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江西省重点中学协作体2013届高三5月第二次联考数学文试题含答案


江西省重点中学协作体 2013 届高三第二次联考 数学(文科)试卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1、设 a、b、c、d∈ R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 ( ) A.ad-bc=0 B.ac-bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 2、在函数

y ? f (x) 的图象上有点列(xn,yn),若数列{xn}是等差数列,数列{yn}是等比数列,则函数

A. ? ??, ?1?

B. ? ??,0 ?

C. ? ?1,0?

D. ? ?1,0?

7、已知 a ? 0, b ? 0, a ,b的等比中项是 l,且 m ? b ? A.3 B.4 C.5 D.6

1 1 , n ? a + ,则 m ? n 的最小值是( a b

)

8、如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,BC=2,AC= 5 ,AA1=3,M 为线段 BB1 上的一动点,则当 AM+MC1 最小 时,△AMC1 的面积为( )

y ? f (x) 的解析式可能为(

) C. f ( x) ? log3 x

A 13 D. f ( x) ? 2 x ? 1

B. 10

C.

3

D.2

?3? A. f ( x) ? ? ? ?4?
3、已知函数 A. 0 ?

x

B. f ( x) ? 4x 2
x ?1

9、已知两定点 A(?1, 0) 和 B(1, 0) ,动点 P ( x, y ) 在直线 l : y ? x ? 2 上 移动,椭圆 C 以 A, B 为焦点且经过点 P ,记椭圆 C 的离心率为 e( x) ,

? 3 , x ? 0, f ( x) ? ? 若 f ? x 0 ? ? 3 ,则 x 0 的取值范围是( log 2 x, x ? 0. ?
B. x 0 ? 0 或 x 0

)

则函数 y ? e( x) 的大致图像是(



x0 ? 8

? 8 C x 0 ? 8 D. x 0 ? 0 或 0 ? x 0 ? 8 .
2

4、在平面直角坐标系中,不等式组

(a 为常数)表示的平面区域的面积 8,则 x +y 的最

小值( A.

) B. 0 C. 12 D. 20

5、己知函数 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? )(|? |? ? ) ,若函数f(x)在区间 ( 范围是( A. [ ) ] B .[ ?

? 5?
6 , 8

) 上单调递增,则 ? 的取值

? 7?
3 , 8

5? 3? ,? ] 6 4
?

2? ? ? C. ? ?? , ? ? 3 ? ?
6、 函数 f ( x) ? ?

?

? ? ? ? ?? 8 , ? ? ?

?? ? D. ? ?? , ? 3? ?

? 7? ? ? 8 ,? ? ? ?


2 10 、 若 x , y 满 足 log 2 [4cos ( xy) ?

1 ] ? ln y ? y ? ln e2 , 则 y ? cos 2 x 的 值 为 2 4cos ( xy)
1 e 2
D.

(

)

?e x ? a, x ? 0, ( a ? R ) 若函数 f ( x ) 在 R 上有两个零点, a 的取值范围是 , 则 ( ?2 x ? 1, x ? 0

A.

1 2

B.

?

1 2

C. ?

1 e 2

二、填空题(本题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请把正确答案填在题中横线上)

1

11、若向量 a , b 满足 | a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则 a ? b 的值为______. y)||x|+|y|≤2}, y), 12、 若区域 M={(x, 在区域 M 内的点的坐标为(x, 则 x -y ≥0 的概率是________. 13、已知几何体的正视图是一个面积为 2 ? 的半圆,俯视图是正三角形,那 么这个几何体的表面积和体积为________
正 视 图 侧 视 图
2 2

(1)在其四边或内部取点 P ( x, y ) ,且 x, y ? Z ,求事件:“ OP ? 1 ”的概率; (2)在其内部取点 P ( x, y ) ,且 x, y ? R ,求事件“ ?POA, ?PAB, ?PBC, ?PCO 的面积均大于 的概率. C y B

2 ” 3

14、 设函数 f ?x ? ?

2013 ? 2012 ? sin x , 2013x ? 1

x ?1

的最大

O
俯 视 图

A

x

值为 M,最小值为 N,那么 M+N= _________ . 15、 过双曲线

x2 y2 a2 的切线,切点为 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) 作圆 x 2 ? y 2 ? 4 a2 b
1 (OF ? OP) ,则双曲线的离心率为___________ 2

E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OE ?

