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2011年(文)概率与统计高考题汇编


2011 年概率与统计(文)高考题汇编
参考公式: 1.样本数据
x1 , x 2 ,? , x n

的样本方差

s ?
2

1 n

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ]
2 2 2

/>,标准差为 s ?

1 n

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ]
2 2 2

,其中

x ?

1

? x 为样本平均数. n
i i ?1

n

2.若 ( x , y ) , ( x
1 1

2

y2 )

,…, ( x

n

, yn )

为样本点,

? y ? bx ? a

为回归直线,则 x

?

1 n

?x ,y
i i ?1

n

?

1 n

?
i ?1

n

yi

,b

?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y ) ?
i

?
i ?1

n

xi yi ? n xy xi ? n x
2 2

? (x
i ?1

? x)

2

?
i ?1

n



a ? y ? bx

.

一、选择题
1.(2011 福建文 4)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名。现 用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高 二年级的学生中应抽取的人数为 A.6 B.8 C.10 D.12 2.(2011 福建文 7)如图,矩形 ABC D 中,点 E 为边 C D 的重点,若在 矩形 ABC D 内部随机取一个点 Q ,则点 Q 取自△ ABE 内部的概率等于 A.
1 4

D

E

C

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3
A B

3.(2011 安徽文 9)从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边形 是矩形的概率等于 A.
1 10

B.

1 8

C.

1 6

D.

1 5

4.(2011 湖北文 5)有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率 分布直方图估计,样本数据落在区间 [10,12) 内的频数为 A.18 B.36 C.54 D.72

5.(2011 湖南文 5)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列 联表:
男 爱好 不爱好 总计 40 20 60
2

女 20 30 50

总计 60 50 110
2

由K2

?

n ( ad ? bc )

( a ? d )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

算得, K 2

?

110(40 ? 30 ? 20 ? 20) 60 ? 50 ? 60 ? 50

? 7.8

1

附表:
p(K ? k )
2

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

k

参照附表,得到的正确结论是 A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为 “爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为 “爱好该项运动与性别无关” 6.(2011 江西文 7)为了普及环保知识,增强环保意识, 某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试,得分(十分制) 如图所示,假设得分值的中位数为 m E ,众数为 m a ,平均值为
x

频数 10 8 6 4 2
O

10 6 2 3 3 4 5 6 3 7 2 8 2 2 得分

,则 A. m e

? ma ? x

B. m e

? ma ? x

C. m e

? ma ? x

D. m a

? me ? x

9 10

7. (2011 年江西文 8)为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子身高数据如 下
父亲身高 x (cm ) 儿子身高
y (cm )

174 175

176 175

176 176

176 177

178 177

则 y 对 x 的线性回归方程为 A. y
? x ?1

B. y

? x ?1

C. y

? 88 ?

1 2

x

D. y

? 176

8. (2011 年山东文 8)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表
广告费用 x (万元) 销售额
y

4 49

2 26

3 39

5 54

(万元)

? 根据上表可得回归方程 y

? ? ? bx ? a

? 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为

A.63.6 万元

B.65.5 万元

C.67.5 万元

D.72.0 万元

9. (2011 年四川文 2)有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 1l [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计,大于或等于 31.5 的数据约占 A.
2 11

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

10. (2011 年四川文 12) 在集合 {1, 2, 3, 4, 5} 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的 向量 α ? ( a , b ) ,从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作 成的平行四边形的个数为 n ,其中面积等于 2 的平行四边形的个数为 m ,则
2
m n ?

A.

2 15

B.

1 5

C.

4 15

D.

1 3

11. (2011 年浙江文 8)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至 少有 1 个白球的概率是 A.
1 10

B.

3 10

C.

3 5

D.

9 10

12. (2011 年全国新课标文 6)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每 位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A.
1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

13. (2011 年重庆文 4)从一堆苹果中任取 10 只,称得它们的质量如下(单位:克) 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在 [114.5,124, 5) 内的频率为 A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5

二、填空题
1.(2011 江苏文 5)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的 两倍的概率为______. 2.(2011 广东文 13)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记 录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x (单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系:
时间 x 命中率 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

小李这 5 天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法,预测小李每月 6 号打篮 球 6 小时的投篮命中率为________. 3.(2011 湖北文 11)某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家。为掌握各 类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中型超市___家. 4.(2011 湖北文 13) (江省文科生不适合)在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期,从这 30 瓶 饮料中任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过保质期饮料的概率为_____.(结果用最简分数表示)

5.(2011 湖南文 15)已知圆 C

: x ? y ? 12 ,直线 l : 4 x ? 3 y ? 25
2 2

.

(Ⅰ)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 . (Ⅱ)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为

.

6. (2011 年辽宁文 14)调查了某地若干户家庭的年收入 x (单位:万元)和年饮食支出 y (单
3

位:万元) ,调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归 ? 直线方程: y ? 0.254 x ? 0.321 .由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均 增加____________万元. 7. (2011 年山东文 13)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生, 为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查,应在丙 专业抽取的学生人数为 . 35. (2011 年重庆文 14)从甲、乙等 10 位同学中任选 3 位去参加某项活动,则所选 3 位中有 甲但没有乙的概率为 . 8. (2011 年浙江文 13)某中学为了解学生数学课程的学习情况,在 3000 名学生中随机抽取 200 名,并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图).根据 频率分布直方图推测 3000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是_______________.

9. (2011 年上海文 10)课题组进行城市农空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙 三组,对应城市数分别为 4、12、8.若用分层抽样抽取 6 个城市,则丙组中应抽取的城市数 为 .

