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12.6 离散型随机变量的均值与方差


12.6 离散型随机变量的均值与方差
一、选择题 1.若随机变量 X 的分布列如下表,则 E(X)等于( ) 4 3x 5

X P

0 2x

1 3x

2 7x

3 2x

x

1 A. 18 20 C. 9


B. D.

1 9

9 20 1 . ∴ E(X) = 18

解析 由分布列的性质可得 2x + 3x + 7x + 2x + 3x + x = 1 ,∴ x = 0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5x=40x= 答案 C 20 . 9

1 2.某班有 的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出 5 名同学,那么其中数 4 1? ? 学成绩优秀的学生数 X~B?5, ?,则 E(2X+1)等于( ) 4? ? 5 5 A. B. 4 2 7 C.3 D. 2 1? 5 5 7 ? 解析 因为 X~B?5, ?, 所以 E(X)= , 所以 E(2X+1)=2E(X)+1=2× +1= . 4? 4 4 2 ? 答案 D 3.已知随机变量 X+η =8,若 X~B(10,0.6),则 E(η ),D(η )分别是( A.6 和 2.4 C.2 和 5.6 B.2 和 2.4 D.6 和 5.6 ).

解析 若两个随机变量 η ,X 满足一次关系式 η =aX+b(a,b 为常数),当已知

E(X)、D(X)时,则有 E(η )=aE(X)+b,D(η )=a2D(X).由已知随机变量 X+η
=8,所以有 η =8-X.因此,求得 E(η )=8-E(X)=8-10×0.6=2,

D(η )=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.
答案 B

4.已知 X 的分布列为

X P

-1 1 2

0 1 3

1 1 6

1 23 则在下列式子中:①E(X)=- ;②D(X)= ; 3 27 1 ③P(X=0)= . 3 正确的个数是( A.0 ). B.1 C.2 D.3

1 1 1 解析 E(X)=(-1)× +1× =- ,故①正确. 2 6 3

D(X)=?-1+ ?2× +?0+ ?2× +?1+ ?2× = ,故②不正确.
由分布列知③正确. 答案 C 5.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概 率为 c,a、b、c∈(0,1),且无其他得分情况,已知他投篮一次得分的数学期望 为 1,则 ab 的最大值为( 1 A. 48 1 C. 12 ) B. D. 1 24 1 6

? ?

1? 3?

1 2

? ?

1? 3?

1 3

? ?

1? 3?

1 6

5 9

解析 依题意得 3a+2b+0×c=1,∵a>0,b>0,∴3a+2b≥2 6ab, 即 2 6ab≤1,∴ab≤ 答案 B 6.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种 子,每粒需要再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( A.100 B.200 C.300 D.400 ). 1 2 3 .当且仅当 3a=2b 即 a= ,b= 时等式成立. 24 5 5

解析 种子发芽率为 0.9,不发芽率为 0.1,每粒种子发芽与否相互独立,故设

没有发芽的种子数为 ξ ,则 ξ ~B(1 000,0.1),∴E(ξ )=1 000×0.1=100, 故需补种的期望为 E(X)=2·E(ξ )=200. 答案 B 7.签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签,从中任意取 3 支,设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个,则 X 的数学期望为( A.5 B.5.25 C.5.8 ). D.4.6

解析 由题意可知,X 可以取 3,4,5,6, 1 1 C2 3 3 P(X=3)= 3= ,P(X=4)= 3= , C6 20 C6 20

P(X=5)= 3= ,P(X=6)= 3= .
由数学期望的定义可求得 E(X)=5.25. 答案 B 二、填空题 8. 某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公 司投递了个人简历,假 定该毕业生得到甲公司面试的概率为
2 ,得到乙、丙两公司面试的概率为 p ,且 3

C2 4 C6

3 10

C2 5 C6

1 2

三个公司是否让其面试是相互独立的。记 ? 为该毕业生得到面试得公司个数。若
P (? ? 0) ? 1 ,则随机变量 ? 的数学期望 E? ? 12

答案

5 3

9. 已知离散型随机变量 X 的分布列如右表, 若 E(X)=0, D(X)=1, 则 a=________,

b=________.

解析

? ? 1 由题意知?-a+c+ =0, 6 ?a+c+1=1, ? 3
a+b+c= ,
11 12 5 12 1 4

? ? 1 解得?b= , 4 ?c=1. ? 4
5 12

a= ,

答案

10.马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如下表: ξ 1 ? 2 ! 3 ?

P

请小牛同学计算 ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处 字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案

E(ξ )=________.
解析 令“?”为 a,“!”为 b,则 2a+b=1.又 E(ξ )=a+2b+3a=2(2a+

b)=2.
答案 2 11. 袋中有大小、 形状相同的红、 黑球各一个, 每次摸取一个球记下颜色后放回, 现连续取球 8 次,记取出红球的次数为 X,则 X 的方差 D(X)=________. 1 解析 每次取球时,红球被取出的概率为 ,8 次取球看做 8 次独立重复试验, 2 1 1 ?1 ? 红球出现的次数 X~B? ,8?,故 D(X)=8× × =2. 2 2 ?2 ? 答案 2 12.罐中有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 球,记住颜色后再放回,连续摸取 4 次,设 ξ 为取得红球的次数,则 ξ 的期望 E(ξ )=________. 3 解析 因为是有放回地摸球, 所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为 , 5 3? ? 连续摸 4 次(做 4 次试验),ξ 为取得红球(成功)的次数,则 ξ ~B?4, ?, 5? ? 3 12 从而有 E(ξ )=np=4× = . 5 5 答案 12 5

三、解答题 13.某品牌汽车的 4S 店,对最近 100 位采用分期付款的购车者进行了统计,统 计结果如下表所示:已知分 3 期付款的频率为 0.2,且 4S 店经销一辆该品牌的 汽车, 顾客分 1 期付款, 其利润为 1 万元; 分 2 期或 3 期付款其利润为 1.5 万元; 分 4 期或 5 期付款,其利润为 2 万元.用 η 表示经销一辆汽车的利润. 付款方式 频数 分1期 40 分2期 20 分3期 分4期 10 分5期

a

b

(1)若以频率作为概率,求事件 A:“购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有 1 位采用分 3 期付款”的概率 P(A); (2)求 η 的分布列及其数学期望 E(η ). 解析 (1)由题意可知“购买该品牌汽车的 3 位顾客中有 1 位采用分 3 期付款”的 概率为 0.2,所以
2 P(A)=0.83+C1 3×0.2×(1-0.2) =0.896.

