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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:1-4 全称量词与存在量词


成才之路· 数学
人教A版 ·选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
常用逻辑用语

第一章 常用逻辑用语

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修2-1

第一章
1.4 全称量词与存在量词

第一章 常用逻辑用语

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课前自主预习 课堂巩固训练 课堂典例讲练 课后强化作业 方法规律总结

第一章

1.4

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课程目标解读

第一章

1.4

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1.通过生活和教学中的实例,理解全称量词和存在量词 的意义. 2.掌握全称命题和特称命题的定义,并能判断它们的真 假. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

第一章

1.4

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课前自主预习

第一章

1.4

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1.全称量词、全称命题 (1)短语“所有的”、 任意一个 ”在逻辑中通常叫做全称 “ 量词, 用符号“?”表示, 含有全称量词的命题叫做全称命题 . (2)常见的全称量词有:“所有的”、“任意一个”、“一 切”、“每一个”、“任给”、“全部的”. (3)全称命题的形式:对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立,可 简记为: ?x∈M,p(x) .

第一章

1.4

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2.存在量词

特称命题

(1)短语“存在一个”、 至少有一个”在逻辑中通常叫做 “ 存在量词, 用符号?表示, 含有存在量词的命题叫做 特称命题. (2)常见的存在量词有:“存在一个”、“至少有一个”、 “有些”、“有一个”、“某个”、“有的”. (3)特称命题的形式:存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立, 可简记为 ?x0∈M,p(x0) .

第一章

1.4

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3.含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题 p:?x∈M,p(x),它的否定綈 p:?x0∈M,
綈 p(x0) ,全称命题的否定是 特称命题.

(2)特称命题 p:?x0∈M,p(x0),它的否定綈 p:?x∈M,
綈 p(x) ,特称命题的否定是 全称 命题.

第一章

1.4

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重点难点展示

第一章

1.4

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重点:理解全称量词和存在量词的意义,能正确地对含有 一个量词的命题进行否定. 难点:全称命题和特称命题的真假的判定,以及写出含有 一个量词的命题的否定.

第一章

1.4

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学习要点点拨

第一章

1.4

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1.要判定全称命题是真命题,需对集合 M 中每个元素 x, 证明 p(x)成立;如果在集合 M 中找到一个元素 x0,使得 p(x0) 不成立,那么这个全称命题就是假命题. 2. 要判定一个特称命题是真命题, 只要在限定集合 M 中, 至少能找到一个 x=x0,使 p(x0)成立即可,否则,这一特称命 题就是假命题.

第一章

1.4

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3.全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称 命题,因此,我们可以通过“举反例”来否定一个全称命题.

第一章

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课堂典例讲练

第一章

1.4

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命题方向

思路方法技巧 全称命题与特称命题的辨析

[例 1]

(1)下列命题:

①至少有一个 x,使 x2+2x+1=0 成立; ②对任意的 x,都有 x2+2x+1=0 成立; ③对任意的 x,都有 x2+2x+1=0 不成立; ④存在 x,使 x2+2x+1=0 不成立. 其中是全称命题的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

第一章

1.4

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(2)下列命题为特称命题的是( A.偶函数的图象关于 y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体

)

C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数大于等于 3
[答案] (1)B (2)D

第一章

1.4

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[解析]

(1)中,只有②③含有全称量词,故选 B.(2)中,只

有选项 D 含有存在量词,故选 D.

第一章

1.4

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[点评]

判定命题是全称命题还是特称命题,主要方法是

看命题中是否含有全称量词或存在量词,要注意的是有些全称 命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题的意义去判 断.

第一章

1.4

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判断下列语句是否是全称命题或特称命题. (1)有一个实数 a,a 不能取对数; (2)若所有不等式的解集为 A,则有 A?R; (3)三角函数都是周期函数吗? (4)有的向量方向不定; (5)自然数的平方是正数.

第一章

1.4

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[解析]

因为(1)(4)含有存在量词, 所以命题(1)(4)为特称命

题;又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然 数的平方都是正数”,所以(2)(5)均含有全称量词,故为全称命 题,(3)不是命题. 综上所述,(1)(4)为特称命题,(2)(5)为全称命题,(3)不是 命题.

第一章

1.4

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命题方向

全称命题与特称命题的真假判断

[例 2]

指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些是特称

命题,并判断真假. (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应 一点; (2)存在一个实数,它的绝对值不是正数; (3)对任意实数 x1、x2,若 x1<x2,则 tanx1<tanx2; (4)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数.

第一章

1.4

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[解析]

(1)(3)是全称命题,(2)(4)是特称命题.

