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罗增儒教授


陕西师范大学基础教育研究院 高考临场 20 招
?

罗增儒
高考的遗憾莫过于实有的水平未能充分发挥出来, 致使十几年的辛劳毁于两小时的 “经 验”不足.应该知道,数学高考不仅是数学知识的较量,而且也是心理素质和考试技术的较 量.当一个考生进入封闭考场之后,他(她)的数学知识和数学能力,可以看成一个常数, 如何将所掌握的知识转化为阅卷得分点

, 这就取决于稳定的心态和答题的技术了. 根据数学 高考解题和阅卷的特点(参见文[1]、[2]) ,我们来提供一些正常应试乃至超水平发挥的技 术,从“进场前后、答题要领、全局意识、解题策略、分段得分”5 个层面组织为考试临场 20 招. 第一部分 进场前后 进入考场的前后,主要是作好心理准备、物质准备、体力准备和发挥准备. 第 1 招:提前进入角色. 像运动员先做准备运动,像演员提前酝酿感情,考生也应提前进入“角色” ,努力把最 佳竞技状态带进考场. (1)考前调整、休养生息. 考生在考前一二周应逐渐放松,进入静息状态,并进行生物钟的调整,让作息时间安 排得与高考的时间同步,在这段时间内,要保持情绪稳定,降低学习强度,增加睡眠时间, 进行轻微活动,熟悉考场细则,做好物质准备,在一种宁静的气氛中主要做识记性的复习工 作(勿做难题、偏题、怪题) ,比如,回想学科的整体结构,舒展脉络,背诵其中的重点内 容 (如二项式定理、 等差 (比) 数列求和公式、 圆锥曲线标准方程、 两角和的余弦公式??) . 发 现有缺漏时不要焦急,应从容不迫地坐下来翻阅教材和笔记,保持内紧外松. “静能生慧” ,经过强化训练之后的静息,是记忆恢复的最佳选择,许多发明创造都是 在“脑风暴”之后的冷却期出现的,临考前必要的静息,看似失去,实为获得.相反,还做 难题、 还加班加点, 会带来精神的过度紧张和体力的过度疲劳, 会直接或间接 (有形或无形) 影响临场的发挥.高考是很紧张、很繁重的脑力劳动,心理和体力都消耗很大,需要提前加 以储备, 入静改善了大脑和全身的生理机能, 就为提高智力活动的效率准备了良好的心理氛 围与充足的身体能量. 至于作息时间安排得与高考的时间同步, 则能在正式考试时, 思维自动进入工作状态并 迅速达到高潮. (2)熟悉考场,备份清单. 考生一定要亲临考场(特别是考场未设在本校的考生) ,熟悉环境,记下来回的路线和 行走的时间,认准卫生间和医疗室的位置,一方面可以消除考试时无谓的“新异刺激” ,另 一方面也能“以防万一” . 临考当天,应有充足的睡眠,并吃好清淡的早餐.赴考离家前,要按预先列好的清单 带齐一应用具,如准考证、钢笔(吸饱水) 、圆珠笔(两支) 、铅笔、橡皮、圆规、三角板、 防晕止痛小药片、擦汗小毛巾等,特别不要忘记带准考证和 2B 铅笔.同时要注意当年的规 定,能带才带、不能带不带. (3)提前活动,进入角色. 应提前半个多小时到达考场,一方面防止路上出现意外,另一方面可以稳定情绪,让脑

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细胞开始简单的数学活动,让大脑进入单一的数学情景.下面是一些可供选择的建议:

? 陕西师范大学基础教育课程研究中心项目:新课程实施与数学高考命题改革的研究.
①清点所需用具是否齐全. ②把一些基本数据、常用公式、重要定理“过过电影” ,特别是一些你认为难记易忘的 结论. ③同学之间互问互答一些不太复杂的问题. 经验表明, “过电影”的成功顺利,互问互答的愉快轻松,不仅能转移临考前的焦虑, 而且有利于把最佳竞技状态带进考场,至于背诵基本数据 (开方数、 平方数、 立方数、对数、 勾股数、特殊角的三角函数等) 、再现重要定理、公式等则常有实惠. 第 2 招:迅速摸清“题情” . 刚拿到试卷,一般心情比较紧张,思考亦未进入高潮,此时不要匆忙作答,可先从头到 尾、 正面反面通览一遍试卷, 弄清全卷共有几页、 几题?看看页码是否齐全?卷页是否配套? 印刷是否完整、清晰?尤其要认真阅读试卷的说明与各题型的指导语. (1)通览全卷的作用. ①一份试卷,相当于一份学科复习提纲,有了试卷的全貌认识,可使我们有机会从整体 结构上获得积极的暗示,便于从学科的知识体系上产生联想,激活回忆,提高分析问题的能 力和解决问题的效率. ②为实施正确的答题策略提供尽可能多的客观基础,如“三个循环” (见第 3 招) 、 “四 先四后” (见第 4 招) 、 “一慢一快” (见第 5 招)等. ③便于统筹安排时间, 防止在个别小题上纠缠过久, 也能有效克服 “前面难题久攻不下, 后面易题无暇顾及”的毛病. ④可以提前防止缺页、残页、空白页,也能从根本上避免漏做题. (2)通览全卷的基本工作. 通览全卷既是摸清“题情” ,又是解题的第一个循环,一般可在不到 10 分钟的时间内完 成 4 件事: ①填卷首、看说明、两写三涂. 即首先填好卷首各栏,如写姓名、写准考证号等项.对答题卡则涂类型、涂准考证号、 涂科目代号,同时,要要认真阅读试卷的说明与各题型的指导语. ②顺手解答. 即顺手解答那些一眼看得出结论的简单选择题、填空题,显然,看完全卷比只看开头二 三道题更容易找到熟悉的内容,更容易找到会做的题目;而只要能很快解答出一二道题(每 套试卷都会有难度系数 0.8 以上的热身题) ,情绪就会迅速稳定下来,并且“旗开得胜”的 愉悦感还有一种增力作用,能鼓励自己去作更充分的发挥. ③粗略分类. 对于不能立即作答的题目,可一面浏览一面按照难度估计,粗略分为 A、B 两类,A 类 是指题型比较熟悉、估计上手比较容易的题;B 类是指题型比较陌生,自我感觉比较难的题 目,以便于“先易后难”地答题. ④做到三个心中有数. 首先是对题量心中有数,弄清全卷一共几页、大小几道题,防止漏做题,发现漏印题. 其次是对题分心中有数,弄清每道题各占多少分,为后面实施“先高后低”作调查,并 粗略分配一下各题的解答时间.既注重每道题少丢分,更注重全卷多得分. 最后是对题目的内容分量心中有数, 即大致区分一下哪些属于函数题、 哪些属于不等式 题、哪些属于数列题、哪些属于三角函数题、哪些属于立体几何题、哪些属于解析几何题、

2

哪些属于概率统计题、哪些属于微积分题,为实施“先同后异”做好准备. 第二部分、答题要领. 通览全卷之后,思考逐渐进入高潮,建议掌握好三个答题要领. 第 3 招:三轮答题. 就是说,完整解答一套试题可经过 3 个循环(三轮答题法) .一头一尾是两个小循环, 各用 10 分钟左右,中间是一个大循环,用将近 100 分钟. (1)第一循环:通览全卷. 即在通览全卷的同时,先做简单题的第一遍解答,这是一个小循环.按高考题的难度比 例 3:5:2 计算,可以先从那 30%的容易题入手,获二三十分;同时,把情绪稳定下来,将 思考推向高潮. (2)第二循环:全面解答. 即用将近 100 分钟的时间,基本完成全卷,会做的都做了.在这个大循环中,要有全局 意识,能作整体把握,并执行“四先四后” (参见第 4 招) 、 “一慢一快” (参见第 5 招) )的 方针. (3)第三循环:复查收尾. 即用大约 10 分钟的时间来检查解答过程并实施“分段得分” (参见第 16~20 招) .对于 绝大多数考生来说, 都不可能在第二循环中答全答对所有的试题, 因此要对那些答不全或答 不对的题目进行技术性处理.这一步的作用有点像足球守门,把住最后一关.即使都做完了 的题目,也要复查,防止“会而不对、对而不全” .这一步是超水平发挥,争取多得分的不 可缺少的步骤. 第 4 招:四先四后. 考虑到满分卷是极少数,绝大多数考生,都只能答对部分题目或题目的部分,因此,执 行“四先四后”的技术措施是明智的. (1)先易后难. 就是说,先做简单题,再作复杂题,先做 A 类题,再攻 B 类题,容易和困难是因人而异 的. “难者不会,会者不难” ,虽然试卷本身的编排已经原则上考虑到从易到难,但这仅仅是 命题组的主观认识,而且数学试卷常常被设计为“两个从易到难的三个小高潮” , (三类题型 ——选择题、填空题、解答题——从易到难;每类题型本身又从易到难) ,就是说,选择题 的难题完全可能比填空题的易题困难, 而解答题的易题又完全可能比选择、 填空的难题容易, 所以,进入第二遍答题时,就无须拘泥于从前到后的自然顺序,可根据自己的实际,跳过啃 不动的题目,从易到难(被跳过的题目其实还在潜意识里继续思考) ,特别是不能在低分值 的题目上耽误过长时间,防止“前面难题久攻不下,后面易题无暇顾及” . (2)先熟后生. 通览全卷,既可能看到较多的有利条件,也可能看到较多的不利因素,特别是对后者, 不要惊慌失措,万一当年试题偏难.首先要会自我暗示: “我难别人也不易,水退船低没关 系” , “要镇定,别哆嗦,办法总比困难多” ,其次,可实行“先熟后生”的策略,就是说, 先做哪些内容掌握比较到家,题型结构比较熟悉的题目,后攻那些题型、内容、甚至语言都 比较陌生的题目.先做在某些方面有熟悉感的题目,容易产生精神亢奋,会使人情不自禁地 进入境界,展开联想,促进转化,拾级登高. (3)先高后低. 这是说要优先处理高分题(解答题) ,特别是在考试的后半段时间,更要注意解题的时 间效益,比如: ①两道都会做的题目,应先做高分题,后做低分题,以减少时间不足的失分; ②到了最后一二十分钟,也应对那些拿不下来的题目先就高分题实施“分段得分” (参

3

见第五部分) , 以增加在时间不足的前提下的得分. 事实证明, “大题拿小分” 是一个好主意. 当然, “先高后低”要与“先易后难”结合起来,不能不分难易,专挑高分题做,否则 会造成“高分难题做不出来,低分易题没时间做” . (4)先同后异. 就是说,可考虑同学科、同类型的题目集中处理(如同为函数题、同为方程题、同为 不等式题、同为数列题、同为三角函数题、同为立体几何题、同为解析几何题、同为概率统 计题、同为微积分题等) ,这些题目常常用到同样的数学思想、类似的思考方法,甚至同一 数学公式,把他们结合起来一齐处理,思考比较集中,方法或知识的沟通比较容易,有利于 提高单位时间的效益,一般说来,数学高考解题必须进行“兴奋灶”的转移,思维活动必须 进行代数学科与几何学科的相互换位,兴奋中心必须从这一章节跳跃到另一章节,但“先同 后异”可以避免兴奋中心转移得过急、过陡和过频. 这“四先四后”要结合自己的实际,相互配合,产生整体效果. 第 5 招:一慢一快. 就是说,审题要慢、书写要快. (1)审题要慢. 题目本身是“怎样解这道题”的钥匙.只不过其中的积极提示往往是通过语言文字、公 式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们.所以,审题一定要逐字逐句看清楚,力求从语 法结构、逻辑关系、数学含义、答题形式、数据要求等各方面真正看懂题意.特别要抓好审 题的“三个要点、四个步骤” . (详见文[3] 问题 19、问题 20) ①三个要点. 要点 1:弄清题目的条件是什么,一共有几个,其数学含义如何. 要点 2:弄清题目的结论是什么,一共有几个,其数学含义如何. 要点 3:弄清题目的条件与结论有哪些数学联系,是一种什么样的结构. ②四个步骤. 步骤 1:读题——弄清字面含义. 步骤 2:理解——弄清数学含义. 步骤 3:表征——识别题目类型. 步骤 4:深化——接近深层结构. 经验表明,凡是题目未明显写出的,一定是隐蔽地给予的,只有细致地审题才能从题目 本身获得尽可能多的信息,这一步不要怕“慢” . 例 1

A 作直线 L ,使 L 与棱 AB , AD , AA1 所 过正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的顶点
(B)2 条 (C)3 条 (D)4 条

成的角都相等,这样的直线 L 可以作 (A)1 条

(2010 年高考数学江西理科第 4 题、5 分) 讲解 (1)条件是什么? ①正方体.可以作出一个正方体图形(图 1) ,正方体中的所有性质视为已知. ②过点 A 的直线 L 与棱 AB , AD , AA1 所成的角都相等.这里,涉及空间中线线夹 角的知识,构成解题的关键与难点.正方体的“棱”本义均为线段, 但当说夹角时是指棱所在的直线,因而, ●棱 AB , AD , AA1 是可以延长的; ●直线 L 与棱 AB , AD , AA1 的夹角是指不大于 90 的角.
4

学生普遍只认识到这两点,这就把选择题当解答题了,其实, 四个选择支还提供第 3 条件,并且,可以作为沟通条件与结论的桥梁. ③直线 L 存在且不超过 4 条. (2)结论是什么:求直线 L 的条数. (3)沟通条件与结论联系. 思路 1 从条件③出发. 图1

第一件工作:题目说, L 至少有 1 条,你能找出 1 条来吗?(正方体内找) 如图 1,正方体内,过点 A 与棱 AB , AD , AA1 所成的角都为 ? ? arc cos 角线 AC1 为所求,这样的直线 L 有 1 条. 第二件工作:你还能再找出第 2 条来吗? 要突破仅在正方体内找的思维定势,关键是思考棱的延长线:以点 A 为顶点,三条棱 落在直线 AB , AD , AA1 上的正方体不只 1 个(参见图 2) ,每一个都有过点 A 的体对角 线与三条棱 AB , AD , AA1 所成的角都相等,这就又将问题还原为在大正方体内找体对角 线. 解法 1 以点 A 为顶点,三条棱落在直线 AB , AD , AA1 上的正方体有 8 个(参见图

