当前位置:首页 >> 高考 >>

2016年天津理数高考试题(含答案)


绝密★启用前

2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)


至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。

学(理工类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时, 考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
注意事项: 1. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其他答案标号。 2. 本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。

参考公式:
?如果事件 A , B 互斥,那么 ?如果事件 A , B 相互独立,那么

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .

P( AB) ? P( A) P( B) .

?圆柱的体积公式 V ? Sh .?圆锥的体积公式 V ? 其中 S 表示圆柱的底面面积, h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.

1 Sh . 3

其中 S 表示圆锥的底面面积,

一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.学科.网

1,2,3,4?, B ? y y ? 3x ? 2, x ? A ,则 A ? B ? (1)已知集合 A ? ?
1? (A) ? 1,3? (C) ?
(B) ?4?

?

?

1,4? (D) ?

? x ? y ? 2 0, ≥ ? ? (2)设变量 x , y 满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 6 ≥ 0, 则目标函数 z ? 2 x ? 5 y 的最小值为 ? ?3 x ? 2 y ? 9 ≤ 0. ?
(A) ? 4 (B) 6 (C) 10 (D) 17

1



S

?





n

?

4

1

S
S ? 2 S S ? S ?

6

? 是
1 6

n

?

n

?

n> 3
输 出 结 束 S

?

(3)在 ?ABC 中,若 AB ? 13 , BC ? 3 , ?C ? 120? , 则 AC ? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (4)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 则 (5)设 ?an ? 是首项为正数的等比数列,学科&网公比为 q , “ q<0 ”是“对任意的正整数 n , a2n?1 ? a2n<0 ”的 (A)充要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

x2 y2 (b>0) ? ?1 (6)已知双曲线 ,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐 4 b2
近线相交于 A , B , C , D 四点,学科&网四边形 ABCD 的面积为 2b ,则双曲线的方程为 (A)

(第 4 题图)

x2 3y2 ? ?1 4 4

(B)

x2 4 y2 ? ?1 4 3

(C)

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 (D) ? ?1 4 4 4 12

(7)已知 ?ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D , E 分别是边 AB , BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F ,使得 DE ? 2 EF ,则 AF ? BC 的值为 (A) ?

5 1 (B) 8 8

(C)

1 4

(D)

11 8

? x 2 ? (4a ? 3) x ? 3a, x<0 ? (8)已知函数 f ( x) ? ? ( a>0 ,学.科网且 a ? 1 )在 R 上单调递减,且关于 x 的 loga ( x ? 1) ? 1, x≥ 0 ? ?
方程 f ( x) ? 2 ? x 恰好有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是

2 3 1 2 3 (C) [ , ] ? { } 3 3 4
(A) (0, ]

(B) [ , ] (D) [ , ) ? {

2 3 3 4

1 2 3 3

3 } 4





2

绝密★启用前

2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)



学(理工类)
第Ⅱ卷

注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题, 共 110 分. 二.填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. (9)已知 a , b ? R, i 是虚数单位,若 (1 ? i)(1 ? bi) ? a ,则

a 的值为_____________. b

2 8 (10) ( x ? ) 的展开式中 x 7 的系数为_____________.(用数字作答)

1 x

(11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱 锥的三视图如图所示(单位: m ) ,学科.网则该四棱锥的体积 为_____________ m . (12)如图,AB 是圆的直径, 弦 CD 与 AB 相交于点 E ,
3
3 1 1 1 1

BE ? 2 AE ? 2 , BD ? ED ,则线段 CE 的长
为_____________. (13)已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间

(??,0) 上单调递增.若实数 a 满足 f (2
则 a 的取值范围是_____________.

a ?1

)>f (? 2 ) ,

? x ? 2 pt 2 , (14)设抛物线 ? ( t 为参数, p>0 )的焦 ? y ? 2 pt
点 F ,准线为 l .过抛物线上一点 A 作 l 的垂线,垂足为

A

C

E

7 B .设 C ( p,0) , AF 与 BC 相交于点 E .若 CF ? 2 AF , 2
且 ?ACE 的面积为 3 2 ,则 p 的值为_____________.

D

B

3

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 4 tan x sin(

?

? x) cos( x ? ) ? 3 . 2 3

?

