圆(或双曲线)上异于 A、B 的任意一点,设直线 PA,直线 PB 的斜率分别为 k1,k2,则 k1k2=e^2-1。(注:e 表 示曲线的离心率)[证明:假设 A(x1,y1),则 B(-x1,-y1),设 P(x,y),因为点 A,P 在曲线 (以椭圆为例)上,所以符合 x^2/a^2+y^2/b^2=1★,x1^2/a^2+y1^2/b^2=1?,k1k2=[(y1-y)(y1-y)]/[(x1-x)(-x1-x)]▲,用★-?代入▲化简得 k1k2=e^2-1。] ■[定理 91][转]:关于证明不等式的几种方法:?1,导数论证函数单调性,极值;?2,积 分证明不等式:主要利用积分的 2 个性质(i)设 x∈[a,b],f(x),g(x)连续,f(x)≠g (x).若 f(x)≥(≤)g(x),则∫(b,a)f(x)dx>(<)∫(b,a)g(x)dx (ii)若 an≤∫ (n,n-1)f(x)dx≤bn,则∑ak≤∫(n,0)f(x)dx≤∑bk (PS:∫(b,a)f(x)dx 表示从 a 积到 b)例题:设 a>0,k∈N+ 证明:n^a/a+1<∑k^a<n^a+1/a+1 证明:当 x∈[k,k+1]时, k^a≤x^a 两边从 k 积到 k+1 得 k^a=∫(k+1,k)k^adx<∫(k+1,k)x^adx=(k+1)^a+1-k^a+1/ a+1 两边求和即得右边不等式,同理可证左边。;?3,切线法证明不等式:众所周知,导 数的几何意义就是曲线的切线斜率, 我们可以考虑利用切线来逼近曲线, 但毕竟切线不是曲 线,所以两个线的方程之间定然用不等号相连,因此我们就可以获得一个不等式,从而解决 一些不等式证明。[解题说明:当然还有一些其他的琴生、权方和、贝努利不等式,不详解] ■[定理 98]:常用结论:?1,若 x 为锐角,则 tanx>x>sinx。[证明方法在单位圆中,利用面 积大小排列证明],?2,若 x 为锐角,则 1<sinx+cosx<=√2,[解题说明:证明:t=sinx+cos x=√2sin(x+45 度),而 0<x<90 度,所以 t 属于(1,√2],这个结论有利于换元时直接给出], ?3,若 x 任意,则∣sinx∣+∣cosx∣>=1

■[定理 100]:在抛物线(或椭圆)中,过焦点(同)的两互相垂直弦交于抛物线(或椭圆)A、B、 C、 D,则四边形 ABCD 的面积最小值在一弦的斜率为 1, 另一弦的斜率为-1 时取得。[证明: 需要运用到三角函数]

■[技巧 1]:[解绝对值不等式的图像方法,十分便捷,重点推荐]:?1,对于∣x+a∣+∣x +b∣<(或者>)m[说明:a,b 任意]的解法:它的图像总是“\_/状,作图方法:I,描出令 x= -a,x=-b 时的 2 点水平连线即可;II,再描出一个[-a,-b](或者[-b,-a])之外的点,按照\_/ 状连接即可;III,进行计算。?2,对于形如∣x+a∣-∣x+b∣>(或<)m 的图像解法:它的图 像为一步阶梯状[如图_/ˉ或者ˉ\_(图像连续不断)],I,描出 x=-a,x=-b 的点;II,连线 2 点; III,进行计算。?3,对于∣2x+a∣+∣x+b∣>m 这种系数不统一的方法仍适用,只是折线 不规则。作图仍然可以解决。


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