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北师大版数学选修1-2知识点复习课


1: 两个变量之间的关系有函数关系和 相关关系,后者是一种非确定性 关系。 2: 线性回归方程:设有 n 对观测数据( xi ,y i )(i=1,2,3,?,n),根据线性回归模型,如果模型是合 理的,那么 x,y 两个变量对应的散点图大致分布在一条直线的附近,于是回归直线 y=a+bx 计算公式如 下:

b ?

? (xi i
?1

n

? x )(y i ? y ) ? x)
2

? (xi i
?1

n

?

? xi y i i
?1

n

? nxy ? nx 2

? xi i
?1

n

2

a ? y ? bx
其中, x ?

1

n

? xi ,y ?
i ?1

n

1

n

? yi , i
?1

n

(x ,y )称为样本点的中心,回归直线过样本点的中心。
3: 分析两个变量相关关系的常用方法有利用散点图进行判断和利用线性相关系数 r 行判断。 4: 线性相关系数 r: (用于判断两个随机变量之间线性相关程度的大小) 进

r ?

? (xi ? x )(y i ? y )
i ?1

n

? (xi ? x )2
i ?1

n

? (y i ? y )2
i ?1

n

?

? xi y i i
?1

n

? nxy

? xi 2 ? nx 2
i ?1

n

? yi i
?1

n

2

? ny 2

r 具有如下性质: (1) r ? 1 ; (2) (3)

r 越接近于 1,x,y 的线性相关程度越 高 ; r 越接近于 0,x,y 的线性相关程度越 低 。

对变量 x 与 y 进行相关性检验: 若 r ? 0,则称 x 与 y 正 相关,即 x 增加,y 随之 增加,x 减少,y 随之 减少 ; 若 r ? 0,则称 x 与 y 负 相关,即 x 增加,y 随之 减少,x 减少,y 随之增加; 若 r ? 0,则称 x 与 y 不 相关。 5:可线性化的回归分析: (1) 研究两个变量的关系时,常常根据试验数据作出散点图,观察散点图中点的分布规律,从 整体上看,如果这些点的分布大致不在某一条直线附近,就称这两个变量之间不具有线性 相关关系。 (2) 当回归方程不是形如 y=bx+a 时,称为非线性回归方程。 (3) 可线性化的回归分析处理方法: (步骤) ① 通过变换先将其转化成线性函数; ② 利用 最小二乘法得到线性回归方程;

③ 再通过相应变换得到非线性回归方程。 (4)在具体问题中,我们首先应该作出原始数据(x,y)的散点图,从散点图中看出数据的大致规 律,再根据这个规律选择适当的函数进行拟合。 6:条件概率的含义:一般地,若有两个事件 A 和 B,在已知事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率,称 为 B 发生时 A 发生的条件概率,记作: P(A|B) 条件概率的计算公式:B 发生时 A 发生的条件概率

P( A | B) ?

P( AB) P( B)

A 发生时 B 发生的条件概率

P( B | A) ?

P( AB) P( A)

7:事件的独立性:设 A,B 为两个事件,如果 P(AB)=P(A)P(B) ,则称 A,B 相互独立。 事件 B 是否发生对事件 A 发生的概率没有影响,即 P(A|B)=P(A)。 一般地,当事件 A,B 相互独立时, A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立。 相互独立事件的概率公式:

P(AB ) ? P(A ) (B ) P

P(A1A2 ? An ) ? P(A1 ) (A2 )? P(An ) P
8:分类变量也称为属性变量或定性变量,它的不同值表示个体所属的不同类别。 分类变量的取值是离散的。例如:性别变量取“男” “女”两个值,是否吸烟等都是分类变量。分 类变量除了表示分类外,没有其他意义。 定量变量的取值一定是实数, 它们的取值大小有特定的含义, 不同取值之间的运算也有特定的含义。 例如身高、体重、考试成绩等。 9:2╳2 列联表: 两个分类变量的频数表,称为 2╳2 列联表。 10: ? 2 统计量(卡方统计量) 设 A、B 为两个变量,每一个变量都可以取两个值,变量 A: A1 , A2 ;变量 B: B 1 , B 2 . B A

B1
a c a+c b d b+d

B2
a+b c+d

合计

A1

A2
合计

n=a+b+c+d (其中 n= a+b+c+d 为样本容量)

? 2 统计量为:

?2=

2 n( d ? b c) a (a ? b ) (c ? d ) (a? c ) (b ?

d)