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域与最小正周期; (Ⅱ)讨论 f ( x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的单调性. 4 4

(16)(本小题满分 13 分) 某小组共 10 人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为 1 , 2 , 3 的人数分 别为 3 , 3 , 4 .现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会. (Ⅰ)设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 ” ,求事件 A 发生的概率; (Ⅱ)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列 和数学期望.

(17)(本小题满分 13 分) 如图,正方形 ABCD 的中心为 O ,四边形 OBEF 为矩形,平面 OBEF ? 平面 ABCD ,点 G 为 AB 的 中点, AB ? BE ? 2 . (Ⅰ)求证: EG ∥平面 ADF ; (Ⅱ)求二面角 O ? EF ? C 的正弦值; (Ⅲ) 设 H 为线段 AF 上的点, 且 AH ? 求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值.
E

F
B G H

O
C D

2 HF , 3

A

4

(18)(本小题满分 13 分) 已知 ?an ?是各项均为正数的等差数列, 学.科.网公差为 d .对任意的 n ? N? ,bn 是 an 和 an ?1 的等比中项.
? 2 2 (Ⅰ)设 cn ? bn cn ?是等差数列; ?1 ? bn , n ? N ,求证:数列 ?

(Ⅱ)设 a1 ? d , Tn ?

? (?1) k bk2 , n ? N? ,求证 ?
k ?1

2n

1 1 < 2. 2d k ?1 Tk

n

(19)(本小题满分 14 分) 设椭圆

x2 y 2 1 1 3e ? ? 1 (a> 3) 的右焦点为 F ,右顶点为 A .已知 , ? ? 2 a 3 OF OA FA

其中 O 为原点, e 为椭圆的离心率. 学.科.网 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B ( B 不在 x 轴上) ,垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ,与 y 轴交 于点 H .若 BF ? HF ,且 ?MOA ≤ ?MAO ,求直线 l 的斜率的取值范 围.

(20)(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ( x ?1) ? ax ? b , x ?R,其中 a , b ? R.
3

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 存在极值点 x0 ,且 f ( x1 ) ? f ( x0 ) ,其中 x1 ? x0 ,求证: x1 ? 2 x0 ? 3 ; (Ⅲ)设 a>0 ,函数 g ( x) ? f ( x) ,求证: g ( x) 在区间 [0,2] 上的最大值不小于 ...

1 4

2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类)
一、选择题:
5

(1) 【答案】D (2) 【答案】B (3) 【答案】A (4) 【答案】B (5) 【答案】C (6) 【答案】D (7) 【答案】B (8) 【答案】C

第Ⅱ卷
二、填空题: (9) 【答案】2 (10) 【答案】 ?56 (11) 【答案】2 (12) 【答案】

2 3 3
1 3 2 2

(13) 【答案】 ( , ) (14) 【答案】 6 三、解答题 (15) 【答案】 (Ⅰ) ?x x ?

? ?

?

? ?? ? ? ?? ? ? (Ⅱ) 在区间 ? ? , ? 上单调递增, 学科&网在区间 ? ? , ? k? , k ? Z ? , ?. ? ? 2 ? 12 4 ? ? 4 12 ? ?

上单调递减. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数:

f ( x)=2sin ? 2 x ? ?
在区间[ ?

?
3

,再根据正弦函数性质求定义域、学科&网周期 ? ?? ? 根据(1)的结论,研究三角函数

? ? , ]上单调性 4 4

6

试题解析: ? ? ? 解: f ? x ? 的定义域为 ? x x ?

? ?

?

? ? k? , k ? Z ? . 2 ?

?? ?? ? ? f ? x ? ? 4 tan x cos x cos ? x ? ? ? 3 ? 4sin x cos ? x ? ? ? 3 3? 3? ? ?
?1 ? 3 2 =4sin x ? cos x ? sin x ? ?2 ? ? 3 ? 2sin x cos x ? 2 3 sin x ? 3 2 ? ?
= sin 2 x ? 3 ?1- cos 2 x ? ? 3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x=2sin ? 2 x ? ?
所以, f ? x ? 的最小正周期 T ?

?
3

.

2? ? ?. 2

? ?? ? 解:令 z ? 2 x ? 3 , 函数 y ? 2sin z 的单调递增区间是 ? ??
由?

?

?

? 2

? 2k? ,

?

? ? 2k? ? , k ? Z . 2 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,得 ?

?
12

? k? ? x ?

5? ? k? , k ? Z . 12

设 A ? ??

