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第1备讲:指数函数 对数函数 幂函数


课次教学计划(教案)
任课教师 学科 数学 课题 版本 人教版 指数函数 对数函数 幂函数的复习 1. 正确理解指数函数 对数函数 幂函数的概念. 教学目标 2、掌握指数函数 对数函数 幂函数的性质及应用 3. 懂得利用数形结合 函数单调性 奇偶性的数学思想方法 重点难点:用数形结合 函数单调性 奇偶性解决问题 教学策略:讲练结合,查漏补缺 年段 辅导类型 上课时间 学生签名

教学策略

第 1 小讲:指数函数
一、知识复习: 指数函数: y ? a ( a 为常数且 a >0, a ≠1), x 为自变量,定义域为 R.
x

图象特征

函数性质 0< a <1

a >1

a >1
函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R
+

0< a <1

向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 自左向右, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1

a 0 =1
增函数 减函数

x >0, a x >1 x <0, a x <1

x >0, a x <1 x <0, a x >1

二、重点分析 讨论指数函数: <1>【例】比较下列各组数中的两个值大小 (1) log2 3.4 ,

log2 8.5

(2) log0.3 1.8 , (3) loga 5.1,

log0.3 2.7 loga 5.9
( a >0,且 a ≠1)

说明:先画图象,由数形结合方法解 <2> y ? 2 与y ? ( ) 的图象关于 y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗?
x x

1 2

<3>当指数函数底数越大时,函数图象间有什么样的关系? 利

?1? y ?? ? ?5?

x




8




x







y ?5

1 1 y ? 5 x , y ? 3x , y ? ( ) x , y ? ( ) x 3 5











.

?1? y ?? ? ?3?
-5

x

6

y ? 3x

4

2

0
-2 -4

5

10

-6

-8

从图上看 y ? a ( a >1)与 y ? a (0< a <1)两函数图象的特征.
x x

三、经典范例: 【例 1】求下列函数的定义域: (1) y ? 2 3? x ;
1

1 (2) y ? ( ) 3
1

5? x



(3) y ?

10x ? 100 . 10x ? 100

解: (1)要使 y ? 2 3? x 有意义,其中自变量 x 需满足 3 ? x ? 0 ,即 x ? 3 . ∴ 其定义域为 {x | x ? 3} . 1 (2)要使 y ? ( ) 5? x 有意义,其中自变量 x 需满足 5 ? x ? 0 ,即 x ? 5 . ∴ 其定义域为 {x | x ? 5} . 3 10x ? 100 (3)要使 y ? x 有意义,其中自变量 x 需满足 10 x ? 100 ? 0 ,即 x ? 2 . ∴其定义域为 {x | x ? 2} . 10 ? 100

【例 2】求下列函数的值域: 1 2 (1) y ? ( ) 3 x ?1 ; (2) y ? 4x ? 2x ? 1 3 2 1 2 1 解: (1)观察易知 ? 0 , 则有 y ? ( ) 3 x ?1 ? ( )0 ? 1 . 3x ? 1 3 3 ∴ 原函数的值域为 { y | y ? 0, 且y ? 1} .

1 3 (2) y ? 4x ? 2x ? 1 ? (2x )2 ? 2x ? 1 . 令 t ? 2 x ,易知 t ? 0 . 则 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? )2 ? . 2 4 1 3 结合二次函数的图象,由其对称轴观察得到 y ? (t ? )2 ? 在 t ? 0 上为增函数, 2 4

1 3 1 3 所以 y ? (t ? )2 ? ? (0 ? )2 ? ? 1 . ∴ 原函数的值域为 { y | y ? 1} . 2 4 2 4
【例 3】 (05 年福建卷.理 5 文 6)函数 f ( x) ? a x ?b 的图象如图,其中 a、b 为常数, 则下列结论正确的是( A. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 ). B. a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0