3 的体对 3

2) ,每一个都有过点 A 的体对角线与三条棱 AB , AD , AA1 所成的角都相等,去掉重合的 得 4 条直线,即图 2 中大正方体 MMNPQ ? M1 N1PQ . 1 1 的 4 条体对角线.选(D) 领悟 本思路先从小正方体中找 1 条体对角线,然后再从大正方体中找 4 条体对角线, 在这个过程中可以考查线线夹角的知识和空间想象能力,有分类(正方体内 1 条、正方体外 3 条)及转换化归的思想方法. 思路 2 因为与两相交直线夹角相等的直线在两个垂直平分面上, 我们可以通过轨迹相 交法找出直线 L . 解法 2 如图 2,与棱 AB , AD 所成的角都相等的直线在两个垂直平分面 MM1PP 1 ,

NN1Q1Q 上;与棱 AB , AA1 所成的角都相等的直线在两个
垂直平分面 MN1PQ 1 , M1 NPQ 1 上;两类垂直平分面间的交 线与棱 AB , AD , AA1 所成的角都相等,有 4 条:

5

MM 1 PP MN1 PQ ? MP 1 1 1, MM 1 PP M 1 NPQ1 ? M 1 P, 1 NN1Q1Q MN1 PQ ? N1Q, 1 NN1Q1Q M 1 NPQ1 ? NQ1 ,
选(D) . 例2 已知 a, b, c 为互不相等的实数,且 图2

x y z ? ? ,求 x ? y ? z . a ?b b?c c ?a

(1951 年高考数学第 4 题) 讲解 通常认为题目有两个已知条件: (1)显性条件 1: (2)显性条件 2:

? a ? b??b ? c??c ? a? ? 0 ,
x y z ? ? . a ?b b?c c ?a x y z ? ? 能推出 A B C

记 A ? a ? b, B ? b ? c, C ? c ? a ,试想由 A ? 0, B ? 0,C ? 0及

x ? y ? z ? 0 吗?所以,题目还有
(3)隐含条件:

? a ? b? ? ?b ? c ? ? ? c ? a ? ? 0 .

本例正是由这三个条件推出一个等式 x ? y ? z ? 0 .这时的思路探求可以这样想: (1)题目是从等式到等式,途经应是恒等变形; (2)题目是从两个等式

x y z ? ? , ? a ? b? ? ?b ? c ? ? ? c ? a ? ? 0 到一个 a ?b b?c c ?a

等式 x ? y ? z ? 0 ,途经应是两个等式的合并; (如何合并?) (3)题目是从 x, y, z, a, b, c 到 x, y, z ,途经应是消元,消去 ? a ? b? , ?b ? c ? , ? c ? a ? ; (4)题目是从分式到整式,途经可以去分母,也可以抵消分母. 由此可以得“设比值 k ”之外的更多解法.如 另解 1 x ? y ? z

?

x y z a (消除分式与整式, 6 个字 ?a ? b ? ? ? b? ? c ? ? c ?? a? b b? c ? c a
母与 3 个字母间的差异)

x ?? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ? ? ? a ?b ? x ? 0 a ?b ? 0. ?
另解 2 由已知有

(用显性条件 2) (用隐性条件)

x?

z ?a ? b? , c?a

6

相加得

z ? b? c ?, c?a z z? ?c ? a? , c?a z z z x? y? z ? ?a ? b? ? ?b ? c ? ? ?c ? a ? c?a c?a c?a z ? ?? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ? ? ? ?0. c?a ? y?

另解 3 对已知式的前两项用等比定理,有

x? y z , ? ? a ? b? ? ?b ? c ? c ? a
即 得 得 另解 4

x? y z , ? ? ?c ? a? c ? a
x ? y ? ?z ,

x ? y ? z ? 0.
已知

x y z ? ? 表明,两条直线重合: a ?b b ?c c ?a
① ②

xX ? yY ? z ? 0 ,

? a ? b? X ? ?b ? c ? Y ? ? c ? a ? ? 0 ,

由于直线②通过点 ?1,1? ,所以直线①也通过点 ?1,1? ,得

x ? y ? z ? 0.
(2)书写要快. ①首先, 在宏观上要有争分夺秒的速度意识, 因为高考本身有时间限制, 有速度要求. 据 统计,一套高考数学试卷通常控制在 2000 个左右的印刷符号,若以每分钟阅读 300 ~ 400 个印刷符号的速度审题,约需 5~7 分钟,考虑到有的题目要反复阅读,实际需要 12 分钟: 书写主要用于解答题,约 3000 个印刷符号,按每分钟 150 个印刷符号的速度书写,约需 28 分钟,也就是说,看清题目后直接抄标准答案都需要 40 分钟,留给思考、草算、文字组织 和复查检验的时间只有 80 分钟,平均到每一问(通常是每卷都不下 20 题、约 30 问) ,保证 不了 3 分钟.为了给解答题留下思考的时间,选择题、填空题就只能在一二分钟内解决,解 决不了的就先跳过去(被跳过的题目其实还在潜意识里继续思考) ;解答题中容易的题也不 妨边想边写,节省草算时间,一般地,选择题、填空题与解答题的时间比可分配为 4:6. ②其次,具体到每一道题,一旦找到解题思路,书写要简明扼要、快速规范,不要拖泥 带水,啰嗦重复,更别画蛇添足(导致倒扣分) ,用阅卷教师的行话来说,就是要写出“得 分点” ,就数学题而言,一个原理写一步就可以了,至于不是题目要直接考查的过度知识, 特别是那些初中知识,可以直接写出结论,须知,多写一步就是多出现一个犯错误的机会, 就是多占用了后面高分题的一点思考时间,这意味着“隐含失分”或“潜在丢分” . 为了节约书写,我们建议多使用数学语言、集合符号、充要条件.

7

例 3 如图 3,直线 L 的方程为 x ? ? 中心为 D ? 2 ?

p ,其中 p ? 0 ;椭圆的 2

? ?

p ? ,0 ? ,焦点在 x 轴上,长半轴长为 2,短半轴长为 1, 2 ? ?p ? , 0 ? 问 p 在哪个范围内取值时,椭圆上有四个不同的点,它们中每一 ?2 ?
王新敞
奎屯 新疆

它的一个顶点为 A ?

个点到点 A 的距离等于该点到直线 L 的距离 (1988 年高考数学理科第七题、12 分) 解法 1 假定椭圆上有符合题意的四个点, 则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程
王新敞
奎屯 新疆

? ? p ?? ? x ? ? 2 ? 2 ?? ?? ? ? ? y2 ? 1 , 4
又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程

2

(1 分)

图3

y 2 ? 2 px ,
从而它们都是下面的方程组的实数解:
2 ?? ? p ?? ? ? x ? ? 2 ? ?? ?? ? 2 ?? ? y 2 ? 1, ? 4 ? 2 ? ? y ? 2 px,

(2 分)

① ②

(3 分)

将②式代入①式,得

? ? p ?? ? x ? ? 2 ? 2 ? ? ? 8 px ? 4 , ?? ? ?


2

p2 x ? (7 p ? 4) x ? ? 2p ? 0. 4
2



(4 分)

由于上述方程组有 4 个不同的实数解,所以方程③的判别式应大于零. 所以原方程组有 4 个不同的实数解, 当且仅当方程③有两个不相等的正根. 而这又等价 于

? p2 ? ? ? (7 p ? 4) ? 4 ? ? 2 p ? ? 0 , ? 4 ?
2

(5 分)

整理得 解此不等式得

3 p2 ? 4 p ? 1 ? 0 ,
1 . 3

p ? 1或 p ?



(7 分)

由已知,椭圆上的点的横坐标都大于零,所以方程③的两个根都应为正数,于是得

7p?4 ? 0,
8

解此不等式得

p?

4 . 7



(9 分)

由④、⑤以及已知条件得

1 0? p? . (10 分) 3 1 反之,当 0 ? p ? 时,方程③的判别式应大于零,从而方程③有两个不相等的实数根 3

p2 ? 2 p ? 0 ,一次项 7 p ? 4 ? 0 ,所以 x1 , x2 都为正数. x1 , x2 ,又由于方程③的常数项 4
把 x1 , x2 分别代人②中,可解得

y1 ? 2 px1 , y2 ? ? 2 px1 , y3 ? 2 px2 , y4 ? ? 2 px2
显然 y1 , y2 , y3 , y4 两两不相等. 由于 ? x1 , y1 ? 适合②式与③式,从而也适合①式,因此点 M1 ? x1 , y1 ? 是符合题意的点. 同理, M 2 ? x2 , y2 ? , M3 ? x3 , y3 ? , M 4 ? x4 , y4 ? 都是符合题意的点,并且它们是互不相等 的. 综上述,所求的 p 的取值范围为 0 ? p ? (12 分)

1 . 3

说明 这个解法不但冗长,而且很容易漏掉“反之??” ,被扣 2 分. 解法 2 椭圆上有四个点符合题意的充分必要条件是方程组
2 ?? ? p ?? x ? 2 ? ?? ? ? ?? ? 2 ?? ? ? y 2 ? 1, ? 4 ? 2 ? ? y ? 2 px,

① ②

(3 分)

有 4 个不同的实数解,这等价于

? 2 p2 ? 2 p ? 0, ? x ? (7 p ? 4) x ? 4 ? ? y 2 ? 2 px, ?



(5 分)

有 4 个不同的实数解,这又等价于方程③有两个不相等的正根 , 其充要条件是
王新敞
奎屯 新疆

(6 分)

9

? ? p2 ? 2 ? 2 p ? ? 0, ?? ? (7 p ? 4) ? 4 ? ? 4 ? ? 2 ? ?p ? ? 2 p ? 0, ?4 ?7 p ? 4 ? 0, ? ? ?
在 p ? 0 的条件下,解此不等式组,得到 0 ? p ?

(9 分)

1 . 3

(12 分)

说明 解法 2 所用到的知识,所出现的表达式与解法 1 几乎一样,但篇幅还不到解法 1 的一半,还避免了“检验”的扣分.区别在于解法 1 先证“必要性” ,后证“充分性” ;而解 法 2 用了“充分必要条件” ,简洁而完备. 第三部分、全局意识. 高考不是按满分录取的,也没有单科的最低控制线.因此,部分题目失分、个别科目 未考好并不影响录取,关键是加总分能进入录取线,上述“四先四后”已经体现了临场的全 局意识,此外还有 3 条建议. 第 6 招:立足中下题目,力争高上水平. 平时做作业,全都是按照全做全对来要求的,但高考却不然,只有极个别的学生能够 完成所有的题目,获得满分(2010 年陕西数学理科满分 20 人、文科满分 20 人) ,因为时间 和难度都不允许多数学生去做完、做对全部题目(据知,当今高考命题通常按 50%~60%考 生能做完、但不保证做对来设计题量的) ,所以,每个考生都要有这样的战略眼光:立足中 下题目. 应该看到,中下题目通常占全卷的 80%(计 120 分) ,是试卷构成的主要成分,是考生 得分的主要来源,是高校录取的主要依据,并且还是进一步解高难题的基础. 我们说“前 120 分若能稳拿,后 30 分就更有希望” .确实,考生若能攻下全部中下档题 目,稳拿 120 分,应该认为这已打了一个大胜仗.已经获得了一个成功的奖赏,它为后面攻 克高难题准备了时间和心理能量,更容易出现超水平的发挥,退一万步说,各科的难题都做 不了,仅凭 80%的得分率(总分可得 750×0.8=600 分) ,录取通知书也已遥遥在望了. 相反,若因为还有二三十分的题做不出来(满分 150 分) ,感到很紧张、很焦急,总想 全做全对,就只会更加发挥不好,甚至忙中出错,把本来做对的地方也改错了(检查中遇到 两种解法,没把握时,可印象优先、尊重第一选择) .应该知道,高考是加总分录取的,它 是依据相对分数的优势从前往后选择的. 就像奥运会比赛,关键不是破世界纪录,而是得金牌,当然,既得金牌又破纪录是一件 两全其美的好事,但对多数考生来说,要害是“考上” !要确保基础分,拿下力争分,不丢 零碎分. 第 7 招 立足一次成功,重视复查环节. 高考的时间很紧张,不可能做大量细致的解后检验,所以,答题要立足于一次成功,稳 扎稳打,字字准确,步步有据,努力提高解题的成功率,最好是每进行一步书写时,都用眼 睛的余光扫视上下两行,顺便检验有无差错(步步检验) !有的考生上一行写 为

3 ,下一行变 2

2 ,想填( B ) ,却填了( D ) ,还有是试卷翻页时忙中出错.造成“方法全对,结论全 3

错” ,心是手非,实在可惜!如其匆匆忙忙做 6 题对 5 题,不如扎扎实实做 5 题对 5 题.