? ? 5? ? ? ? ?? ? ? ?? , ? , B ? ? x ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ? ,易知 A ? B ? ? ? , ? . 12 ? 12 4 ? ? 4 4? ? 12 ?

所以,当 x ? ? ?

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? , ? 学.科网时, f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上单调递增,在区间 ? ? , ? ? 上单调递减. ? 4 4? ? 12 4 ? ? 4 12 ?

考点:三角函数性质,诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 【结束】 (16) 【答案】 (Ⅰ) 【解析】
2 试题分析: (Ⅰ)先确定从这 10 人中随机选出 2 人的基本事件种数: C10 ,再确定选出的 2 人参加义工活动 1 1 2 次数之和为 4 所包含基本事件数:C3 ,最后根据概率公式求概率(Ⅱ)先确定随机变量可能取值为 C4 ? C4

1 (Ⅱ)详见解析 3

0,1, 2. 学.科网再分别求出对应概率,列出概率分布,最后根据公式计算数学期望
试题解析:解: (?) 由已知,有

P ? A? ?

1 1 2 C3 C4 ? C4 1 ? , 2 C10 3

7

所以,事件 A 发生的概率为

1 . 3

(?) 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1, 2.

P ? X ? 0? ? P ? X ? 1? ? P ? X ? 2? ?

2 C32 ? C32 ? C4 2 C10 1 1 1 1 C3 C3 ? C3 C4 2 C10 1 1 C3 C4 2 C10

?

4 , 15

?

7 , 15

?

4 . 15

所以,随机变量 X 学.科网分布列为

X

0

1

2

4 15 4 7 4 ? 1? ? 2 ? ? 1 . 随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ? 0 ? 15 15 15
P
考点:概率,概率分布与数学期望 【结束】 (17) 【答案】 (Ⅰ)详见解析(Ⅱ) 【解析】

7 15

4 15

3 7 (Ⅲ) 3 21

试题分析: (Ⅰ)利用空间向量证明线面平行,关键是求出面的法向量,利用法向量与直线方向向量垂直进 行论证(Ⅱ)利用空间向量求二面角,关键是求出面的法向量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后 根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值(Ⅲ)利用空间向量证明线面平行,关键是求出面的法向 量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值 试题解析:依题意,OF ? 平面ABCD ,如图,以 O 为点,分别以 AD, BA, OF 的方向为 x 轴, y 轴、 z 轴 的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得 O(0,0,0) ,

???? ??? ? ??? ?

A? ?1,1,0? , B(?1, ?1,0), C(1, ?1,0), D(11,0), , E(?1, ?1,2), F(0, 0,2), G(?1,0,0) .

8

?? ???? ? ???? ??? ? ?? n ? 1 ? AD ? 0 (I) 证明: 依题意, 则 ? ?? ??? , AD ? (2,0,0), AF ? ?1, ?1, 2 ? .设 n1 ? ? x, y, z ? 为平面 ADF 的法向量, ? n ? AF ? 0 ? ? 1
即?

??? ? ?? ?? ??? ? ?2 x ? 0 . 不妨设 z ? 1 ,可得 n1 ? ? 0, 2,1 ? ,又 EG ? ? 0,1,? 2? ,可得 EG ? n1 ? 0 ,又因为直线 ? x ? y ? 2z ? 0

EG ? 平面ADF ,所以 EG / / 平面ADF .
( II )解:易证, OA ? ? ?1,1,0 ? 为平面 OEF 的一个法向量 . 依题意, EF ? ?1,1,0 ? , CF ? ? ?1,1, 2 ? . 设

??? ?

??? ?

??? ?

?? ? ??? ? ? ?? ? n ? E F? 0 ?x ? y ? 0 ? 2 ,即 ? .不妨设 x ?1 ,可得 n2 ? ? x, y, z ? 为 平 面 C E F 的 法 向 量 , 则 ? ?? ? ??? ? ? x ? y ? 2 z ? 0 n ? C F ? 0 ? ? ? 2 ?? ? . n2 ? ?1,? 1,?1 ??? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?? ? OA ? n2 6 3 因此有 cos ? OA, n2 ?? ??? ,于是 sin ? OA, n2 ?? ,所以,二面角 O ? EF ? C 的正弦值 ? ?? ? ?? 3 3 OA ? n2


3 . 3

(III) 解: 由 AH ?

??? ? ???? 2 ??? ? ?2 2 4? 2 2 HF , 学.科网得 AH ? AF .因为 AF ? ?1, ?1,2 ? , 所以 AH ? AF ? ? , ? , ? , 3 5 5 ?5 5 5?