11:独立性检验

(1)我们用 ? 2 统计量研究了吸烟与患肺癌是否有关的问题,用 ? 2 统计量还可以研究类似的问题, 用 ? 2 统计量研究这类问题的方法称为独立性检验。 (2)当数据量较大(抽取的样本量 n 越大,这个估计值就越准确)时,在统计中,用以下结果对变 量的独立性进行判断: ①当 ? 2 ? 2.706 时,没有充分的证据判定变量 A,B 有关联,可以认为变量 A,B 是没有关系的; ②当 ? 2 ? 2.706 时,有 90% 的把握判定变量 A,B 有关联; ③当 ? 2 ? 3.841时,有 95% 的把握判定变量 A,B 有关联; ④当 ? 2 ? 6.635 时,有 99% 的把握判定变量 A,B 有关联; 12:流程图 (1)由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图,流程图通常会有一个起点,一个或多个终 点,用来描述具有先后特征的动态过程。流程图是由基本单元和流程线组成的。特点是直观清楚 (2)流程图主要有工序流程图和程序流程图: ①工序流程图又称工艺流程图、统筹图,用于描述工业生产的流程。流程图一般要按照从左到右、 从上到下的顺序来画,要求规范标准。日常生活中使用的流程图可以使用不同的色彩,添加一些生动的 图形元素。 ②程序框图是算法步骤的直观图示。算法的输入、输出、条件、循环等基本单元构成了程序框图 的基本要素。基本要素之间的关系由流程线来建立。 13:结构图 (1)结构图是一种描述系统结构的图示,一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线 (或方向箭头)构成。连线通常按照从左到右、从上到下的方向(方向箭头按照箭头所指的方向)表示 要素的从属关系或逻辑的先后关系。 (2)结构图除了可以表示结构设置的层次之外,还可以清楚地表示事物的分类。 14: ⑴归纳推理的定义:根据一类事物中部分事物具有某些属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性, 这种推理方式称为归纳推理.(简称:归纳) 简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般 的推理. ⑵ 归纳推理的一般步骤: ①通过观察特例发现某些共性或规律; ② 由这种共性或规律猜想出一般结论(命题) ; ③ 对所提出的命题进行检验。 ⑶归纳推理的特点: ①归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. ②归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.结论是否真 实,还需经过逻辑证明和实践检验。它不能作为数学证明的工具。 ③归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验或实验的基础之上. ⑷归纳推理的作用: ①发现新事实、获得新结论;②提供解决问题的思路和方向. 15: ⑴ 类比推理的定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征, 推断另一类对象也具有类似的其他特征 ,这种推理过程称为类比推理.(简称:类比) 简言之,类比推理是由特殊到特殊 的推理. ⑵类比推理的一般步骤:

①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性) ; ②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;③ 检验猜想. ⑶类比推理的特点: ①类比是人们已经掌握了事物的属性,推测正在研究的事物的属性,它以已有认识作基础,类比出新 的结果; ②类比是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性; ③类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却具有发现的功能. ⑷类比推理的作用:(1)发现新问题、新结论;(2)发现解决问题的新方法. ⑸常见的类比: ①代数方面:加→乘,减→除,乘→乘方,除→开方,实数与向量,数与式(分数对分式、整数对 整式、有理数对有理式) ,等差数列与等比数列等; ②几何方面:平面(二维)→立体(三维) ,线段→面,面积→体积,平面角→二面角等 ③解析几何方面:圆→椭圆,椭圆→双曲线 ⑹合情推理:根据 实验和实践的结果,个人的经验和直觉,已有的事实和正确的结论(定理定义公理 等) 的推理方式,称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理. 它得到的结论不一定真, 但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律, 为我们提供证明的思路和方法. 归纳 和 类比 是最常见的 合情推理. 16:定义:我们把由 一般性 命题推演出 特殊性 命题的推理方法称为演绎推理。 简言之,演绎推理是由一般 到 特殊的推理。 在数学学习中,用 合情推理提出猜想,用 演绎推理 证明命题. 合情推理 是认识世界、发现问题的基础; 演绎推理 是证明命题、建立理论体系的基础。 17: 三段论推理 三段论 是最常见的一种演绎推理形式。 18:

