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第5讲 函数的单调性与最值


第5讲 │ 函数的单调性与最值

第5讲

函数的单调性与最值

第5讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.函数的单调性及性质 (1)定义:一般地,在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任 意两数x1,x2∈A,当________时,都有________ __________,那么就 x1<x2 f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)) 增加 减少 说f(x)在区间A上是______的(______的). 注意: ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ②必须是对于区间A内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有

f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)).

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(2)如果函数y=f(x)在某个区间A上是增加的或是减少的,就说函
数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间A叫做y=f(x)的单调 区间.

(3)设复合函数y=f[g(x)],其中u=g(x).如果y=f(u)和u=g(x)
增 的单调性相同,那么y=f[g(x)]是________函数;如果y=f(u)和u= 减 g(x)的单调性相反,那么y=f[g(x)]是____函数.

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(4)判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间A上的单调性的一般步骤: ①任取x1,x2∈A,且x1<x2;

②作差f(x1)-f(x2);
③变形(通常是因式分解和配方); ④判断符号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间A上的单调性).

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(5)函数单调性的简单性质 相同 ①奇函数在其关于原点对称区间上的单调性______; ②偶函数在其关于原点对称区间上的单调性______; 相反 ③在公共定义域内: 增函数 增函数f(x)+增函数g(x)是________; 减函数 减函数f(x)+减函数g(x)是________; 增函数 增函数f(x)-减函数g(x)是________; 减函数 减函数f(x)-增函数g(x)是________.

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2.函数的最值: 对于函数f(x),假定其定义域为A,则 (1)若存在x0∈A,使得对于任意x∈A,恒有 f(x)≥f(x0)成立,则称f(x0)是函数f(x)的________; 最小值 (2)若存在x0∈A,使得对于任意x∈A,恒有 f(x)≤f(x0)成立,则称f(x0)是函数f(x)的________.
最大值

第5讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 判断、证明函数的单调性

例1 [ 2010·黄浦模拟] 已知a、b是正整数,函数f(x)=ax+ 2 (x≠-b)的图像经过点(1,3). x+b (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)在(-1,0]上的单调性,并用单调性定义证明 你的结论.

[思路] (1)利用函数过定点以及a,b为正整数,求得a,b的值,从 而得到函数f(x)的解析式;(2)严格按照用定义证明单调性的步骤进行.

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[解答] (1)由函数 f(x)=ax+ 2 ,则(3-a)(b+1)=2. 1+b 又 a、b 均为正整数,

2 (x≠-b)的图像过点(1,3)知 3=a+ x+b

?3-a=1, ?a=2, 故 3-a>0,b+1≥2.于是,必有? 即? ?b+1=2, ?b=1.

所以 f(x)=2x+

2 (x≠-1). x+1

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2 (2)结论:f(x)=2x+ (x≠-1)在(-1,0]上是减函数. x+1 证明:设 x1,x2 是(-1,0]内的任意两个不相等的实数,且 x1<x2. ? 2 ? 2 ?2x2+ ? 则 f(x1)-f(x2)=2x1+ - x2+1? x1+1 ? 2?x2-x1? =2(x1-x2)+ ?x1+1??x2+1? x2+x1?1+x2? =2(x1-x2)· . ?x1+1??x2+1? 又-1<x1≤0,-1<x2≤0,x1<x2,故 x1-x2<0,1+x1>0,1+x2>0,x2 +x1(1+x2)<0. x2+x1?1+x2? 于是,2(x1-x2)· >0, ?x1+1??x2+1? 即 f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2). 2 所以,函数 f(x)=2x+ (x≠-1)在(-1,0]上是减函数. x+1

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[点评] 用定义证明单调性必须走程序化的步骤,其关键 一步是对Δy作的变形,变形的目的是能够判断Δy的符号, 为此常作出:①多项式分解因式或配方;②分式通分后分子、 分母因式分解;③根式有理化;④幂、指、对数要用各自的 运算法则. 判断含有参数的函数的单调性,需注意对参数进行讨论以及 分类讨论的依据是什么,应根据具体的题目进行具体的分析, 比如下面的变式题.

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判断函数f(x)=x+(a≠0)在区间上的单调性, 并加以证明.

