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3.1.1两角差的余弦公式[1]


毕节市二实验高中

周真发

1.理解两角和与差的余弦公式及推导过程;
2.掌握两角差的余弦公式,并能正确的运用公式进

行简单三角函数式的化简、求值;
3.掌握“变角”和“拆角”的方法.

某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示, 小山高BC约为30米,在地平面上有

一点A,测得A、C两点间

距离约为60米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为
45°, ∠CAB=15o.求这座电视发射塔的高度. D CD ? BD ? BC , BD ? AB tan 60?

AB ? 60cos15? , BC ? 60sin15?.
60 45° 150

cos15? ? ?
C
B

sin15? ? ?

A

两角差的余弦公式的推导
? ? ? ? ? ?

?15 ? 45 ? 30 ,? cos15 =cos (45 -30 ). cos (45 -30 )=?
? ?

若 ?,? 为两个任意角, 则 cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ?
成立吗?

令? ? 60 , ? ? 30 ,
? ?

显然cos(60? ? 30? ) ? cos 60? ? cos 30?.

2 令 ? ? ? , 则 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? cos ?
令??

cos(α-β)公式的结构形式应该与 哪些量有关系 ? ? ? 令 ? ? , 则 cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? sin ?
2

, 则 cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? sin ? 2 2 令 ? ? ? , 则 cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? cos?
应该与sinα ,cosα ,sinβ ,cosβ均有关系

?

?

发现: cos(α-β)公式的结构形式

1

y A

借助三角函数线来推导cos(α -β )公式

P1

?

sin

?

OM= cos(α-β) OB=cosαcosβ BM=sinαsinβ
P 又 OM=OB+BM

cos ?

C

?

?

cos ?? ? ? ? ? ? ? sin ? sin ?
M 1

O

B

x

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

cos ? cos ?

+

两角差的余弦公式有哪些结构特征?

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
上述公式称为差角的余弦公式,记作

C(? ?? )

注意:1.公式的结构特点:等号的左边是复角α-β的
余弦值,等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘 积的和。

简记“C C S S,符号要改”

2.公式中的α ,β 是任意角。

公式的运用
例1 利用差角余弦公式求cos15?的值.

解法1 cos 15 ? cos (45 -30 )
? ? ?

= cos 45 cos 30 ? sin 45 sin 30
? ? ?

?

2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ? . 4

解法2 cos 15? ? cos (60? -45?) = cos 60? cos 45? ? sin 60? sin 45?

完成本题后,你会求 sin 75 的值吗?

?

2? 6 sin 75 ? cos15 ? . 4
? ?

4 ? 5 例2 已知sin ? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , 5 2 13

? 是第三象限角,求 cos(? ? ? )的值.

分析:要计算 cos(? ? ? ), 应作哪些准备?
4 ? 解:由sin ? ? , ? ? ( , ? ), 5 2 3 2 得cos? =- 1 ? sin ? ? ? ; 5

5 又由cos ? ? ? , ? 是第三象限角,得 13 12 2 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? . 13

? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 3 5 4 12 ? (? ) ? (? ) ? ? (? ) 5 13 5 13 33 ?? . 65

提升总结
先根据平方关系求两角的正、 余弦值,再代入差角余弦公 式求值.

3 ? ? 3? ? 1.已知cos? = ,? ? ? ,2? ?,求cos(? ? ). 5 3 ? 2 ?
3 ? 3? ? 解: ? cos ? = ,? ? ? ,2? ? 5 ? 2 ?

4 ?3? ? sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5?

2

cos(? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin 3 3 3 3 1 4 3 3? 4 3 ? ? ? (? ) ? ? . 5 2 5 2 10

?

?

?

公式逆用
cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α -β) cos(α -β ) ? cosα cosβ + sinα sinβ
例3 求值: (1)cos13? ? cos17? ? sin13? ? sin17?; (2) cos160? ? cos 50? ? sin160? ? cos 40?.
解:(1)cos13? ? cos17? ? sin13? ? sin17? 3 ; 2 (2) cos160? ? cos 50? ? sin160? ? cos 40? ? cos(13? ???? ) ? cos 30? ?

? cos160? ? cos 50? ? sin160? ? sin 50?

? cos(160 ? ?0 ) ? ? cos30?
? ?

= ?

3 . 2

2.求值:(1) cos53 cos 23 ? sin 53 sin 23 ;
(2) cos80 cos35? ? cos10? cos55?.
3 解:(1)原式 ? cos(53 ? 23 ) ? cos 30 ? . 2
? ? ?

?

?

?

?

?

(2)原式 ? cos80? cos 35? ? sin 80? sin 35? 2 ? cos(80 ? 35?) ? cos 45 ? . 2
? ?

公式活用

1 3 ? 例4 已知 cos ? = , cos(? ? ? )=- , 0 ? ? ,? ? , 2 5 2 求 cos ? .

提示:拆角思想:cos ? ? cos ? (? ? ? ) ? ? ? .
1 ? 3 解: 由 cos ? = , 0 ? ? ? , 得 sin ? ? , 2 2 2

利用差角公式求值时, 3 由cos(? ? ? )=- , 0 ?? ? ? ??, 常常进行角的分拆与组合. 5 4 即公式的变用. 得sin(? +? )= . 5 cos ? ? cos ? (? ? ? ) ? ? ? ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ?
3 1 4 3 ?3 ? 4 3 ?? ? ? ? ? . 5 2 5 2 10

12 3.已知 cos(? ? ) ? , ? 为锐角,求 cos ? . 3 13 ? ? ? 5? 解: ?? ? (0, ), ?? ? ? ( , ).
6 ? 12 ? 5 ? cos(? ? ) ? , ? sin(? ? ) ? . 3 13 3 13 2 3 3

?

cos ? ? cos[(? ? ) ? ] 3 3 ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? ) sin 3 3 3 3 12 1 5 3 12 ? 5 3 ? ? ? ? ? . 13 2 13 2 26

?

?

?

?

?

?

1.两角差的余弦公式:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
2.已知一个角的正弦(或余弦)值,求该角的余弦

(或正弦)值时, 要注意该角所在的象限,从而确定
该角的三角函数值符号.

3.在差角的余弦公式中, ?,? 既可以是单角,也可以 是复角,运用时要注意角的变换,
? ? 等. 如?? , ? ? ( ? ? ) ? (? ? ?) ??
3 3

同时,公式的应用具有灵活性,解题时要注意正向、逆 向和变式形式的选择.

长期的心灰意懒以及烦恼足以致人于贫病 枯萎。 ——布朗


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