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直线与圆复习(2012级用)


一、知识框架
直线与直线方程

直线的倾斜角和斜率 直线的方程 两直线的位置关系

直 线 与 圆 的 方 程

线性规划及应用 求曲线方程 圆的标准方程 圆与圆方程 圆的一般方程 圆的参数方程

直线与圆、圆与圆的位置关系

1、直线的倾斜角 倾斜角的取值范围是

r />
0 ? ? ? 180 .
? ?

2、直线的斜率
k ? tan? , (? ? 90? )

意义:斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的 倾斜程度。 直线的斜率计算公式: 即 k ?

y ?y x ?x
2 2

1

1

基本要素注意点
1、倾斜角为90°的直线没有斜率。 2、斜率与倾斜角之间的变化关系, 参照正切函 数单调性。 3、注意倾斜角取值范围,会用反 三角函数表示倾斜角。

a?0

k? tan?
a ? [0, ) ? ( , ? ) 2 2

k

?

?

?

?
2

O

k ? (??,??)

? 2

?

3? 2

a

a?0
0?a?

k ?0
?
2

k ?0

?
2

? a ??

k?0

a?

?
2

k不存在 时, k ?

直线方程的形式:
形式 条件 方程 应用范围

点斜式

过点( x0,y0), 斜率为k

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

k存在 k存在
k存在 且k ? 0
k存在且 ? 0 且不过原点

斜截式 在y轴上的截距为b, 斜率为k 两点式 过P1(x1, y1), P2(x2, y2)

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

截距式 在y轴上的截距为b, 在x轴上的截距为a 一般式

x y ? ? 1. a b
Ax ? By ? C ? 0

任何直线

方程练习
1、若直线ax+by+c=0在第一、二、四象限,则 有( D) A.ac>0,bc>0 C.ac<0,bc>0 B.ac>0,bc<0 D.ac<0,bc<0

2、已知直线被坐标轴截得线段中点是(1,-3), 3x-y-6=0 则直线的方程是 ___________ .

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方程注意点
1、特殊形式的方程都有一定的限制条件。
2、解题时应根据实际情况选用合适的形 式以利解题。 3、当我们决定选用某一特殊形式的方程 时,而又不知道其是否满足限制条件, 应加以讨论,或用特殊形式的变式。

点与直线
1、点与直线的位置关系
2、点关于直线对称的点坐标

3、直线关于点对称的直线方程
4、点到直线的距离

练习

例:求直线l1 : x ? y ? 2 ? 0关于直线l2 :3x ? y ? 3 ? 0 对称的直线l 的方程. ? x ? y ? 2 ? 0 可得l 与l 的交点为P(? 5 , ? 9 ) 解 :由? 1 2 2 2 3 x ? y ? 3 ? 0 ?
设直线l 的斜率为k 因为l1 到l2的角=l2到l的角. 3 ?1 k ?3 ? ? ? k ? ?7 ?直线l 的方程为: 1 ? 3 ?1 1 ? 3k 9 5 即7 x ? y ? 22 ? 0 y ? ? ?7( x ? ) 2 2

两条直线的位置关系 方程
l1 : y ? k1 x ? b1
l2 : y ? k2 x ? b2

l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 l1与l2组成 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的方程组
A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2
A1 B1 C1 ? ? ( A2 B2 C2 ? 0) A2 B2 C2

平行 k =k 且b ? b 1 2 1 2

无解 无数多解
唯一解

重合 k1=k2且b1 ? b2
相交 垂直

k1 ? k2 k1 ? k2=-1

A1 B1 ? A2 B2

A1 A2 ? B1 B2 ? 0

直线系
Ax ? By ? m ? 0(m ? C )
(2)与已知直线 Ax ? By ? C ? 0 重直的直线的设法:

(1)与已知直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线的设法:

Bx ? Ay ? m ? 0
(3)经过直线 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
交点的直线系:A1x ? B1 y ? C1 ? ?( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0

1.平行
直线l1与l2的平行充要条件是 k1=k2 且b1=b2.