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在这个基础上,还要有最后把关的检验.这是解决“会而不对,对而不全”的一个有效 措施. 检验应“以粗为主,粗细结合” ,粗检验主要看题目有无遗漏,题意有无弄错,要求是 否符合, 具体到每一道题, 要看解题过程是否合理, 解题步骤是否完整, 解题结果是否科学. 细检验就要具体看每一步推理是否合乎逻辑, 每一步计算是否正确无误?定理的条件满 足了吗?公式的记忆准确吗?符号、数据抄对了吗?特别是在出现“ ? ”号的地方,一定要 多留意,不要在移项、去括号时忙中出错. 为了提高检验的效率, 还应熟悉检验的一些基本方法, 防止每道题都简单地重复去再算 一次,我们建议同学们尝试如下的复查方法:复查核对、代值检验、多解对照、逆向运算、 观测估算、量纲检查、特值检验、条件检验、逻辑检验等. 第 8 招:内紧外松. 考试的始终,不宜过分紧张,也不要漫不经心,要有适度的紧迫感和强烈的使命感, 又要防止过分焦虑和患得患失,做到坚定、清醒、沉着、从容,叫做“内紧外松” . 没有紧迫感就没有最佳竞技状态.我们说的紧迫感主要指考试过程要放得开,挺得住, 精神集中,心态平和、勇于自我鼓励,善于自我暗示,同时还表现为时间观念、速度意识和 遇到困难时的信心、勇气、毅力与不屈不挠,应该认识到,个别题目不会做(或来不及做) 、 有的科目未发挥出应有的水平等都属于正常现象(不必大惊小怪、更别惊慌失措) ,都要以 内紧外松的态度坚持考好每一科,坚持做好每一题,坚持用好每一秒(答题顺利时也别提前 交卷) ,绝不能中途泄气. 比如,遇到数学解答题较难、思维受阻的情形较多时,就要在心里提示自己:不是自 己一个人不会做, 大家都难, 拿不下来并不影响录取, “我易人易莫大意, 我难人难不畏难” . 从 全局上看,高考是加总分录取的,不在乎一题一科的得失,越是在困难的时候越是要有全局 意识,越是要想到“东方不亮西方亮,暗了北方有南方” ,必要时可以闭目养一养神,或作 一作深呼吸. 第四部分、解题策略. 由于高考有时间的限定,因而拿到题目要迅速解决“从何处下手” 、 “向何方前进”这 两个基本问题,这与平时做作业没有时间限制是不同的,并且,这些年的试卷强调知识的覆 盖面, 基本上都是不下二十道题、 约三十问, 有较高的速度要求. 怎样才能做到两个迅速呢? 我们的建议是掌握高考解题的一些思维规律, 首先是明确解题过程, 其次是掌握解题策略 (如 模式识别、差异分析、层次解决、数形结合等) .当然,最根本的是学会分析:分析条件、 分析结论、分析条件与结论的联系. 第 9 招:解题过程. 我们把寻找习题解答的活动叫做解题过程. 它通常包括从拿到题目到完全解出的所有环 节或每一步骤.我们从便于操作理解的角度首先介绍一个四个步骤的解题程序(波利亚)然 后提供一个三要点的解题实例. (1)四步骤解题程序. ①弄清问题. 通常也叫做理解题意,主要是明确已知是什么?求证(解)是什么?亦即从题目本身 去获取从何处下手、向何方前进的信息.题目的条件和结论是两个信息源.从条件发出的信 息,预示可知并启发解题手段,从结论发出的信息预告需知并诱导解题方向,为了从中获取 尽可能多的信息,我们要逐字逐句地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系,常 常还要辅以图形或记号,以求得目标与手段的统一. (参见第 5 招及例 1、例 2) 对于大量的常规题来说,题意弄清楚了,题型就得以识别,记忆中关于这类题的解法 就召之即来(见第 10 招模式识别) .即使是新的“陌生情景” ,我们也有了解决它的目标与
11

原始基础,继而可以用“差异分析” (见第 11 招) 、层次解决、 (见第 12 招) 、 “数形结合” (见第 13 招)等措施. ②拟定计划. “拟定计划”的过程是探索解题思路的发现过程,也是一个化归过程,我们通常叫做寻 找解题思路.其最朴素的含义是,把待解决或未解决的问题,归结为一类已经解决或者比较 容易解决的问题.波利亚的建议是分两步走: ●努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等),这是最简单的直接化归. ●如果找不出直接的联系, 就对原来的问题作出某些必要的变更或修改, 引进辅助问题 等,这是最实质的曲折化归. 中学生寻找思路的一个便于操作的方法是分析法.寻找思路的一个简易可行的思考是 “特殊化” ,先退后进、以退求进(难的不会想简单的) .此外,模式识别、差异分析、层次 解决、数形结合等都是非常有效的解题策略. ③实现计划. 就是把打通了的解题思路(即自己看清楚、想明白的事情) ,用文字具体表达出来,说 服阅卷老师. ●在实现计划中“怎样表达” ,这对学生来说仍然是一个需要系统指导和严格训练的问 题.我们建议记住(15 字口诀) :定方法、找起点、分层次、选定理、用文字. ●在这个基础上,进一步要做到(24 字要领) :方法简单、起点明确、层次清楚、定理 准确、论证严密、书写规范. (对于网上阅卷,还要安排好书写的位置和字体的大小) ④回顾. 高考的回顾主要是复查检验,看计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法 是否还有更简单的.有的检验是解题的必要步骤,有的检验是避免过失的技术性措施. (参 见第 7 招的重视复查环节) 平时的回顾还表现为解题后对数学命题的重新认识和对解题方法的评价,积累数学才 能. (2)三要点解题实例. 下面是我们进行解题教学的一个示例,主题为“解题教学是解题活动的教学” ,包含有 三方面的含义: ①解题活动是一种思维活动, 思维活动既有过程又有结果, 解题答案主要反映思维活动 的结果,而获得答案的实质是发现与发明的过程. ②解题教学不仅要教解题活动的结果(答案) ,而且要呈现解题活动的必要过程——暴 露数学解题的思维活动. 没有过程的结果是现成事实的外在灌输, 没有结果的过程是学习时 间的奢侈消费,解题教学不仅要获得答案,而且要从获得答案的过程中学会怎样解题,把过 程与结果结合起来. ③暴露数学解题的思维活动有两个关键过程,其一是“从没有思路到获得初步思路”的 认知过程(我们叫做第一过程的暴露) ,其二是对初步思路反思的元认知过程(我们叫做第 二过程的暴露) ,解题教学不仅要有第一过程的暴露,而且还要有第二过程的暴露. 例4 若实数 x, y 满足 y ? 4 x ,求
2

y 的取值范围. x ?1

讲解 题目是由一个等式去确定一个不等式 (取值范围) . 可以从结论出发也可以从条 件出发,可以有代数的视角也可以有几何的视角.同学们可以各显神通. 这是一类中档题,学生普遍能下手,有设 k (斜率)的,由代入消元的,??但大多有 “会而不对、对而不全”的毛病.教师首先请两位设 k 的同学写出解法 1、解法 2,然后反 思,请另两位同学写出解法 3、解法 4;接着进行第二、第三、?、第六次反思,从设 k 到
12

不设 k ,得出 11 种解法.基本情况如下: 第一、解题思路的探求(扩元) . 解法 1 设 次方程

y ? k ,有 y ? k ? x ? 1? ,与 y 2 ? 4x 联立,消去 y ,得关于 x 的一元二 x ?1

k 2 x2 ? 2 ? k 2 ? 2? x ? k 2 ? 0 .
由 x 为实数,有判别式非负



? ? 4 ? k 2 ? 2 ? ? 4k 4 ? 0 ,
2

即 解得 得

k2 ?1,
?1 ? k ? 1 .


y 的取值范围为 ??1,1? . x ?1 y ? k ,有 y ? k ? x ? 1? ,与 y 2 ? 4x 联立,消去 x ,得关于 y 的一元二 解法 2 设 x ?1

次方程

ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 .
由 y 为实数,有判别式非负



? ? 16 ? 16k 2 ? 0 ,
解得 得

?1 ? k ? 1 .



y 的取值范围为 ??1,1? . x ?1

第二、解题过程的第一次反思. (1) k 的取值范围 ??1,1? 中是包括 0 的,当 k ? 0 时能肯定①、③必定为一元二次方 程吗? (2)你怎么知道②、④中的 k 能够取到 ?1 呢?方程①中的 x 不能取全体实数,判别式 能否取等号要不要验证? (3)消去 x 与消去 y 哪个稍好一些? 学生看出消去 x 稍好一些,让学生在原解答的基础上修订解答. 解法 3 (解法 1 的修订) 设 满足题设条件.
2 当 k ? 0 时,让 y ? k ? x ? 1? 与 y ? 4 x 联立,消去 y ,得关于 x 的一元二次方程

y ? k ,当 k ? 0 时,易知 y ? 0 ,x ? 0 ,此时点 ? 0, 0 ? x ?1

13

k 2 x2 ? 2 ? k 2 ? 2? x ? k 2 ? 0 .
由 x 为实数,有



? ? 4 ? k 2 ? 2 ? ? 4k 4 ? 0 ,
2

即 解得

k2 ?1 ?1 ? k ? 0,0 ? k ? 1 .


当 k ? ?1 时,相应的 ? 合并得

? x ? 1, ? x ? 1, ? ? y ? 2, ? y ? ?2.

y 的取值范围为 ??1,1? . x ?1 y ? k ,当 k ? 0 时,易知 y ? 0 ,x ? 0 ,此时点 ? 0, 0 ? 解法 4 (解法 2 的修订) 设 x ?1

满足题设条件. 当 k ? 0 时,让 y ? k ? x ? 1? 与 y 2 ? 4 x 联立,消去 x ,得关于 y 的一元二次方程

ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 .
由 y 为实数,有



? ? 16 ? 16k 2 ? 0 ,
解得

?1 ? k ? 0,0 ? k ? 1 .



当 k ? ?1 时,相应的 ? 合并得

? x ? 1, ? x ? 1, ? ? y ? 2, ? y ? ?2.

y 的取值范围为 ??1,1? . x ?1

第三、解题过程的第二次反思. 解法 4 完善了解法 2,但还有反思的余地: (1) k ? 0 , k ? 0 既讨论又合并,有无多余的思维回路? (2)除了引进 k 还有什么思路? 注意到,判别式与配方法是相通的,改用配方法可以避开讨论.请看:由求根公式

x?
只需

?b b2 ? 4ac , ? 2a 2a
2

? 2ax ? b ?

? b 2 ? 4ac ,



14

只需 只需

? 2ax ? ? 2ax ?
2

2

? 2 ? 2ax ? b ? b 2 ? b 2 ? 4ac ? 0 , ? 2 ? 2ax ? b ? 4ac ? 0 ,

2

只需方程 ax ? bx ? c ? 0 两边乘以 4a

4a 2 x 2 ? 4abx ? 4ac ? 0 .
这时,式⑨揭示了判别式 ? ? b ? 4ac 的实质,它是一个完全平方式 ? 2ax ? b ? ,并且
2
2

在方程的观点之下它是配方的结果,因而就具有配方法与实数平方的双重功能. 解法 5 (配方法)设

y ? k ,与 y 2 ? 4x 联立,消去 x ,得 x ?1

ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 ,
两边乘以 k

k 2 y 2 ? 4ky ? 4k 2 ? 0 ,
配方 得

4 ?1 ? k 2 ? ? ? ky ? 2 ? ? 0 ,
2



k ?1 .
当 k ? 1 时,由⑩知 y ? 2 ,从而 x ? 1 ;当 k ? ?1 时,由⑩知 y ? ?2 ,从而 x ? 1 .所



y 的取值范围为 ??1,1? . x ?1
第四、解题过程的第三次反思. 以上引进 k 是扩元,这道题只有扩元的思路吗?否定扩元,可以保元也可以消元.教师

请两位用消元法的学生介绍他们的做法 (可以消去 x 也可以消去 y , 下面只呈现消去 y 的) . 解法 6 把 x ?

y y2 代入 ,有 x ?1 4

y 4y 4y ? 2 ? ?1, x ?1 y ? 4 4 y


y 的取值范围为 ??1,1? . x ?1

y y2 解法 7 把 x ? 代入 ,有 x ?1 4

15

y 4y 1 ? 2 ? ? 1, y 1 x ?1 y ?4 ? 4 y


y 的取值范围为 ??1,1? . x ?1

第五、解题过程的第四次反思. (1) y 做分母,要不要讨论 y ? 0 的情况?分情况讨论是不是必要的? ( y 做分母不是题目本身就有的,讨论是一种办法,但不是好办法,改分母缩小为分子 放大,便可以避免分母为 0 了) (2)要不要验证不等式取等号? 解法 8 把 x ?

y y2 代入 ,有 x ?1 4

y 4y y2 ? 4 ? 2 ? 2 ?1, x ?1 y ? 4 y ? 4
等号当 y ? ?2 ,从而 x ? 1 时等式成立,得

y 的取值范围为 ??1,1? . x ?1

第六、解题过程的第五次反思. (命题背景的揭示) (1)切线斜率背景:(数形结合) y ? 4 x 的几何意义是抛物线,
2

y y ?0 的 ? x ? 1 x ? ? ?1?

几何意义是抛物线上的点 P ? x, y ? 与点 M

? ?1,0? 的斜率 k ,而 k 取最值的几何意义是过点

M ? ?1,0? 作抛物线切线的斜率.这体现了题目的一般性.
本例还有特殊性,那就是点 M ? ?1,0? 恰好在准线 x ? ?1 上,如图 4

PA y ? i i. x ? 1 PB i i
从更关注直线转移到更关注抛物线,你能对题目产生什么新的认识?

x ? 1 是抛物线上的点 P ? x, y ? 到准线的距离,它等于抛物线上的点 P ? x, y ? 到焦点的
2 距离, 由抛物线的定义知 y ? 4 x 等价于 ( 4 x ? ? x ? 1? ? ? x ? 1? )
2 2

y 2 ? ? x ? 1? ? x ? 1 .
2

16

由此可以得出新的解法. (2)抛物线背景 解法 9 (抛物线的定义)易知抛物线的焦点为 F ?1,0 ? ,准线为 x ? ?1 ,由抛物线的

定义知 y 2 ? 4 x 等价于

y 2 ? ? x ? 1? ? x ? 1 ,
2

图4



y ? x ?1

y 2 ? ? x ? 1? x ?1

2

? 1 ,(点到直线间的距离,垂线最短)

当 x ? 1, y ? ?2 时,

y y 可以分别取到最大值1、最小值-1,故 的取值范围为 x ?1 x ?1

??1,1? .
第七、解题过程的第六次反思. 抛物线背景的揭示,使我们可以获得消元法的新处理 解法 10 (抛物线的定义)由 4 x ? ? x ? 1? ? ? x ? 1? 有
2 2

y ? x ?1

? x ? 1? ? ? x ? 1?
2

2

x ?1

?

x ?1 ?1 x ?1

当 x ? 1, y ? ?2 时,

y y 可以分别取到最大值1、最小值-1,故 的取值范围为 x ?1 x ?1

??1,1? .
解法 11 (抛物线的参数方程)设 y ? 2t ,则 x ? t ,有
2

y 2t t 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 1, x ?1 t ?1 t ?1
当 t ? 1,即 x ? 1, y ? ?2 时,
2

y y 可以分别取到最大值1、最小值-1,故 的 x ?1 x ?1

取值范围为 ??1,1? . 领悟 题目由一个等式去确定一个不等式. 可以从结论出发也可以从条件出发, 可以有 代数的视角也可以有几何的视角,可以扩元、消元也可以保元.没有思路的时候,要努力获 得思路.有了初步思路的时候,要学会反思,通过反思学会解题. 第 10 招:模式识别. (参见文[4]) (1)模式识别的基本含义. ①在学习数学的过程中, 所积累的知识和经验经过加工会得出一些有长久保存价值或基 本重要性的典型模式与重要类型,我们称为解题基本模式,简称模式.典型结构与重要类型 常常是问题的深层结构.

