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2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系


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回顾旧知
同一平面内的直线有哪些位置关系?

a
o
相交

b
平行

a b

如何判断两直线相交? a o b
两直线有公共交点。

如何判断两直线平行? a b 两直线在同一平面,且无公共交点。

/>
2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系

教学重难点
重点 ?异面直线的概念。 ?公理4及等角定理。 难点

?异面直线所成角的计算。

黑板两侧所在的直线与课桌边沿所 在直线是什么位置关系? 既非平行 又非相交

六角螺母

D C A B

既非平行 又非相交

不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线(skew lines)
空间两条直线的位置关系:

相交直线 同一平面内,有且只有一个公共点。 共面直线 平行直线 同一平面内,没有公共点。 异面直线 不同在任何一个平面内,没有公共点。


两直线异面的判别一 : 两条直线不同在任何一个平面内. 两直线异面的判别二 : 两条直线 既不相交、又不平行.

异面直线的画法

b

?

b
a

?

a

?

为表示异面直线不共面的特点,常以平面衬托。

探 究 下图是一个正方体的展开图,如果将它还原 为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段 所在的直线是异面直线的有 3 对。
C G

A

G(C )
E
B

A D F ( B)

D
H E

H

F

直线EF和直线HG

直线AB和直线HG

直线AB和直线CD

随堂练习
一、下图长方体中 ㈠说出以下各对线段的位置关系? E ①EC和BH是 相交 直线
H
F D A B C G

②BD和FH是 平行 直线
③BH和DC是 异面 直线

㈡与棱AB所在直线异面的棱共有 4 条? 分别是 :CG、HD、GF、HE

二、 画两个相交平面,在这两个平面内各画 一条直线,使它们成为: ⑴平行直线;⑵相交直线;⑶异面直线.

?
b
a ⑴ ⑶

? ? ?
b
a

b

a ⑵

?

?

思 考 在同一平面内,如果两条直线都与第三条 直线平行,那么这两条直线相互平行.在空间 中,如果两条直线都与第三条直线平行,是否 也有类似的规律?

观察
如图,长方体ABCD-A'B'C'D'中, BB'//AA',DD'//AA',那么BB'与DD'平行吗?
D?

C?
B?

A?
D

C

A
平行

B

公理4:

平行于同一条直线的两条直线互相平行。
———平行线的传递性 推广:

在空间平行于一条已知直线的所有 直线都互相平行。

例2

不在同一平面上的四条线段首尾相接, 并且最后一条的尾端与最初一条的首端 重合,这样的图形叫做空间四边形。

如图 ,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是 AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行 A 四边形。 H 证明:连接BD, E 因为 EH是 ΔABD 的中位线, 1 EH ? BD 所以EH//BD,且 2 1 同理FG//BD,且 FG ? BD 2 所以 EH//FG,且EH=FG 所以,四边形EFGH是平行四边形。
D G B F C

解题思想: 把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。

探 究
在例2中,如果再加上条件AC=BD,那么四 边形EFGH是什么图形?
A H E D G B F C

四边形EFGH是菱形。

思 考 在平面上,如果一个角的两边和另一个角的两 边分别平行,那么这两个角相等或互补.

AO //C P//EQ ? ??AO B? ?C O D ??? BO //DP//FQ? ??AO B? ?EQ F ? 180?
A O P F C B D E

Q

空间中,该结论是否仍然成立?
?ADC 与?A?D?C?, 在长方体 ABCD ? A?B?C?D? 中, ?ADC 与?A?B?C? 的两对边分别对应平行,这两组角的 大小关系如何? D? C? B? A?

D
?ADC ? ?A?D?C?

C

A

B

?ADC ? ?A?B?C? ? 180?

定理

空间中如果有两个角的两边分别对应平 行,那么这两个角相等或互补。
———等角定理

AC//A?C?, ?AB//A?B?
C C
B
C?

? A

? A

B
C?

?

A?

B?

?

B?

A?

?CAB ? ?C?A?B?

?CAB? ?C?A?B? ? 180?

在平面内两直线相交成四个角,不大于 90°的角成为夹角。 夹角 a

b
夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜 程度,异面直线通过异面直线所成的角来刻画。

异面直线所成的角
已知两条异面直线a, b,经过空间任一点O作 直线a`//a, b`//b,我们把a`与b`所成的锐角(或直 角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)。
b
b?
a
O

b
a?

?

?

O

a? a

异面直线所成的角的范围 00 ? ? ? 900

为简便,O点常取在 两异面直线中的一条上

求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找):作(或找)平行线 二证:证明所作的角为所求的异

面直线所成的角。
三求:在一恰当的三角形中求出 角

如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说这 两条直线相互垂直.

b

?

a

a ? b. 记作:

探 究 (1)在长方体 ABCD-A'B'C'D'中,有没有两条 棱所在的直线是相互垂直的异面直线?
D?

C?
B?

A?
D

C

A

B

有,如AB和CC‘,AB和DD’。

(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线 垂直,那么另一条直线是否也与这条直线垂直? 相交直线的垂直 垂直分为两种:

异面直线的垂直

c
?
b a
垂直

c
?

b a

(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

c
?
b
a

如图,若c⊥α,则c垂直于α内所有直线, 而α内任意两条直线的关系可能是平行,也可能 是相交。 不一定

例3

如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE 的中心,求(1)哪些棱所在直线与直线BE是异面 直线(2)BE与CG所成的角。 H G E
F D A B C

H E F
D

G

C

A B 解: (1)与直线BE异面的棱是CG,DH,CD,HG,AD, FG所在直线
(2)∵BF∥CG,∴∠EBF(或其补角)为异面直 线 BE与CG所成的角,又 ? BEF中∠EBF =45°,所以BE与CG所成的角是45°。

随堂练习
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解: (1)∵GF∥BC 2 E
2 3 D 2 3

3 , AD = 2 3 , AE = 2
G

H

F
C B

∴∠EGF(或其补角)为所求.
Rt△EFG中,求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o

A

∴∠FBG(或其补角)为所求,
Rt△BFG中,求得∠FBG = 60o

课堂小结
异面直线的定义:

不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
相交直线 平行直线 异面直线

空间两直线的位置关系

异面直线的画法 异面直线所成的角

用平面来衬托 平移,转化为相交直线所成的角

公理4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行.

空间中,如果两个角的两边分别对应平行,
等角定理: 那么这两个角相等或互补.

异面直线的求法:

一作(找)二证三求

一、判断

随堂练习

错 1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。 2)a ? α,b ? α,则a,b一定异面。 错

3)a与b是异面直线,b与c是异面直线,则a与c是 异面直线。 错
4)a与b是共面,b与c是共面,则a与c共面。 错

二、选择
1. 两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交,则 直线a,b的位置关系是( D ) A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线,也可能是相交直线 2. 一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D ) A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面

3. 分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( D) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 4. 异面直线a,b满足a??,b??,?∩?=l,则l与a,b的 位置关系一定是( B ) A. l与a,b都相交 B .l至少与a,b中的一条相交 C. l至多与a,b中的一条相交 D. l至少与a,b中的一条平行


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