2.垂直

注意:特殊情况

即l1 ? l2 ? k1 ? k2 ? ?1
3.夹角

直线中有斜率不存 在—解决方案:画图 解决

k 2 ? k1 到角公式 tan ? ? (? 为l1到l2的角) 1 ? k 2 k1 k 2 ? k1 夹角公式 tan ? ? | |. 1 ? k 2 k1

5.交点
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 若方程组? 有唯一解( x0 , y0 ) ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

直线l1与l2相交于点 ( x0 , y0 )

6.点到直线的距离

平行直线间距离

d?

Ax0 ? By 0 ? C A ?B
2 2

d?

C1 ? C2 A2 ? B 2

两直线特殊位置关系练习
1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0 平行,则a=( B )
A.-3 B.-6 C.
3 ? 2

2 D. 3

2、若直线 x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直, 则a=( ) A

A.

2 ? 3

B.

2 3

3 ? C. 2

3 D. 2

返回

圆的标准方程
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

圆的一般方程
x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

例 2. 已知⊙ C : (x-1)2+(y-2) 2=2 , P(2,-1) , 过P作⊙C的切线,切点为A、B。
(1)直线PA、PB的方程; (2)求过P点⊙C切线的长;
y

2 A 1B (3)求∠APB; - O 1 2 ? P 1 (4)求以PC为直径的方程; 1

C?

x

(5)求直线AB的方程。

解:


( 1 )由题知切线斜率存在 设方程为: y ? 1 ? k ( x ? 2)

即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0.
?k ?3 1? k
2

? 2

? k ? 6k ? 7 ? 0
2

解得 k ? 7 或 k ? ?1.
故所求切线方程为: y ? 1 ? 7( x ? 2) 或 y ? 1 ? ?( x ? 2)

即 7x ? y ? 15 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .

例2.已知⊙C:(x-1)2+(y-2) 2=2,P(2,-1),过P作⊙C的切线,切 y 点为A、B。 (2)求过P点⊙C切线的长; (3)求∠APB;
2 1
2
C?

A
x
?

B 1 2

(2) ? | PC | ? (1 ? 2) ? (2 ? 1) ? 10
2

-1 O -1

P

| CA | ? 2
? 在Rt△PCA 中, PA ? PC ? CA
2 2 2

? 10 ? 2 ? 8

? | PA | ? 2 2 ? 过P点⊙C 的切线长为2 2.

例2.已知⊙C:(x-1)2+(y-2) 2=2,P(2,-1),过P作⊙C的切线,切 点为A、B。 y (2)求过P点⊙C切线的长; (3)求∠APB;
2 1 -1 O -1 B 1 2
?

C?

A
x

P

k PB ? k PA ?1 ? 7 4 (3) ? tan?APB ? ? ? 1 ? k PB ? k PA 1 ? (?1) ? 7 3 4 ? ?APB ? arctan 3

例2.已知⊙C:(x-1)2+(y-2) 2=2,P(2,-1),过P作⊙C的切线,切 点为A、B。 (4)求以PC为直径的方程; (5)求直线AB的方程。 (4)∵ P(2,-1),C(1,2)
2 1 -1 O -1
y

C?

A
x
?

B 1 2

∴以PC为直径的圆方程为:
(5) ? P(2,?1)
3 1 5 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 2 2 2

P

所以直线AB方程为: (2 ?1)(x ?1) ? (?1 ? 2)( y ? 2) ? 2 即x ? 3 y ? 3 ? 0 ? x2 ? y 2 ? 3x ? y ? 0 (1) 解方程组 ? 2 2 ( x ? 1 ) ? ( y ? 2 ) ? 2 (2) ?

由 (2) ? (1) 得 x ? 3y ? 3 ? 0


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