17

②当我们遇到一个新问题时, 首先辨认它属于已经掌握的哪个基本模式, 然后检索出相 应的解题方法来解决,这是数学解题中的基本思考,也是解高考题的重要策略,我们叫做模 式识别. ③拿到一道高考题题,在理解题意后,立即思考问题属于哪一学科、哪一章节?与这一 章节的哪个类型比较接近?解决这个类型有哪些方法?哪个方法可以首先拿来试用?这一 想,下手的地方就有了,前进的方向也大体确定了.这就是高考解题中的模式识别. ④运用模式识别可以简捷回答解题中的两个基本问题, 从何处下手?向何方前进?我们 说,就从辨认题型模式入手,就向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进. (2)模式识别在求解高考题中的具体化. 对中学生的高考解题来说, “模式识别”就是将新的高考试题化归为已经解决的题.有 两个具体的途径: ① 化归为课堂上已经解过的题. 理由 1: 因为课堂和课本是学生知识资源的基本来源, 也是学生解题体验的主要引导. 离 开了课堂和课本,学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验?还能从哪里找到解 题灵感的撞针?高考解题一定要抓住“课堂和课本”这个根本. 理由 2:因为课本是高考命题的基本依据.有的试题直接取自教材,或为原题、或为类 题;有的试题是课本概念、例题、习题的改编;有的试题是教材中的几个题目、几种方法的 串联、并联、综合与开拓;少量难题也是按照课本内容设计的,在综合性、灵活性上提出较 高要求.按照高考怎样出题来处理高考怎样解题应是顺理成章的. ②化归为往年的高考题(或其变形) . (4)模式识别的层次. 解题的模式识别通常有三个层次. ①直接用.拿到一道题目,经过辨认,它已属于某个基本模式,于是提取该模式的相应 方法来解决. (容易题) ②转化用.遇到稍新、稍难一点的题目,可能不直接属于某个基本模式,但将条件或结 论作变形后就属于基本模式. (中档题) ③综合用.遇到更新、更难的题目,变形也不属于某个基本模式,那么,一方面可以将 题目加以分解,使每一个子问题成为基本模式;另方面可以将基本模式加以深化或重组,用 整合过的模式来解决新问题. (难题)
2 例 5 已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的准线与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 相切, 则 p 的值为

(A)

1 2

(B) 1

(C) 2

(D) 4

(2010 年高考数学陕西省理科第 8 题、5 分) 例6 观察下列等式:1 ? 2 ? 3 ,1 ? 2 ? 3 ? 6 ,1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 ,?,根
3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2

据上述规律,第 五 个等式 为 . . . ... (2010 年高考数学陕西省理科第 12 题、5 分) 例 7 (几何证明选做题)如图 5,已知 Rt ABC 的两条直角边

AC , BC 的长分别为 3cm, 4cm, 以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D ,


BD ? DA

. 图5

(2010 年高考数学陕西省理科第 15 题 B、5 分)
18

以上 3 题直接来源于课本. 例 8 如图 6,三定点 A? 2,1? , B ? 0, ?1? , C ? ?2,1? ;三动点

D, E, M 满足

AD ? t AB, BE ? tBC,DM ? tDE, t ? [0,1] .
(Ⅰ)求动直线 DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点 M 的轨迹方程. 图6 (2006 年高考数学陕西省理科第 21 题、12 分) (参见文[5]) 讲解 在汽车制造业中, 法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔提出了一套利用伯恩斯坦多 项式的电子计算机设计汽车车身的数学方法,本题的背景正是二次贝齐尔曲线,点 M 的轨 迹是一段抛物线.据说工人在制造飞机机翼时,正是在 M 点的地方打上铆钉,使得机翼的 纵截面为抛物线. A 虽然本题有伯恩斯坦多项式的高等背景,但求解第(Ⅱ)问只 P 需 三 次 应 用 当 年 的 课 本 结 论 : 若 OA , OB 不 共 线 , (如图 7) AP ? t AB ? t ? R ? , 则 OP ? ?1 ? t ? OA ? tOB . 因此,不管问题的原始来源如何,对高考解题来说,化归为课 堂上已经解过的题是明智和可行的. 例 9 真分数不等式.
O B

图7

真分数不等式有生动的现实情景,有分析法、综合法、反证法、放缩法,构造法等 10 多种证明方法,可以作为一个不等式证明的基本模型. 题目 请从下面的现实情景中提炼出一个数学命题,然后给出严格的数学证明. (1)糖水加糖变甜了. (糖水未饱和) (2) 某中学计划招收高一新生 a 人, 使学生总数达到 b 人, 这样高一新生所占比例为 现准备高一扩招 m 人,则高一新生所占的比例变大了. (3)盒中有白球和黑球共 b 个,其中白球 a 个,从中任取一个,取得白球的概率为 若再加入白球 m 个,从中任取一个,则取得白球的概率增大了. (4)建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积 和地板面积之比应不小于 10%,且这个比值越大,采光越好.现将窗户面积和地板面积等 积增加,则采光条件变好. (5)某城市有一矩形广场,该广场为黄金矩形(它的宽与长的比为 5:12),现在中央 设计一个矩形草坪,四周是等宽的步行道.能否设计恰当的步行道的宽度,使矩形草坪仍为 黄金矩形? 讲解 以 “糖水加糖变甜了” 为例. 这是一个尽人皆知的生活事实, 这里有数学道理吗? 该用什么样的数学关系式来表示呢? 首先,这个情境具有不等式的必要因素与必要形式.变甜、变咸所表达的是大小关系, 记为
19

a , b a , b

p1 ? p2 .
这里用到了字母表示数的知识. 其次,这个情境代表什么不等式呢,它又应该用怎样的式子表达出来呢?这要调动“浓 度”的概念并继续用字母表示数,设 b 克糖水里有 a 克糖( b ? a ? 0 ) ,则

p1 ?

a , 而 p2 ? b

这还没有把加糖反映出来, p2 有待表示.再设加入 m 克糖( m ? 0 ) ,得

p2 ?

a?m , b?m

最后, “糖水加糖变甜了” 就是

a a?m ? . 于是得到一个真分数不等式: 若b ? a ? 0 , b b?m

m ? 0 ,则

a a?m ? . b b?m
“糖水加糖”的情境本身有很大的拓展空间.比如 (1)将 3 小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后,浓度还相同.由这一情境可得等比定 理:

a1 a2 a3 a1 ? a2 ? a3 . ? ? ? b1 b2 b3 b1 ? b2 ? b3
(2)将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后,大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又 比浓的淡.这又是托儿所小孩都知道的事实,但这里有“中间不等式”的必要因素与必要形 式:对 b1 ? a1 ? 0 , b2 ? a2 ? 0 ,有

a1 a2 a a ? a2 a2 . ? ? 1 ? 1 ? b1 b2 b1 b1 ? b2 b2
(3)取浓度不等的两杯糖水,它们有一个平均浓度,合在一起后又有一个浓度,这两 个浓度哪个大呢?这已经是一个有挑战性的问题了,需比较

1 ? a1 a 2 ? ? 2? ? b1 b2
的大小.

? a1 ? a2 ? ?与 b ?b ? 1 2

真分数不等式可以有分析法、综合法、反证法、放缩法、构造图形、构造定比分点、构 造复数、构造函数等 10 多种证明方法,非常有利于沟通知识和方法之间的联系. 很多高考题都可以用真分数不等式来求解, 这一事实既说明真分数不等式可以作为一个 不等式证明的基本模型, 又说明求解高考题时可以化归为课堂和课本已解决过的问题, 或化 归为往届高考题.这些高考题的求解,还可以体现模式识别的层次性(直接用、转化用、综 合用) .

20

例 9-1 如果 0 ? m ? b ? a, 那么(

) .

b?m b b?m ? cos ? cos a?m a a?m b b?m b?m ( B) cos ? cos ? cos a a?m a?m b?m b b?m (C ) cos ? cos ? cos a?m a a?m b?m b?m b ( D) cos ? cos ? cos a?m a?m a ( A) cos
(1989 年高考数学广东题) 例 9-2 设 ?an ? 是由正数组成的等比数列, Sn 是其前 n 项和.

lgS n ? lgS n ? 2 ? lgS n ?1 ; 2 (Ⅱ)是否存在常数 c ? 0 ,使得 lg ( S n ? c) ? lg ( S n ? 2 ? c) ? lg ( S n ?1 ? c) . 2
(Ⅰ)证明 (1995 年高考数学理科第 25 题) 例 9-3 已知数列 ?an ? 为等比数列, a2 ? 6,a5 ? 162 , (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,证明

Sn Sn? 2 ?1. 2 Sn ?1

(2004 年高考数学文科第 18 题) 讲解 例 9-2(1)与例 9-3(2)可以认为是真分数不等式的变形用,如果我们没有“化 归为课本已经解决的问题”的思想准备,可能就想不到用真分数不等式,或在变形式

Sn Sn?2 ? Sn?12


Sn S ? n?1 Sn?1 Sn? 2



之间犹豫,而一旦想到用真分数不等式,则①已接近完成,因为 ?an ? 为递增的正项数列, 有

Sn?1 a ? qSn qSn S ? 1 ? ? n . Sn? 2 a1 ? qSn?1 qSn?1 Sn?1


Sn Sn? 2 ?1. 2 Sn ?1

21

例 9-4 对一切大于 1 的自然数,求证: (1 ? )(1 ? ) (1985 年高考数学上海题) 例 9-5 已知数列 ?bn ? 是等差数列, b1 ? 1, b1 ? b2 ? (Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项 bn ; ( Ⅱ ) 设 数 列 ?an ? 的 通 项 an ? log a ?1 ?

1 3

1 5

(1 ?

1 2n ? 1 . )? 2n ? 1 2

? b10 ? 145 ,

? ?

1? ? ,( 其 中 a ? 0, 且 a ? 1 ), 记 bn ?

1 Sn是数列?an ? 前 n 项和.试比较 Sn 与 log a bn ?1 的大小,并证明你的结论. 3
(1998 年高考数学题理科第 25 题) 例 9-6 已知 i, m, n 是正整数,且 1 ? i ? m ? n ,
i i (Ⅰ)证明 ni Am ; ? mi An

(Ⅱ)证明(1+m) n>(1+n) m. (2001 年高考数学理科第 20 题) 讲解
i i (Ⅰ)要证 ni Am ,只需 ? mi An

i ? m ? Am m m ? 1 ? ? ? ? i ? n ? An n n ? 1

i

m ? i ?1 . n ? i ?1
? m ? i ?1 m , (由 1 ? i ? m ? n ,有 0 ? ? 1 ) n ? i ?1 n
i ? m ? i ? 1? ? Am , ? n ? i ? 1? Ani

而由真分数不等式,有

m m ?1 m ? 2 ? ? ? n n ?1 n ? 2
i

相乘

? m ? m ? m ? 1?? m ? 2 ? ? ? ? n ? n ? 1?? n ? 2 ? ?n?
i i . ni Am ? mi An

即 例 9-7

等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) 均在函数

?

y ? bx ? r ( b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图象上.
(1)求 r 的值; (11)当 b ? 2 时,记 bn ? 2(log2 an ? 1)(n ? N ) ,证明:对任意的 n ? N ,不等式
?
?

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? n ? 1 成立. b1 b2 bn
(2009 年高考数学山东卷理科第 20 题)

22

解 (1)因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn) 均在函数 y ? b x ? r ( b ? 0 且 b ? 1, b, r 均 为常数)的图象上.所以得 Sn ? bn ? r ,当 n ? 1 时,

?

a1 ? S1 ? b ? r ,
当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 ,
又因为 { an } 为等比数列,所以公比为

a3 ? b ( b ? 0 且 b ? 1 ) ,从而 a2 ? a1b ,即 a2

?b ?1? b ? ? b ? r? b ,得 r ? ?1 .
(11)当 b ? 2 时,

an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , bn ? 2(log2 an ?1) ? 2(log2 2n?1 ?1) ? 2n ,


bn ? 1 2n ? 1 , ? bn 2n b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6
2 3 4 5 6 7 < , ? , ? , 3 4 5 6 7 8

所以

2n ? 1 2n

由真分数不等式有

,

2n 2n ? 1 ? , 2n ? 1 2n ? 2
2

从而

?2? ? ? ?3? ?2 ?? ?3

2

?4? ?6? ? ? ? ? ?5? ?7? 3? ?4 5? ?6 ?? ?? 4? ?5 6? ?7
2

2

2

? 2n ? ? ? ? 2n ? 1 ? 7? ? 2n 2n ? 1 ? ? ? ?, 8? ? 2n ? 1 2n ? 2 ?



