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【山东省新人教B版数学(理科)2012届高三单元测试13:必修5第二章《数列》


山东省新人教 B 版 2012 届高三单元测试 13 必修 5 第二章《数列》
(时间:120 分钟;满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.已知数列{an}满足 a1=3,an-an+1+1=0(n∈N+),则此数列中 a10 等于( ) A.-7 B.11 C.12 D.-6 解析:选 C.易

知{an}为等差数列,且公差为 1, ∴a10=3+(10-1)×1=12. 2.数列{an}是由实数构成的等比数列,Sn=a1+a2+?+an,则数列{Sn}中( ) A.任一项均不为 0 B.必有一项不为 0 C.至多有有限项为 0 D.或无一项为 0,或有无穷多项为 0 解析:选 D.如在数列 2,-2,2,-2?中,S1=2,S2=0,S3=2,S4=0,?,如果一项 为 0,那么就会有无限多项为 0. 3. 已知某等差数列共有 10 项, 其奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30, 则其公差为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选 B.由 S 偶-S 奇=30-15=5d 得 d=3. 4.已知{an}是公比为 q 的等比数列,且 a1、a3、a2 成等差数列,则 q=( ) 1 A.1 或- B.1 2 1 C.- D.-2 2 解析:选 A.∵{an}为等比数列且公比为 q, 且 a1,a3,a2 成等差数列, 2 则 2a1·q =a1+a1q, 1 2 即 2q -q-1=0,∴q=1 或 q=- . 2 5.等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,当首项 a1 和 d 变化时,a2+a8+a11 是一个定 值,则下列各数也为定值的是( ) A.S7 B.S8 C.S13 D.S15 解析:选 C.由 a2+a8+a11=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7,知 a7 为一个定值, a1+a13 ∴S13= =13 a7 也为定值. 2 6.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”,如(1101)2 表示 3 2 1 0 二进制的数,将它转换成十进制的形式是 1×2 +1×2 +0×2 +1×2 =13,那么将二进制数 转换成十进制数的形式是( ) 17 16 A.2 -2 B.2 -1 16 15 C.2 -2 D.2 -1 15 14 解析:选 B.题目虽然比较新,但是我们仔细分析题目中的条件,按照其规律有:2 +2 16 1-2 13 16 +2 +?+1= =2 -1. 1-2 7.在 Rt△ABC 中,已知 a<b<c,且 a、b、c 成等比数列,则 a∶c 等于( )

A.3∶4 B.( 5-1)∶2 C.1∶( 5-1) D. 2∶1 2 2 2 2 解析:选 B.由 a +b =c 及 b =ac, 即可推得 a∶c=( 5-1)∶2. 8.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=2,S4=10,则 S6 等于( ) A.12 B.18 C.24 D.42 解析:选 C.S2,S4-S2,S6-S4 成等差数列, ∴2(S4-S2)=S2+(S6-S4), 解得 S6=24. 9.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始 n 个月内累计的需求量 Sn(万件)近 似地满足 Sn= (21n-n -5)(n=1,2,?,12),按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 万 90 件的月份是( ) A.5 月、6 月 B.6 月、7 月 C.7 月、8 月 D.8 月、9 月 n 1 2 2 3 解析:选 C.Sn= (21n-n -5)= (21n -n -5n). 90 90 ∴由 an=Sn-Sn-1, 1 1 2 3 2 3 得 an=Sn-Sn-1= (21n -n -5n)- [21(n-1) -(n-1) -5(n-1)] 90 90 1 2 2 2 = [21(2n-1)-(n +n -n+n -2n+1)-5] 90 1 3 15 2 63 2 = (-3n +45n-27)=- (n- ) + . 90 90 2 40 ∴当 n=7 或 8 时,超过 1.5 万件. 10.给定 an=logn+1(n+2)(n∈N+),定义使 a1·a2·a3·?·ak 为整数的数 k(k∈N+)叫企 盼数,则区间(1,10000)内所有企盼数之和为( ) A.15356 B.16356 C.17356 D.16380 解析:选 B.∵a1·a2·a3?ak=log23·log34·log45·?·logk+1(k+2)=log2(k+2)为整 数,∴k+2 必是 2 的整数次幂. 2 3 13 ∵k∈(1,10000),∴k 可取 2 -2,2 -2,?,2 -2, 2 3 13 ∴所求企盼数之和为(2 -2)+(2 -2)+?+(2 -2) 12 - 2 3 13 =(2 +2 +?+2 )-2×12= -24=16356. 2-1 2 11.已知数列{an}的前 n 项的和 Sn=3n-n ,则当 n≥2 时,下列不等式中成立的是( ) A.Sn>na1>nan B.Sn>nan>na1 C.na1>Sn>nan D.nan>Sn>na1 解析:选 C.利用 Sn-Sn-1=an 求出 an,再进行作差比较三者的关系. 1 12. 数列{an}的通项公式为 an= , 已知它的前 n 项和 Sn=6, 则项数 n 等于( ) n+1+ n A.6 B.7 C.48 D.49 1 n+1- n 解析:选 C. 将通项公式变形得: an = = = n+1+ n n+1+ n n+1- n

