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2014《高考调研》高考数学总复习(人教新课标)配套单元测试:选修系列4 Word版含解析


选修系列 4
符合题目要求)

综合测试

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项

t ?x=1+2, ? 1.已知直线 l 的参数方程为? 3 ?y=2+ 2 t ?

(t 为参数),则其直角坐标方程为

( A. 3x+y+2- 3=0 C.x- 3y+2- 3=0 答案 B t ?x-1=2, ? ∵? 3 ?y-2= 2 t, ? B. 3x-y+2- 3=0 D.x+ 3y+2- 3=0

)

解析

∴y-2= 3(x-1),

即 3x-y+2- 3=0. 2.

如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=5,BC=10,AC 与 BD 交于点 O, 过 O 点作 EF∥AD,交 AB 于 E,交 DC 于 F,则 EF= 10 A. 3 C.10 答案 B 1 }, M∩(? 则 x-1 ( B.{x|0≤x≤1} ) 20 B. 3 D.20 ( )

3. 已知实数集 R, 集合 M={x||x-2|≤2}, 集合 N={x|y=
RN)=

A.{x|0≤x<1}

C.{x|1<x≤4} 答案 解析 B

D.{x|1≤x≤4}

由已知得 M={x|0≤x≤4},N={x|x>1},

∴M∩(?RN)={x|0≤x≤4}∩{x|x≤1}={x|0≤x≤1}. π 4.在极坐标系中,点(2,3)到圆 ρ=2cosθ 的圆心的距离为 A.2 C. 答案 π2 1+ 9 D B. D. 3 π2 4+ 9 ( )

解析

?x=ρcosθ=2cosπ=1, ? 3 由? π ?y=ρsinθ=2sin3= 3 ?

π 可知,点(2,3)的直角坐标为(1, 3),

圆 ρ=2cosθ 的方程为 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,则圆心到点(1, 3)的距离 为 3. ?x=-2+5t, 5.曲线? (t 为参数)与坐标轴的交点是 ?y=1-2t 2 1 A.(0,5)、(2,0) C.(0,-4)、(8,0) 答案 解析 B 2 1 1 当 x=0 时,t=5,而 y=1-2t,即 y=5,得与 y 轴的交点为(0,5); 1 1 B.(0,5)、(2,0) 5 D.(0,9)、(8,0) ( )

1 1 1 当 y=0 时,t=2,而 x=-2+5t,即 x=2,得与 x 轴的交点为(2,0). 6.

如图,E,C 分别是∠A 两边上的点,以 CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于点

D、点 B,若∠A=45° ,则△AEC 与△ADB 的面积比为 A.2∶1 C. 2∶1 答案 解析 A B.1∶2 D. 3∶1

(

)

连接 BE,求△AEC 与△ABD 的面积比即求 AE2∶AB2 的值,设 AB=

a,∵∠A=45° , 又∵CE 为⊙O 的直径, ∴∠CBE=∠ABE=90° . ∴BE=AB=a,∴AE= 2a. ∴AE2∶AB2=2a2∶a2, 即 AE2∶AB2=2∶1,∴S△AEC∶S△ABD=2∶1. ?x=1+2t, 7.直线? (t 为参数)被圆 x2+y2=9 截得的弦长为 ?y=2+t 12 A. 5 9 C.5 5 答案 B ?x=1+2t, ? ?y=2+t 12 B. 5 5 9 D.5 10 ( )

解析

?x=1+ ? ?? ?y=1+ ?

5t× 5t×

2 , 5 1 . 5

?x=1+2t, 把直线? 代入 x2+ ?y=2+t

y2=9,得(1+2t)2+(2+t)2=9,5t2+8t-4=0. |t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2= 8 16 12 12 ?-5?2+ 5 = 5 ,弦长为 5|t1-t2|= 5 5.

1 8.已知正实数 x,y 满足 2x+2y+m=xy,若 xy 的最小值是 9,则实数 m 的 值为 A.3 C.-1 答案 解析 A 由基本不等式,得 xy≥2 xy+m,令 xy=t,得不等式 t2-2t-m≥0. B. 3 D.3 或-1 ( )

∵xy 的最小值是 9,∴t 的最小值是 3.∴3 是方程 t2-2t-m=0 的一个根,∴m =3.选 A. 9.