解:从曲线的变化趋势,可以得到函数 f ( x) 为减函数, 从而 0<a<1;从曲线位置看,是由函数 y ? a x (0 ? a ? 1) 的图象向左平移|-b|个单位而得, 所以-b>0,即 b<0. 所以选 D. 点评:观察图象变化趋势,得到函数的单调性,结合指数函数的单调性,得到参数 a 的范围. 根据所给 函数式的平移变换规律,得到参数 b 的范围. 也可以取 x=0 时的特殊点,得到 a ?b ? 1 ? a 0 ,从而 b<0. 【例 4】已知函数 f ( x) ? a2?3 x (a ? 0, 且a ? 1) . (1)求该函数的图象恒过的定点坐标; (2)指出该函数的单调性. 2 解: (1)当 2 ? 3 x ? 0 ,即 x ? 时, a 2?3 x ? a0 ? 1 . 3 2 所以,该函数的图象恒过定点 ( ,1) . 3 (2)∵ u ? 2 ? 3 x 是减函数, ∴ 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 R 上是增函数; 当 a ? 1 时, f ( x) 在 R 上是减函数. 点评:底数两种情况的辨析,实质就是分类讨论思想的运用. 而含参指数型函数的研究,要求正确处理 与参数相关的变与不变. 四、课堂作业 1.已知下列不等式,比较 m,n 的大小 (1) 2 ? 2 ;m_______n;
m n

(2) 0.2 ? 0.2 ,m__________n;
m n

(3) a ? a (0 ? a ? 1) ;m_______n; (4) a ? a (a ? 1) ;m_______n;
m n m n

2.已知指数函数 f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) 的图像经过点( 3, ? ) ,求 f(0);f(1); f(-3)的值
x

3.求下列函数的定义域 (1) y ? 3
x ?2

; (2) y ? (

1 x ) ; 2

1

(3) y ? 3

2 x ?1

第 2 小讲:对数函数
一、知识复习 : 对数函数: y ? loga x ( a 为常数且 a >0, a ≠1), x 为自变量,定义域为(0,+∞). (1) 对数式 log a N 可看作一记号,表示底为 a ( a >0,且 a ≠1) ,幂为 N 的指数工表示方程 a ? N ( a
x

>0,且 a ≠1)的解. 也可以看作一种运算,即已知底为 a ( a >0,且 a ≠1)幂为 N,求幂指数的运算. 因 此,对数式 log a N 又可看幂运算的逆运算: a >0, a ≠1 时, a x ? N ? x ? log a N (2)对数函数图像特征和性质 图象的特征 (1)图象都在 y 轴的右边 (2)函数图象都经过(1,0)点 (3)从左往右看,当 a >1 时,图象逐渐 上升,当 0< a <1 时,图象逐渐下降 . 函数的性质 (1)定义域是(0,+∞) (2)1 的对数是 0
x (3)当 a >1 时, y ? loga 是增函数,当

0< a <1 时, y ? loga x 是减函数. (4)当 a >1 时

(4)当 a >1 时,函数图象在(1,0)点 右边的纵坐标都大于 0,在(1,0)点左 边的纵坐标都小于 0. 当 0< a <1 时,图 象正好相反,在(1,0)点右边的纵坐标 都小于 0,在(1,0)点左边的纵坐标都 大于 0 .

x >1,则 loga x >0
0< x <1, loga x <0 当 0< a <1 时

x >1,则 loga x <0
0< x <1, loga x <0

由上述表格可知,对数函数的性质如下(先由学生完成指数函数性质,教师适当启发、引导) :

a >1
图 象

0< a <1

(1)定义域(0,+∞) ; 性 质 (2)值域 R; (3)过点(1,0) ,即当 x =1, y =0; (4)在(0,+∞)上是增函数 二、重点分析 画出对数函数 y4? log 2 x 的图象, 再利用电脑软件画出 y ? log0.5 x 的图象. 在(0,+∞)是上减函数

2

-5

5

-2

探究: 选取底数 a ( a >0, 且 a ≠1) 的若干不同的值, 在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象. 观 察图象,你能发现它们有哪些特征吗? 画出 y ? log4 x , y ? log3 x , y ? log 1 x 和 y ? log 1 x
3 4