(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直 角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题. (2)存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题是 真命题. (3)存在 x1=0,x2=π,x1<x2,但 tan0=tanπ,所以该命题 是假命题. (4)存在一个函数 f(x)=0, 它既是偶函数又是奇函数, 所该 命题是真命题.
第一章 1.4

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[点评]

若全称命题为真命题,可由相关数学知识推证,

若判断为假只需一个反例;若特称命题为真命题,只需找一个 满足条件的元素即可,若这样的元素不存在,则为假命题.

第一章

1.4

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指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些是特称命题, 并判断其真假. (1)至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数; (2)存在 x∈{x|x 是无理数},x2 是无理数; (3)任意的 x∈R,则 x2+2x+1<0.

第一章

1.4

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[解析]

(1)由于整数 1 既不是合数,也不是素数,所以特

称命题“至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数”是真 命题. (2)由于 π 是无理数,π2 仍是无理数,所以特称命题“存在 x∈{x|x 是无理数},x2 是无理数”是真命题. (3)x2+2x+1=(x+1)2,找不到一个 x 使其小于 0,所以全 称命题“任意的 x∈R,则 x2+2x+1<0,是假命题”.

第一章

1.4

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建模应用引路

命题方向

全称命题、特称命题的否定形式

[例 3]

写出下列命题的否定形式.

(1)存在实数 x,x2+2x+2≤0; (2)有的三角形是等边三角形; (3)所有能被 3 整除的整数是奇数; (4)每一个四边形的四个顶点共圆.

第一章

1.4

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[解析]

(1)任意实数 x,x2+2x+2>0.

(2)所有的三角形都不是等边三角形. (3)存在一个能被 3 整除的整数不是奇数. (4)存在一个四边形的四个顶点不共圆.

第一章

1.4

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[点评] 形式.

解题时要注意存在性量词、全称量词的不同表示

特称命题 p:存在 x∈A,p(x),其否定为:任意 x∈A,非 p(x) 全称命题 q:任意 x∈A,q(x),其否定为:存在 x∈A,非 q(x).

第一章

1.4

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写出下列全称命题和特称命题的否定. (1)每个二次函数的图象都开口向下; (2)任何一个平行四边形的对边都平行; (3)有些实数的绝对值是正数; (4)某些平行四边形是菱形.

第一章

1.4

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[解析] 向下.

(1)命题的否定:存在一个二次函数的图象开口不

(2)命题的否定:存在一个平行四边形的对边不都平行. (3)命题的否定: “不存在一个实数, 它的绝对值是正数”, 也即“所有实数的绝对值都不是正数”. (4)命题的否定:“没有一个平行四边形是菱形”,也即 “每一个平行四边形都不是菱形”.

第一章

1.4

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命题方向
[例 4]

用“?”或“?”表示全称命题或特称命题

π (2013· 东北三校模拟)已知命题 p: ?x∈(0, ), 2 sinx )

1 =2,则綈 p 为(

π 1 A.?x∈(0,2),sinx=2

第一章

1.4

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π 1 B.?x∈(0,2),sinx≠2 π 1 C.?x∈(0, ),sinx≠ 2 2 π 1 D.?x∈(0,2),sinx>2
[答案] B

第一章

1.4

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[解析] 綈 p 表示命题 p 的否定,即否定命题 p 的结论,

由“?x∈m,p(x)”的否定为“?x∈m,綈 p(x)”知选 B.

第一章

1.4

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(2013· 四川文,4)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶 数集.若命题 p:?x∈A,2x∈B,则( A.綈 p:?x∈A,2x∈B )

B.綈 p:?x?A,2x∈B

C.綈 p:?x∈A,2x?B
[答案] C

D.綈 p:?x?A,2x?B

第一章

1.4

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[解析]

由命题 p:?x∈A,2x∈B 得綈 p:?x∈A,2x?B.

第一章

1.4

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命题方向

探索延拓创新 利用全称命题与特称命题求参数的取值范围

[例 5]

若全称命题“对任意 x∈[-1,+∞),x2-2ax

+2≥a 恒成立”是真命题,求实数 a 的取值范围.

第一章

1.4

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[解析]

解法一:由题意,对任意 x∈[-1,+∞),令 f(x)

=x2-2ax+2≥a 恒成立. ∴f(x)=(x-a)2+2-a2 可转化为对任意 x∈[-1,+∞), f(x)min≥a 成立,即对任意 x∈[-1,+∞),
?2-a2?a≥-1? ? f(x)min=? ?f?-1?=2a+3?a<-1? ?

.