n

2

n+1- n,则 Sn=( 2- 1)+( 3- 2)+( 4- 3)+?+( n+1- n)= n+1-1, 由 Sn=6,则有 n+1-1=6, ∴n=48.

二、填空题(本大题共 4 小题,把答案填在题中横线上) 1 13. 等比数列{an}中, a1=512, 公比 q= , 用 π n 表示它的 n 项之积: π n=a1·a2·a3?an, 2 π n 取得最大值时 n=________. 解析:法一:令 y=log2π n=log2(a1·a2·a3?an)=log2a1+log2a2+log2a3+?+log2an, 1 而{log2an}构成公差为 log2q=log2 =-1 的等差数列,则我们可以用等差数列前 n 项和公式 2 n -n 1 19 2 361 得:y=9n+ =- (n- ) + ,又 a10=1,∴当 n=9 或 10 时,π n 最大. 2 2 2 2 1 n-1 法二:an=512·( ) , 2 当 n=10 时,an=1, ∴n≤9 时,an>1, n>10 时,0<an<1, ∴π n 最大时,n 取 9 或 10. 答案:9 或 10 14.数列{an}中,a1=a,an= 解析:由 an=

an-1 (n≥2)(a≠0),则 an=________. nan-1+1

an-1 1 1 1 ,可得 =n+ (n≥2),令 bn= ,则 b2=2+b1, nan-1+1 an an-1 an b3=3+b2,?,bn=n+bn-1,各式相加,得 bn=b1+(2+3+?+n) 1 n- n+ 1 2a = + ,an= = . a 2 bn n- n+ a+2 2a 答案: n- n+ a+2 15. 一个数列{an}, 其中 a1=3, a2=6, an+2=an+1-an, 那么这个数列的第 5 项是________. 解析:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3, a5=a4-a3=-6.
答案:-6 16.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形, 如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律,以 f(n)表示第 n 幅图的蜂巢总数,则 f(4)=________;f(n)=________.

解析:1=1,7=1+1×6,19=1+1×6+2×6,则 f(4)=1+1×6+2×6+3×6=37. f(n)=1+1×6+2×6+?+(n-1)×6=1+6(1+2+?+n-1)=1+3n(n-1). 答案:37 1+3n(n-1) 三、解答题(本大题共 6 小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项 an; (2)令 bn=2an-10,证明数列{bn}为等比数列. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, ?a1+9d=30, ?a1=12, ? ? 则? 解得? ?a1+19d=50, ?d=2. ? ? ∴an=12+2(n-1)=2n+10. (2)证明:由(1)得

bn=2an-10=22n=4n, bn+1 4n+1 ∴ = n =4. bn 4 ∴{bn}是首项是 4,公比 q=4 的等比数列.
1 18.(2011 年济南高二检测)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1= Sn,n≥1,n∈N 3 +.求 (1)数列{an}的通项公式; (2)a2+a4+a6+?+a2n 的值. 1 解:(1)由 a1=1,an+1= Sn,n=1,2,3,?, 3 1 1 1 得 a2= S1= a1= , 3 3 3 1 1 由 an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n≥2), 3 3 4 得 an+1= an(n≥2), 3 1 1 4 n-2 又 a2= ,所以 an= ( ) (n≥2), 3 3 3 ∴数列{an}的通项公式为 1 ? ? an=?1 4 ? ?3 3

n=
n-2

n

.

