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江西省白鹭洲中学2013-2014学年高一数学下学期5月月考(含解析)


白鹭洲中学 2013—2014 学年下学期高一年级第三次月考 数学试卷
考生注意: 试卷所有答案都必须写在答题卷上。 答题卷与试卷在试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位。 考试时间为 120 分钟,试卷满分为 150 分。 一、选择题: (本大题共有 10 题,每 题 5 分,共 50 分) 1. 下列语句中,是赋值语句的为( ) A. m+n=3 B. 3=i C. i=i?+1 D. i=j=3 解:根据题意, A:左侧为代数式,故不是赋值语句 B:左侧为数字,故不是赋值语句 C:赋值语句,把 i2+1 的值赋给 i. D:为用用两个等号连接的式子,故不是赋值语句 故选 C. 2. 已知 a1,a2∈(0,1) ,记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( ) A.M>N B. M<N C. M=N D. 无法确定 解:由 M-N=a1a2-a1-a2+1 =(a1-1) (a2-1)>0, 故 M>N, 故选 B. 3. 甲、乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩 分别是 X 甲,X 乙,则下列结论正确的是( ) A.X 甲<X 乙;乙比甲成绩稳定 B.X 甲 >X 乙;甲比乙成绩稳定 C.X 甲<X 乙;甲比乙成绩稳定 D.X 甲 >X 乙;乙比甲成绩稳定 解:由茎叶图可知,甲的成绩分别为:72,77,78,86,92,平均成绩为:81; 乙的成绩分别为:78,82,88,91,95,平均成绩为:86.8, 则易知 X 甲<X 乙; 从茎叶图上可以看出乙的成绩比较集中,分数分布呈单峰, 乙比甲成绩稳定. 故选 A. 4. 将两个数 a=5,b=12 交换为 a=12,b=5,下面语句正确的一组是( )

A.

B.

C.

D.

1

解:先把 b 的值赋给中间变量 c,这样 c=12,再把 a 的值赋给变量 b,这样 b=5, 把 c 的值赋给变量 a,这样 a=12. 故选:D 5. 将参加夏令营的 500 名学生编号为:001,002,?,500. 采用系统抽样的方法抽取一个 容量为 50 的样本,且样本中含有一个号码为 003 的学生,这 500 名学生分住在三个营区, 从 001 到 200 在第一营区,从 201 到 355 在第二营区,从 356 到 500 在第三营区,三个营区 被抽中的人数分别为( ) A. 20,15,15 B. 20,16,14 C. 12,14,16 D. 21,15,14

500 解:系统抽样的分段间隔为 50 =10,
在随机抽样中,首次抽到 003 号,以后每隔 10 个号抽到一个人, 则分别是 003、013、023、033 构成以 3 为首项,10 为公差的等差数列, 故可分别求出在 001 到 200 中有 20 人, 在 201 至 355 号中共有 16 人,则 356 到 500 中有 14 人. 故选:B.

1 1 1 1 6. 如图给出的是计算 2 + 4 + 6 +?+ 20 的值的一个框图,
其中菱形判断框内应填入的条件是( A. i>10 B. i<10 C. i>11 D. i<11 )

1 1 1 1 1 解:∵S= 2 + 4 + 6 +?+ 20 ,并由流程图中 S=S+ 2i
循环的初值为 1, 终值为 10,步长为 1,

1 1 1 1 所以经过 10 次循环就能算出 S= 2 + 4 + 6 +?+ 20 的值,
故 i≤10,应不满足条件,继续循环 所以 i>10,应满足条件,退出循环 判断框中为:“i>10?”. 故选 A.

