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第二章 基本初等函数习题课






基本函数(习题课)

设计者

张凤萍

在第一章学习了函数的基本性质, 具备了分析研究简单函 教材分析 数性质的能力,学习了本章知识以后,为后面研究函数与方 程奠定了基础. 在了解了函数的基本性质以后学习了基本初等函数,对 学情分析 函数基本性质的应用有了一定的基础,

但熟练程度要进一步 提高. 课标与考纲 要求 指数函数、对数函数在高考中属常考内容,以考察指数 函数、对数函数的图象、性质位主,性质又以单调性为主, 幂函数多以选择、填空为主。 1. 教学目标 ①掌握指数函数、对数函数的概念,会作指数函 数、对数函数的图像,并能根据图像说出指数函数、 对数函数的性质.

②了解五个幂函数的图像及性质. 教学重点 教学难点 突破难点的策 略和方法 教学流程 课 型 习题课 三类函数的图象和性质; 灵活运用函数性质解决有关问题 提高学生主动学习的积极性,增强学生的动手能力,对数的 运算性质多加强练习,多动手画基本函数的图象,由图象得 出函数的性质 知识点梳理—练习—小结 教学资源 网络

教学思路及教学流程 教学过程(引 课、 新课、 例题、 练习、小结)





【知识点梳理】
一.指数及指数函数
运算性质:
?a (a ? 0) 当 n 是奇数时, n an ? a ;当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? . ??a (a ? 0) 1.指数幂的运算法则:

?a ? 0, b ? 0, m, n ? R?
2.分数指数幂与根式的相互关系:
m

?a ?

m n

? _____



am an ? ______



? ab ?

n

? ______



?

; a n ? _________ ? m, n ? N 且n ? 1

?

a

?

m n

? _______ ;

3.根式的性质

? a?
n

n

? ________ ;

n

an ? _______ ;

指数函数图象与性质
a>1 图 象 (1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数 0<a<1

性 质

二. 对数及对数函数
1.定义:一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1? 的 b 次幂等于 N, 就是 a b ? N ,那 么数 b 叫做 a 为底 N 的对数,记作 loga N ? b ,a 叫做对数 的底数,N 叫做真数。
a b ? N ========== loga N ? b

※ loga 1 ? 0

loga a ? 1

a log N ? N
a

两种特殊的对数: lg N 与
2.积、商、幂、方根的对数 如果 a > 0 ,

ln N

a ? 1 ,

M > 0 ,

N > 0

有:

loga (MN) ? loga M ? loga N 1 M loga ? loga M ? loga N 2 N loga M n ? nloga M(n ? R) 3
换底公式: loga N ?

logm N logm a

(a>0, 2? log a m b n ?

a?1)
n log a b ( a, b > 0 m

1? loga b ? logb a ? 1 且均不为 1)
3.对数函数图像及性质: a>1

0<a<1

y


y
x



o

1

o

1

x

定义域: (0,+∞)

值域:R



过点(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0



x ? (0,1) 时 y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

x ? (0,1) 时

y?0

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1,??) 时 y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1,??) 时 y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

在(0,+∞)上是增函数

王新敞
奎屯

新疆

在(0,+∞)上是减函数

王新敞
奎屯

新疆

三.幂函数:

1.定义:一般地,形如 y ? x? ( x ? R )的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,

? 是常数.如 y ? x, y ? x 2 , y ? x3 , y ? x1 2 , y ? x?1 等都是幂函数。

2.图像

3.性质: 1). 所有幂函数在 (0,??) 上都有定义,图像恒过_______。 2). (1)当 ? ? 0 时,图像都通过 (0,0) 点,幂函数在区间 [0,??) 上单调递增;
? 当 ? ? 1 时,在 x ? (0,1) , y ? x 的该部分图像在 y ? x 图像的下方; ? 在 x ? (1,??) , y ? x 的该部分图像在 y ? x 图像的上方;且 ? 越大,图像越

凹。
? 当 0 ? ? ? 1时, 在 x ? (0,1) , y ? x 的该部分图像在 y ? x 图像的下

? 方;在 x ? (1,??) , y ? x 的该部分图像在 y ? x 图像的上方;且 ? 越小,图

像越凸。 (2)当 ? ? 0 时,幂函数在区间 (0,??) 上单调递减,图像向上,无限接近于 x 轴,向右无限接近于 y 轴。 3). 当 ? 为正分数,最简分数的分母为偶数时, y ? x 的定义域为 [0,??) ;
?