18、(本小题满分 12 分) 如 图 的 几 何 体 中 , AB ? 平 面 A C D , DE ? 平 面 A C D , △ ACD 为 等 边 三 角 形 ,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、演算过程及步骤) 16、 (本小题满分 12 分)设△ABC 的三个内角 A,B,C 对边分别是 a,b,c,已知

AD ? DE ? 2 AB =2, F 为 CD 的中点.
(1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)求 A 到平面 BCE 的距离.

a b = , 3 cos A sin B

B

E A

1)若 a ? 2 3 , c ? 2 ,求 ?ABC 的面积; (2)求

b ? 2c 的值 a cos(60? ? C )
C F

D

17、(本小题满分 12 分)如图,正方形 OABC 的边长为 2.

19、(本小题满分 12 分)各项均为正数的数列 ?an ? ; 首项a1 ?

an 1 , an?1 ? 2 2an ? 1

2

1 (1)证明{ }是等差数列,并求?an ?的通项公式 an
(2) 令

(1)求切点 A 的纵坐标; (2)若离心率为

x2 y 2 3 的椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 恰好经过 A 点, a b 2

bn ?{

1 , n为奇数 an
2

bn , n为偶数

, c

? n ? b2n ?4 (n ? N ) ;求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn 。

设切线 l 交椭圆的另一点为 B,若设切线 l ,直线 OA,OB 的斜率分别为 K , k1 , k2 , ①试用斜率 K 表示 k1 ? k2 ②当 k1 ? k2 取得最大值时求此时椭圆的方程。

y A

x2 ? 2 py

20、(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x ( a ? R )。 (1)讨论函数的单调性; (2)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,不等式 f ( x) ? bx ? 2 对 ?x ? (0, ??) 恒成立,求实数 b 的取 值范围;
x y (3)当 x ? y ? e 时,证明不等式 e ln y ? e ln x 。

O D B

x

21、(本小题满分 14 分)如图,已知点 D(0,-2),过点 D 作抛物线 C1 : x ? 2 py( p ?[1, 4]) 的
2

江西省重点中学协作体 2013 届高三第二次联考 高三数学(文)试卷参考答案
1.D 2.A 3.C 4.A 5.B 6.D 7. B 8.C 9.A 10.B

切线 l 切点 A 在第二象限。

3

11. ?

1 2

12.

1 2

13. 6 ? +4 3 和 4 3 3

?

14. 4025. 15.

10 2

∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . 又 AB ?

1 DE . 2

16 解:(1)在△ABC 中,由正弦定理,得

a b ? , sin A sin B

a b π = 又因为 ,所以 tan A ? 3 ,所以 A ? . 3 3 cos A sin B
由正弦定理可知: 所以 C ?

1 DE ,∴ GF ? AB . 2

∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE .????6 分

a c 1 ? 2? ? ? ,所以 sin C ? ,因为 C ? ? 0, ? sin A sin C 2 ? 3 ?

?
6

,所以 B ?

?
2

所以 S ?ABC ?

1 ?2?2 3 ? 2 3 ???7 分 2

(2)VA? BCE ? VC ? ABE 1 1 2 ? ? h ? S? BCE ? ? CH ? S? ABE (CH 为正? ACD的高) h ? ? 3 3 2
∴A 到平面 BCE 的距离

(2)原式 ?

sin B ? 2sin C sin(1200 ? C ) ? 2sin C sin B ? 2sin C =? ? 3 3 sin A cos ? 600 ? C ? cos ? 600 ? C ? cos ? 600 ? C ? 2 2

2 ????12 分 2

3 3 cos C ? sin C 3 cos ? 600 ? C ? 2 2 =? ? 2 ??12 分 ? 3 3 0 0 cos ? 60 ? C ? cos ? 60 ? C ? 2 2
17.解:(1) P ( x, y ) 共 9 种情形:

19.解析(1)an ?1 ?

an 1 1 ,? = ? 2, 2an ? 1 an ?1 an
(5 分)

1 1 ?{ }为等差数列? an = an 2n
(2) c1 ? b6 ? b3 ?

