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统计学第四章习题答案 贾俊平


第四章 统计数据的概括性度量 4.1 一家汽车零售店的 10 名销售人员 5 月份销售的汽车数量(单位:台)排序后如下: 2 4 7 10 10 10 12 12 14 15 要求: (1)计算汽车销售量的众数、中位数和平均数。 (2)根据定义公式计算四分位数。 (3)计算销售量的标准差。 (4)说明汽车销售量分布的特征。 解:
Statistics
汽车销售数量 N Mean Median Mode Std. Deviation Percentiles 25 50 75 Valid Missing 10 0 9.60 10.00 10 4.169 6.25 10.00 12.50

Histogram

3

2

Frequency
1

Mean =9.6 Std. Dev. =4.169 N =10 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15

汽车销售数量

4.2 随机抽取 25 个网络用户,得到他们的年龄数据如下: 19 23 30 23 41 15 21 20 27 20 29 38 19 22 31 25 22 19 34 17 单位:周岁 24 18 16 24 23

要求; (1)计算众数、中位数: 排序形成单变量分值的频数分布和累计频数分布:

网络用户的年龄
Frequency 1 1 1 1 3 2 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 25 Percent 4.0 4.0 4.0 4.0 12.0 8.0 4.0 8.0 12.0 8.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 100.0 Cumulative Frequency 1 2 3 4 7 9 10 12 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Cumulative Percent 4.0 8.0 12.0 16.0 28.0 36.0 40.0 48.0 60.0 68.0 72.0 76.0 80.0 84.0 88.0 92.0 96.0 100.0

15 16 17 18 19 20 21 22 23 Valid 24 25 27 29 30 31 34 38 41 Total

从频数看出,众数 Mo 有两个:19、23;从累计频数看,中位数 Me=23。 (2)根据定义公式计算四分位数。 Q1 位置=25/4=6.25,因此 Q1=19,Q3 位置=3×25/4=18.75,因此 Q3=27,或者,由于 25 和 27 都只有一个,因此 Q3 也可等于 25+0.75×2=26.5。 (3)计算平均数和标准差; Mean=24.00;Std. Deviation=6.652 (4)计算偏态系数和峰态系数: Skewness=1.080;Kurtosis=0.773 (5)对网民年龄的分布特征进行综合分析: 分布,均值=24、标准差=6.652、呈右偏分布。如需看清楚分布形态,需要进行分组。 为分组情况下的直方图:
3

2

Count
1 0 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 27 29 30 31 34 38 41

网络用户的年龄

为分组情况下的概率密度曲线:

3.0

2.5

Count

2.0

1.5

1.0 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 27 29 30 31 34 38 41

网络用户的年龄

分组: 1、确定组数:

K ?1 ?

l g? 2 ? 5 l gn ( ) 1.398 ,取 ?1 ? ? 1 ? ? 5.6 4 k=6 lg(2) lg 2 0.30103

2、确定组距:组距=( 最大值 - 最小值)÷ 组数=(41-15)÷6=4.3,取 5 3、分组频数表 网络用户的年龄 (Binned)
Frequency 1 8 9 3 2 1 1 25 Mean Std. Deviation Variance Skewness Kurtosis Percent 4.0 32.0 36.0 12.0 8.0 4.0 4.0 100.0 23.3000 7.02377 49.333 1.163 1.302 Cumulative Frequency 1 9 18 21 23 24 25 Cumulative Percent 4.0 36.0 72.0 84.0 92.0 96.0 100.0

<= 15 16 - 20 21 - 25 Valid 26 - 30 31 - 35 36 - 40 41+ Total

分组后的均值与方差:

分组后的直方图:

10

8

Frequency

6

4

2 Mean =23.30 Std. Dev. =7.024 N =25 0 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00

组中值

4.3 某银行为缩短顾客到银行办理业务等待的时间。准备采用两种排队方式进行试验:一 种是所有颐客都进入一个等待队列: 另—种是顾客在三千业务窗口处列队 3 排等待。 为比较 哪种排队方式使顾客等待的时间更短. 两种排队方式各随机抽取 9 名顾客。 得到第一种排队 方式的平均等待时间为 7. 2 分钟, 标准差为 1. 97 分钟。 第二种排队方式的等待时间(单位: 分钟)如下: 5.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.3 7.4 7.8 7.8 要求: (1)画出第二种排队方式等待时间的茎叶图。
第二种排队方式的等待时间(单位:分钟) Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 1.00 Extremes (=<5.5) 3.00 6 . 678 3.00 7 . 134 2.00 7 . 88 Stem width: 1.00 Each leaf: 1 case(s)