从命题的条件出发,利用定义、定理、公理及运算法则,通过演绎推理,一步一步接 近要证明的结论,直到完成命题的证明,这种思维方法称为综合法. 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为: P ? Q1 ? Q1 ? Q2 ? Q2 ? Q3 ? ? ? Qn ? Q 综合法的特点: ① 从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,由因导果,其逐步推理,实际上是寻找它的必要 条件.
② 用综合法证明,证明步骤严谨,逐层递进,条理清晰,形式简洁,易于表达推理的思维过程,常见 的表达方式是“因为。。 。,所以。。。 。” 19: 从求证的结论出发, 一步一步的探索保证前一个结论成立的充分条件, 直到归结为这个命题的条件, 或者归结为定义、定理、公理等,这种思维方法称为分析法. 用 Q 表示要证明的结论,P 表示中间结论. 则分析法用框图表示为: Q ? P1 ? P1 ? P2 ? P ? P ? ? ? 得到一个明显成立的条件 2 3 分析的特点: ① 分析法是综合法的逆过程,即从“未知”看“需知”,执果索因,逐步靠拢“已知” ,其逐步推理,实际 上是寻找它的充分条件.



由于分析法是逆推证明,故利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性,即分析法有独特的表述,其 优点是方向明确,思路自然,常见的表达方式是“要证。。 。,只需证。。 。” 20:直接证明的两种方法: 综合法和 分析法; 反证法是间接证明的一种基本方法. 21: 反证法的概念:在证明数学命题时,要证明的结论要么正确,要么错误 ,二者必居其一。我们可 以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中 的已知条件相矛盾 ,或与假定相矛盾 ,从而说明命题结论的反面不可能成立, 由此断定命题的结论 成立。这种证明方法叫做反证法。 反证法的原理及其依据: (1)原理:否定之否定等于肯定; (2)依据:逻辑中的排中律。排中律的 一般表现形式是:或者是 A,或者是非 A,即在同一讨论过程中,A 和非 A 有一个且仅有一个是对的,不 可能有第三种情况出现。 反证法的一般步骤: (1)作出否定结论的假设; (2)进行推理,导出矛盾; (3)否定假设,肯定结 论。 方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命题与其逆否命题同 真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实. 22: 复数的概念及分类 (1)虚数单位:把平方等于-1 的数用符号 i 表示,规定: i ? ?1 ,我们把 i 叫做 虚数单位 。
2

规定:i 可以和实数 b 相乘,得 bi;其中 0·i= 0 (2)复数的概念:设 a,b 都是实数,形如 a+bi 的数叫做复数。复数通常表示为 z= 其中 a 与 b 分别叫做复数 z 的 实部 与虚部 ,分别用 (3)复数的分类: Re z 与 a+bi

Im z 表示。

? 实数(b=0) ? 复数z ? a ? bi ?虚数(b ? 0) 纯虚数(a=0) 非纯虚数(a ? 0) ? ?

?

归纳: 当 当 当 当 b=0 a=0 且 b=0 b≠0 a=0 且 b≠0 时,它是实数; 时,它是 0; 时,它是虚数; 时,它是纯虚数。

复数的全体组成的集合叫做 复数集,记作 C 。 23:复数的相等: 如果两个复数的实部与虚部分别相等,那么我们说这两个复数 相等 , 即: a ? bi ? c ? di ?

? ?ba ? dc

特别的, a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 注意:两个实数可以比较大小,但对于两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小,只能说相等或不 相等。

24: 复数的几何意义: (1) 什么是复平面,实轴,虚轴?

(2) 复数 z=a+bi 与复平面内的点 Z(a,b)有什么关系?(复数的几何意义) 一一对应 (3)复数 z=a+bi 与向量 OZ 有什么关系? 一一对应 25: 复数的模: 设复数 z=a+bi( a ,b ? R )在复平面内对应的点是 Z(a,b),点 Z 到原点的距离 OZ 叫做复数 z 的模或绝对值,记作 |z| 26:复数的加减乘除四则运算 ,显然 z ?

???

a2 ? b2

( a ? bi ) ? (c ? di ) = (a ? c) + (b ? d)i 。

(a ? bi)(c ? di) = (ac-bd)+(ad+bc)i 。
a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ? ? c ? di (c ? di)(c ? di)
复数的乘法运算律 (1)交换律: 1 2 = z 2 z1 ; (2)结合律: z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z 2 ) z3 ; (3)分配律: z1 ( z2 (4)

按四则运算计算,不用记公式

zz

? z3 ) = z1 z2 ? z1 z3 ;
mn

zm zn = z

m?n



n (z m)= z



( z1 z2 )n = z

n n 1 2

z

27: (1)什么是共轭复数?

(2)若 z=a+bi,则其共轭复数 z =a-bi 性质:① z + z = 2a ② z – z = 2bi (纯虚数或 0) ③ z 的共轭的共轭是其本身 ④ z? 2 ? b 2 ? z z=a
2

28:a=0 是 z=a+bi(a、b?R)为纯虚数的 必要不充分 条件


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