(2)由

a
100

=0.2 得 a=20,

∵40+20+a+10+b=100,∴b=10. 记分期付款的期数为 ξ ,依题意得:

P(ξ =1)=

40 20 20 =0.4,P(ξ =2)= =0.2,P(ξ =3)= =0.2,P(ξ =4) 100 100 100

10 = =0.1, 100

P(ξ =5)=

10 =0.1. 100

由题意知 η 的可能取值为:1,1.5,2(单位:万元).

P(η =1)=P(ξ =1)=0.4, P(η =1.5)=P(ξ =2)+P(ξ =3)=0.4; P(η =2)=P(ξ =4)+P(ξ =5)=0.1+0.1=0.2.
∴η 的分布列为:

η

1 0.4

1.5 0.4

2 0.2

P

∴η 的数学期望 E(η )=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4(万元). 14.如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径所用的时 间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:

时间(分钟)

10~20 0.1 0

20~30 0.2 0.1

30~40 0.3 0.4

40~50 0.2 0.4

50~60 0.2 0.1

L1 的频率 L2 的频率

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的 路径? (2)用 X 表示甲、 乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择 方案,求 X 的分布列和数学期望. 解析 (1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件 “乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2. 用频率估计相应的概率可得

P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,
∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1;

P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择 L2. (2)A,B 分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站, 由(1)知 P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由题意知,A,B 独立, ∴P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.1=0.04,

P(X=1)=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42,

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54.
∴X 的分布列为

X P

0 0.04

1 0.42

2 0.54

∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5. 15.某省示范高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一 年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化 学、 生物和信息技术辅导讲座, 每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任 何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.(规定:各科达 到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座)统计数据表明,各学科讲座各 天的满座的概率如下表: 信息技术 周一 周三 周五 1 4 1 2 1 3 生物 1 4 1 2 1 3 化学 1 4 1 2 1 3 物理 1 4 1 2 1 3 数学 1 2 2 3 2 3

(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ξ ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 解析 (1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A, 1?? 2?? 2? 1 ? 则 P(A)=?1- ??1- ??1- ?= . 2?? 3?? 3? 18 ? (2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,5.

P(ξ =0)=?1- ?4×?1- ?= ;
3 4 P(ξ =1)=C1 4× ×?1- ? ×?1- ?+?1- ? × = ;

? ?

1? 2?

? ?

2? 3?

1 48

1 2

? ?

1? 2?

? ?

2? 3?

? ?

1? 2?

2 3

1 8

2 2 1 3 P(ξ =2)=C2 ; 4×? ? ×?1- ? ×?1- ?+C4× ×?1- ? × =

?1? ?2? ?1? ?2? ? ?

? ? ? ?

1? 2? 1? 2?

? ?

2? 3?

1 2

? ?

1? 2?

2 3

7 24

3 2 2 2 P(ξ =3)=C3 4×? ? ×?1- ?×?1- ?+C4×? ? ×?1- ? × = ;

? ?

2? 3?

?1? ?2?

? ?

1? 2?

2 3

1 3

3 P(ξ =4)=? ?4×?1- ?+C3 ; 4×? ? ×?1- ?× =

?1? ?2?

2? 3?

?1? ?2?

? ?

1? 2?

2 3

3 16

P(ξ =5)=? ?4× = .
所以,随机变量 ξ 的分布列如下: ξ 0 1 48 1 1 8 2 7 24 3 1 3 4 3 16 5 1 24

?1? ?2?

2 3

1 24

P
故 E(ξ )=0×

1 1 7 1 3 1 8 +1× +2× +3× +4× +5× = . 48 8 24 3 16 24 3

16.某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位游客游览这 3 个景点的概率分别是 0.4、0.5、0.6,且游客是否游览哪个景点互不影响,用 X 表示该游客离开该城 市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (1)求 X 的分布列及期望; (2)记“f(x)=2Xx+4 在[-3,-1]上存在 x0,使 f(x0)=0”为事件 A,求事件

A 的概率.
解析 (1)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件 A1、A2、A3,已知 A1、A2、A3 相互独立,且 P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6.游客游览的景点数可能取值 为 0、1、2、3,相应的游客没有游览的景点数可能取值为 3、2、1、0, 所以 X 的可能取值为 1、3.则 P(X=3)=P(A1A2A3)+P( A1 =P(A1)·P(A2)·P(A3)+P( A1 )·P( A2 )·P( A3 ) =2×0.4×0.5×0.6=0.24.

A2

A3 )

P(X=1)=1-0.24=0.76.
所以分布列为:

X P
∴E(X)=1×0.76+3×0.24=1.48.

1 0.76

3 0.24

(2)∵f(x)=2Xx+4 在[-3,-1]上存在 x0,使得 f(x0)=0, ∴f(-3)·f(-1)≤0,即(-6X+4)(-2X+4)≤0, 2 解得: ≤X≤2. 3

?2 ? ∴P(A)=P? ≤X≤2?=P(X=1)=0.76. 3 ? ?

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