如图,AC 切⊙O 于 D,AO 延长线交⊙O 于 B,BC 切⊙O 于 B,若 AD∶AC =1∶2,则 AO∶OB 等于 A.2∶1 C.1∶2 答案 解析 A 如右图所示,连接 OD、OC. B.1∶1 D.2∶1.5 ( )

∵AD∶AC=1∶2, ∴D 为 AC 的中点. 又∵AC 切⊙O 于点 D, ∴OD⊥AC.∴OA=OC. ∴△AOD≌△COD.∴∠1=∠2. 又∵△OBC≌△ODC,∴∠2=∠3. ∴∠1=∠2=∠3=60° ,∴OC=2OB. ∴OA=2OB.故选 A. 10.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标

?x=-1+ 22t, ? 系.直线 l 的参数方程是? ?y=1+ 22t ?
ρ=2,直线 l 与曲线 C 交于 A、B,则|AB|=

(t 为参数),曲线 C 的极坐标方程是

(

)

A. 2 C.4 答案 解析 B

B.2 2 D.4 2

依题意得, 直线 AB 的普通方程是 y-1=x+1, x-y+2=0.曲线 C 即 2 = 2,|AB|= 2

的标准方程是 x2+y2 =4,圆心 C(0,0)到直线 AB 的距离等于 2 4-? 2?2=2 2,选 B.

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线 上) , ?x=sinθ+tsin15° 11.直线? (t 为参数,θ 是常数)的倾斜角是________. ?y=cosθ-tsin75° 答案 解析 105° , , ?x=sinθ+tsin15° ?x=sinθ+tcos75° 参数方程? ?? 消去参数 t, 得 ?y=cosθ-tsin75° ?y=cosθ-tsin75°

y-cosθ=-tan75° (x-sinθ). ∴k=-tan75° =tan(180° -75° )=tan105° . 故直线的倾斜角是 105° . 12.

如图,AB 是半圆的直径,点 C、D 在 =10,AC=6,则 AD 等于________. 答案 解析 4 5

上,且 AD 平分∠CAB,已知 AB

如图,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠C=∠D=90° .

又∵AC=6,AB=10,∴BC=8. 3 ∴cos∠BAC=5.

又∵AD 平分∠BAC, 1 ∴∠BAD=2∠BAC. 8 ∴2cos2∠BAD=1+cos∠BAC=5. 2 5 ∴cos∠BAD= 5 . 2 5 又在 Rt△ADB 中,AD=AB· cos∠BAD=10× 5 =4 5. 13.(2012· 广东)不等式|x+2|-|x|≤1 的解集为________. 答案 解析 +3≤2|x|. 3 若 x≥0,则 4x+3≤2x,得 x≤-2,此时无解; 1 若 x<0,则 4x+3≤-2x,得 x≤-2. 1 故|x+2|-|x|≤1 的解集为{x|x≤- }. 2
2 ?x=2pt , 14. (2012· 天津理)已知抛物线的参数方程为? (t 为参数), 其中 p>0, ?y=2pt

1 {x|x≤-2} 由|x+2|-|x|≤1,得|x+2|≤1+|x|,得 x2+4x+4≤1+2|x|+x2,得 4x

焦点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E.若|EF|=|MF|,点 M 的横坐标是 3,则 p=________. 答案 解析 2 消去参数得抛物线的普通方程,根据抛物线的定义,利用直角三角形

中边的关系建立方程求解.由题意知,抛物线的普通方程为 y2=2px(p>0),焦点 p p F(2,0),准线 x=-2,设准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可得|EM|=|MF|, p 所以△MEF 是正三角形,在直角三角形 EFA 中,|EF|=2|FA|,即 3+2=2p,得 p=2. 15.如图所示,AB 是半径等于 3 的⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,BA,DC 的延长线交于点 P,若 PA=4,PC=5,则∠CBD=________.

答案 解析

30° 连接 AC, DO, OC, 由圆内接四边形的对角互补可得△PAC∽△PDB,

PA PC ∴PD=PB .∴PD=8,CD=3. 又 OC=OD=3,∴△OCD 为等边三角形. 1 ∴∠COD=60° .∴∠CBD=2∠COD=30° . 16.(2012· 湖北理)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 ?x=t+1, π 极轴建立极坐标系.已知射线 θ=4与曲线? 2 (t 为参数)相交于 A,B 两 ?y=?t-1? 点,则线段 AB 的中点的直角坐标为________. 答案 解析 5 5 (2,2) π 记 A(x1,y1),B(x2,y2),将 θ=4,转化为直角坐标方程为 y=x(x≥0),

曲线为 y=(x-2)2,联立上述两个方程得 x2-5x+4=0,∴x1+x2=5,故线段 AB 5 5 的中点坐标为(2,2). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 1 1 17. (本小题满分 10 分)(2012· 江苏理)已知实数 x, 满足: y |x+y|<3, |2x-y|<6, 5 求证:|y|<18. 解析 因为 3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤

2|x+y|+|2x-y|,

1 1 2 1 5 5 由题设知|x+y|<3,|2x-y|<6,从而 3|y|<3+6=6,所以|y|<18. 18.(本小题满分 12 分)如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为 割线,弦 CD∥AP,AD,BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一点,且 DE2=EF· EC.