(0,0),(0,1),(0, 2),(1,0),(1,1),(1, 2),(2,0),(2,1),(2, 2) -------------3 分
2 2 满足 OP ? 1 ,即 x ? y ? 1 ,共有 6 种---------------5 分

1 1 ? 6, c2 ? b8 ? b4 ? b2 ? b1 ? ? 2 a3 a1
(8 分)

6 2 ? ----------------6 分 9 3 1 2 2 (2)设 P 到 OA 的距离为 d ,则 S ? ? 2 ? d ? ,即 d ? -----------8 分 3 2 3 2 ? P 到 OA 、 AB 、 BC 、 CO 的距离均大于 ----------------9 分 3 2 (2 ? 2 ? ) 2 3 ? 1 -----------------12 分 ? 概率 2? 2 9
因此所求概率为 B 18.(1)证明:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . G A
4

1 n ? 3 时, cn ? b2n ?4 ? b2n?1 ?2 ? b2n?2 ?1 ? a2n?2 ?1 ? 2n?11? 22 ? ? 2 n? ? a2n?2 ?1

此时, Tn ? 8 ? (22 ? 2) ? (23 ? 2) ? ?(2n?1 ? 2) ? 2n ? 2n ;
6, n ? 1 ? ∴T ? ? 。 8, n ? 2 ? n ? 2n ? 2n, n ? 3且n ? N ? ?

(12 分)

E

1 ax ? 1 ? 。 x x 当 a ? 0 时, ax ? 1 ? 0 ,从而 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减;
20.解:(1) f '( x ) ? a ?

C F D

1 1 ,则 ax ? 1 ? 0 ,从而 f '( x) ? 0 ,若 x ? ,则 ax ? 1 ? 0 ,从而 f '( x) ? 0 , a a 1 1 函数在 (0, ) 单调递减,在 ( , ??) 单调递增。(4 分) a a 1 1 ( 2 ) 根 据 ( 1 ) 函 数 的 极 值 点 是 x? , 若 ?1 , 则 a ?1 。 a a
当 a ? 0 时,若 0 ? x ?

x2 y2 ? ? 1 ;????????????5 分 4 p ? 16 p ? 4
? ? y ? kx ? 2 ? ? x2 y2 ? ? ? 1 消去 Y 得: 联立直线 AB 与椭圆的方程: ? 4 p ? 16 p ? 4 ? ? 2 ?k ? ? p ? ?

所以f ( x) ? bx ? 2, 即x ? 1 ? ln x ? bx ? 2,由于x ? 0, 即b ? 1 ? g ( x) ?

1 ln x ? .令 x x

1 ln x 1 1 ? ln x ln x ? 2 ? , 则g '( x) ? ? 2 ? ? , 可知x=e2为函数g ( x)在(0, ??) 2 2 x x x x x 1 1 ln x 内唯一的极小值点,也就是最小值点,故g(x)min ? g (e2 ) ? ? 2 , 所以1 ? ? 的最小值 e x x 1 1 1 是1 ? 2 , 故只要b ? 1 ? 2 即可,故b的取值范围是(-?,1- 2 (8分) ]. e e e

,则

(3)不等式<=> h '( x) ?

e e e ? 构造函数h( x)= ln x ln y ln x

x

y

x

e x ln x ? e x e x (ln x ? 1) ? ,x ? (e, ??), h '( x) ? 0 ln 2 x ln 2 x ex ey 即h( x)在(e,+?)单调递增由于x ? y ? e ? ? ln x ln y 即e x ln y ? e x ln x
? x0 2 ? 2 py0 ? 21、解:(1)设切点 A ( x0 , y0 ) ,依题意则有 ? y0 ? 2 解得 y0 ? 2 ,即 A 点的纵坐标为 ? y ? |x ? x0 ? x 0 ?
2??????????3 分

k1 ? k2 ? ?

y1 y2 ? x1 x2

kx1 ? 2 kx2 ? 2 ? x1 x2 ????????????10 分 x1 ? x2 x1 x2

? 2k ? 2

? 2k ? 2k 3
又∵ k ?

?2 ( p ?[1, 4]) ,∴k∈[-2,-1];即 p

x2 y 2 (2)依题意可设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , A( x1 y1 ) B( x2 y2 ) 直线 AB 方程为: a b

k1 ? k2 ? 2k ? 2k 3 , k ?[?2, ?1] ????????????12 分
(3)由 k1 ? k2 ? 2k ? 2k 3 , k ?[?2, ?1] 可知 f (k ) ? 2k ? 2k , k ?[?2, ?1] 上为单调递增函数,故当
3

y ? kx ? 2 ? ?
由e ?

2 x ? 2; p

k=-1 时, k1 ? k2 取到最大值,此时 P=4,故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ???14 分 32 8

x2 y2 3 得 2 ? 2 ? 1① 4b b 2

由(1)可得 A (?2 p , 2) ,将 A 代入①可得 b ?

p ? 4 ,故椭圆的方程可简化为

5

6


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