-4

三、经典范例: 【例 1】求下列函数的定义域: (1) y ? log2 (3x ? 5) ; (2) y ? log0.5 (4x) ? 3 . 解: (1)由 log 2 (3x ? 5) ? 0 ? log 2 1 ,得 3 x ? 5 ? 1 ,解得 x ? 2 . 所以原函数的定义域为 [2, ??) . (2)由 log 0.5 (4 x) ? 3 ? 0 ,即 log0.5 (4x) ? 3 ? log0.5 0.53 , 1 所以 0 ? 4 x ? 0.5 3 ,解得 0 ? x ? . 32 1 所以,原函数的定义域为 (0, ] . 32

【例 2】已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 3) 的区间 [?2, ?1] 上总有 | f ( x) |? 2 ,求实数 a 的取值范围. 解:∵ x ? [?2, ?1] , ∴ 1? x ? 3? 2

当 a ? 1 时, loga 1 ? loga ( x ? 3) ? loga 2 ,即 0 ? f ( x) ? loga 2 . ∵ | f ( x) |? 2 , ∴

?

a ?1 , 解得 a ? 2 . loga 2 ? 2

当 0 ? a ? 1 时, loga 2 ? loga ( x ? 3) ? loga 1 ,即 loga 2 ? f ( x) ? 0 .

2 0 ? a ?1 , 解得 0 ? a ? . log a 2 ? ?2 2 2 综上可得,实数 a 的取值范围是 (0, ) ( 2, ??) . 2
∵ | f ( x) |? 2 , ∴ 点评:先对底数 a 分两种情况讨论,再利用函数的单调性及已知条件,列出关于参数 a 的不等式组,解 不等式(组)而得到参数的范围. 解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论,不等式法求参数范围. 【例 3】讨论函数 y ? log0.3 (3 ? 2 x) 的单调性. 解:先求定义域,由 3 ? 2 x ? 0 , 解得 x ?

?

3 . 2

3 设 t ? 3 ? 2 x, x ? (??, ) ,易知为减函数. 2
3 又∵ 函数 y ? log 0.3 t 是减函数,故函数 y ? log0.3 (3 ? 2 x) 在 (??, ) 上单调递增. 2
四、课堂作业 1.若 log m 9 ? log n 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是( A、 m ? n ? 1 C、 0 ? n ? m ? 1 B、 n ? m ? 1 D、 0 ? m ? n ? 1 )

2. (06 年陕西卷) 设函数 f ( x) ? log a ( x ? b) (a ? 0, a ? 1) 的图像过点 (2,1) , 其反函数的图像过点 (2,8) , 则a?b 等于( ). A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3.已知 f ( x) ? loga

6 , (a ? 0, a ? 1) ,讨论 f ( x) 的单调性 x ?b

第 3 小讲:幂函数

一、知识复习 : 1 定义: 一般地, 形如 y ? x ( x ? R) 的函数称为幂函数, 其中 x 是自变量, ? 是常数.如 y ? x , y ? x , y ? x
2 1 3 1 4

?

?

等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 2 幂函数性质
x (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) (原因: 1 ? 1 ) ;

(2) ? >0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数. 特别地,当 ? >1 时,形状向下凸, ? 越大,下凸的程度越大 当 0< ? <1 时,形状向上凸, ? 越小,上凸的程度越大 (3) ? <0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 二、重点分析 研究幂函数的图像 (1) y ? x (2) y ? x 2
1

(3) y ? x

2

(4) y ? x

?1

(5) y ? x3

画出以上五个数数的图像.

y?x
4

y ? x2
2

1

y=x3 y=x-1 0
5 10 15

-5

-2

-4

-6

让学生通过观察图像,分组讨论,探究幂函数的性质和图像的变化规律,教师注意引导学生用类比研究 指数函数,对函数的方法研究幂函数的性质.
-10

-8

通过观察图像,得出的表格

y?x
定义域 奇偶性 R 奇

y ? x2
R 奇

y ? x3
R 奇

y ? x2

1

y ? x ?1

?x | x ? 0?
非奇非偶

?x | x ? 0?


在第Ⅰ象限 单调增减性 定点

在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

在第Ⅰ象限 单调递减 (1,1)

重点:懂得根据函数的图象得出函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性,能给我们 的计算带来很大方便 三、经典范例: 【例 1】已知幂函数 y ? xm?6 (m ? Z ) 与 y ? x2?m (m ? Z ) 的图象都与 x 、 y 轴都没有公共点,且
y ? xm?2 (m ? Z ) 的图象关于 y 轴对称,求 m 的值.