?2 4 6 ? ?3 5 7
3 5 7 2 4 6

2n ? 1 , ? ? 2n ? 1 ? n ? 1
2n ? 1 ? n ?1 . 2n





b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? n ? 1 成立. b1 b2 bn
这与例 9-4 证明 (1 ? )(1 ? )

1 3

1 5

(1 ?

1 2 n ?1 )? 没有本质的区别. 2 n ?1 2

23

这几道题目课本都没有出现过,但例 9-1 可以认为是真分数不等式的直接用(加上余弦 函数的单调性) ;例 9-2(Ⅰ)与例 9-3(Ⅱ)可以认为是真分数不等式的变形用,对例 9-4~ 例 9-7 可以认为是真分数不等式的整合用(多次连续或多个组合) . 第 11 招:差异分析. (参见文[6]) (1)差异分析的基本含义. ①目标差: 我们把题目的条件与结论之间的差异称为目标差, 解题的实质就在于设计一 个使目标差不断减少的过程. ②差异分析法:通过寻找目标差,不断减少目标差而完成解题的思考方法,叫做差异分 析法. (2)差异分析法的使用步骤. ①寻找目标差:通过分析题目的条件与结论中所出现的元素,元素间所进行的运算,以 及元素间所存在的数量特征(如系数、指数、函数名称、自变量等) 、关系特征(如运算方 式、大于或等于、平行或垂直等) 、位置特征等去寻找异同点. ②作出消除反应: 对于所找出的目标差, 要运用基础理论与基本方法立即作出某种减少 目标差的反应. ③积累消除效果: 减少目标差的调节要一次又一次地发挥作用, 使得对目标差的减少能 积累起来,渐次逼近,直至消除,最终完成解题. (3)差异分析法的基本功能. ①差异分析法是“综合——分析法”的一种特殊形式,可同时具有综合法与分析法的 双重优势. ②运用差异分析法解题可以同时回答“从何处下手”与“向何方前进”这两个基本问 题:我们说,就从分析目标差入手,就向着减少目标差的方向前进. 经常看到一些同学,拿着题目一筹莫展,找不到解题的突破口,连下手的地方都没有, 这在很大程度上是不会找目标差, 或见到目标差却不能作出反应. 还有的同学常在成功的思 路上受阻,其原因是不善于把目标差的逼近积累起来. 对于一类恒等式或不等式证明题,这一策略常能凑效.特别地,三角题可以通过角、函 数名称、运算方式等的差异分析来求解. 例 10 已知数列 {an } 的首项 a1 ? (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥

3 3an , 2, . , an ?1 ? ,n ?1 5 2an ? 1

1 1 ?2 ? 2, ; ? ? x ? , n ? 1, 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

(Ⅲ)证明: a1 ? a2 ?

? an ?

n2 . n ?1

(2008 年高考数学陕西卷理科第 22 题) (参见文[7])

3n 讲解 由第(Ⅰ)问易得 an ? n ,因此第(Ⅱ)问可以认为是一道数列不等式的 3 ?2
恒成立问题:已知数列 an ?

3n ,证明:对任意的 x ? 0 , 3n ? 2
24

an ≥

1 1 ?2 ? 2, . ? ? x ? , n ? 1, 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?



对比①式左右两边可以看到,有 3 个明显的差异: (1)右边有正数 x ,左边没有. (恒成立问题) (2)左边有 an ,右边没有明显表出. (3)右边有 3 或
n

2 3n a ? ,左边没有明显表出.但由 知 n 3n 3n ? 2

an ?

2an 2 1 , ? ? 1,3n ? n 2 3 a 1 ? a n n 1? n 3 1 ,



这就提供了沟通①式左右联系的线索:

2 统一为 an 的不等式; 3n 2 思路 2:把左边的 an 统一为 n 的不等式; 3
思路 1:把右边的 思路 3:把左右两边统一为 3 的不等式; 事实证明这些思路全都是可行的,比如 证明 把
n

2 2 1 统一为 an ,有 n ? ? 1 ,得 n 3 3 an

右边=

1 1 ?2 ? ? ? x? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?
?? 1 ? ? ?? ? 1 ? ? x ? ?? an ? ?
(关于
2

?

1 1 ? 1 ? x (1 ? x) 2

??

1 1 2 ? 2 an (1 ? x) 1 ? x

1 的二次三项式) 1? x

? ? 1 (二次三项式求极值) ? an ? ? ? an ? ≤ an . ? a ?1 ? x ? ? n ? ?
这个证明表现为一系列恒等变形,若将首尾两行独立出来就得到一个恒等式

? ? 1 1 1 ?2 ? ? ? x ? a ? ? a ? ? . n n ? ? ? a ?1 ? x ? ? 1 ? x (1 ? x)2 ? 3n ? ? n ?
这个等式的外形影响我们对本质的直接揭示, 将其改写为不等式左边减右边的形式, 有

2

? 1 1 ?2 1 ? ? an ? ? ? x ? ? ? an ? ? . 2 ? n ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 1 ? x a ? ? ? ? n ? ?
25

2



这就清楚了,不等式①通过②可以等价于实数的平方为非负数,并且 x ? 0 的条件不是 必要的( x ? ?1 就够了) ,书写也立即可以改写为基本不等式证法. 例 11-1
6 5 4 3 2 设 a6 x ? a5 x ? a4 x ? a3 x ? a2 x ? a1 x ? a0 ? ? 3x ? 1? ,求 a6 ? a5 ? a4 6

+ a3 ? a2 ? a1 ? a0 . (1985 年高考数学理科第二(4)题) 解法 1 由二项式定理有
r (3x ? 1)6 ? (1 ? 3x)6 ? ? C6 ? ?3x ? , r r ?0 6

与已知条件作比较,得
r ar ? C6 (?3)r ,
6



a6 ? a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ? a0 ? ? C6r (?3)r ? ?1 ? 3? ? 26 .
6 r ?0

可见,最终归结为 x ? 1的计算,这也可以由“差异分析”得出. 解法 2 让我们将已知式与求值式逐项对齐,并进行差异分析

a6 x 6 ? a5 x5 ? a4 x 4 ? a3 x 3 ? a2 x 2 ? a1 x ? a0 ? ? 3x ? 1? a6 ? a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ? a0 ? ?

6

可见,已知式中的项有字母 x ,结论中的每一项都没有字母 x . “没有字母 x ”是什么 意思?可以理解为每一项的字母 x 都等于 1,消除差异的办法应同时取

x6 ? 1, x5 ? 1, x4 ? 1, x3 ? 1, x2 ? 1, x ? 1,
所以取 x ? 1 代人已知式,得

a6 ? a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ? a0 ? ? 3 ? 1? =32 .
6

评析 可见,在差异分析观点之下,取值 x ? 1 就不是一个妙手偶得的特殊技巧了,而 是一个策略思想的具体实施.并且,这一经验积累,又与“特殊化”和“整体处理”的策略 思想相通,可以用来处理很多数学问题,比如下面几道类似而又有变通的高考题(化归为往 年的高考题) : 例 11-2 已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? ?a2 x2

? a7 x7 ,那么 a1 ? a2 ?

? a7 ? ____ .

(1989 年高考数学第 16 题) 解 设 f ? x ? ? (1 ? 2x) ,则
7

a1 ? a2 ?
说明

? a7 ? f ?1? ? f ? 0? ? (1 ? 2)7 ?1 ? ?2 . 填 ?2 .
? a7 ? ?1,

我们在阅卷中发现,相当一部分考生令 x ? 1 得答案为 ?1 ,其实得到的是

a0 ? a1 ? a2 ?

而所求的值,应再减去 a0 ? ?1 ,从而
26

a1 ? a2 ?

? a7 ? ?2 .

究其原因,是考生一见题型很熟悉(如例 11-1 及课本相关习题中见过) ,没有认真看清 题目的小变化,就匆匆作答,结果“会而不对” . 例 11-3 若 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ,则 (a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ?

a3 )2 的值为( )
(A)1 (B) ?1 (1999 年高考数学理科第 8 题) 解 设 f ? x ? ? (2 x ? 3)4 ,则 (C)0 (D)2

(a0 ? a2 ? a4 )2 ? ? a1 ? a3 ?

2

= ? a0 ? a2 ? a4 ? a1 ? a3 ? ? a0 ? a2 ? a4 ? a1 ? a3 ?

? f ?1? f ? ?1? ? (2 ? 3)4 (?2 ? 3)4
. ? (4 ? 3)4 ? 1 .选(A) 说明 若把所求式展开为
2 2 2 2 a0 ? a2 ? a4 ? a12 ? a3 ? 2a0a2 ? 2a0a4 ? 2a2a4 ? 2a1a3 ,

会由于求不出平方而导致思路中断,这叫做高考解题的“策略性错误” . 例 11-4 若 (1 ? 2x)2004 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ?

? a2004 x2004 ( x ? R) ,则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ?

(a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ?
设 f ? x ? ? (1 ? 2 x)

? (a0 ? a2004 ) ? _____ .(用数字作答)

(2004 年高考数学天津卷理科第 15 题) 解
2004

,则

(a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) ? (a0 ? a3 ) ? ? 2003 f ? 0 ? ? f ?1? ? 2003 ? (1 ? 2) 2004 ? 2004.

? (a0 ? a2004 )

例 11-5 已知 (1 ? x) ? a0 ? a1x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ? a5 x ,则 (a0 ? a2 ? a4 )(a1 ?
5 2 3 4 5

a3 ? a5 ) 的值等于



(2007 年高考数学安徽文科第 12 题) 解 分别取 x ? ?1 ,有

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 0 ,

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 25 ,
27

解得 所以 说明

a0 ? a2 ? a4 ? ?(a1 ? a3 ? a5 ) ? 16 , (a0 ? a2 ? a4 )(a1 ? a3 ? a5 ) ? ?256 .
若由已知求出 ai ,由结论化为

a0a1 ? a0a3 ? a0a5 ? a2a1 ? a2a3 ? a2a5 ? a4a1 ? a4a3 ? a4a5 ,
不是不可以计算,而是犯有高考解题的“策略性错误” . 例 11-6 若 ( x ? 2)5 ? a5 x5 ? a4 x4 ? a3 x3 ? a2 x2 ? a1 x ? a0 ,则 .(用数字作答)

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?

(2008 年高考数学福建卷理科第 13 题) 这与例 11-2 类似. 例 11-7 若 (1 ? 2x)2009 ? a0 ? a1x ?

? a2009 x2009 ( x ? R) ,则

a1 a2 ? ? 2 22

?

a2009 的值 22009

为( ) . (A)2 (B)0 (C) ?1 (D) ?2 (2009 年高考数学陕西卷文、理科第 6 题) 解 设 f ? x ? ? ?1 ? 2 x ?
2009

,则

f ? 0? ? a0 ? 1 ,
a a ?1? f ? ? ? a0 ? 1 ? 2 ? 2 22 ?2?
相减

?

a2009 ? 0, 22009

a1 a2 ? ? 2 22

?

a2009 ?1? ? f ? ? ? f ? 0 ? ? 0 ? 1 ? ?1 . 2009 2 ?2?

说明 (1)为什么 7 年都考此类题?看来不是为了考二项式定理,而是考“特殊与一般 的基本数学思想” 、 “整体处理”的基本数学思想.高考注重数学思想的考查. (2)由 7 年都考此类题,可感悟高考解题的一个基本思路:模式识别(化归为课堂上 已经解决的问题、化归为往届高考题) ,差异分析. 第 12 招:层次解决. (参见文[8]) (1)层次解决的基本含义. 人们在创造性解决问题的过程中,思维是按层次展开的,先粗后细,先宽后窄,先对问 题作一个粗略的思考,然后逐步深入到实质与细节.或者说,先作大范围的搜索,然后再逐 步收缩包围圈.数学解题也是一个创造性活动,也可以层层深入地解决,我们叫做三层次解 决. ①一般性解决.即在策略水平上的解决,以明确解题的总体方向.这是对思考作定向调 控. 在这一层次上, 根据中学阶段课程体系的结构, 我们认为自觉应用函数思想和方程思想 是十分有益的.

28

②功能性解决.即在数学方法水平上的解决,以确定具有解决功能的解题手段,这是对 解决作方法选择. ③特殊性解决.即在数学技能水平上的解决,以进一步缩小功能解决的途径,明确运算 程序或推理步骤,这是对技巧作实际完成. 在进行三层次解决时,每一层次又可能有三层次解决. (2)实例理解. 例 12 已知 a, b, c 是实数, 又函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,g ( x) ? ax ? b , 当 ?1 ? x ? 1

时, f ( x) ? 1,证明 g ( x) ? 2 . (1996 年高考数学第 25 题第(2)问) 讲解 第一层次:假若存在 x1 , x2 ? [?1,1] ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 降为一次式,并等于

g ( x) ,则命题便能得证

g ( x) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
这提供了一个方向,需要我们从方法上去落实.



第二层次:为了找出两个未知数 x1 , x 2 ,我们利用①所提供的等量关系来建立方程.即 去找满足

(ax12 ? bx1 ? c) ? (ax22 ? bx2 ? c) ? ax ? b



的 x1 , x 2 ,这时 x 暂时看成已知数.这就提供了一个方法,是从方程的观点上来思考的. 第三层次: 一般说来, 方程未必都有解, 有解也未必都能求出来, 具体到②情况如何呢? 我们对上式作变形,有

?x1 ? x2 ??a?x1 ? x2 ? ? b? ? ax ? b ,


? x1 ? x2 ? 1, ? ? x1 ? x2 ? x,
x1 ? x ?1 x ?1 , x2 ? . 2 2



可得



这说明思路是通的.这就从操作层面落实了当初的想法. 证明 对 ? 1 ? x ? 1 ,有

0?

.

x ?1 x ?1 ? 1 , ?1 ? ? 0, 2 2

? x ?1 ? ? x ?1 ? g ( x) ? f ? ?? f ? ?, ? 2 ? ? 2 ?