1 4 2 (2)由(1)可知 a2,a4,?,a2n 是首项为 ,公比为( ) ,且项数为 n 的等比数列, 3 3 所以 a2+a4+a6+?+a2n 4 2n 1- 3 1 3 4 2n = · = [( ) -1]. 3 4 2 7 3 1- 3 S2n 4n+2 19.在等差数列{an}中,a1=1,前 n 项和 Sn 满足条件 = ,n=1,2,?. Sn n+1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn=anpan(p>0),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. S2n 4n+2 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由 = , Sn n+1 a1+a2 得 =3,所以 a2=2,即 d=a2-a1=1.

a1

×2n 2 an+nd+a1 = = an+a1 an+a1 ×n 2 n (2)由 bn=anpan,得 bn=np ,所以 2 3 Tn=p+2p +3p +?+(n-1)pn-1+npn, n n+ 当 p=1 时,Tn= ; 2 当 p≠1 时, pTn=p2+2p3+3p4+?+(n-1)pn+npn+1, 4n+2 S2n 又 = = n+1 Sn

an+nd+a1

an+n+ an+1

,所以 an=n.





①-②,得(1-p)Tn=p+p +p +?+p

2

3

n-1

+p -np

n

n+1



p

-p 1-p

n

-np

n+1

.

n ? ? 所以 T =? p ? ?
n

n+
2 -p -p
n

,p=1, -

2

npn+1 ,p≠1. 1-p

20.等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3, a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项, 试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和

Sn.
解:(1)设{an}的公比为 q. 3 n-1 n 由已知得 16=2q ,解得 q=2. ∴an=a1q =2 . (2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32. 设{bn}的公差为 d,则有?
?b1+2d=8, ? ? ?b1+4d=32,

解得?

?b1=-16, ? ? ?d=12.

从而 bn=-16+12(n-1)=12n-28. n -16+12n- 2 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn= =6n -22n. 2 21.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 a1,以 后每年交纳的数目均比上一年增加 d(d>0),因此,历年所交纳的储备金数目 a1,a2,?是一 个公差为 d 的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计 算复利.这就是说,如果固定年利率为 r(r>0),那么,在第 n 年末,第一年所交纳的储备金 n-1 n-2 就变为 a1(1+r) ,第二年所交纳的储备金就变为 a2(1+r) ,?,以 Tn 表示到第 n 年末所 累计的储备金总额. (1)写出 Tn 与 Tn-1(n≥2)的递推关系式; (2)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列. 解:(1)由题意知 Tn=Tn-1(1+r)+an(n≥2). (2)证明:T1=a1,对 n≥2 反复使用(1)中的关系式,得 Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=?=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+?+ an-1(1+r)+an. ① 在①式两端同乘 1+r,得 n n-1 2 (1+r)Tn=a1(1+r) +a2(1+r) +?+an-1·(1+r) +an(1+r). ② ②-①,得

d rTn=a1(1+r)n+d[(1+r)n-1+(1+r)n-2+?+(1+r)]-an= [(1+r)n-1-r]+a1(1+ r n r) -an, a1r+d d a1r+d n 即 Tn= 2 (1+r) - n- 2 . r r r a1r+d a1r+d d n 如果记 An= 2 (1+r) ,Bn=- - n, r r2 r 则 Tn=An+Bn, a1r+d a1r+d 其中{An}是以 2 (1+r)为首项, 以 1+r(r>0)为公比的等比数列; {Bn}是以- 2 - r r d d 为首项,以- 为公差的等差数列. r r an+an+1 22.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= ,n∈N+.
2 (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列;

(2)求{an}的通项公式. 解:(1)证明:b1=a2-a1=1, an-1+an 当 n≥2 时,bn=an+1-an= - an 2 1 1 =- (an-an-1)=- bn-1, 2 2 1 ∴{bn}是以 1 为首项,- 为公比的等比数列. 2 1 n-1 (2)由(1)知 bn=an+1-an=(- ) , 2 当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1) 1 1 n-2 =1+1+(- )+?+(- ) 2 2 1 n-1 1- - 2 =1+ 1 1- - 2 2 1 n-1 =1+ [1-(- ) ] 3 2 5 2 1 n-1 = - (- ) , 3 3 2 5 2 1 1-1 当 n=1 时, - (- ) =1=a1, 3 3 2 5 2 1 n-1 ∴an= - (- ) (n∈N+). 3 3 2
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