2 ab 7.设 a、b 是正实数, 给定不等式:① ab > a ? b ;②a>|a-b|-b;③a2+b2>4ab-3b2; 2 ④ab+ ab >2,上述不等式中恒成立的序号为(
A. ①③ 解:∵a、b 是正实数, B. ①④

) C. ②③ D. ②④

2

2 ab 2 ab ∴①a+b≥2 ab ? 1≥ a ? b ? ab ≥ a ? b .当且仅当 a=b 时取等号,∴①不恒成立;
②a+b>|a-b|? a>|a-b|-b 恒成立; ③a2+b2-4ab+3b2=(a-2b)2≥0,当 a=2b 时,取等号,例如:a=1,b=2 时,左边=5,右边 =4×1×2-3×22=-4∴③不恒成立;

2 2 2 ab ab =2 2 >2 恒成立. ④ab+ ab ≥
答案:D 8.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 小值是( A.0 ). B.1 C.2 + cd = + xy ≥ D.4 xy xy = + cd 的最

解析 由题知 a+b=x+y,cd=xy,x>0,y>0,则 4,当且仅当 x=y 时取等号. 答案 D

9. 在△ABC 中,三边 a、b、c 成等比数列,角 B 所对的边为 b,则 cos2B+2cosB 的最小值为 ( )

?
A.

3 2

B.-1

1 C. 2

D.1

解:∵a、b、c,成等比数列, ∴b2=ac,

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2 ac ? ac 1 2ac 2ac ∴cosB= = ≥ 2 ac = 2 .
∴cos2B+2cosB=2cos2B+2cosB-1

1 3 =2(cosB+ 2 )2- 2 , 1 3 1 ∴当 cosB= 2 时,cos2B+2cosB 取最小值 2- 2 = 2 .
故选 C.

1 1 2 1 2 3 1 2 k 10. 给出数列 1 , 2 , 1 , 3 , 2 , 1 ,?, k , k ? 1 ,?, 1 ,?,在这个数列中,第
50 个值等于 1 的项的序号是( A.4900 B.4901 ) C.5000 D.5001

3

1 2 3 解:值等于 1 的项只有 1 , 2 , 3 ,? 50 所以第 50 个值等于 1 的应该是 50
那么它前面一定有这么多个项:

1 分子分母和为 2 的有 1 个: 1 1 2 分子分母和为 3 的有 2 个: 2 , 1 1 2 3 分子分母和为 4 的有 3 个: 3 , 2 , 1
?

1 2 98 分子分母和为 99 的有 98 个: 98 , 97 ,?, 1 2 3 49 分子分母和为 100 的有 49 个: , 98 ,?, 97 ,?, 51 .
所以它前面共有(1+2+3+4+?+98)+49=4900 所以它是第 4901 项. 故选 B.

二、填空题: (本大题共有 5 题,每 题 5 分,共 25 分) 11. 已知 x、y 的取值如下表: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7

从散点图分析,y 与 x 线性相关,且回归方程为 y=0.95x+a,则 a= 解:点( x , y )在回归直线上, 计算得 x =2, y =4.5; 代入得 a=2.6; 故答案为 2.6.

? x ? 2, x ? 0 ? ? x ? 2, x ? 0 ,则不等式 f(x)≥x2 的解集是 12. 已知函数 f(x)= ?
解:①当 x≤0 时;f(x)=x+2,∵f(x)≥x2,∴x+2≥x2,x2-x-2≤0,解得,-1≤x≤2, ∴-1≤x≤0;
4

②当 x>0 时;f(x)=-x+2,∴-x+2≥x2,解得,-2≤x≤1,∴0≤x≤1, 综上①②知不等式 f(x)≥x2 的解集是:[-1,1]. 13. 如果运行下面程序之后输出 y 的值是 9,则输入 x 的值是 输入 x If x<0 Then y=(x+1)*(x+1) Else y=(x-1)*(x-1) End if 输出 y End

?( x ? 1)( x ?1), x ? 0 ? ( x ? 1)( x ?1), x ? 0 解:根据条件语句可知是计算 y= ?
当 x<0,时(x+1) (x+1)=9,解得:x=-4 当 x≥0,时(x-1) (x-1)=9,解得:x=4 答案:-4 或 4 14. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、C、若( 3 b-c)cosA=acosC,则 cosA= 解:由正弦定理,知 由( 3 b-c)cosA=acosC 可得 ( 3 sinB-sinC)cosA=sinAcosC, ∴ 3 sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA =sin(A+C)=sinB,