???? ?? ? ???? ?? ? ???? ? 2 8 4 ? BH ? n2 7 ? 3 3 4? 进而有 H ? ? , , ? , 从而 BH ? ? , , ? , 因此 cos ? BH , n2 ?? ???? ?? .所以, 直线 BH 和 ? ?? 21 ?5 5 5? ? 5 5 5? BH ? n2
平面 CEF 所成角的正弦值为

7 . 21

9

考点:利用空间向量解决立体几何问题 【结束】 (18) 【答案】 (Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析 【解析】
2 2 2 试题分析: (Ⅰ)先根据等比中项定义得: bn ? an an?1 ,从而 cn ? bn ?1 ? bn ? an?1an?2 ? an an?1 ? 2dan?1 ,因

此根据等差数列定义可证: cn?1 ? cn ? 2d ? an?2 ? an?1 ? ? 2d (Ⅱ) 对数列不等式证明一般以算代证先利
2

用分组求和化简 Tn ?
n

? ? ?1?
k ?1

2n

n

2 bn 2 ? ? ?b12 ? b2 ? ? ? ?b32 ? b42 ? ? ? ?b22n?1 ? b22n ? ? 2d 2n ? n ?1? ,再利用裂项相

消法求和

1 1 n 1 1 n ?1 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?1 ? ? ,易得结论. 2 ? 2 ?? 2d k ?1 k ? k ? 1? 2d k ?1 ? k k ? 1 ? 2d ? n ? 1 ? k ?1 Tk

2 2 2 试题解析: ( I ) 证 明 : 由 题 意 得 bn ? an an?1 , 有 cn ? bn ?1 ? bn ? an?1an?2 ? an an?1 ? 2dan?1 , 因 此

cn?1 ? cn ? 2d ? an?2 ? an?1 ? ? 2d 2 ,所以 ?cn ? 是等差数列.
2 2 2 2 2 2 (II)证明: Tn ? ?b1 ? b2 ? ?b3 ? b4 ? ?b2 n ?1 ? b2 n

?

? ?

? ?

?

? 2d ? a2 ? a4 ? ? ? a2 n ? ? 2d ?
n

n ? a2 ? a2 n ? ? 2d 2 n ? n ? 1? 2

所以

1 1 n 1 1 n ?1 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? ?1 ? ?? 2 . 2 ? 2 ?? 2d k ?1 k ? k ? 1? 2d k ?1 ? k k ? 1 ? 2d ? n ? 1 ? 2d k ?1 Tk

考点:等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【结束】 (19) 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求椭圆标准方程,只需确定量,由

x2 y 2 6 6 ? ? 1 (Ⅱ) (??,? ]?[ ,??) 4 3 4 4

1 1 3c 1 1 3c ? ? ,得 ? ? 再利用 | OF | | OA | | FA | c a a (a ? c ) ,

a 2 ? c2 ? b2 ? 3 ,可解得 c2 ? 1 , a 2 ? 4 (Ⅱ)先化简条件: ?MOA ? ?MAO ? | MA |?| MO | ,即 M

10

再 OA 中垂线上, xM ? 1



再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组求 B ;利用两直线方程组求 H,最后

根据 BF ? HF ,列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析: (1)解:设 F (c, 0) ,由

1 1 3c 1 1 3c ,即 ? ? ,可得 a 2 ? c 2 ? 3c 2 ,又 ? ? | OF | | OA | | FA | c a a (a ? c ) x2 y 2 ? ? 1. 4 3

a 2 ? c2 ? b2 ? 3 ,所以 c2 ? 1 ,因此 a 2 ? 4 ,所以椭圆的方程为

(2) (Ⅱ)解:设直线 l 的斜率为 k ( k ? 0 ) ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) . 设 B( xB , y B ) ,由方程组

? x2 y 2 ?1 ? ? ,消去 y ,整理得 (4k 2 ? 3) x 2 ?16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 . 3 ?4 ? y ? k ( x ? 2) ?
8k 2 ? 6 8k 2 ? 6 ? 12 k 解得 x ? 2 ,或 x ? ,由题意得 xB ? ,从而 yB ? . 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3
由(Ⅰ)知, F (1,0) ,设 H (0, y H ) ,有 FH ? (?1, yH ) , BF ? (