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[解答] 当 a>0 时,函数在( a,+∞)上是增函数,在(0, a)上是减函数,当 a<0 时,函数在(0,+∞)上是增函数. ?x x -a? a?x1-x2? a a 1 2 ? 证明:f(x2)-f(x1)=x2+ -x1- =(x2-x1)+ =(x2-x1)? ? ?. x2 x1 x 1x 2 ? x1x2 ? 当 a>0 时,若 a<x1<x2,则 x1x2>a, ?x x -a? 1 2 ? ∴(x2-x1)? ? ?>0, ? x 1x 2 ? 即 f(x2)>f(x1), 若 0<x1<x2< a,则 0<x1x2<a, ?x x -a? 1 2 ? ∴(x2-x1)? ? ?<0,即 f(x2)<f(x1). ? x 1x 2 ? 所以函数在( a,+∞)上是增函数,在(0, a)上是减函数; 当 a<0 时,∵0<x1<x2,∴x1x2>0, ?x x -a? 1 2 ? 又-a>0,∴(x2-x1)? >0, ? x1x2 ? ? ? 即 f(x2)>f(x1), ∴函数在(0,+∞)上是增函数.

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? 探究点2 抽象函数与复合函数的单调性

例2已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=
f(x)+f(y);(2)当x>0时,f(x)<0且f(1)=-2. (1)求证:f(x)在R上是减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

[思路] (1)对抽象函数关系式中的x,y正确合理的赋值后,利用单调性的 定义证明;(2)利用函数的单调性求最值.

第5讲 │ 要点探究
[解答] (1)证明:任取x1<x2,由条件(1)得f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2- x1)+f(x1),∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),∵x2-x1>0,由条件(2)得f(x2- x1)<0, ∴f(x2)<f(x1),∴f(x)在R上单调递减. (2)在(1)中,令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0,再令y=-x 得f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x),因此f(x)为奇函数, ∴f(x)max=f(-3)=-f(3)=-f(1+2)=-f(1)-f(2)=-f(1)-f(1)-f(1) =-3f(1)=6,f(x)min=f(3)=-f(-3)=-6.

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[点评] 根据题目所给的条件,往往需要探求函数有哪些 特殊的性质,如函数的单调性、奇偶性、周期性等,本题将 奇偶性与单调性有机结合起来,而函数的单调性是解决抽象 函数最值题的常见方法.

第5讲 │ 要点探究
?a ? x>1? , ? 例 3 (1)若 f(x)=?? a? ? 4- ?x+2? x≤1? ?? 2? ?? ? 增函数,则实数 a 的取值范围为( )
x

是 R 上的单调递

A.(1,+∞) C.(4,8)

? ? B.?4,8? ? ? D.(1,8)

[思路]各段函数在其定义域内都是增函数,并注意x=1处时,两 段函数的函数值的大小关系

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[答案] B

[解析] 函数 f(x)在 R 上为增函数,则 y=ax 在(1,+∞)上为增
? a? a? ? ? 函数, 函数 y= 4-2?x+2 在(-∞, 1]上为增函数, a≥?4-2? 且 ? ? ? ? ? ? ? ?

?a>1, ? ?4-a>0, 2 +2,因此? ? ?? a?? ?a≥??4-2??+2, ?

解得 4≤a<8.故选 B.

第5讲 │ 要点探究

(2)求函数y=log0.7(x2-3x+2)的单调区间.
[思路] 对于复合函数的单调性,要在定义域上结合“同增异减

”的判断方法进行分析
[解答] 函数 y=log0.7(x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪ (2,+∞).令 t=x2-3x+2,y=log0.7t, 显然 y=log0.7t 在(0,+∞)上是单调递减的,而 t= x2-3x+2 在(-∞,1),(2,+∞)上分别是单调递减和 单调递增的,根据复合函数的单调性的规则可知: 函数 y=log0.7(x2-3x+2)的单调递增区间为?-∞,1?, ? ? 单调递减区间为?2,+∞?. ? ?

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[点评] 在运用复合法判断函数的单调性时,要注意:(1) 单调区间必须在定义域内;(2)要确定内层函数t=g(x)的值域, 否则就无法确定f(t)的单调性(特别是当f(t)的单调区间是由几 个区间组成时);(3)函数的单调区间不能用“∪”,只能用 “和”或“,”表示.比如下面的变式题.

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函数 f(x)(x∈R)的图像如图 5-1 所示, 则函数 g(x) =f(logax)(0<a<1)的单调减区间是( )
? 1? A.?0, ? 2? ? ?1 ? B.(-∞,0)∪? ,+∞? ?2 ?

C.[ a,1] D.[ a, a+1]
图5-1

[思路] 利用函数图像得到f(x)的单调性,并结合判断复合函数单调性 规则求解.