? x ?1 ? ? x ?1 ? g ( x) ? f ? ?? f? ? ?2. ? 2 ? ? 2 ?

29

第 13 招:数形结合. (1)数形结合的基本含义. 在解题中, 既用数的抽象性质来说明几何形象的事实, 又用图形的直观性质来说明代数 抽象的事实,在数与形的双向结合上寻找解题思路,叫做数形结合.这是一个极富数学特色 的信息转换,在选择题、填空题中我们已经见过很多数形结合解题的实例. (2)数形结合的主要途径. ①通过坐标系.可以是直角坐标系,也可以是极坐标系,有时还考虑复平面. ②转化.可以把数与形的转化关系列成对照表.如把正数 a 转化为距离,把正数 a (或
2

ab )转化为面积,把正数 a3 (或 abc )转化为体积,把整式 a 2 ? b 2 转化为勾股定理,把
整式 a ? b ? ab 转化为余弦定理,把 a ? b ? c ? a ? b 转化为三角形的三边关系等.
2 2

③构造.比如构造一个几何图形,构造一个函数关系等等. (3)数形结合的原则. 数形结合要防止失误,避免人为复杂化,需遵守三个原则: ①等价性原则. 是指代数性质与几何性质的转换应该是等价的, 否则解题会出现漏洞. 有 时,由于图形的局限性,不能完整地表现数的一般性,这时的图形性质只是一种直观而显浅 的说明,但它同时也是抽象而严格证明的诱导. ②双向性原则. 就是既进行几何直观的分析, 又进行代数抽象的探索, 两方面相辅相成, 仅对代数问题进行几何分析或者仅对几何问题进行代数分析都是一种天真的误解. ③简单性原则.找到解题思路之后,至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方 法来叙述,取决于哪种方法更加优美、更加简单、或更便于达到教学目的,而不是像一种流 行的模式那样代数问题用几何方法,几何问题用代数方法. 例 13

? 1 1 lim 1 ? 2? ? ? n ?? ? 3 3
5 3
(B)

?

1? ? ?( 3?
n

) .

(A)

3 2

(C) 2

(D)不存在

(2010 江西理科第 5 题、5 分) 讲解 我们用数形结合的方式来处理,使没有学过极限的人也能接受. (1)对于没有学过极限的同学,我们先来解释一下

1 ?0. 3n

如图 8,对 3 长的线段三等分,取一份;对取出的 1 长线段三等分,取一份;对取出的

1 长线段三等分,取一份;……如此类推,被取出的线段越来越短,无限接近于 0. 3

????? 图8

30

对应为数列: an :1, ,

1 1 , 3 32

,

1 , 3n ?1



当 n 增大时, an 接近于 0; 当 n 越来越大时, an 越来越接近于 0; 当 n 很大很大时, an 很接近很接近于 0; 当 n 很大很大很大时, an 很接近很接近很接近于 0; …… 当 n 无限增大时, an 无限接近于 0. 这一段板书,配上不断加重语气的解说,将有助于理解 an ? 0 的本质.“很接近”是一 个特征但还不是本质, 无限接近才是. 那么怎样来讲授无限呢?这里是用多次重复来暗示“无 限”,是用语言夸张来提示“无限”;省略号的地方既是停顿更是联想(此时无声胜有声) ,让 学生的思维按照上面步步加强的暗示和提示去相信并接受“无限”. 数学上用两个不等式来反映两个无穷过程: n ? N —— n 无限增大的量化刻画,

an ? A ? ? —— an 无限接近 A 的量化刻画.
这样,无限变化就可以进行数学运算了. (2)你能类比猜想: 1 ?

1 1 ? ? 3 32

?

1 ?? 3n
3 ,应是 2

图 7 中,当中间的线段趋向于 0 时,两边的线段之和都趋向于

1 1 1? ? 2 ? 3 3

?

1 3 ? n 3 2

(3)你能独立找出 lim ?1 ?

? n ?? ?

1 1 ? ? 3 32

?

1? 3 ? ? 的一个几何解释吗. 3n ? 2

如图 9,1? 3 的矩形中每个小矩形的面积为 1,将其三等分,左右各放一等分,留下中 间的小矩形(实现求和的第 1 项) ;将中间小矩形三等分,左右各放一等分,留下中间的小 矩形(实现求和的第 2 项) ;??如此类推,则中间留下的部分面积趋于 0,而左右两边小 矩形面积之和趋于

3 . 2

31

???? 图9 (4)再找出一个几何解释. (能找出来就真明白了,否则是假明白,见图 10) 这几个直观演示有两个特点: 特点1 能同时演示两个无穷过程:

1 ? 0?n ? ?? , 3n 3 1 1 1 其二是部分和趋向于 .即 1 ? ? 2 ? ? n ? 2 3 3 3
其一是通项趋向于 0:

?

3 . 2
图 10

特点2 将无穷的过程始终置于我们视野之内的有限图形 之中,看得清楚,听得明白,直观、显浅. (5)变式推广:

?n
k ?1

?

1
k

?

1 ? n ? 2, n ? N? ? 的直观演示. n ?1

讲解

取一条单位线段,将其 n 等分,把 n ? 1 等份分别给 n ? 1 个同学 A 1, A 2,

An?1

(实现求和的第 1 项) ,留下 1 等份;将留下的小线段 n 等分,把 n ? 1 等份分别给 n ? 1 个同 学A 1, A 2, ,留下 1 等份;??如此类推,则留下的小线段越 An?1 (实现求和的第 2 项)

来越短、无限接近于 0,而 n ? 1 个同学 A 1, A 2, 于 1.于是,每个同学的小线段之和趋于

An?1 的小线段之和越来越长、无限接近

1 . n ?1

例 14 设数列的前 n 项和为 Sn .若对于所有的正整数 n ,都有

Sn ?

n(a1 ? a n ) , 2



证明 ?an ? 是等差数列. (1994 年高考数学文科第 25 题) 讲解 为了证明 ?an ? 为等差数列,只需要证 (1, a1 ), ( n ? 1, a n ?1 ), (n, a n ) 三点共线(把

数化为形),写成表达式就是(把形化为数)

an ? a1 an ?1 ? a1 ? , n ? 1 (n ? 1) ? 1
32



对比①、②两式的差异最显著的就是①含部分和 Sn ,而②只有通项.这就导致我们寻 找 S n 与 a n 之间的联系(寻找到目标差),想起公式(作出减少目标差的反应)

a n ? S n ? S n ?1 (n ? 1) ,
当 n ? 2 时,把已知条件代入(继续作出减少目标差的反应),可得

an ?
变形

n(a1 ? a n ) (n ? 1)(a1 ? a n ?1 ) a1 ? na n ? (n ? 1)a n ?1 , ? ? 2 2 2

(n ? 2)(a n ? a1 ) ? (n ? 1)(a n ?1 ? a1 ) ,
an ? a1 an ?1 ? a1 ? ? n ?1 n?2 a3 ? a1 ? a2 ? a1 , 2

化成比例并且递推,可以得出
?



a n ? a1 ? (n ? 1)(a 2 ? a1 ) .

于是,通过差异分析,我们找到了一个成功的解法,特点是数与形的结合思考.下面 的例15、例17也有数形结合的思考 第 14 招:选择题“小题小做” . 高考选择题承载着全面考查“双基” 、广泛覆盖知识点的功能,具有“单、多、广、活” 的特点(内容比较单一、数量比较多、覆盖面比较广、题型比较活泼) ,主要检查基础知识 理解不理解、基本技能熟练不熟练、基本运算准确不准确、基本方法会用不会用、考虑问题 严谨不严谨、解题速度快捷不快捷,要求学生“熟、准、快” (内容熟识、概念准确、推演

7 左右. 快速) ,近年,其易、中、难的比例约为 4:5:1,难度系数约为 0.
在近年的高考中,选择题能占到试卷总分(150 分)的 40%(60 分)和学生得分的 50% 左右,是学生得分的重要来源. 从高考临场的角度看来,为了给难度较大、分值较高的解答题留下较多的思考时间, 每道选择题应争取在 1、2 分钟内完成,3 分钟还完不成的题就先跳过去,总计时间控制在 20~30 分钟以内.因此,把握选择题的解法,必须包括这样一个战略性的目标:快速求解, 小题小做. 问题是,怎样才能“快”呢?我们认为,速解选择题的关键是充分利用选择题在结构形 式和回答方式上提供的新信息. 选择题的求解有 6 个基本方法又各有肯定形式与否定形式的 12 个技巧解法,列表表示 如下: (参见文[2]第三章)

基本

基本 方法

形式

肯定一支 (策略 1) 顺推肯定法 逆推肯定法 特值肯定法

否定三支 (策略 2) 顺推否定法 逆推否定法 特值否定法

求解对照法 逆推代入法 特值检验法

33

逻辑分析法 直观选择法 特征分析法

逻辑肯定法 直观肯定法 特征肯定法

逻辑否定法 直观否定法 特征否定法

在具体使用这些方法时, 应该认识到求解对照法是用得最多的通用方法, 当其他方法都 无能为力时,求解对照常能成功;但在使用求解对照前,我们应先考虑其他方法能否奏效, 尽量避免“小题大做” .同时,还应注意多种方法的交替使用. 例 15 若 x1 满足 2 x ? 2 ? 5 , x2 满足 2 x ? 2log2 ( x ?1) ? 5 ,则 x1 ? x2 ? (
x

) .

(A)

5 2

(B) 3

(C)

7 2

(D) 4

(2009 年高考数学辽宁卷理科第 12 题) 解法 1 (数形结合)由已知有

2x ? 5 ? 2 x ,
3

y

y ? 2x?1

y ? x ?1

2log2 ( x ?1) ? 5 ? 2 x ,


2

5 ?x, 2 5 log 2 ( x ? 1) ? ? x , 2 2 x ?1 ?
作出 y ? 2
x ?1

1

A C B
1 x1 2

y ? log2 ( x ?1)

O

3

x
y? 5 ?x 2

x2

, y ? log2 ( x ?1) 的图象(如图 11) ,

图 11

它们关于 y ? x ? 1 对称,它们与 y ? 的交点 C 的横坐标为

5 5 ? x 的交点 A, B 的中点为 y ? ? x 与 y ? x ? 1 2 2

xC ?


x1 ? x2 7 ? , 2 4 7 . x1 + x2 = .选 C. 2 2 x1 ?1 ? ? x1 ? 1? ? 3 , 2 3 , 2
x ?1

解法 2 (代数推理)由已知有 ① ②

? x2 ? 1? ? log 2 ( x2 ? 1) ?

这表明,单调函数 f ? x ? ? x ? log2 x 在 x ? 2 1 , x ? x2 ?1 两处的函数值相等,由单调

34

性得自变量相等

2x1 ?1 ? x2 ?1 ,
代人①得

? x2 ? 1? ? ? x1 ? 1? ?

3 7 ? x1 + x2 = .选 C. 2 2

也可以认为单调函数 f ? x ? ? 2x ? x 在 x ? x1 ?1, x ? log2 ? x2 ?1? 两处的函数值相等. 解法 3 (特征否定法)由 x1 满足 2 x ? 2 ? 5 , x2 满足 2 x ? 2log2 ( x ?1) ? 5 ,得
x

2 ? 2 ? 2 x1 ? 2 x1 ? 2 ?1.5 ? 21.5 , 2 ? 2 ? 2 ? 2log 2 (2 ? 1) ? 2 x2 ? 2log 2 ( x2 ? 1) ? 2 ? 2.5 ? 2log 2 (2.5 ? 1),


1 ? x1 ? 1.5, 2 ? x2 ? 2.5,



相加知

3 ? x1 ? x2 ? 4 ,

这就排除了(A) 、 (B) 、 (D) ,选(C) . 评析 如果考生的知识系统不完整,不知道方程与函数的联系,本题会无从下手.如 果考生的知识系统比较完整,用数形结合或代数推理的方法均可以完成,但有小题大做的 浪费;若能洞察题目有单调函数的背景,并掌握选择题的特点,则由估算就能排除 A、B、 D,很快得出 C.相关题: (1)人教版高中数学必修 1(A 版) P 91 练习:借助计算器或计算机,用二分法求方程

x ? 3 ? lg x 在区间 ? 2,3? 内的近似解(精确到 0.1)
(2) (第 9 届希望杯高二竞赛题)设 ? , ? 依次是方程 log2 x ? x ? 3, 2x ? x ? 3 的根, 则? ? ? ? 例 16 则f
?1

. (继续参见文[9]例 2,文[10]例 1) 已知函数 f ( x) ? 2
x ?3

,f

?1

, ( x) 是 f ( x) 的反函数,若 mn ? 16 ( m,n ? R + )

(m) ? f ?1 (n) 的值为( )
(B)1
x ?3

(A) ?2

(C)4 的反函数为 f
?1

(D)10

解法 1 先求出 f ( x) ? 2

? x? ? log2 x ? 3? x ? 0? ,则

f ?1 (m) ? f ?1 (n) ? log 2 m ? 3 ? log 2 n ? 3 ? log 2 m ? log 2 n ? 6 ? log 2 mn ? 6 ? log 2 16 ? 6 ? ?2.
解法 2: 由 24 ? mn ? 2
f ?1 ? m??3 f ?1 ? m??3
f ?1? m?? f ?1? m??6

2

?2
35

知f

?1

(m) ? f ?1 (n) 小于 0,对照

4 个选项,B,C,D 皆可排除故选 A. 解法 3: 取 m ? n ? 2 ? 2
2 f ?1 ? m??3

?2

f ?1 ? n??3

,得 f ?1 (m) ? f ?1 (n) ? ?2 .

说明:本例了考查函数与反函数的概念,对数(或指数)运算.解法 2、3 体现了选择 题的特点.还可以取 ?

