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2007年第7届中国西部数学奥林匹克竞赛试题


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2007 年第 7 届中国西部数学奥林匹克竞赛

(2007 年 11 月 10 日上午 8:00-12:00)

T 有多少个非空子集 A ,使得 S ( A ) 为 3 的倍数,但不是 5 的倍数?

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2 3 4 5 6 7 8 1.已知 T = {1, ,, ,, , ,} ,对于 A ? T , A ≠ ? ,定义 S ( A ) 为 A 中所有元素之和,问:

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第一天

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2 .如图, O1 与 O2 相交于点 C , D ,过点 D 的一条直线分别与 O1 , O2 相交于点 A , B ,

的延长线交于点 N . O 是 ΔABC 的外心.求证: OD ⊥ MN 的充要条件为 P , Q , M , N 四点共圆.
O Q

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点P在

O1 的弧 AD 上, PD 与线段 AC 的延长线交于点 M ,点 Q 在 O2 的弧 BD 上, QD 与线段 BC

A

P

D

O1

O2

B

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3 .设实数 a , b , c 满足 a + b + c = 3 .求证:

1 1 1 1 + 2 + 2 ≤ . 5a ? 4a + 11 5b ? 4b + 11 5c ? 4c + 11 4
2

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1 . 2007

4 .设 O 是 ΔABC 内部一点.证明:存在正整数 p , q , r ,使得 p ? OA + q ? OB + r ? OC <

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第二天

1 .是否存在三边长都为整数的三角形,满足以下条件:最短边长为 2007 ,且最大的角等于最小角的
两倍?

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(2007 年 11 月 11 日上午 8:00-12:00)

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, xn , y ,满足 ?

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? x1 + ? 2 ? x1 + ?

2 .求所有的正整数 n ,使得存在非零整数 x1 , x2 ,

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+ xn = 0 ,
2 + xn = ny 2 .

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3 .设 P 是锐角三角形 ABC 内一点, AP , BP , CP 分别交边 BC , CA , AB 于点 D , E , F ,
已知 ΔDEF ∽ ΔABC ,求证: P 是 ΔABC 的重心.

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4 .将 n 个白子与 n 个黑子任意地放在一个圆周上.从某个白子起, 2 按顺时针方向依次将白子标以 1 , ,
, n .再从某个黑子起,按逆时针方向依次将黑子标以 1 , 2 , , n .证明:存在连续 n 个棋子(不计

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2 n 黑白) ,它们的标号所成的集合为 {1, , ,} .

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