(2)计算第二种排队时间的平均数和标准差。 Mean 7 Std. Deviation 0.714143 Variance 0.51 (3)比较两种排队方式等待时间的离散程度。 第二种排队方式的离散程度小。 (4)如果让你选择一种排队方式,你会选择哪—种?试说明理由。 选择第二种,均值小,离散程度小。 4.4 某百货公司 6 月份各天的销售额数据如下: 单位:万元 257 276 297 252 238 310 271 292 261 281 301 274 272 284 268 303 273 263 要求: (1)计算该百货公司日销售额的平均数和中位数。 (2)按定义公式计算四分位数。 (3)计算日销售额的标准差。

240 267 322

236 280 249

265 291 269

278 258 295

解:
Statistics
百货公司每天的销售额(万元) N Mean Median Std. Deviation Percentiles 25 50 75 Valid Missing 30 0 274.1000 272.5000 21.17472 260.2500 272.5000 291.2500

4.5 甲乙两个企业生产三种产品的单位成本和总成本资料如下: 产品 单位成本 总成本(元) 名称 A B C (元) 15 20 30 甲企业 2 100 3 000 1 500 乙企业 3 255 1 500 1 500

要求:比较两个企业的总平均成本,哪个高,并分析其原因。 甲企业 乙企业 产品名称 单位成本(元) 总成本(元) 产品数 总成本(元) 产品数 A 15 2100 140 3255 217 B 20 3000 150 1500 75 C 30 1500 50 1500 50 19.41176471 18.28947368 平均成本(元) 调和平均数计算,得到甲的平均成本为 19.41;乙的平均成本为 18.29。甲的中间成本的 产品多,乙的低成本的产品多。 4.6 在某地区抽取 120 家企业,按利润额进行分组,结果如下: 按利润额分组(万元) 企业数(个) 200~300 300~400 400~500 500~600 600 以上 合 计 19 30 42 18 11 120

要求: (1)计算 120 家企业利润额的平均数和标准差。 (2)计算分布的偏态系数和峰态系数。 解:
Statistics
企业利润组中值 Mi(万元) N Mean Std. Deviation Skewness Valid Missing 120 0 426.6667 116.48445 0.208

Std. Error of Skewness Kurtosis Std. Error of Kurtosis

0.221 -0.625 0.438

Histogram

50

40

Frequency

30

20

10 Mean =426.67 Std. Dev. =116.484 N =120 200.00 300.00 400.00 500.00 600.00 700.00

0

企业利润组中值Mi(万元)
Cases weighted by 企业个数

4.7 为研究少年儿童的成长发育状况,某研究所的一位调查人员在某城市抽取 100 名 7~ 17 岁的少年儿童作为样本, 另一位调查人员则抽取了 1 000 名 7~17 岁的少年儿童作为样本。 请回答下面的问题,并解释其原因。 (1)两位调查人员所得到的样本的平均身高是否相同?如果不同,哪组样本的平均身高较大? (2)两位调查人员所得到的样本的标准差是否相同?如果不同,哪组样本的标准差较大? (3)两位调查人员得到这 l 100 名少年儿童身高的最高者或最低者的机会是否相同?如果不同, 哪位调查研究人员的机会较大? 解: (1)不一定相同,无法判断哪一个更高,但可以判断,样本量大的更接近于总体平均身 高。 (2)不一定相同,样本量少的标准差大的可能性大。 (3)机会不相同,样本量大的得到最高者和最低者的身高的机会大。 4.8 一项关于大学生体重状况的研究发现.男生的平均体重为 60kg,标准差为 5kg;女生 的平均体重为 50kg,标准差为 5kg。请回答下面的问题: (1)是男生的体重差异大还是女生的体重差异大?为什么? 女生,因为标准差一样,而均值男生大,所以,离散系数是男生的小,离散程度是男生 的小。 (2)以磅为单位(1ks=2.2lb),求体重的平均数和标准差。 都是各乘以 2.21,男生的平均体重为 60kg×2.21=132.6 磅,标准差为 5kg×2.21=11.05 磅;女生的平均体重为 50kg×2.21=110.5 磅,标准差为 5kg×2.21=11.05 磅。 (3)粗略地估计一下,男生中有百分之几的人体重在 55kg 一 65kg 之间? 计算标准分数: Z1=