(1)求证:∠P=∠EDF; (2)求证:CE· EB=EF· EP. 证明 (1)∵DE2=EF· EC,∴DE∶CE=EF∶ED.

∵∠DEF 是公共角,∴△DEF∽△CED. ∴∠EDF=∠C. ∵CD∥AP,∴∠P=∠PCD,∴∠P=∠EDF. (2)∵∠P=∠EDF,∠DEF=∠PEA, ∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE=EF∶EA,即 EF· EP=DE· EA. ∵弦 AD,BC 相交于点 E, ∴DE· EA=CE· EB,∴CE· EB=EF· EP. 19.(本小题满分 12 分)(2012· 辽宁理)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2 =4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的 极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 解析 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ.

?ρ=2, π 解? 得 ρ=2,θ=± . 3 ?ρ=4cosθ, π? ? π? ? 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为?2,3?,?2,-3?. ? ? ? ? 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)方法一 ?x=ρcosθ, 由? 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3), ?y=ρsinθ,

(1,- 3). ?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? (- 3≤t≤ 3). ?y=t ? ? ?或参数方程写成?x=1, ?- 3≤y≤ 3?? ? ? ? ?y=y ? ? 方法二 ?x=ρcosθ, 将 x=1 代入? ?y=ρsinθ,

1 得 ρcosθ=1,从而 ρ=cosθ. 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 ?x=1, ? π π? ? ?-3≤θ≤3?. ? ? ?y=tanθ 20.(2013· 保定模拟)已知函数 f(x)=|x-1|+2a(a∈R). (1)解关于 x 的不等式 f(x)<3. (2)若不等式 f(x)≥ax,?x∈R 恒成立,求 a 的取值范围. 解析 (1)由 f(x)<3,即|x-1|+2a<3,得|x-1|<3-2a.

3 当 3-2a≤0 时,即 a≥2,不等式的解集为?; 3 当 3-2a>0 时,即 a<2,不等式等价于 2a-3<x-1<3-2a,得 2a-2<x<4 -2a. 3 3 综上, a≥2时, 当 不等式的解集为?; a<2时, 当 不等式的解集为{x|2a-2<x<4 -2a}. (2)方法一 由 f(x)≥ax, x<1 时, 当 a≥ 1-x 1 =(-1- )∈(-1,0). ∴a≥0. x-2 x-2 x-1 恒成立, x-2

当 1≤x≤2 时,a(x-2)≤x-1 恒成立?a≥ ∵ x-1 1 =(1+ )∈(-∞,0],∴a≥0. x-2 x-2

当 x=2 时,1+2a≥2a 恒成立,a∈R. 当 x>2 时,a≤ x-1 恒成立, x-2



x-1 ∈(1,+∞),∴a≤1. x-2

综上,?x∈R 使得不等式 f(x)≥ax 恒成立的 a 的取值范围是[0,1].

方法二

由 f(x)≥ax,即|x-1|+2a≥ax,

∴|x-1|≥a(x-2).

依题意, y=|x-1|的图像恒在 y=a(x-2)图像的上方, y=a(x-2)恒过(2,0) 而 点,依图分析得 0≤a≤1. 21.

(本小题满分 12 分)如图,已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连接 FB、FC. (1)求证:FB=FC; (2)求证:FB2=FA· FD; (3)若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120° ,BC=6,求 AD 的长. 解析 (1)∵AD 平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC.

∵四边形 AFBC 内接于圆,∴∠DAC=∠FBC. ∵∠EAD=∠FAB=∠FCB,∴∠FBC=∠FCB. ∴FB=FC. (2)∵∠FAB=∠FCB=∠FBC,∠AFB=∠BFD, FB FA ∴△FBA∽△FDB,∴FD=FB,∴FB2=FA· FD. (3)∵AB 是圆的直径,∴∠ACB=90° . 1 ∵∠EAC=120° ,∴∠DAC=2∠EAC=60° ,∠BAC=60° .∴∠D=30° . ∵BC=6 cm,∴AC=2 3 cm,∴AD=2AC=4 3 cm.

?x=2cosφ, 22.(本小题满分 12 分)已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数), ?y=3sinφ 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程 是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列, π 点 A 的极坐标为(2,3). (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. 解析 (1)由已知可得

π π π π π π A(2cos3,2sin3),B(2cos(3+2),2sin(3+2)), π π π 3π π 3π C(2cos( +π),2sin( +π)),D(2cos( + ),2sin( + )), 3 3 3 2 3 2 即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (2)设 P(2cosφ,3sinφ),令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则 S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52].


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