3 3 ∴cosA= 3 .故答案为: 3

15. 设 a+b=2,b>0,则

1 2a

a + b 的最小值为

a?b 解:∵a+b=2,∴ 2 =1,



1 2a

a b a a 4a 4a b + b = + + , b 4a
a + b ≥1(当且仅当 b2=4a2 时取等号) ,

∵b>0,|a|>0,∴

5



1 2a

a a 4a + b ≥ +1, 1 2a
a 3 + b 的最小值为 4 .

故当 a<0 时,

3 故答案为: 4 .

三、解答题 (本大题共有 6 题,共 75 分) 16. 已知关于 x 的不等式 x2-4x-m<0 的解集为非空集{x|n<x<5} (1)求实数 m 和 n 的值 (2)求关于 x 的不等式 loga(-nx2+3x+2-m)>0 的解集. 解: (1)由题意得:n 和 5 是方程 x2-4x-m=0 的两个根(2 分)

?n ? 5 ? 4 ? ?5n ? ?m (3 分) ?n ? ?1 ? ? m ? 5 (1 分)
(2)1°当 a>1 时,函数 y=logax 在定义域内单调递增 由 loga(-nx2+3x+2-m)>0 得 x2+3x-3>1(2 分) 即 x2+3x-4>0 x>1 或 x<-4(1 分) 2°当 0<a<1 时,函数 y=logax 在定义域内单调递减 由:loga(-nx2+3x+2-m)>0

? x 2 ? 3x ? 3 ? 1 ? 2 x ? 3x ? 3 ? 0 得: ? (2 分)

?4 ? x ? 1 ? ? ? ?3 ? 21 ?3 ? 21 或x ? ?x ? 2 2 即? (1 分) (1 分)
∴当 a>1 时原不等式的解集为: (-∞,-4)∪(1,+∞) ,

(?4,
当 0<a<1 时原不等式的解集为:

?3 ? 21 ?3 ? 21 ) ( ,1) 2 2 (1 分)

17. 某校高一学生共有 500 人,为了了解学生的历史学习情况,随机抽取了 50 名学生,对 他们一年来 4 次考试的历史平均成绩进行统计, 得到频率分布直方图如图所示, 后三组频数

6

成等比数列. (1)求第五、六组的频数,补全频率分布直方图; (2)若每组数据用该组区间中点值作为代表(例如区间[70,80)的中点值是 75) ,试估计 该校高一学生历史成绩的平均分; (3)估计该校高一学生历史成绩在 70~100 分范围内的人数.

解: (1)设第五、六组的频数分别为 x,y 由题设得,第四组的频数是 0.024×10×50=12 则 x2=12y,又 x+y=50-(0.012+0.016+0.03+0.024)×10×50 即 x+y=9 ∴x=6,y=3

补全频率分布直方图 (2)该校高一学生历史成绩的平均分

x =10(45×0.012+55×0.016+65×0.03+75×0.024+85×0.012+95×0.006)=67.6
(3)该校高一学生历史成绩在 70~100 分范围内的人数: 500×(0.024+0.012+0.006)×10=210 18. 根据如图所示的程序框图, 将输出的 x, y 依次记为 x1, x2, ?, x2013, y1, y2?y2013, (1)求出数列{xn},{yn}(n≤2013)的通项公式; (2)求数列{xn+yn}(n≤2013)的前 n 项的和 Sn. 解: (1)由程序框图可得到数列{xn}是首项为 2, 公差为 3 的等差数列,∴xn=3n-1, (n≤2013) . 数列{yn+1}是首项为 3 公比为 2 的等比数列, ∴yn+1=3?2n-1,∴yn=3?2n-1-1, (n≤2013) . (Ⅱ)∵xn+yn=3n-1+3?2n-1-1=, (n≤2013) . ∴Sn=(2+5+?+3n-1)+(3+6+?+3?2n-1)-n

7

(2 ? 3n ? 1) n 3n 2 ? n ? 6 2 2 = +3?2n-3-n=3?2n+ (n≤2013) .
2 5 19. 在△ABC 中,∠B=45°,AC= 10 ,cosC= 5 ,
(1)求 BC 的长; (2)若点 D 是 AB 的中点,求中线 CD 的长度.