?m ? 1, ?m ? 2, 等特数值来简化运算. ? ?n ? 16, ?n ? 8

第 15 招:填空题“以快为上” . 填空题与选择题、 解答题一起组成当前高考试卷的三大题型, 通常, 填空题的题量 (4~ 6 题)和分值(占 16~30 分)都是高考三大题型中最低的,而难度则介于选择题与解答题 5 左右) 之间(难度系数约为 0. .当前,在减弱选择题的同时,出现加强填空题的趋势. 虽然填空题的平均难度只是中等,但在三大题型中却是最容易丢分的,一步思虑不周、 一次细节疏忽、一个心理差错都会导致“全题皆空” .求解填空题必须抓住填空题的4个特 点,做到“结论正确、方法合理、过程简洁” ,确保成功率. (1)填空题的主要特点. 填空题的求解与选择题、 解答题的求解既有共通性, 又有特殊性, 我们既应掌握共通性, 更应重视特殊性.其中填空题的下述4个特点尤应抓住: ①与选择题相比,填空题缺少选择支的信息,更像一道不写过程的解答题,因而解答题 的求解思路可以原封不动地移植到填空题上来,由此产生直解法.但是与解答题相比,填空 题的求解更强调准确、快速. ②与解答题相比,填空题不用说明理由,又无须书写过程,这一方面是要求每一步都不 允许出错,另一方面是允许像解选择题一样用“合情推理”等策略,由此产生特例法、图解 法、猜想法等.但是,与选择题相比,填空题缺少 4 个选择支的信息,合情推理的难度要大 得多. ③由于填空题常常用来考查基础知识、基本技能,强调概念性、淡化运算量(叫做“大 概念、小计算” ,或“多一些想、少一些算” ) ,因而大多是一些能从课本找到原型或背景的 题目(中档题为主) ,可以通过观察、联想、转化,化归为已知的题目或基本的题型.这是 填空题与一些高档综合题的重要区别. ④在考试中,由于填空题只写出最终结果,因而像选择题一样具有评分客观、公正、准 确的特点.同时,也正因为不设中间分而失去了像解答题那样“分段得分”的机会, “一步 失误、全题皆空” ,其失分率比选择题、解答题都高.还是由于填空题不呈现思维过程,所 以只能“难度中等、分值不高” ,考试中要“以快为上” 、避免“小题大做” ,否则,做对了 也是“潜在丢分”或“隐含失分” . (2)求解填空题的基本建议. 根据以上特点,解答填空题的要旨在于“结论正确、方法合理、过程简洁” .提出 9 条 建议. ①能否根据概念、定理、公式、法则等数学基础知识直接得出答案; ②能否通过明显的几何意义迅速得出答案; ③能否通过挖掘隐含条件而获得解题的突破口; ④能否通过分类讨论而消解难点; ⑤能否通过“整体代入” 、 “设而不求” 、 “活用定义” 、 “巧用公式”等而简化过程; ⑥能否化归为课本已经解决的问题; ⑦能否化归为往年的高考题; ⑧能否使用求解填空题的特殊方法与技巧;

36

⑨定量型的填空题一定要运算到最终结果,并且,除非规定了精确度,否则都要保持准 确值. (3)填空题的常用解法有直接法,特例法,图解法,猜测法等. 例 17 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a 4 的最大值为____.

(2008 年高考数学四川卷理科第 16 题) 思路 1 (函数与方程的数学思想方法)若把求等差数列第 4 项 a 4 的最大值,从单纯 的数列知识中跳出来,置于函数观点之下,则问题便转化为求函数的最大值.一般地,为了 确定函数的最大值,通常需要完成 4 件事: (1)求出函数 a 4 的表达式(用 a1 , d ,或用 S 4 , S5 表示) ; (2)确定函数表达式中有关字母的取值范围(由 S4 ? 10, S5 ? 15 提供) ; (3)由以上两项具体放大 a 4 为常数; (4)验证常数可以取到,得 a 4 的最大值. 解法 1 (直接法)由

S4 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 4a1 ? 6d , S5 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 5a1 ? 10d .
可解得 有

3 2 1 a1 ? S4 ? S5 , d ? S5 ? S4 . 5 5 2 3 1 3 1 a4 ? a1 ? 3d ? S5 ? S4 ? ? 15 ? ? 10 ? 4 , 5 2 5 2

当 S4 ? 10, S5 ? 15 时, a 4 可以取到最大值 4.填 4. 说明 本解法的关键是得出恒等式 a4 ? 到. 解法 2 (直接法)设 a4 ? xS5 ? yS4 ,有

3 1 S5 ? S 4 ,这也可以由待定系数法直接找 5 2

a1 ? 3d ? x ? 4a1 ? 6d ? ? y ?5a1 ?10d ? ,
1 ? x?? , ? 4 x ? 5 y ? 1 ? ? 2 ?? ? ?6 x ? 10 y ? 3 ? y ? 3 . ? 5 ?
a4 ? 3 1 3 1 S5 ? S 4 ? ? 15 ? ? 10 ? 4 , 5 2 5 2



所以

当 S4 ? 10, S5 ? 15 时, a 4 可以取到最大值 4.填 4.

37

思路 2 (数形结合的数学思想方法)这两个解法在函数与方程的观点驾驭之下,得心 应手地调动了等差数列的知识(通项公式、求和公式) 、方程知识,以及待定系数法、放缩 法等,其着眼点主要放在 S 4 , S5 上.如果我们的着眼点放在 a1 , d 上,则 a4 ? a1 ? 3d 可看成 平面直角坐标系 a1Od 上的直线,而已知条件 ? 约束条件,解法是现成的. 解法 3 (图解法)建立平面直角坐标系 a1Od ,则

? S4 ? 10, ?2a1 ? 3d ? 5, 就是线性规划的 ?? ?a1 ? 2d ? 3 ? S5 ? 15

?2a1 ? 3d ? 5, ? ?a1 ? 2d ? 3
为约束条件, a4 ? a1 ? 3d 为目标函数.在坐标系上画出 可行域(图 12) ,可知当直线 a4 ? a1 ? 3d 过可行域内点 ?1,1? 时截距最大,此时,目标函数取最大值 a4 ? a1 ? 3d ? 1 ? 3 ? 4 . 说明 这个例子沟通了数列、函数、线形规划之间的联系,使得数学解题的过程成为沟 通知识更广泛联系的过程,成为发生数学的过程. 第五部分、分段得分. 一道高考题做不出来,不等于一点想法都没有,不等于所涉及的知识一片空白,尚未成 功不等于彻底失败.问题是,如何将片段思路转化为得分点,从而“分段得分” . (1)考生“分段得分”的法定依据是高考“分段评分” . 在高考中, 由于有的人理解得深, 有的人理解的浅, 有的人解决得多, 有的人解决得少, 为了区别这些情况,阅卷时总是按照所考查的知识点,分段评分.踩上了知识点就给分,多 踩多给.据此考生答题就应该也必然是“分段得分” . 由于平时做作业,教师总是要求学生“全做全对” ,不实行“分段评分” ,所以学生在高 考时就不习惯“分段得分” ,这就把平时做作业与高考竞争混为一谈了,因此,考生必须从 高考性质与评分办法上去理解,转变观念,心理换位.教师在模拟训练时也应提醒这一点. (2)分段得分的基本内容是:防止“分段扣分” ,争取“分段得分” . “分段评分”本身既包含着“分段给分” ,也包含着“分段扣分” .因此,考生应“会做 的题不丢分,不会做的题拿足分” . ①会做的题目,要力求不丢分. 情况表明,对于考生会做的题目,阅卷教师更注意找其中的毛病,分段扣回一二分,这 时要特别解决好“会而不对、对而不全” 力求不丢分. (参见文[3] 问题 16、问题 17) 相反, 对考生未能正确解答或未能完整解答的题目, 阅卷教师则更注意找其中的合理成 分,分段给点分,所以“做不出来的题目得一二分易,做得出来的题目得满分难” . ②部分理解的题目,要力求多得分. 对于多数考生来说, 更为重要的是如何从拿不下来的题目中多得点分段分, 其实质是多 出现几个相关的知识点. 从原则上讲,每一个考生做每一道题都不会一无所知,得零分的原因无非两条:没有时 间做;不会把自己所掌握的知识表达出来或表达错了. 图 12

38

(3)分段得分的技术基础是解题策略. 分段得分的技术基础是解题策略在考试中的应用. 下文将会显示, 有什么样的解题策略, 就有什么样的得分策略,暴露解题思考的真实过程就是分段得分的全部秘密. (4)分段得分的总体功能. 对于一道拿不下来的题目,实施分步得分的初衷是得部分分,但实施的过程也是解题 策略的运用过程,正确策略的运用就带来了全题解决的前景.所以,运用解题策略同时具有 分段得分与全题解决的双重功能:进可全题解决,退可分段得分. (5)分段得分的主要技术有:缺步解答; 跳步解答;退步解答;倒步解答;辅助解答. 第 16 招:分解分步——缺步解答. 数学研究中,遇到一个很困难的问题,实在啃不动,一个明智的策略是,将它分解为 一系列的步骤,或者是一个个子问题,先解决问题的一部分.把这种情况反映出来,那就是 在高考答题中,能演算几步就写几步,能解决到什么程度就表达到什么程度.特别是那些解 题层次明显的题和那些已经程序化的方法, 每进行一步得分点的演算都可以得到这一步的满 分,最后结果虽然没有得出来,但分数却拿了不少. 解答题有好几问,只完成一二问就是缺步解答,应用题“设、列”没有“解、答”也是 缺步解答. 例 18 已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左、 右顶点分别为 A1 ,A2 , 点 P?x1 , y1 ? ,Q?x1 ,? y1 ? 2

是双曲线上不同的两个动点. (Ⅰ)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)若过点 H ?0, h? ?h ? 1? 的两条直线 l1 和 l 2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ? l2 , 求 h 的值. (2010 年高考数学广东卷理科第 20 题) 讲解 本例的第(Ⅰ)问是一道成题(相关资料有纯粹性的漏洞) .但是,成题也有高 达 52.8%的考生得 0 分,平均仅得 1.47 分,难度系数为 0.10.其实,只要考生会把所 掌握的知识呈现出来,得 0 分是很难的: (1)由题设知 x1 ?

2 , A1 ? 2 ,0 , A2 2 ,0 ,则有
y1 x? 2 , x1 ? 2 ? y1 x? 2 . x1 ? 2

?

?

?

?

直线 A1P 的方程为 y ?

?

?

(1 分)

直线 A2Q 的方程为 y ?

?

?

(2 分)

(2)联立,解得交点坐标为 x ?

2 2 y1 ,y? ,即 x1 x1
(4 分)

x1 ?

2 , y1 ? x

2y , x

对于绝大多数考生来说,直线方程两点式、解方程求交点应是过关的,得 0 分只能是考
39

试技术不过关. 算到 4 分段是“缺步解答” (已经第(Ⅰ)问得分过半) ,更重要的是,有机会继续由 “点 P?x1 , y1 ? 在双曲线 消去 ? x1 , y1 ? ,得

x2 x2 2 ? y 2 ? 1 上” (即 1 ? y1 ? 1) , 2 2

(5 分)

x2 ? y2 ? 1, x ? 0 且 x ? ? 2 . 2
( “ x ? 0 且 x ? ? 2 ”不全或没有写出扣一分) 这就第(Ⅰ)问全体解决了. 例 19 设圆满足: ①截 y 轴所得弦长为 2; ②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1,

(7 分)

在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程. (1997 年高考数学理科第 25 题、12 分) 讲解 这是一道抽样得分只有 1. 02 分的难题, 涉及多个条件、 多个字母的处理, 但是, 即使综合能力不强的考生,也不难将题目所述的条件“转译”为数学表达式. ①设圆的方程为:

? x ? a?

2

? ? y ? b ? ? r 2 . ? r ? 0?
2

②由圆“截 y 轴所得弦长为 2”有

y1 ? y2 ? 2 r 2 ? a 2 ? 2 .
③由圆“被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1” ,知劣弧 所对的圆心角 ? ? 90 . ④圆心 ? a, b ? 到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离为 d ?

a ? 2b 5



图 13

这就有希望获得总分的一半,并且为全体解决奠定了基础. 缺步解答的例子继续参看例 21、例 22. 第 17 招:引理思想——跳步解答. 解题过程中卡在某一个过渡环节上是常见的,这时,我们可以先承认它,作为一个中间 结论, 接着往后推,看能否得出结果. 如果得不出结论,说明这个途径不对,立即改变方向; 如果能得出预期结论,我们就回过头来,集中力量攻克这个“中途点”或“引理” . 这是一个常识性的解题策略,但是由于高考时间的限制, “引理”的攻克来不及了,那 么可以先把前面的写下来(已经分段得分) ,再写上“证实某某之后,继而有?” ,一直做到 底,保持了整个解题思路的完整,这就是跳步解答.

40

这个攻不下来的“中途点”可能就是关键步骤,理应扣分,但后面部分能得点分,如果 这个攻不下来的“中途点”并非关键步骤,那么整题的丢分就很少,这比完全不写或只写前 半部分强得多. 也许后来,中间步骤又想出来了,不要乱七八糟地插上去,可补在后面,写“事实上, 某某步可以证明如下” .这样,整个解答就天衣无缝,一气呵成,也整齐清洁了. 对于有二三问的题目,若第一问做不出来时,可“跳步解答”先做第二问或第三问.有时, 考题前后两问本来就是无关的,先做那个都无所谓;若前后两问是有关系的,则可把前一问 作为已知条件,参与解决下一问.

2 3n 例 10 完成第(Ⅰ)问得 an ? n 后,立即做第(Ⅲ)问就是跳步解答.记 bn ? n , 3 3 ?2
有 an ?
n n 1 1 ,由柯西不等式 ? ?1 ? bk ?? ? n2 ,得 1 ? bn 1 ? b k ?1 k ?1 k

a1 ? a2 ?