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[答案]

C

[解析] 令 t=logax,函数 t=logax(0<a<1)在定义域内为
?1 ? 1? ? ? 减函数,而函数 g(t)在 0,2?为增函数,在?2,+∞?上是 ? ? ? ? ? ? ? ?

1 减函数,由 0<t=logax< ,得 a<x<1,因此函数 g(x)= 2 f(logax)(0<a<1)在[ a,1]上为减函数.

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? 探究点3 与单调性有关参数问题

例4设函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R). (1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求实数a、b的值; (2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求 实数k的取值范围.

[思路]

二次函数恒成立可考虑判别式Δ (2)g(x)仍是二次函数,

其单调性可依据抛物线的对称轴处理.

第5讲 │ 要点探究
[解答] (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,即b=a+1.

又对任意实数x均有f(x)≥0成立,∴Δ=b2-4a≤0恒成立,即(a-1)2≤0
恒成立,∴ a=1,b=2.
(2)由(1)可知 f(x)=x2+2x+1, ∴g(x)=x2+(2-k)x+1. ∵ g(x)在 x∈[-2,2]时是单调函数, ? ?k-2 ? k-2? ?或[-2,2]?? ∴[-2,2]??-∞, ,+∞?. 2 ? ? ? 2 ? k-2 k-2 ∴2≤ 或 ≤-2, 2 2 即实数 k 的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).

第5讲 │ 要点探究

[点评] 已知函数的单调性求函数解析式中参数的取值 范围的基本方法有两个:(1)根据函数单调性的特点,若是 一次函数要注意考查一次项的系数,若是二次函数要注意 考查其对称轴等.(2)利用导数方法.

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[2010· 合 肥 模 拟 ] 函 数 f(x) = ?2x2-8ax+3? x<1? , ? 在 x∈R 内单调递减,则 a logax? x≥1? ? 的取值范围是( ? 1? A. ?0, ? 2? ? ?5 ? ? ,1? D. ?8 ?
[思路]

)
?1 ? B. ? ,1? ?2 ? ?1 5 ? C. ? , ? ?2 8 ?

函数在区间(-∞,1),(1,+∞)上均要单独递减,且在

区间(-∞,1)上的函数值要恒大于在区间(1,+∞)上的函数值.

第5讲 │ 要点探究
[答案] C

[解析] 当 x<1 时,函数 f(x)=2x2-8ax+3 须单调 -8a 1 递减, x=- 即 =2a≥1, a≥ ; x≥1 时, 得 当 2 2×2 由函数 f(x)=logax 单调递减得 0<a<1;且有 2×12 5 1 5 -8a×1+3≥loga1,得 a≤ .综合得 ≤a≤ . 8 2 8

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? 探究点4 利用函数单调性求最值

1 1 例 5 已知 f(x)= - (x>0).

a x

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若函数 f(x)的定义域和值域都是[m,n],则称 f(x)是正方形函数,试问,是否存在实数 a,使 f(x) ?1 ? ? 在? ,2?上为正方形函数,若存在,求 a 的值,若不存 ? ?2 ? 在,说明理由.

第5讲 │ 要点探究

?1 1 ? [解答] (1)证明:令x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0,又f(x2)-f(x1)= ?a-x ? - ? 2? ?1 1 ? 1 1 x2-x1 ? - ?= - = >0,即f(x2)>f(x1),故函数f(x)在(0,+∞)上是增函数, x1x2 ?a x1? x1 x2 ?1 ? (2)设存在a,使f(x)在 ?2,2? 为正方形函数,又f(x)在(0,+∞)上是增函数, ? ?

?1-2=1, a 2 因此? 1 1 ?a-2=2,

?1 ? 2 2 解得a= ,因此存在a= ,使f(x)在?2,2?为正方形函数. 5 5 ? ?

第5讲 │ 规律总结 规律总结
1.求函数的单调区间,讨论函数的单调性时要注意以下两点: (1)必须在定义域内进行,即函数的单调区间是定义域的子集;

(2)常转化为熟悉函数的单调性,因此,掌握并熟记一次函数、反
比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的单 调性,将大大缩短我们的判断过程.

2.单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此,定义中的
x1,x2具有任意性,不能用特殊值代替.

第5讲 │ 规律总结

3.已知函数单调性求参数范围的问题,解法是根据单调性的概念

得到恒成立的不等式,还要注意定义域的限制,并挖掘题目的隐含条
件. 4.利用函数的单调性求函数的值域或最值时一定要注意函数的定

义域.除函数的单调性外,求函数最值的方法还有:不等式法,三角
代换法,配方法,导数法,数形结合法等,需多总结各种题型与方法 的相互搭配.


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