2 5 5 解: (1)由 cosC= 5 得 sinC= 5 2 3 10 sinA=sin(180°? 45°? C)= 2 (cosC+sinC)= 10
10 AC 2 3 10 由正弦定理知 BC= sinB ?sinA= 2 ? 10 =3 2 10 AC 5 2 (2)AB= sinB ?sinC= 2 ? 5 =2,

1 BD= 2 AB=1

由余弦定理知 CD= BD ? BC ? 2BD BC cos B =
2 2

1 ? 18 ? 2 1 3 2

2 2 = 13

20. 某森林出现火灾,火势正以每分钟 100 m2 的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消 防员前去,在火灾发生后五分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火 50 m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元,另附加每次救火所耗损 的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元,而烧毁 1 m2 森林损失费为 60 元,问应该派多 少消防员前去救火,才能使总损失最少? 解:设派 x 名消防员前去救火,用 t 分钟将火扑灭,总损失为 y 元,则

5 ? 100 10 t= 50 x ? 100 = x ? 2 ,
y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械、装备费+森林损失费 =125tx+100x+60(500+100t)

10 60000 =125x? x ? 2 +100x+30000+ x ? 2 x?2?2 60000 y=1250? x ? 2 +100(x-2+2)+30000+ x ? 2

8

62500 =31450+100(x-2)+ x ? 2
≥31450+2 100 ? 62500 =36450,

62500 当且仅当 100(x-2)= x ? 2 ,
即 x=27 时,y 有最小值 36450. 答:应该派 27 名消防员前去救火,才能使总损失最少,最少损失为 36450 元.
2 an =4Sn? 2an? 1(n∈N*) ,其中 Sn 为{an}前 n 项和.

21. 各项为正数的数列{an}满足 (1)求 a1,a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式;

(3)是否存在正整数 m、n,使得向量 说明理由. 解: (1)当 n=1 时, 当 n=2 时,

an =(2an+2,m)与向量 bn =(? an+5,3+an)垂直?

a12 =4S1? 2a1? 1,化简得(a1? 1)2=0,解之得 a1=1

2 a2 =4S2? 2a2? 1=4(a1+a2)-2a2-1

将 a1=1 代入化简,得 a22? 2a2? 3=0,解之得 a2=3 或-1(舍负) 综上,a1、a2 的值分别为 a1=1、a2=3; (2)由
2 an a2 =4Sn? 2an? 1?①, n ?1 =4Sn+1? 2an+1? 1?② 2 2 an ?1 ? an =4an+1? 2an+1+2an=2(an+1+an)

②-①,得

移项,提公因式得(an+1+an) (an+1-an-2)=0 ∵数列{an}的各项为正数, ∴an+1+an>0,可得 an+1-an-2=0 因此,an+1-an=2,得数列{an}构成以 1 为首项,公差 d=2 的等差数列 ∴数列{an}的通项公式为 an=1+2(n-1)=2n-1; (3)∵向量

an =(2an+2,m)与向量 bn =(-an+5,3+an) an =(2(2n+3) b ,m) , n =(-(2n+9) ,2n+2)

∴结合(2)求出的通项公式,得 若向量

an ⊥ bn ,则 an ? bn =-2(2n+3) (2n+9)+m(2n+2)=0

7 化简得 m=4(n+1)+16+ n ? 1
∵m、n 是正整数,

9

∴当且仅当 n+1=7,即 n=6 时,m=45,可使

an ⊥ bn 符合题意 an =(2an+2,m)与向量 bn =(-an+5,3+an)

综上所述,存在正整数 m=45、n=6,能使向量 垂直.

10


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