9 ? 4k 2 12k , ) . 由 BF ? HF ,得 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

BF ? HF ? 0 , 所 以
1 9 ? 4k 2 y?? x? . k 12k

9 ? 4k 2 9 ? 4k 2 12kyH y ? ? ? 0 , 解 得 . 因 此 直 线 MH 的 方 程 为 H 12k 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

? 1 9 ? 4k 2 20k 2 ? 9 ?y ? ? x ? y 设 M ( xM , yM ) , 由 方 程 组 ? 消 去 , 解 得 . 在 ?MAO 中 , x ? k 12k M 12(k 2 ? 1) ? y ? k ( x ? 2) ?
20k 2 ? 9 ?MOA ? ?MAO ?| MA |?| MO | ,即 ( xM ? 2) ? y ? x ? y ,化简得 xM ? 1 ,即 ? 1 ,解 12(k 2 ? 1)
2 2 M 2 M 2 M

得k ??

6 6 或k ? . 4 4 6 6 ]?[ ,??) . 4 4

所以,直线 l 的斜率的取值范围为 (??,?

考点:学.科网椭圆的标准方程和几何性质,直线方程 【结束】

11

(20) 【答案】 (Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)详见解析 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先求函数的导数: f ' ( x) ? 3( x ? 1) ? a ,再根据导函数零点是否存在情况,分类讨论:
2

①当 a ? 0 时,有 f ?( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?) .②当 a ? 0 时,存在三个单调区间 (Ⅱ)由题意得 ( x0 ? 1) ?
2

a f ( x1 ) ? f ( x0 ) 及单调性可得结论(Ⅲ)实 ,计算可得 f (3 ? 2 x0 ) ? f ( x0 ) 再由 3
| f( 3a 3a |,| f (? )| 3 3 的大小即可,分三种情况研究①
, ② 当

质研究函数 g ( x) 最大值:主要比较 f (1), f (?1) , 当

a?3





1?

3a 3a ? 0 ? 2 ?1? 3 3

3 ?a?3 4





1?

3 2 3a 3a 3a 2 3a 3a 3a ,③当 0 ? a ? 时, 0 ? 1 ? ? 0 ?1? ?1? ? 2 ?1? ? 1? ?2. 4 3 3 3 3 3 3
3 2

试题解析: (Ⅰ)解:由 f ( x) ? ( x ? 1) ? ax ? b ,可得 f ' ( x) ? 3( x ? 1) ? a . 下面分两种情况讨论: (1)当 a ? 0 时,有 f ' ( x) ? 3( x ?1) ? a ? 0 恒成立,所以 f ( x) 的单调递增区间为 (??,??) .
2

(2)当 a ? 0 时,令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ?

3a 3a ,或 x ? 1 ? . 3 3

当 x 变化时, f ' ( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,1 ?


3a ) 3

1?
0

3a 3

(1 ?

3a 3a ,1 ? ) 3 3
- 单调递减

1?
0

3a 3

(1 ?

3a ,??) 3


单调递增

极大值

极小值

单调递增

所以 f ( x) 的单调递减区间为 (1 ?

3a 3a 3a 3a ,1 ? ) ,单调递增区间为 (??,1 ? ) , (1 ? ,??) . 3 3 3 3
2

(Ⅱ) 证明: 因为 f ( x) 存在极值点, 所以由 (Ⅰ) 知a ? 0, 且 x0 ? 1 , 由题意, 得 f ' ( x0 ) ? 3( x0 ?1) ? a ? 0 , 即 ( x0 ? 1) ?
2

a , 3
12

2a a x0 ? ? b . 3 3 8a 3 (1 ? x0 ) ? 2ax0 ? 3a ? b 又 f (3 ? 2 x0 ) ? (2 ? 2 x0 ) ? a(2 ? 2 x0 ) ? b ? 3 2a a ?? x0 ? ? b ? f ( x0 ) , 且 3 ? 2 x0 ? x0 , 由题意及 (Ⅰ) 知, 存在唯一实数满足 f ( x1 ) ? f ( x0 ) , 且 x1 ? x0 , 3 3
3 进而 f ( x0 ) ? ( x0 ? 1) ? ax0 ? b ? ?

因此 x1 ? 3 ? 2x0 ,所以 x1 ? 2x0 ? 3 ; (Ⅲ)证明:设 g ( x) 在区间 [0,2] 上的最大值为 M , max{ x, y} 表示 x, y 两数的最大值.下面分三种情况同 理: (1)当 a ? 3 时, 1 ?