由 f(x)的最小值 f(x)min≥a,当 a≥-1 时,2-a2≥a,∴- 1≤a≤1;当 a<-1 时,2a+3≥a,∴-3≤a<-1,综上可知, 所求实数 a 的取值范围是[-3,1].
第一章

1.4

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解法二:x2-2ax+2≥a, 即 x2-2ax+2-a≥0, 令 f(x)=x2-2ax+2-a, 所以全称命题转化为对任意 x∈[-1,+∞),f(x)≥0 恒成立. ?Δ=4a2-4?2-a?>0 ? ∴Δ≤0 或?a<-1 ?f?-1?≥0 ? 即-2≤a≤1 或-3≤a<-2. ∴-3≤a≤1. 综上,所求实数 a 的取值范围是[-3,1].
第一章 1.4



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[点评]

由“恒成立”三个字即知是由全称量词构成的全

称命题.由此来探讨“对任意 x∈[-1,+∞),f(x)≥a”只需 f(x)min≥a.方法二中等价转化为对任意 x∈[-1,+∞),x2-2a +2-a≥0 成立,结合二次函数的解集与图象间的关系求解.

第一章

1.4

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若关于 x 的不等式(a-1)x2+2x-3>0 有解, 则实数 a 的取 值范围是________.

2 [答案] (3,+∞)

第一章

1.4

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[分析]

由“有解”知,这是一个特称命题,只要存在 x

∈R 使不等式成立即可. [解析] 当 a-1=0 时,不等式化为 2x-3>0 显然有解;

当 a-1>0 时,二次函数 f(x)=(a-1)x2+2x-3 开口向上, 显然 f(x)>0 有解; 当 a-1<0 时,要使不等式有解,应有 Δ=4+12(a-1)>0, 2 2 ∴a>3,∴3<a<1. 2 综上 a 的取值范围是 a> . 3

第一章

1.4

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名师辨误作答

[例 6]

指出下列命题是全称命题还是特称命题.

(1)“末位是 0 的整数,可以被 5 整除”. 1 ? 1? x (2)当 x∈(0,1)时, <?2? <1. 2 ? ? (3)有的平面四边形两对角线互相垂直. [错解] [辨析] 解. (1)无法判定;(2)特称命题;(3)全称命题. 对省略全称量词和存在性量词的命题缺乏分析理

第一章

1.4

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[正解]

(1)指所有的末位数字是零的整数都可以被 5 整除,

是全称命题. 1 ?1?x (2)是指对任意的 x∈(0,1),都有2<?2? <1,是全称命题. ? ? (3)是指存在这样的平面四边形,其两条对角线互相垂直, 是特称命题.

第一章

1.4

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方法规律总结

第一章

1.4

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1.判断一个语句是全称命题还是特称命题可分三个步骤: (1)判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称命 题或特称命题. (2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的 命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题. (3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.

第一章

1.4

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2.要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有 的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称 命题是假命题;要确定一个特称命题是真命题,举出一个例子 说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素 都不成立,则该特称命题是假命题.

第一章

1.4

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3.“?x∈M,p(x)”的否定为“?x0∈M,綈 p(x)”;

“?x∈M,p(x)”的否定为“?x∈M,綈 p(x)”.

第一章

1.4

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课堂巩固训练

第一章

1.4

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一、选择题 1.(2012· 安徽文,4)命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是 .. ( ) A.对任意实数 x,都有 x>1 B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1
[答案] C

第一章

1.4

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[解析]

“存在实数 x, x>1”的否定是“对任意实数 x, 使

都有 x≤1”.这类题目应遵循“存在变任意(任意变存在),再 否定结论”的原则.

第一章

1.4

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2.下列命题中,真命题是( A.?x∈R,2x>1 C.?x∈R,lgx>0

)

B.?x∈R,x2-x+1≤0 D.?x∈N*,(x-2)2>0

[答案]

A

第一章

1.4

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[解析]

对于选项 B,x2-x+1>0,错误;对于选项 C,当

1 1 x= 时,lg =-1<0,错误;对于选项 D,当 x=2 时,(x- 10 10 2)2=0,错误.故选 A.

第一章

1.4

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二、填空题 3. 命题“存在 x∈R, 使得 x2+2x+5=0”的否定是____.

[答案]

“任意 x∈R,使得 x2+2x+5≠0”

第一章

1.4

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[解析]

命题中含有“存在”,所以为特称命题,其否定

为全称命题.

第一章

1.4

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4.在 R 上定义运算⊙:x⊙y=x(1-y).若对任意 x∈R, 不等式(x-a)⊙(x+a)<1 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ________.

[答案]

1 3 (-2,2)

第一章

1.4

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[解析]

由 x⊙y=x(1-y),得(x-a)⊙(x+a)=(x-a)(1-x

-a)=-(x-a)[x-(1-a)]<1, 整理得 x2-x-a2+a+1>0 恒成立,则 Δ=1-4(-a2+a+ 1 3 1)=4a -4a-3<0,解得-2<a<2.
2

第一章

1.4

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课后强化作业(点此链接)

第一章

1.4


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