三、解答题
1.(2011 安徽文 20)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:
年份 需求量(万吨) 2002 236 2004 246 2006 257 2008 276 2010 286

(Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y

? bx ? a



(Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量.
乙组 2.(2011 年北京文 16)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的 甲组 8 9 X 9 9 0 植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示. 1 1 1 0 (Ⅰ)如果 X ? 8 ,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X ? 9 ,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率.

3.(2011 福建文 19)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4, 5.现从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:
等级系数 频率
f
X

1
a

2 0.2

3 0.45

4
b

5
c

b

(Ⅰ) 若所抽取的 20 件日用品中, 等级系数为 4 的恰有 4 件, 等级系数为 5 的恰有 2 件, a 、 求 、 c 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1 , x 2 , x 3 ,等级系数为 5 的 2 件
4

日用品记为 y1 , y 2 ,现从 x1 , x 2 , x 3 , y1 , y 2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性 相同) ,写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率. 4.(2011 广东文 17)在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 x n 表示编号为 ? 1, 2, ? , 6) 的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下:
编号 n 成绩 x n 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72

n(n

(Ⅰ)求第 6 位同学的成绩 x 6 ,及这 6 位同学成绩的标准差 s ; (Ⅱ)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间 (68, 75) 中的概率. 5. (2011 年江西文 16)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别,公司准备了两种 不同的饮料共 5 杯,其颜色完全相同,并且其中的 3 杯为 A 饮料,另外的 2 杯为 B 饮料,公司要求 此员工一一品尝后,从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料.若该员工 3 杯都选对,测评为优秀;若 3 杯选 对 2 杯测评为良好;否测评为合格.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (Ⅰ)求此人被评为优秀的概率; (Ⅱ)求此人被评为良好及以上的概率.

6. (2011 年辽宁文 19)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为 品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2 n 小块地中, 随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (Ⅰ)假设 n ? 2 ,求第一大块地都种植品种甲的概率; (Ⅱ)试验时每大块地分成 8 小块,即 n ? 8 ,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上 的每公顷产量(单位: kg
品种甲 品种乙 403 419

/ hm

2

)如下表:
390 412 404 418 388 408 400 423 412 400 406 413

397 403

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种 植哪一品种?

7. (2011 年全国课标文 19)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越 好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方) 做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果: A 配方的频数分布表
指标值分组 频数 指标值分组 频数 [90,94) 8 [94,98) 20 [98,102) 42 [102,106) 22 [106,110] 8

B
[90,94) 4

配方的频数分布表
[98,102) 42 [102,106) 32 [106,110] 10

[94,98) 12

(Ⅰ)分别估计用 A 配方, B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生产的一种产品利润 y (单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为
5

? ?2, t ? 94 ? y ? ? 2, 94 ? t ? 102 ? 4, t ? 102 ?

估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率, 并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均 一件的利润.

8. (2011 年山东文 18)甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (Ⅰ)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师 性别相同的概率; (Ⅱ)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自同一 学校的概率. 9. (2011 年陕西文 20)如图, A 地到火车站共有两条路径 L 和 L 现随机抽取 100 位从 A 地到
1 2

火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时间(分钟) 选择 L 的人数
1

10~20 6 0

20~30 12 4

30~40 18 16

40~50 12 16

50~60
A

L1

火车站
L2

12 4

选择 L 的人数
2

(Ⅰ)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率; .. (Ⅱ)分别求通过路径 L 和 L 所用时间落在上表中各时间段内的频率;
1 2

(Ⅲ)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站,为了尽量大可能在允许的 时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.

10. (2011 年陕西文 9)设 ( x , y ) , ( x y ) ,…, ( x , y ) 是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性
1 1 2 2 n n

y l
? ?

回归直线(如图) ,以下结论正确的是 A.直线 l 过点 ( x , y ) B. x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C. x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同

x

O

11.2011 年上海文 13) ( 随机抽取的 9 个同学中, 至少有 2 个同学在同一月份出生的概率为 (默 认每月天数相同,结果精确到 0.001 ).

12. (2011 年四川文 17)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车 租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费, 超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元(不
6

足 1 小时的部分按 1 小时计算) .有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、 乙不超过两小时还车的概率分别为 、 ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 、 ;
4 2 2 4 1 1 1 1

两人租车时间都不会超过四小时. (Ⅰ)分别 求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率. 13. (2011 年天津文 15)编号为 A , A
1

2

, ? , A16

的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录
A5 A6 A7 A8

如下:
运动员编号 得分 运动员编号 得分
A1 A2 A3 A4

15
A9

35
A1 0

21
A11

28
A1 2

25
A13

36
A1 4

18
A1 5

34
A1 6

17

26

25

33

22

12

31

38

(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数 填入相应的空格;
区间 人数
[10, 20) [20, 30) [30, 40]

(Ⅱ)从得分在区间 [20, 30) 内的运动员中随 机抽取 2 人, (i)用运动员的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这 2 人得分之和大于 50 的概率. 14. (2011 年重庆文 17)某市公租房的房源位于 A 、 B 、 C 三个片区,设每位申请人只申请其 中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)没有人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)每个片区的房源都有人申请的概率. 15. (2011 年湖南文 18)某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y (单位:万千瓦 时)与该河上游在六月份的降雨量 X (单位:毫米)有关.据统计,当 X ? 70 时, Y ? 460 ; X 每 增加 10,Y 增加 5.已知近 20 年 X 的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200, 110,160,200,140,110,160,220,140,160. (Ⅰ)完成如下的频率分布表:
近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70
1 20

110

140
4 20

160

200

220
2 20

(Ⅱ)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率, 求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率. 16. (2011 年全国大纲文 19)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为,购买乙种 保险但不购买甲种保险的概率为.设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (Ⅱ)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不买的概率.

7


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