? an ≥

n2

? ?1 ? b ?
k ?1 k

n

=

n2 n?? 2 k k ?1 3
n

?

n2 n ?1? 1 3n

?

n2 . n ?1

例 21

已知函数 f ( x) ? tan x, x ? ? 0,

? ?? ? ?? ? .若 x1 , x2 ? ? 0, ? .且 x1 ? x 2 .证明 ? 2? ? 2?

1 ?x ?x ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ? 1 2 ? . 2 ? 2 ?
(1994 年高考数学理科第 22 题、12 分) 讲解 左边=

1 1 ? sin x1 sin x2 ? ? ? tan x1 ? tan x2 ? ? ? ? 2 2 ? cos x1 cos x2 ?

?

sin x1 cos x2 ? cos x1 sin x2 cos x1 cos x2 sin ?x1 ? x2 ? cos x1 cos x2 2 sin ?x1 ? x2 ? , cos?x1 ? x2 ? ? cos?x1 ? x2 ?
(6 分) ①

?

?

右边= ? tan ?

? x1 ? x2 ? 2sin ? x1 ? x2 ? . ?? ? 2 ? 1 ? cos ? x1 ? x2 ?



这里的关键步骤是由已知推出①大于②, 如果只做到①,就叫做缺步解答.继续作分母放大需要如下的理由,评分标准规定给 3 分:

41

因为 x1 , x2 ? ? 0,

? ?? ? , x1 ? x2 ,故有 ? 2?



2sin ? x1 ? x2 ? ? 0,cos x1 cos x2 ? 0,0 ? cos ? x1 ? x2 ? ? 1 , ④
从而

0 ? cos ? x1 ? x2 ? ? cos ? x1 ? x2 ? ? 1 ? cos ? x1 ? x2 ?
tan x1 ? tan x2 ? 2sin ? x1 ? x2 ? , 1 ? cos ? x1 ? x2 ?







跳过这些理由③~⑥,直接由①写

2sin ? x1 ? x2 ? 2sin ? x1 ? x2 ? ? cos ? x1 ? x2 ? ? cos ? x1 ? x2 ? 1 ? cos ? x1 ? x2 ?
?x ?x ? ? tan ? 1 2 ? . ? 2 ?
就是跳步解答,既保持了书写的完整,又多呈现了一个知识点



2sin ? x1 ? x2 ? ?x ?x ? ? tan ? 1 2 ? . 1 ? cos ? x1 ? x2 ? ? 2 ?
如果后面又想出了⑤式的证明,可补充:其实,不等式⑦可以证明如下?? 第 18 招:以退求进——退步解答. “以退求进”是一个重要的解题策略.如果我们不能马上解决所面临的问题,那么,可 以从一般退到特殊,从抽象退到具体,从复杂退到简单,从整体退到部分,从较强的结论退 到较弱的结论.总之,退到一个能够解决的问题,认透了,钻深了,然后再上去. 高考中,退而能进,问题就解决了.但是,由于时间关系,退下去进不来怎么办?比如, 一个三角形的性质做不了, 可先做正三角形或直角三角形, 为了不产生 “以偏概全” 的误解, 我们建议用分情况讨论的办法来解决,使得“退”成为有机整体的一部分,于是宏观把握的 格局是存在的,逻辑关系是清楚的,进可全题解决,退也不是逻辑混乱、可得分段分.上面 说的三角形问题,可开门见山地写上讨论分三种情况:直角三角形、锐角三角形、钝角三角 形. 实数 x 的问题可分 x ? 0 , x ? 0 , x ? 0 三种情况,或 x 为整数,为有理数,为无理 数的三种情况来讨论,分类标准的采用,取决于自己能完成什么. 特殊化和分类,都是极具数学特征的思维方法, “退可分段得分,进可全题解决” . 例 22 设对所有实数 x ,不等式

x 2 log 2

4(a ? 1) 2a (a ? 1) 2 ? 2 x log 2 ? log 2 ?0 a a ?1 4a 2

恒成立,求 a 的取值范围. (1987 年高考数学文科第六题、理科第五题、12 分) 讲解 1 当年没有几个考生能完整求解本题, 但仅凭初中的知识便可看成二次三项式恒 大于 0,从而,首项系数大于 0 ,判别式小于 0

42

? a ? ? 0, ? a ?1 ? 4(a ? 1) ? ? 0, ?log 2 a ? 2 ?? 2a ? 4(a ? 1) (a ? 1) 2 ?? 2 log 2 ? 4 log log ? 0. 2 2 ? a ?1? a 4a 2 ?? ?
这可得 5 分.下来解不等式,是有困难的,但整个不等式组解不了,依然可以解前两个 不等式,这就是缺步解答,虽然完整答案没有出来,而得分已经过半了. 讲解 2 也许我们对无穷个 x 做不了,但 x ? 0 应该会做,问题是怎么告诉阅卷老师, 我们的建议是分为必要性与充分性两个步骤来求解. (1)必要性.取 x ? 0 ,有

log 2
即 得

(a ? 1) 2 ? 0, 4a 2
a ?1 ?0, 2a

2 log 2

a ?1 ?1? 0 ? a ?1 . 2a
(2)充分性.这时即使不会也接近“得分过半”了.然而,对充分性我们至少还可由

a ?1 a ?1 ? 1 ,推出 log 2 ? 0 ,这只不过是必要性过程的逆写,这不仅有机会 2a 2a a ?1 ? 0 ,则 得分,而且有可能将问题转化为:若 log 2 2a

a ? (0,1) 有

x 2 log 2

4(a ? 1) 2a (a ? 1) 2 ? 2 x log 2 ? log 2 ? 0. a a ?1 4a 2

这又使我们关注题目中三个对数符号的关系,有

log 2

4(a ? 1) a ?1 ? 3 ? log 2 , a 2a 2a a ?1 log 2 ? ? log 2 , a ?1 2a
2 2

并导致一部分同学的最终解决: 左边= 3 x ? ( x ? 1) log 2

a ?1 a ?1 a ?1 ? log 2 ? log 2 ? 0. 2a 2a 2a

由此可得问题的简单解决. 解 作变换 m ? log 2

a ?1 ,则已知式为 2a

x 2 (3 ? m) ? 2mx ? 2m ? 0 ,


3x 2 ? [(x ? 1) 2 ? 1]m ? 0 .
不等式恒成立的充要条件为

43

m ? log 2

a ?1 ? 0, 2a

解得 0 ? a ? 1 . (参见文[11]) 所以说:退步解答“退可分段得分,进可全题解决. ” 第 19 招:正难则反——倒步解答. “正难则反”是一个重要的解题策略,顺向推有困难时就逆向推,直接证有困难时就间 接证,从左边推右边有困难时就从右边推左边.如果从已知条件出发实在无法下手,前段分 就怎么也得不着了,那可转而拿后段分,主要的办法有两个: 其一,用分析法,从肯定结论入手,执果索因; 其二,用反证法,从否定结论入手,找矛盾. 应该看到,分析法是重要的思维方法,反证法是证明大法,逆向思维充满着创造性.我 们实施倒步解答,不仅想得点分段分,而且更想将全题解决. 例 23 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0), 方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1 , x 2 满足

0 ? x1 ? x 2 ?

1 .当 x ? (0, x1 ) 时,证明: x ? f ( x) ? x1 . a

(1997 年高考数学理科第 24 题第(1)问) (参见文[12]例 2) 分析 只须 只须 只须 欲证 x ? f ( x) ? x1 , (用条件 f ( x) ? x ) 0 ? f ( x) ? x ? x1 ? x , (方程 f ( x) ? x ? 0 有两个根) 0 ? a( x1 ? x)( x2 ? x) ? x1 ? x ,

0 ? x2 ? x ?

1 1 . (用条件 0 ? x ? x1 ? x2 ? ) a a
b a

这显然成立.当年的大难就这样化解了. 例 24(1)已知 a , b 为实数,并且 e ? a ? b ,其中 e 是自然对数的底,证明 a ? b .
b a (2)如果正实数 a , b 满足 a ? b .且 a ? 1 ,证明 a ? b

王新敞
奎屯

新疆

(1983 年高考数学理科第九题、12 分) 分析 (1) (分析法)当 e ? a ? b 时,要证 a ? b ,
b a

只须证 b ln a ? a ln b ,

ln a ln b ? . a b ln x 在(e,?? ) 内是减函数.思路已通. 只须证 y ? x
只须证 (2) (反证法)假设 a ? b 不成立,则存在这样的 a , b ,使 a ? b 或 a ? b . 若 a ? b ,则因 0 ? a ? 1 ,有

ab ? aa (此处 a x 为减函数)
a ? ba , (此处 x 为增函数)

44

与 a ? b 矛盾 .
b a
王新敞
奎屯 新疆

若 a ? b ,则因 0 ? a ? 1 ,有 0 ? b ? a ? 1 ,

a b ? a a (此处为 a x 减函数)
a ? ba , (此处为 x 增函数)

与 a ? b 矛盾
b a

王新敞
奎屯

新疆

所以 a ? b . (由于两种情况下的处理方式是类似的,因而可以作统一书写. ) 证明 函数 y ? (1)考虑函数 y ?

ln x 1 ? ln x (0 ? x ? ?? ) ,因为 x ? e 时, y? ? ? 0 ,所以 x x2

ln x 在(e,?? ) 内是减函数,对 e ? a ? b ,有 x ln a ln b ? , a b



ab ? ba

王新敞
奎屯

新疆

x (2)假设 a ? b 不成立,由 0 ? a ? 1 知指数函数 f ? x ? ? a 为减函数,有

ab ? a a ?0. a ?b
又由幂函数 g ? x ? ? x
a



? a ? 0? 在 ?0, ??? 为增函数,有


a a ? ba ?0, a ?b
①+②并代入 a ? b 得
b a

0?

ab ? a a a a ? ba ab ? ba ? ? ? 0, a ?b a ?b a ?b

这一矛盾说明,只有 a ? b . 以上例子说明,倒步解答确实有诱发“全题解决”的功能,并且还有可能找到较优秀的 解法. 第 20 招:扫清外围——辅助解答. 一道题目的完整解答,既有主要的实质性的步骤,也有次要的辅助性的步骤.实质性 的步骤未找到之前,找辅助性的步骤是明智的,既必不可少也不困难.这就像打攻坚战时先 扫清外围. 辅助解答是十分广泛的,如准确作图,把题目中的条件翻译成数学表达式,设应用题 的未知数并写出相应的代数式, 设极值题的变量并用以表示其它量, 设轨迹题的动点坐标并 用以表示其它条件,进行反证法或数学归纳法的第一步等.

45

例25

双曲线的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,过双曲线右焦点且斜率为

3 的 5

直线交双曲线于 P, Q 两点.若 OP ? OQ , PQ ? 4 ,求双曲线的方程. (1991 年高考数学理科第 26 题、12 分) 讲解 当年,能完整求解本题的考生很少,难点在方程组的消元求解,但将题目中语 言叙述的4句话翻译为数学表达式并不困难(也必不可少) . (1)由“双曲线的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上”可设双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2
(2) “过双曲线右焦点且斜率为



3 的直线”可设为 5
② ③
2

y?

3 ? x ? c? . 5

(3)由“ OP ? OQ ”有 xP xQ ? yP yQ ? 0 , (4)由“ PQ ? 4 ”有 xP ? xQ

图14

?

? ??y
2

Q

? yP ? ? 16 .



这就可以得4分.接下来只要注意到“直线交双曲线于 P, Q 两点”就可以联立①、② 得

? 5b
2 2

2

? 3a 2 ? x 2 ? 6a 2 cx ? ? 3a 2 c 2 ? 5a 2b 2 ? ? 0 .



并且 5b ? 3a ? 0 (否则过焦点且斜率为 分.更重要的是,由⑤还可得

3 的直线与双曲线交于一点) ,这又可以得 1 5

xP , Q ?

?3a 2c ? 40ab 2 , 5b 2 ? 3a 2





? ?6a 2c x ? x ? , ? ? P Q 5b 2 ? 3a 2 ? 2 2 2 2 ? x x ? ? 3a c ? 5a b , P Q ? 5b 2 ? 3a 2 ?



从而表示出交点 P, Q ,这时不仅能得分过半,而且整个思路已经通了,为全题解决

(求出双曲线方程为x -

2

y2 =1)奠定了基础. 3

46

对于个别选择题、填空题不会做, “大胆猜测”也是辅助解答.猜测是一种能力,解答 题亦离不开大胆猜测. 书写也是辅助解答, “书写要工整,卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷教师的心理 上产生光环效应:书写认真——学习认真——成绩优良——给分偏高. 以上临场的艺术,总结了命题教师、阅卷教师、录取教师和应考学生的经验,成功之 处是集体的智慧,不足之处是个人的失误. 参考文献 惠州人.考前寄语[J].中学数学教学参考,1993,6 罗增儒.怎样解答高考数学题[M].陕西师范大学出版社.1995,1 罗增儒.高考复习 20 问[J].中学数学教学参考(上旬) ,2010,5 罗增儒.数学解题中的“模式识别”[J].中学数学教学参考.2006,10~11 罗增儒. 由考题谈背景——2006 年全国高考数学陕西卷理科第 21 题[J].中学数学教学 参考(上半月),2007,5~6

1 2 3 4 5

6 罗增儒.差异分析法[J].中学数学教学参考.2002,6 7 罗增儒.高等背景、初等解法——谈 2008 年全国高考数学陕西卷(理科)第 22 题[J].中 学数学教学参考(上旬) ,2009,1~3 8 罗增儒.解题教学的三层次解决[J].中学数学教学参考(中旬) ,2010,5 9 罗增儒.解题分析——解题教学还缺少什么环节?[J].中学数学教学参考,1998,1~2 10 罗增儒.解题分析——看透本质就可以引申[J].中学数学教学参考,1998,11 11 罗增儒.一道高考繁题的简解[J].北京科技报告高中版,1987,9,15 第 291 期 12 罗增儒.解题分析——分析解题过程的两个步骤[J].中学数学教学参考,1998,5

47


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