解:∵ 幂函数图象与 x 、 y 轴都没有公共点, ∴

?6?0 ?m 2?m?0

,解得 2 ? m ? 6 .

又 ∵ y ? xm?2 (m ? Z ) 的图象关于 y 轴对称, ∴

m ? 2 为偶数,即得 m ? 4 .
).

【例 2】幂函数 y ? xm 与 y ? x n 在第一象限内的图象如图所示,则( A. ? 1 ? n ? 0 ? m ? 1 C. ?1 ? n ? 0, m ? 1 B. n ? ?1, 0 ? m ? 1 D. n ? ?1, m ? 1

解:由幂函数图象在第一象限内的分布规律,观察第一象限内直线 x ? 1 的右侧,图 象由下至上, 依次是 y ? x n , y ? x?1 , y ? x 0 , y ? xm , y ? x1 , 所以有 n ? ?1 ? 0 ? m ? 1 . 选 B. 点评:观察第一象限内直线 x ? 1 的右侧,结合所记忆的分布规律 . 注意比较两个隐含的图象 y ? x1 与
y ? x0 .
6 8

四、课堂作业 1.如图的曲线是幂函数 y ? x n 在第一象限内的图象. 已知 n 分别取 ?2 , 个值,与曲线 c1 、 c 2 、 c3 、 c 4 相应的 n 依次为( 1 1 1 1 A. 2, , ? , ?2 B. 2, , ?2, ? 2 2 2 2 1 1 1 1 C. ? , ?2, 2, D. ?2, ? , , 2 2 2 2 2 2.幂函数 f ( x) ? (t ? t ? 1) x
3 7 ? 3t ? 2t 2 5

4

c1
2

).
-5

c2 c3 c4
5

1 ? 四 2

10

-2

是偶函数,且在 (0, ??) 上为增函数,求函数解析式.

五、课后作业 1.函数 y=a +1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点( A.(0,1) B. (1,0) C.(2,1)
x

). D.(0,2)

2a ? 上的最大值与最小值之差为 2. (07 年全国卷.文理 8) 设 a ?1, 函数 f ( x) ? log a x 在区间 ? a,

1 , 则a ? ( 2
y

) .

A. 2

B.

2

C. 2 2

D. 4

3 .图中的曲线是 y ? loga x 的图象,已知 a 的值为 2 ,

4 3 1 , , ,则相应曲线 3 10 5

C2 C1 0 1 C3 C4 x

C1 , C2 , C3 , C4 的 a 依次为( ). 4 1 3 4 3 1 A. 2 , , , B. 2 , , , 3 3 10 5 10 5 1 3 4 4 3 1 C. , , , 2 D. , 2, , 3 3 10 5 10 5 3x 2 ? lg(3x ? 1) 的定义域是( 4. (06 年广东卷)函数 f ( x) ? 1? x 1 1 1 1 A. (? , ??) B. (? ,1) C. (? , ) 3 3 3 3

).

1 D. (??, ? ) 3

5.(05 年山东卷.文 2)下列大小关系正确的是( A. 0.43 ? 30.4 ? log 4 0.3 C. log4 0.3 ? 0.43 ? 30.4 6.求函数 y ? 3? x
2 ? 2 x?3

).

B. 0.43 ? log4 0.3 ? 30.4 D. log4 0.3 ? 30.4 ? 0.43

的定义域、值域并指出单调区间.

7.若已知函数 f ( x) ? a2?3 x (a ? 0, 且a ? 1) , g ( x) ? a x .

(1)求函数 f ( x) 的图象恒过的定点坐标; (2)求证: g (
x1 ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) . )? 2 2

8.设 f ( x) ? log 1

1 ? ax 为奇函数, a 为常数. 2 x ?1

(1)求 a 的值; (2)证明 f ( x) 在区间(1,+∞)内单调递增;

1 (3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 值,不等式 f ( x) > ( ) x ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围 2

六、教学反思 教学效果 下次课设想


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