x ? x 55 ? 60 x ? x 65 ? 60 = =-1;Z2= = =1,根据经验规则,男生大约有 68%的人 s 5 s 5

体重在 55kg 一 65kg 之间。 (4)粗略地估计一下,女生中有百分之几的人体重在 40kg~60kg 之间? 计算标准分数: Z1=

x ? x 40 ? 50 x ? x 60 ? 50 = =-2;Z2= = =2,根据经验规则,女生大约有 95%的人 s 5 s 5

体重在 40kg 一 60kg 之间。

4.9 一家公司在招收职员时,首先要通过两项能力测试。在 A 项测试中,其平均分数是 100 分,标准差是 15 分;在 B 项测试中,其平均分数是 400 分,标准差是 50 分。一位应试 者在 A 项测试中得了 115 分,在 B 项测试中得了 425 分。与平均分数相比,该应试者哪一 项测试更为理想? 解:应用标准分数来考虑问题,该应试者标准分数高的测试理想。 ZA=

x ? x 115 ? 100 x ? x 425 ? 400 = =1;ZB= = =0.5 s 15 s 50

因此,A 项测试结果理想。 4.10 一条产品生产线平均每天的产量为 3 700 件,标准差为 50 件。如果某一天的产量低 于或高于平均产量,并落人士 2 个标准差的范围之外,就认为该生产线“失去控制” 。下面 是一周各天的产量,该生产线哪几天失去了控制? 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 产量(件) 3 850 时间 产量(件) 日平均产量 日产量标准差 标准分数 Z 3 670 周一 3850 3 690 周二 3670 周三 3690 3 720 周四 3720 3700 50 0.4 -2 2 3 610 周五 3610 周六 3590 3 590 周日 3700 3 700

3 -2 标准分数界限 2 周六超出界限,失去控制。

-0.6 -2 2

-0.2 -2 2

-1.8 -2 2

-2.2 -2 2

0 -2 2

4.11 对 10 名成年人和 10 名幼儿的身高进行抽样调查,结果如下: 成年组 166 169 l72 177 180 170 172 174

168

173 75

幼儿组 68 69 68 70 7l 73 72 73 74 要求: (1)如果比较成年组和幼儿组的身高差异,你会采用什么样的统计量?为什么? 均值不相等,用离散系数衡量身高差异。 (2)比较分析哪一组的身高差异大? 成年组 幼儿组 172.1 平均 71.3 平均 4.201851 标准差 2.496664 标准差 0.024415 离散系数 0.035016 离散系数 幼儿组的身高差异大。

4.12 一种产品需要人工组装,现有三种可供选择的组装方法。为检验哪种方法更好,随 机抽取 15 个工人, 让他们分别用三种方法组装。 下面是 15 个工人分别用三种方法在相同的 时间内组装的产品数量: 单位:个 方法 A 方法 B 方法 C

164 167 168 165 170 165 164 168 164 162 163 166 167 166 165

129 130 129 130 131 ]30 129 127 128 128 127 128 128 125 132

125 126 126 127 126 128 127 126 127 127 125 126 116 126 125

要求: (1)你准备采用什么方法来评价组装方法的优劣? 均值不相等,用离散系数衡量身高差异。 (2)如果让你选择一种方法,你会作出怎样的选择?试说明理由。 解:对比均值和离散系数的方法,选择均值大,离散程度小的。 方法 A 方法 B 方法 C 平均 165.6 平均 128.7333333 平均 125.5333333 标准差 2.131397932 标准差 1.751190072 标准差 2.774029217 离散系数: VA=0.01287076,VB= 0.013603237,VC= 0.022097949 均值 A 方法最大,同时 A 的离散系数也最小,因此选择 A 方法。 4.13 在金融证券领域,一项投资的预期收益率的变化通常用该项投资的风险来衡量。预 期收益率的变化越小,投资风险越低;预期收益率的变化越大,投资风险就越高。下面的两 个直方图, 分别反映了 200 种商业类股票和 200 种高科技类股票的收益率分布。 在股票市场 上,高收益率往往伴随着高风险。但投资于哪类股票,往往与投资者的类型有一定关系。

(1)你认为该用什么样的统计量来反映投资的风险? 标准差或者离散系数。 (2)如果选择风险小的股票进行投资,应该选择商业类股票还是高科技类股票? 选择离散系数小的股票,则选择商业股票。 (3)如果进行股票投资,你会选择商业类股票还是高科技类股票? 考虑高收益,则选择高科技股票;考虑风险,则选择商业股票。


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