当 ? 为负分数,最简分数的分母为偶数时, y ? x? 的定义域为 (0,??) 。

【典型例题分析】
例 1.计算或化简下列各式. (1)5 ?32 ; (2)3 a6 .
2 1 1 1

(3)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 .
1 5

(4) ( 6 )

a2 b

b3 a a b3

(5) (3a 3 b 2 )(?8a 2 b 3 ) ? (?6a 6 b 6 ) ( 7 ) log 4 3 ? log 1
2 4

51?log0.2 3

32

( 8 )

3 log7 2 ? log7 9 ? 2 log7 (

3 2 2

)

例 2. 已知 a 2 ? a
?1

1

?

1 2

=3,求下列各式的值:
2 ?2

(1) a ? a ; (2) a ? a ; (3)

a2 ? a a ?a
1 2

3

? ?

3 2 1 2



变式:已知 a 2 ? a (1) a ? a
1 2 1 ? 2

1

?

1 2

? 3 ,求:



(2) a 2 ? a 2 .

3

?

3

例 3. 计算: (log 4 3 ? log 8 3)(log 3 2 ? log 9 2) ? log 1
2

4

32

变式:若 log3 4 ? log4 8 ? log8 m ? log4 2



m

例 4. 函数 f ( x) ? a x ( a ? 0, 且a ? 1 )的图象过点 (2, ? ) ,求 f (0) , f ( ?1) , f (1) 的 值. 变式:当函数 y ? (m ?
2

3 m) x 2

m 2 ? 2 m ?1

是幂函数,求 m

例 5. 比较大小: log0.7 8, log7 0.8,0.78 ,7 0.8.

变式:比较下列各组数的大小:
1 1

(1)1.5 3 ,1.7 3 ,1;
2 4 3

(2)(-

2 2



?

2 3



(-

10 7

) 3 ,1.1
? 2 3

?


2 3

(3)3.8

,3.9 5 ,(-1.8) 5 ;

(4)31.4,51.5.

例 6. 在同一坐标系下,函数 y=ax, y=bx, y=cx, y=dx 的图象如右图,则 a、b、c、 d、1 之间从小到大的顺序是 .

变式 1: 如图是对数函数 y=logax 的图象,已
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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知 a 取值 3 ,4/3,3/5,1/10,则相应于①, ②, ③, ④的 a 值依次是
y ② ① o ③ ④ x

8 变式 2:如图的曲线是幂函数 y ? x n 在第一象限内的图象. 已知 n 分别取 ?2 , 1 ). ? 四个值,与曲线 c1 、 c 2 、 c3 、 c 4 相应的 n 依次为( 6 2 1 1 1 1 A. 2, , ? , ?2 B. 2, , ?2, ? 2 2 2 2 4 1 1 1 1 C. ? , ?2, 2, D. ?2, ? , , 2 c1 2 2 2 2 2 c2

c3 c4
-5 5

-2

变式 3: 一个幂函数 y=f (x)的图象过点(3,

4

27 ),另一个幂函数 y=g(x)的图象

过点(-8, -2), (1)求这两个幂函数的解析式; (2)判断这两个函数的奇偶性; (3)作出这两个 函数的图象,观察得 f (x)< g(x)的解集.

例 7. 求函数 y=

1 5
x 1? x

的定义域.
?1

变式 1:求下列函数的定义域、单调区间、值域:

① y ? log2 ( x 2 ? 2 x ? 5)
y ? log a (? x 2 ? x)

② y ? log1 (? x 2 ? 4 x ? 5)
3



?1? 变式 2:求函数 y ? ? ? ? 3?

x2 ? x?

1 4

的值域。

课后作业

复习参考题(83) B 组

1,4,5

知识点的梳理:

例 1: 例2

板书设计

教学反思


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