3a 3a ,由(Ⅰ)知, f ( x) 在区间 [0,2] 上单调递减,所以 f ( x) 在 ? 0 ? 2 ?1? 3 3

区间 [0,2] 上的取值范围为 [ f (2), f (0)] ,因此

M ? max{| f (2) |, | f (0) |} ? max{|1 ? 2a ? b |, | ?1 ? b |} ? max{|a ? 1 ? (a ? b) |, | a ? 1 ? (a ? b) |}

?a ? 1 ? (a ? b), a ? b ? 0 ,所以 M ? a ? 1? | a ? b |? 2 . ?? ?a ? 1 ? (a ? b), a ? b ? 0
(2)当

3 2 3a 3a 3a 2 3a ? a ? 3 时 , 1? ,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知, ? 0 ?1? ?1? ? 2 ?1? 4 3 3 3 3
2 3a 3a 2 3a 3a ) ? f (1 ? ) , f (2) ? f (1 ? ) ? f (1 ? ), 3 3 3 3 3a 3a ), f (1 ? )],因此 3 3

f (0) ? f (1 ?

所以 f ( x) 在区间 [0,2] 上的取值范围为 [ f (1 ?

M ? max{| f (1 ?
? max{| ?

3a 3a 2a 2a ) |, | f (1 ? ) |} ? max{|? 3a ? a ? b |, | 3a ? a ? b |} 3 3 9 9

2a 2a 3a ? (a ? b) |,| 3a ? (a ? b) |} 9 9

?

2a 2 3 3 1 3a ? | a ? b |? ? ? 3 ? ? . 9 9 4 4 4
3 3a 3a 时, 0 ? 1 ? ? 1? ? 2 ,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知, 4 3 3

(3)当 0 ? a ?

13

f (0) ? f (1 ?

2 3a 3a 2 3a 3a ) ? f (1 ? ) , f (2) ? f (1 ? ) ? f (1 ? ), 3 3 3 3

学.科网所以 f ( x) 在区间 [0,2] 上的取值范围为 [ f (0), f (2)] ,因此

M ? max{| f (0) |, | f (2) |} ? max{|?1 ? b |, | 1 ? 2a ? b |} ? max{|1 ? a ? (a ? b) |, | 1 ? a ? (a ? b) |}

? 1 ? a ? | a ? b |?

1 . 4 1 . 4

综上所述,当 a ? 0 时, g ( x) 在区间 [0,2] 上的最大值不小于 考点:导数的运算,利用导数研究函数的性质、证明不等式 【结束】

14


相关文章:
2016年天津市高考数学试卷 理科 解析
(2016?天津)某小组共 10 人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次 数为 ...2016 年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题 1. (5 分)...
2016年天津市高考数学试卷(理科)
2016 年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题 1. (5 分)...(x)为 减函数,得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出 a 的范围...
2016年高考天津卷理数试题(含答案)
2016年高考天津理数试题(含答案)_高考_高中教育_教育专区。绝密★启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(理工类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择...
2016年高考天津卷理数试题及答案
2016年高考天津理数试题答案_高考_高中教育_教育专区。2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ(非...
2016年高考试题(数学理)天津卷 解析版
2016年高考试题(数学理)天津卷 解析版_高考_高中教育_教育专区。2016 年普通...然后数形结合求解. 第Ⅱ卷 注意事项: 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写...
2016年全国高考理科数学试题及答案-天津卷_图文
2016年全国高考理科数学试题答案-天津卷_高考_高中教育_教育专区。2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第...
2016年天津理数高考试题文档版有详细答案(精校版)
2016年天津理数高考试题文档版有详细答案(精校版)_高考_高中教育_教育专区。2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择...
2016年高考试题(数学理)天津卷
2016年高考试题(数学理)天津卷_高考_高中教育_教育...1 1 ? 2. 2d k ?1 Tk n 【答案】 (Ⅰ).... 3 3 3 3 x, y} 表示 x, y 两数的最大...
2016年天津高考理综试题及答案
2016年天津高考理综试题答案_高考_高中教育_教育专区。2016 年普通高等学校招生...(4)配平反应②的方程式,其化学计量数依次为___。 (5)步骤 f 为___。 (6...
2016年天津文数高考试题(含答案)
2016年天津数高考试题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(文史类) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ(非...
更多相关标签: